Игра для двоих может сказать, есть ли во Вселенной бесконечное количество сложности

Сколько независимых свойств есть у Вселенной? Простая игра может дать ответ на этот вопрос

Один из величайших и самых базовых вопросов в физике касается количества способов настройки материи во Вселенной. Если взять материю и перегруппировать её, затем снова перегруппировать, и снова – исчерпаем ли мы все возможные конфигурации, или эти перестановки можно делать бесконечно?

Физикам это неизвестно, но при отсутствии определённости они делают предположения. А эти предположения различаются в зависимости от области физики. В одной области физики предполагают конечное число конфигураций. В другой – бесконечное. Пока что невозможно сказать, кто из них прав.

Но за последнюю пару лет одна группа математиков и специалистов по информатике занималась созданием игр, теоретически способных закрыть этот вопрос. В играх участвуют два игрока, изолированных друг от друга. Игроки задают вопросы, и выигрывают, если их ответы оказываются определённым образом согласованными. Количество выигрышей связано с количеством различных способов конфигурации Вселенной.

«Существует философский вопрос: конечно или бесконечно число измерений Вселенной?» – сказал Генри Юйэнь, специалист по теоретической информатике из университета Торонто. «Люди думают, что проверить это невозможно, но один из возможных способов решить вопрос – использовать игру, придуманную Уильямом».

Юйэнь говорит о Уильяме Слофстра, математике из университета Ватерлоо. В 2016 году Слофстра изобрёл игру для двоих игроков, присваивающих значения переменным в сотнях простых уравнений. При нормальных условиях проиграть могут даже самые умелые игроки. Но Слофстра доказал, что если дать им доступ к бесконечному количеству необычных ресурсов – запутанных квантовых частиц – они смогут выигрывать всегда.

Другие исследователи с тех пор подправляли результат Слофстры. Они доказали, что для достижения того же умозаключения не нужно играть в игру с сотнями вопросов. В 2017 году три исследователя доказали, что существуют игры всего из пяти вопросов, в которые можно выигрывать в 100% случаев, если у игрока будет доступ к неограниченному количеству запутанных частиц.

Все эти игры основаны на играх, придуманных более 50 лет назад физиком Джоном Стюартом Беллом. Белл разработал игры для проверки одной из самых странных гипотез, выдвинутых квантовой механикой о физическом мире. Полвека спустя его идеи могут оказаться полезными не только для этого.

Волшебные квадраты

Белл придумал «нелокальные» игры, требующие от игроков нахождения на большом расстоянии друг от друга, без возможности общаться. Каждый игрок отвечает на вопрос. Игроки выигрывают или проигрывают в зависимости от совместимости их ответов.

Одна из таких игр – волшебный квадрат. Игроки Алиса и Боб рисуют сетку 3х3 квадратика. Судья просит Алису заполнить один ряд в сетке – допустим, второй – написав в каждой клеточке 1 или 0, так, чтобы сумма чисел в ряду была нечётной. Затем судья просит Боба заполнить один из столбцов так, чтобы сумма была чётной. Алиса и Боб выигрывают, если они напишут одно и то же число на пересечении их строки и столбца.

Подвох в следующем: Алиса и Боб не знают, какую строчку или столбец судья попросил заполнить их соперника. «Такая игра была бы тривиальной, если бы игроки могли общаться, — сказал Ричард Клив, изучающий квантовые вычисления в университете Ватерлоо. – Но то, что Алиса не знает, что попросили сделать Боба, и наоборот, означает, что игра становится более сложной».



Кажется, что в игре с волшебным квадратом и других подобных играх не существует способа выиграть в 100% случаев. И действительно, в мире, описываемом классической физикой, Алиса и Боб могут достичь максимума в 89%.

Однако квантовая механика – в частности, странное явление «запутанности» – позволяет Алисе и Бобу улучшить результат.

В квантовой механике свойства фундаментальных частиц, к примеру, электронов, не существуют до момента измерения. Представим, что электрон быстро движется по окружности. Чтобы определить его местонахождение, мы выполняем измерение. Но до измерения у электрона нет определённого местоположения. Он характеризуется математической формулой, выражающей вероятность обнаружения его в определённом месте.

Когда две частицы запутаны, сложные амплитуды вероятностей, описывающих их свойства, переплетаются. Представьте два электрона, запутанных так, что если измерение определяет местоположение одного из них на определённом месте окружности, то другой обязательно будет находиться в противоположной точке. Такое взаимоотношение двух электронов сохраняется, и когда они находятся рядом, и когда они разнесены на многие световые годы. Даже на таком расстоянии, если вы измерите местоположение одного электрона, местоположение другого станет известным сразу, даже без причинно-следственной связи между ними.

Это явление кажется абсурдным, поскольку в нашем не-квантовом опыте нет ничего, что говорило бы о подобной возможности. Альберт Эйнштейн высмеивал запутанность знаменитой фразой «пугающее дальнодействие», и годами утверждал, что такого быть не может.

Для реализации квантовой стратегии в игре с волшебным квадратом, Алиса и Боб берут по одной из запутанных частиц. Чтобы определить, какие числа записывать, они измеряют свойства своей частицы – примерно так же, как если бы они бросали связанные друг с другом кубики для выбора ответов.


Джон Стюарт Белл, придумавший нелокальные игры

Белл подсчитал, а множество последующих экспериментов продемонстрировало, что, используя странные квантовые корреляции частиц, игроки в подобных играх могут координировать свои ответы гораздо точнее, и выигрывать чаще, чем в 89% случаев.

Белл придумал нелокальные игры как способ доказать, что запутанность реальна, а наше классическое представление о мире неполно – а в то время такое заключение было легко сделать. «Белл придумал эксперимент, который можно провести в лаборатории», — сказал Клив. Если у нас получится зарегистрировать процент успеха, превышающий ожидаемый, станет ясно, что игроки используют какие-то особенности физического мира, не объясняемые классической физикой.

Проделанная Слофстрой и другими работа похожа по стратегии, но отличается по масштабу. Они показали, что игры Белла не только доказывают реальность запутанности, но некоторые из них могут доказать нечто большее – например, существование предела количества конфигураций, которые может принять Вселенная.

Ещё больше запутанности

В работе 2016 года Слофстра предложил новую нелокальную игру, в которую играют два игрока, дающие ответы на простые вопросы. Чтобы победить, им нужно давать ответы, определённым образом связанные друг с другом, как в игре с волшебным квадратом.

Представьте, допустим, игру для двоих игроков, Алисы и Боба, которым нужно сопоставить носки из своих комодов. Каждый игрок должен выбрать один носок, не зная о том, какой носок выбрал другой. Игроки не могут заранее договариваться о выборе. Если их носки оказываются из одной пары, они выигрывают.

Учитывая эту неопределённость, неизвестно, какие носки должны выбирать Алиса и Боб – по крайней мере, в классическом мире. Но если они смогут применить запутанные частицы, их шансы на составление пары увеличиваются. Основывая выбор цвета носка на результатах измерений одной пары запутанных частиц, они могут координировать и выбор этого одного атрибута носка.

Однако по поводу остальных атрибутов им всё равно придётся догадываться – шерстяной это носок или хлопковый, высотой до лодыжки или до середины икры. Но, используя дополнительные запутанные частицы, они могут получить доступ к большему количеству измерений. Они могут использовать один набор для корреляции выбора материала, другой – для выбора длины носка. В итоге, благодаря возможности координировать выбор многих атрибутов, они с большей вероятностью выберут носки из одной пары.

«Более сложные системы позволяют делать более согласованные измерения, что позволяет координировать действия при выполнении более сложных задач», — сказал Слофстра.

Но в игре Слофстры вопросы не относятся к носкам. Они относятся к таким уравнениям, как a + b + c и b + c + d. Алиса может назначить любой переменной значение 1 или 0 (и значение каждой переменной останется одинаковым для всех уравнений). В итоге её уравнения в сумме дадут определённую величину.

Бобу дают одну из переменных Алисы, например, b, и просят назначить ей значение 0 или 1. Игроки выигрывают, если оба назначат одно значение этой переменной.

Если бы вы играли в эту игру с другом, вы не могли бы постоянно выигрывать. Но с помощью пары запутанных частиц выигрыш стал бы более постоянным, как в примере с носками.

Слофстре было интересно понять, существует ли количество запутанных частиц, свыше которого вероятность команды выиграть перестаёт расти. Возможно, игроки могли бы выстроить оптимальную стратегию, имея на руках пять пар запутанных частиц, или 500 пар. «Мы надеялись, что сможем сказать: для оптимальной игры требуется вот столько запутанности, — сказал Слофстра. – Но оказалось, что это не так».

Он обнаружил, что добавление дополнительных запутанных частиц всегда увеличивает вероятность выигрыша. А если бы вы смогли использовать бесконечное количество запутанных частиц, вы бы смогли играть в эту игру идеально, выигрывая в 100% случаев. С носками так явно не получится – когда-нибудь все особенности носков закончатся. Но, как показала игра Слофстры, Вселенная может быть куда запутаннее, чем ящик с носками.

Бесконечна ли Вселенная?

Результат Слофстры шокировал учёных. Через одиннадцать дней после появления этой работы, специалист по информатике Скотт Ааронсон написал, что результат затрагивает «вопрос почти метафизической важности: а именно, какие эксперименты в принципе могут показать, является ли Вселенная дискретной или непрерывной?»

Ааронсон писал о различных состояниях, которые может принять Вселенная, где «состояние» – это определённая конфигурация всей её материи. У каждой физической системы есть пространство состояний, или список всех различных состояний, которые она может принять.


Уильям Слофстра, математик из университета Ватерлоо

Исследователи говорят об определённом количестве измерений у пространства состояний, отражающего количество независимых характеристик, которые можно настроить в системе. К примеру, пространство состояний есть даже у ящика с носками. Каждый носок можно описать цветом, длиной, материалом и изношенностью. Тогда у пространства состояний ящика с носками четыре измерения.

Сложный вопрос о физическом мире состоит в следующем: есть ли предел размеру пространства состояний Вселенной (или любой физической системы). Если предел есть, тогда неважно, насколько большой и сложной будет физическая система, сконфигурировать её можно будет только конечным количеством способов. «Вопрос в том, позволяет ли физика существовать физическим системам с бесконечным количеством свойств, независимых друг от друга, которые в принципе можно наблюдать», — сказал Томас Видик, специалист по информатике из Калифорнийского технологического института.

Пока что физики не определились с ответом. Более того, существуют две противоположных точки зрения.

С одной стороны, студентов на вводном курсе по квантовой механике учат думать в терминах пространств состояний с бесконечным количеством измерений. Моделируя местоположение электрона, движущегося по окружности, они назначают вероятность каждой точке окружности. Поскольку точек существует бесконечное количество, пространство состояний, описывающее местоположение электрона, будет иметь бесконечное количество измерений.

«Чтобы описать систему, нам нужен параметр для каждой возможной точки нахождения электрона, — сказал Юйэнь. – Точек бесконечно много, поэтому нам нужно бесконечно много параметров. Даже в одномерном пространстве (окружность) пространство состояний частицы имеет бесконечное количество измерений».

Но, возможно, идея о бесконечном пространстве измерений не имеет смысла. В 1970-х физики Якоб Бекенштейн и Стивен Хокинг подсчитали, что чёрная дыра является наиболее сложной физической системой во Вселенной, но даже и её состояние можно описать большим, но конечным количеством параметров – примерно 10⁶⁹ бит информации на квадратный метр её горизонта событий. Это число, предел Бекенштейна, говорит о том, что если уж чёрной дыре не требуется пространство состояний с бесконечным количеством измерений, то и ничему другому оно тоже не нужно.

Эти соревнующиеся понятия о пространствах состояний отражают фундаментально различающиеся взгляды на природу физической реальности. Если пространства состояний имеют конечное число измерений, то на мельчайшем масштабе природа должна быть пикселизированной. Но если электронам требуются пространства состояний с бесконечным числом измерений, физическая реальность по сути своей непрерывна даже на мельчайшем разрешении.

Так что же верно? Физики пока не дали ответ, но игра Слофстры, в принципе, может его обеспечить. Работа Слофстры предлагает способ провести разграничение: сыграйте в игру, которую можно выиграть в 100%, только если Вселенная позволяет существовать пространствам состояний с бесконечным количеством измерений. Если игроки будут выигрывать каждый раз, это значит, что они будут пользовать преимуществом таких корреляций, которые могут возникнуть только при измерении физических систем с бесконечным количеством независимо настраиваемых параметров.

«Он предлагает такой эксперимент, что если его получится реализовать, то мы сможем сделать вывод, что система, дающая наблюдаемую статистику, должна иметь бесконечное количество степеней свободы», — сказал Видик.

Однако для реализации эксперимента Слофстры есть определённые препятствия. К примеру, невозможно доказать, что лабораторный эксперимент верен в 100% случаев. «В реальном мире вы ограничены свойствами экспериментальной установки, — сказал Юйэнь. – Как различить результаты в 100% и 99,9999%?»

Однако, оставляя в стороне практические тонкости, надо признать, что Слофстра доказал наличие, по крайней мере, математического способа оценки фундаментальной особенности Вселенной, которая в ином случае осталась бы за пределами нашего кругозора. Когда Белл придумал свои нелокальные игры, он надеялся, что они будут полезными для зондирования одного из самых заманчивых явлений Вселенной. Через пятьдесят лет его изобретение обнаружило ещё большую глубину.