Как мужик квазигруппы искал (или Учи Python, а то будешь руками работать) / forpes.ru

Главная
Как мужик квазигруппы искал (или Учи Python, а то будешь руками работать)

Как мужик квазигруппы искал (или Учи Python, а то будешь руками работать) +3

31.05.2020 11:58

dfedchenko 8 2700 Источник

Совсем немного теории

Латинский квадрат — табличка, заполненная буквами так, что в каждой строке и в каждом столбце никакая не повторяется дважды.

$inline$	$inline$	$inline$
$inline$	$inline$	$inline$
$inline$	$inline$	$inline$

Такую таблицу называют еще таблицей умножения.Таким образом мы определили операцию умножения на упорядоченном множестве

$\{A, B, C\}$ . Например,

$A \times B = B$ или

$B \times C = A$ . Умножение, заданное с помощью такой таблицы, как правило некоммутативно (

$A\times B \neq B \times A$ ). В дальнейшем, определяя элемент

$A\times B$ по таблице, я буду смотреть пересечение сроки с порядковым номером элемента

$inline$ и столбца с порядковым номером элемента

$inline$ .

Латинский квадрат будем называть группой, если операция

$\times$ ассоциативна, т.е.

$A\times (B\times C) = (A\times B)\times C$ для всех возможных троек элементов. Приведенная выше таблица является групповой (хотите верьте, хотите проверьте). А вот латинский квадрат

$inline$	$inline$	$inline$
$inline$	$inline$	$inline$
$inline$	$inline$	$inline$

свойством ассоциативности не обладает (неассоциативный латинский квадрат будем называть квазигруппой). Действительно,

$C\times (B\times A) = A$ , а

$(C\times B)\times A = B$ . Далее идет сказ о том как мужик квазигруппы искал.

И совсем мало практики

Дальше изложение ведется с огромными пробелами, т.к. хочется показать нечто, не отвлекаясь пока на технические подробности. Внимание ко всем деталям потребует не одной статьи.

Рассмотрим множество перестановок на трех символах

$\{0,1,2\}$ (вышмат, привет):

$inline$ ,

$inline$ .

Выпишем таблицу умножения (это всем хорошо известная группа

$inline$ )

A B C D E F
B C A F D E
C A B E F D
D E F A B C
E F D C A B
F D E B C A

Напомню лишь как получить, например, элемент

$B\times D$

$B\times D = 120\times 021 = 102=F$

0>0 0>1 0>0>1
1>2 1>2 1>2>0
2>1 2>0 2>1>2

Множество

$\{A, B, C, D, E, F\}$ — группа, а

$\{A, B, C\}$ — подгруппа. Элементы

$inline$ ,

$inline$ и

$inline$ обладают свойством

$inline$ (элемент

$inline$ является единицей группы). Осталось заметить, что если на множестве

$Q = \{D, E, F\}$ ввести умножение по правилу

$X\circ Y = {\rm proj}(X\times Y), \,\, X, Y \in Q,$

${\rm proj}: A\mapsto D, B\mapsto E, C\mapsto F,$

то мы получим квазигруппу

D E F
F D E
E F D

Ура! Маленькая удача: у нас в кармане вполне конкретная квазигруппа, элементы которой составляют подмножество группы

$inline$ . Идем дальше. Рассмотрим группу

$inline$ . Давайте найдем все перестановки

$X \in S_6$ со свойством

$inline$ , где

$inline$ — тождественная перестановка.

F=[]
A=[]
B=[]
C=[]
for i in range(720):
        A=list(G[i])
        B=list(Q[i])
        for k in range(6):
                C.append(A[B[k]])
        if C==[0, 1, 2, 3, 4, 5]:
                F.append(list(A))
                C=[]
        else:
                C=[]
d=len(F)
for j in range(d):
        print(str(F[j]))

Здесь G и Q — одинаковые списки, содержащие все 720 перестановок на 6 символах. Программа выдает следующий список перестановок (перестановки со свойством

$inline$ будем называть инволюциями).

[3, 4, 5, 0, 1, 2]
[5, 1, 2, 3, 4, 0]
[0, 1, 2, 3, 4, 5]
[1, 0, 2, 3, 4, 5]
[0, 4, 5, 3, 1, 2]
[3, 1, 2, 0, 4, 5]
[2, 5, 0, 3, 4, 1]
[5, 3, 4, 1, 2, 0]
[0, 3, 4, 1, 2, 5]
[4, 1, 2, 5, 0, 3]
[0, 1, 4, 5, 2, 3]
[1, 0, 4, 5, 2, 3]
[4, 5, 2, 3, 0, 1]
[2, 3, 0, 1, 4, 5]
[0, 5, 2, 4, 3, 1]
[2, 4, 0, 3, 1, 5]
[0, 3, 5, 1, 4, 2]
[0, 4, 2, 5, 1, 3]
[0, 5, 3, 2, 4, 1]
[4, 1, 5, 3, 0, 2]
[4, 1, 3, 2, 0, 5]
[0, 1, 3, 2, 5, 4]
[1, 0, 3, 2, 5, 4]
[5, 2, 1, 4, 3, 0]
[0, 2, 1, 4, 3, 5]
[2, 1, 0, 4, 3, 5]
[0, 5, 4, 3, 2, 1]
[5, 4, 3, 2, 1, 0]
[0, 4, 3, 2, 1, 5]
[4, 3, 2, 1, 0, 5]
[0, 3, 2, 1, 5, 4]
[3, 2, 1, 0, 5, 4]
[0, 2, 1, 5, 4, 3]
[2, 1, 0, 5, 4, 3]
[0, 1, 5, 4, 3, 2]
[1, 0, 5, 4, 3, 2]
[4, 2, 1, 3, 0, 5]
[0, 2, 1, 3, 5, 4]
[2, 1, 0, 3, 5, 4]
[3, 5, 4, 0, 2, 1]
[5, 2, 1, 3, 4, 0]
[0, 2, 1, 3, 4, 5]
[2, 1, 0, 3, 4, 5]
[4, 5, 3, 2, 0, 1]
[5, 3, 2, 1, 4, 0]
[0, 3, 2, 1, 4, 5]
[3, 2, 1, 0, 4, 5]
[0, 1, 5, 3, 4, 2]
[1, 0, 5, 3, 4, 2]
[3, 4, 2, 0, 1, 5]
[4, 2, 1, 5, 0, 3]
[2, 4, 0, 5, 1, 3]
[5, 1, 3, 2, 4, 0]
[0, 1, 3, 2, 4, 5]
[1, 0, 3, 2, 4, 5]
[5, 1, 4, 3, 2, 0]
[0, 1, 4, 3, 2, 5]
[1, 0, 4, 3, 2, 5]
[3, 5, 2, 0, 4, 1]
[0, 5, 2, 3, 4, 1]
[3, 1, 4, 0, 2, 5]
[5, 4, 2, 3, 1, 0]
[0, 4, 2, 3, 1, 5]
[2, 3, 0, 1, 5, 4]
[3, 1, 5, 0, 4, 2]
[5, 1, 2, 4, 3, 0]
[0, 1, 2, 4, 3, 5]
[1, 0, 2, 4, 3, 5]
[4, 3, 5, 1, 0, 2]
[3, 1, 2, 0, 5, 4]
[0, 1, 2, 5, 4, 3]
[1, 0, 2, 5, 4, 3]
[2, 5, 0, 4, 3, 1]
[4, 1, 2, 3, 0, 5]
[0, 1, 2, 3, 5, 4]
[1, 0, 2, 3, 5, 4]

На этом мой программистский запал почти иссякает и я продолжаю работу в полуручном режиме. Из 76 инволюций я оставил только 36 (на то были свои причины). Перемножил их

#G*Q
Q=[[5, 2, 1, 3, 4, 0],
[0, 2, 1, 3, 4, 5],
[2, 1, 0, 3, 4, 5],
[4, 5, 3, 2, 0, 1],
[5, 3, 2, 1, 4, 0],
[0, 3, 2, 1, 4, 5],
[3, 2, 1, 0, 4, 5],
[0, 1, 5, 3, 4, 2],
[1, 0, 5, 3, 4, 2],
[3, 4, 2, 0, 1, 5],
[4, 2, 1, 5, 0, 3],
[2, 4, 0, 5, 1, 3],
[5, 1, 3, 2, 4, 0],
[0, 1, 3, 2, 4, 5],
[1, 0, 3, 2, 4, 5],
[5, 1, 4, 3, 2, 0],
[0, 1, 4, 3, 2, 5],
[1, 0, 4, 3, 2, 5],
[3, 5, 2, 0, 4, 1],
[0, 5, 2, 3, 4, 1],
[3, 1, 4, 0, 2, 5],
[5, 4, 2, 3, 1, 0],
[0, 4, 2, 3, 1, 5],
[2, 3, 0, 1, 5, 4],
[3, 1, 5, 0, 4, 2],
[5, 1, 2, 4, 3, 0],
[0, 1, 2, 4, 3, 5],
[1, 0, 2, 4, 3, 5],
[4, 3, 5, 1, 0, 2],
[3, 1, 2, 0, 5, 4],
[0, 1, 2, 5, 4, 3],
[1, 0, 2, 5, 4, 3],
[2, 5, 0, 4, 3, 1],
[4, 1, 2, 3, 0, 5],
[0, 1, 2, 3, 5, 4],
[1, 0, 2, 3, 5, 4]]
#
G=[[5, 2, 1, 3, 4, 0],
[0, 2, 1, 3, 4, 5],
[2, 1, 0, 3, 4, 5],
[4, 5, 3, 2, 0, 1],
[5, 3, 2, 1, 4, 0],
[0, 3, 2, 1, 4, 5],
[3, 2, 1, 0, 4, 5],
[0, 1, 5, 3, 4, 2],
[1, 0, 5, 3, 4, 2],
[3, 4, 2, 0, 1, 5],
[4, 2, 1, 5, 0, 3],
[2, 4, 0, 5, 1, 3],
[5, 1, 3, 2, 4, 0],
[0, 1, 3, 2, 4, 5],
[1, 0, 3, 2, 4, 5],
[5, 1, 4, 3, 2, 0],
[0, 1, 4, 3, 2, 5],
[1, 0, 4, 3, 2, 5],
[3, 5, 2, 0, 4, 1],
[0, 5, 2, 3, 4, 1],
[3, 1, 4, 0, 2, 5],
[5, 4, 2, 3, 1, 0],
[0, 4, 2, 3, 1, 5],
[2, 3, 0, 1, 5, 4],
[3, 1, 5, 0, 4, 2],
[5, 1, 2, 4, 3, 0],
[0, 1, 2, 4, 3, 5],
[1, 0, 2, 4, 3, 5],
[4, 3, 5, 1, 0, 2],
[3, 1, 2, 0, 5, 4],
[0, 1, 2, 5, 4, 3],
[1, 0, 2, 5, 4, 3],
[2, 5, 0, 4, 3, 1],
[4, 1, 2, 3, 0, 5],
[0, 1, 2, 3, 5, 4],
[1, 0, 2, 3, 5, 4]]
#
F=[]
H=[]
A=[]
B=[]
C=[]
q=len(Q)
for i in range(36):
        A=list(G[i])
        for j in range(q):
                B=list(Q[j])
                for k in range(6):
                        C.append(A[B[k]])
                F.append(list(C))
                C=[]
        H.append(list(F))
        F=[]

#for i in range(36):
for j in range(36):
        print(str(H[j]))
        #print('New line')

Самым сложным было запихать все в электронную таблицу. И вот! Он! Долгожданный результат!

Цветом отмечены квазигруппы. Я не комментирую более результат, т.к. получен он на коленке, по принципу «Пойди туда, не зная куда. Принеси то, не зная что (ну т.е. квазигруппу)». Далее можно брать группы

$inline$ , где

$inline$ — большое число. Однако, без теории вся эта деятельность бесперспективна.

Кое-что еще я рассказываю здесь и здесь.

Комментарии (8)

EzikBro
31.05.2020 23:48
#21683324
+1
А зачем вообще искать эти квазигруппы? Где вы желаете применить полученный результат?
1. dfedchenko Автор
  01.06.2020 01:39
  #21683560
  Это пока очень малоизученная структура. Если открыть библию по алгебре — книгу Ленга, то на первых страницах вы прочтете: возьмем ассоциативное умножение и тп и тд со всеми остановками. Квазигруппы же! Пока это просто игрушка. Знаю математиков, которые занятия квазигруппами считали бессовестными)
  
  А если без шуток, то часто описанием группы называют описание всех ее подгрупп. А я вижу, что квазигруппы сидят в группах (вернее это было подсмотрено мной у умных людей). Вопрос: можно ли более тонко описать группу через её вложенные квазигруппы.

opetrenko
01.06.2020 02:01
#21683602
Дальше изложение ведется с огромными пробелами

Как по мне все изложение — один большой пробел.
каким образом вводится умножежение?
каким образом лат. квадрат его определяет?
особенно повеселило:
Напомню лишь как…
1. dfedchenko Автор
  01.06.2020 05:21
  #21683718
  Я думал, что тему умножение перестановок в вузе все пооходили. В любом случае, спасибо за мнение. Будем стараться становиться лучше с вашей помощью.
  1. Deepwalker
    01.06.2020 10:39
    #21684274
    Только специализированные факультеты. Для расчета электрических схем теория групп вроде не применяется. По крайней мере на том уровне, что был в моем институте, группы нигде не выскочили. А уж тем более ценнейшие перестановки.
    
    dfedchenko Автор
    01.06.2020 10:50
    #21684318
    Я не против. Не являюсь свидетелем теории групп (хотя не мешало бы рассказать о ней всем, хотя бы на уровне умножения перестановок). Да и не о том речь) Проблема ведь только в моей подаче, а она не идеальна, я согласен. А теория групп переживет.
    
    opetrenko
    01.06.2020 20:39
    #21687154
    да, ваша статья и её мотивация была бы понятна не только мех.матам и физ.факам :) Да и тем напомнить полезно.
    6 семестров ландафшица — не сталкивался. Хотя я в свои конспекты смотрю, а вижу манускрипт войнича.
    Спасибо
    
    dfedchenko Автор
    02.06.2020 03:49
    #21688082
    Я совсем уже ничего не понимаю) Если вас статья никак не задевает, то это нормально. Пройдите мимо и найдите, что интересно вам и во что вы с удовольствием вникните.

Как мужик квазигруппы искал (или Учи Python, а то будешь руками работать) +3

Комментарии (8)

EzikBro

dfedchenko Автор

opetrenko

dfedchenko Автор

Deepwalker

dfedchenko Автор

opetrenko

dfedchenko Автор