03.11.2020 04:18
zzeng 5 4100 Источник
Оболочка Мандельброта


Созерцание фракталов завораживает, особенно это относится к предмету данной статьи, который демонстрирует вдобавок ко всему еще и изрядное разнообразие. Впрочем, не менее интересно попытаться разобраться, откуда что берётся, как из одного, в сущности, (пусть и комплексного) числа рождается всё это великолепие.
Если любопытно, добро пожаловать под кат.

О чём вообще речь


Множество Мандельбро?та — это «множество таких точек C на комплексной плоскости, для которых рекуррентное соотношение $Z_{n+1} = Z_n^2 + C$ при $Z_0=0$ задаёт ограниченную последовательность» (вики).

Иными словами, на каждом шаге число возводится в квадрат и к нему добавляется константа. Начальное значение всегда (0, 0i), варьируется именно константа. Если за определенное число шагов последовательность осталась в заданных пределах, то значение константы принадлежит множеству. Выглядит это так:

image
Фиг.1 Множество Мандельброта в координатах — реальная и мнимая части константы. Отсюда.

Чаще действуют по другому — фиксируют радиус и для каждого значения константы подсчитывают число итераций, за которое последовательность до него добралась. Это позволяет раскрасить пограничные области множества, не принадлежащие, впрочем, самому множеству.

Вот так, например:

image
Фиг.2 Типичная цветовая схема

И откуда же всё это берется?

Нельзя просто так вот взять и ответить на этот вопрос.

Начнём с малого, изучим простую казалось бы операцию — возведение в квадрат.

Основа, $Z>Z^2$


Итак, что же это за возведение в квадрат комплексного числа, ведь именно оно лежит в основе наблюдаемой магии?

Комплексные числа будем рассматривать как двумерный вектор из реальной и мнимой части (что бы это ни означало) либо в полярных координатах как пару длина — угол.

Формула Муавра утверждает, что возведение комплексного числа в квадрат приводит к возведению длины в квадрат, угол при этом удваивается.

image
Фиг.3 Стартуем с угла 0.001 рад

Вот первые 12 итераций возведения в квадрат комплексного числа с длиной 1 и углом — 0.001 рад, где угол отсчитывается от действительной единицы против часовой стрелки. Когда угол превышает 2?, используется остаток от деления. Отрицательные углы тоже в деле.

Какие особенности есть у последовательности $Z>Z^2$?

  1. Поскольку значение длины на каждой итерации возводится в квадрат, любое комплексное число с длиной меньше единицы стремится в центр координат.
  2. Аналогично, любая последовательность со стартовой длиной больше единицы тут же стартует в бесконечность.
  3. Интерес представляют лишь точки, расположенные на единичной окружности.
  4. Точка (1, 0i) стационарная, угол равен 0 (или 2?), с неё последовательность не может уйти.
  5. Точка (-1, 0i) соответствует углу в ?, на следующей итерации превращается в 2? и становится стационарной.
  6. Обобщим, точки с углом ±$\pi/2^n$ (n — целое неотрицательной число) также рано или поздно попадают в стационарную точку. Как и точки $\pi±\pi/2^n$. Для отрицательных n — они уже там.
  7. Точки с углом $±\pi/n$ (n — целое число, не являющееся степенью 2) образуют устойчивые циклы

    image
    Фиг.4 Последовательности для начальных углов в ?/3, ?/5, ?/7, ?/11

    Забавно, циклы для ?/n образуются по углам правильного n-угольника с одним из углов в стационарной точке (1,0i), но этот угол не посещается. Это проистекает из того, что, например, ($2^n\mod{13} $) не может породить 0, а только лишь числа от 1 до 12.

    Но это всё простые делители. Попробуем что-нибудь непростое и нечётное.

    image
    Фиг.5 Последовательности для начальных углов в ?/9, ?/15, ?/21.

    Похоже, все рациональные делители образуют устойчивые циклы.
  8. Точки со стартовыми углами в ±?/x (x — иррациональное число) не образуют циклов и заметают всю окружность.

    image
    Фиг.6 Последовательность с началом в 0.001 рад

    Здесь показаны первые 500 и 5000 точек из уже знакомой последовательности, начинающейся с угла 0.001 радиана.

    Отлично видно проявившуюся кардиоидо-подобную структуру. Происхождение её очевидно, если поделить единичный круг на 8 секторов

    image
    Фиг.7 Сектора

    то в силу удвоения угла,
    точки из сектора 1 могут попасть только в сектор 2 (или остаться в 1)
    точки из сектора 2 могут попасть в сектора 3 и 4
    точки из сектора 3 могут попасть в сектора 5 и 6
    точки из сектора 4 могут попасть в сектора 7 и 8

К слову сказать, чтобы получить последовательность из 5000 адекватных значений, пришлось работать с точностью до 2000 значащих цифр. Фактически, каждая итерация последовательности приводит (грубо, за счет использования остатка от деления угла) к потере одного старшего разряда и подтягиванию одного разряда снизу, из “великого ничто”. Понятно, в “великом ничто” точность неограниченна, нам же приходится работать с конечными объемами данных.

Малые возмущения


Сейчас немного отойдём от чистого $Z>Z^2$ в сторону исходной задачи. На каждой итерации станем подмешивать константу. Правда, стартовая точка будет не в начале координат, а на единичной окружности. В результате можно работать с очень маленькими константами, ведь в этом случае не требуется вытаскивать последовательность на окружность для демонстрации нетривиального поведения.

Константа — это просто вектор из начала координат. В зависимости от того, где находится текущая итерация последовательности на единичной окружности, константа действует по-разному. Иные точки она “задувает” внутрь “кратера”, другие “сдувает” наружу. От баланса этих воздействий зависит, удержится ли последовательность в окрестностях единичной окружности или же безвозвратно уйдёт с дистанции.

Начнём со знакомой точки 0.001 радиана.

image
Фиг.8 Траектории при малых реальных отклонениях от 0.001 рад

Всего 58 итераций потребовалось, чтобы сойти с единичного круга и стремиться в бесконечность в случае константы (0, i*1e-15). При константе (0, i*-1e-15), последовательность ушла в 0 на 62 шагу.

image
Фиг.9 Окрестность 0 константы для стартовой точки 0.001 рад

Здесь показано, на какой итерации последовательность пересекла круг с радиусом 2 в зависимости от величины комплексной константы. Шаг $10^{-20}$. Отметим следующее:

  • Стартовая точка (длина 1, угол 0.001 рад) очень близка к горизонтальной оси. Соответственно, единичная окружность проходит через нее почти вертикально.
  • Первые несколько точек последовательности очень близки к стартовой, поэтому константа суммируется с ними одинаково.
  • Фактически, направление вектора константы однозначно определяет, в какую сторону соскользнёт последовательность.

image
Фиг.10 Окрестность 0 константы для стартовой точки 1?? рад

Здесь показан старт последовательности с точки с углом 1??, это одна из точек цикла со стартом в ?/3. Цикл состоит из двух точек — ? и 1??. Казалось бы, константа должна разнонаправленно действовать на эти точки, нивелируя саму себя. Но нет, никакой интриги и тут не видно. Куда направлен вектор константы по отношению к первой точке последовательности, туда и “сдувает” траекторию.

Пожалуй, на этом мы закончим с $Z>Z^2$,
в следующий раз займёмся центральной кардиоидой.

Сегодня мы уже встречались с кардиоидой, есть ли между ними связь или просто совпадение?
А может это сигнал «для тех кто понимает»?

P.S.: на заглавной иллюстрации оболочка Мандельброта — обобщение на трёхмерный случай.

P.P.S.: для вычислений с произвольной точностью была использована библиотека MAPM.

P.P.P.S.: иллюстрации сделаны с помощью gnuplot.