Размытие изображения посредством фильтра Gaussian Blur широко используется в самых разных задачах. Но иногда хочется чуть большего разнообразия, чем просто один фильтр на все случаи жизни, в котором регулировке поддаётся только один параметр — его размер. В этой статье мы рассмотрим несколько других реализаций размытия.

Введение

Эффект Gaussian Blur является линейной операцией и математически представляет собой свёртку изображения с матрицей фильтра. При этом каждый пиксель в изображении замещается на сумму близлежащих, взятых с определёнными весовыми коэффициентами.

Фильтр называется Gaussian, потому что он строится из функции, известной как гауссиана, $$:



двумерный вариант которой получен её вращением относительно оси ординат, $$:



Здесь для каждой пары координат $$ рассчитывается расстояние до центра по формуле $$, которое передаётся как аргумент в функцию гауссианы — и, как легко увидеть, $$ сокращается до $$.

Матрица, построенная на отрезке $$ и с некоторым уровнем дискретизации, будет выглядеть так:

$$

Или, если рассматривать значения элементов матрицы как уровень яркости, так:



В терминах обработки сигналов это называется импульсной характеристикой, поскольку именно так будет выглядеть результат свёртки данного фильтра с единичным импульсом (в данном случае — пикселем).

Изначально гауссиана определена на бесконечном интервале. Но за счёт того, что она довольно быстро затухает, можно исключить из вычислений значения, близкие к нулю — поскольку они всё равно не отразятся на результате. В реальных приложениях также необходима нормализация по значению, чтобы после свёртки яркость изображения не изменялась; а в случае размытия изображения, в котором каждый пиксель имеет один и тот же цвет, не должно меняться и само изображение.

Для удобства часто используют нормализацию и по координатам, посредством введения дополнительного параметра $$ (читается как «сигма») — чтобы рассматривать аргумент в диапазоне $$, а $$ определяет степень сжатия гауссианы:

$$

Нормализующий делитель $$ здесь получен аналитически через определённый интеграл на бесконечности:

$$

За счёт того, что выполняется равенство $$, размытие по Гауссу можно реализовать последовательно сначала по строкам, а затем по столбцам — что позволяет достаточно сильно сэкономить на вычислениях. В этом случае необходимо использовать формулу с нормализацией для одномерного случая —

$$

Начало

Для произвольного фильтра нам нужно сначала определить собственную функцию затухания от одной переменной $$, из которой вращением получается функция от двух переменных путём замены $$ на $$, где $$ и $$ это координаты элемента матрицы в диапазоне $$, и которая далее используется для заполнения элементов матрицы. Нормализацию будем считать не аналитически, а непосредственным суммированием всех элементов матрицы — это и проще, и точнее — поскольку после дискретизации функция получается «прореженной», и значение нормализации будет зависеть от уровня дискретизации.

В случае, если элементы матрицы нумеруются с нуля, координата $$ или $$ считается по формуле

$$

где $$ — порядковый номер элемента в строке или столбце, а $$ — общее количество элементов.

Например, для матрицы 5 на 5 это будет выглядеть так:

$$

Или, если исключить граничные значения, которые всё равно равны нулю, то координаты будут считаться по формуле

$$

а матрица соответственно примет вид

$$

После того, как элементы матрицы были рассчитаны по формуле, необходимо посчитать их сумму и поделить матрицу на неё. К примеру, если у нас получилась матрица

$$

то суммой всех её элементов будет 40, и после нормализации она примет вид

$$

и суммой всех её элементов станет 1.

Линейное затухание

Для начала возьмём самую простую функцию — линию:

$$

Кусочно-непрерывное определение здесь нужно, чтобы функция гарантированно уходила в ноль и при вращении не возникало артефактов на углах матрицы. Кроме того, поскольку при вращении используется корень из суммы квадратов координат, который всегда положителен, то и функцию достаточно определить только в положительной части значений. В итоге получим:

Мягкое линейное затухание

Резкий переход от наклонной линии к нулю функции может вызвать противоречие с чувством прекрасного. Для его устранения нам поможет функция

$$

в которой $$ определяет «жёсткость» стыковки, $$. Для, например, $$ получим

$$

а сам фильтр будет выглядеть как

Гиперболическое затухание

Фильтр можно сделать более «острым» и более плавно уходящим в ноль, взяв в качестве образующей другую функцию — например, гиперболу, а плавный переход к нулю обеспечив путём суммирования с параболой.



После всех вычислений и упрощений получим формулу

$$

в которой параметр $$ определяет характер затухания:



а сам фильтр будет выглядеть (для $$) как

Имитация эффекта боке

Можно пойти и другим путём — делать вершину фильтра не острой, а тупой. Наиболее простой способ реализовать это — задать функцию затухания как константу:

$$

Но в таком случае мы получаем сильную пикселизацию, что контрастирует с чувством прекрасного. Сделать его более гладким на краях нам поможет парабола высших порядков, из которой посредством её смещения вдоль оси ординат и возведением в квадрат получим

$$

Варьируя параметр $$, можно получить широкий спектр вариантов фильтра:

$$

$$

$$

$$

А слегка модифицировав функцию затухания, можно сделать более выраженным кольцо на краях фильтра, например так:

$$

Здесь параметр $$ определяет высоту центра, а $$ — резкость перехода к краям.
Для $$ получим



а для $$

Вариации гауссианы

Можно модифицировать и непосредственно саму функцию гауссианы. Наиболее очевидный способ для этого — параметрировать показатель степени — мы сейчас рассматривать не будем, а возьмём более интересный вариант:

$$

За счёт того, что при $$ стремящемся к единице знаменатель $$ стремится к нулю, дробь $$ стремится к минус бесконечности, а сама экспонента также стремится к нулю. Таким образом, деление на $$ позволяет сжать область определения функции с $$ до $$. При этом, при $$ за счёт деления на ноль ($$) значение функции не определено, но имеет два предела — предел с одной стороны (изнутри) равен нулю, а с другой стороны — бесконечности:

$$

$$

Поскольку граничные значения в интервал не входят, то нуля в пределе только с одной стороны вполне достаточно. Интересно, что это свойство распространяется и на все производные этой функции, что обеспечивает идеальную стыковку с нулём.

Параметр $$ определяет схожесть с гауссианой — чем он больше, тем сильнее получается схожесть — за счёт того, что всё более линейный участок $$ приходиться на центр функции. Можно было бы предположить, что за счёт этого в пределе можно получить оригинальную гауссиану — но, к сожалению, нет — функции всё-таки разные.



Теперь можно посмотреть, что получилось:

$$

$$

$$

$$

$$

Вариации формы

Изменив функцию перехода от двух координат к одной $$, можно получить и другие фигуры, а не только диск. Например:

$$

$$

Перейдя на комплексные числа, можно конструировать и более сложные фигуры:

$$

$$

$$

При этом нужно следить, чтобы при преобразовании координат не выходить за пределы интервала $$ — ну или наоборот, доопределить функцию затухания для отрицательных значений аргумента.

Несколько конкретных примеров

Статья была бы не полной без практического испытания на конкретных изображениях. Поскольку у нас не научная работа, то и изображение Лены мы брать не будем — а возьмём что-нибудь мягкое и пушистое:


















Те же фильтры, но для текста:

Заключение

Аналогичным образом можно строить и более сложные фильтры, в том числе и с усилением резкости или выделением контуров; а также модифицировать уже рассмотренные.

Отдельный интерес представляет и нелинейная фильтрация, когда значения коэффициентов фильтра зависят от координат или непосредственно самого фильтруемого изображения — но это уже предмет для других исследований.

Более подробно вывод функций для стыковки с константой рассматривается здесь. В качестве функции затухания также могут быть использованы оконные функции, рассмотренные здесь — нужно лишь масштабировать аргумент c (0,1) на ($$,1) или изначально считать оконные функции по формуле $$.

Исходный документ Wolfram Mathematica для этой статьи можно скачать здесь.