Автор сегодняшних загадок – японский создатель логических и математических головоломок Тадао Китадзава. За двадцать лет работы он породил несколько оригинальных идей, а также смог по-новому взглянуть на уже устоявшиеся традиции.
Он считает, что суть головоломки в том, чтобы получить удовольствие, работая с ограниченным количеством информации. Он любит придумывать загадки, которые на первый взгляд кажутся сложными, но оказываются довольно простыми после того, как вы нащупаете верное направление.
1. Гостиница для животных
В гостинице для животных есть комнаты, расположенные в ряд и пронумерованные от 1 до 5. В каждой из комнат селят только одно животное. В каждой комнате есть собственный выключатель для света. Ночью особо нервные животные оставляют свет включённым, а те, кто чувствует себя спокойно, выключают его. В каждой из пяти комнат обязательно живёт либо собака, либо кошка, и каждое утро все они съезжают, освобождая «номера».
А) Вечером в субботу любая собака в отеле нервничает тогда и только тогда, когда в обеих комнатах, соседних с её комнатой, ночуют кошки. Любая кошка нервничает тогда и только тогда, когда хотя бы в одной из соседних с нею комнат ночует собака. Снаружи видно, что свет горит в четырёх комнатах. Сколько кошек ночует в отеле в субботу?
Б) Вечером в воскресенье любая собака в отеле нервничает тогда и только тогда, когда в обеих комнатах, соседних с её комнатой, ночуют другие собаки. Любая кошка нервничает тогда и только тогда, когда хотя бы в одной из соседних с нею комнат ночует другая кошка. Снаружи видно, что свет горит лишь в одной комнате. Сколько кошек ночует в воскресенье?
Б) 2 кошки
Рассмотрим три случая.
1) Света нет в комнате №3. Допустим, там ночует кошка. Тогда в комнатах 2 и 4 должны ночевать кошки. Они нервничают, значит, в комнатах 1 и 5 ночуют собаки. Собаки не нервничают, поэтому комнаты 1 и 5 должны быть тёмными – противоречие. Допустим, в комнате 3 ночует собака. Тогда хотя бы в одной из комнат 2 и 4 ночует собака. Они не могут нервничать, поэтому выключили бы свет – противоречие.
2) Света нет в комнатах 2 или 4. Допустим, это комната №2, и там ночует кошка. Тогда в комнатах 1 и 3 должны быть кошки. Но тогда кошка в комнате №1 не будет нервничать – противоречие. Допустим, в комнате 2 ночует собака. Тогда собака должна быть хотя бы в одной из комнат, 1 или 3, но в таком случае она не будет нервничать – противоречие. Начав с комнаты с номером 4, мы придём к такому же выводу.
3) Света нет в комнатах 1 или 5. Допустим, это комната №1. Допустим, там ночует кошка. Тогда в комнате 2 тоже ночует кошка, тогда в комнате 3 ночует собака, а в комнате 4 – кошка. В комнате 5 может ночевать собака или кошка, но она в любом случае нервничать не будет, и выключит свет — противоречие. Теперь допустим, в комнате №1 ночует собака. Если в комнате 2 ночует собака, она не будет нервничать, и выключит свет – противоречие. Значит, в комнате 2 ночует кошка. Если в комнате 3 ночует собака, тогда в комнате 4 должна ночевать кошка, и тогда, кто бы ни ночевал в комнате 5, он должен выключить свет. Противоречие.
Допустим тогда, что в комнате №1 ночует собака. Тогда в комнате 2 должна ночевать кошка, поскольку, если бы там была собака, кошка бы не нервничала. Если в комнате 3 ночует собака, то она будет нервничать, только если в комнате 4 будет ночевать кошка, которая также будет нервничать. Однако получится, что кто бы ни ночевал в комнате 5, нервничать он не будет – противоречие. Тогда в комнате 3 ночует кошка, в комнате 4 ночует собака, а в комнате 5 – кошка. Такой вариант работает, и получается, что в отеле ночуют 3 кошки.
Б) Аналогичный процесс рассуждений поможет вам установить, что такой вариант возможен, когда свет горит в комнате №3, и в отеле ночуют кошка, собака, собака, собака и кошка. Итого – 2 кошки.
2. Теория рукопожатий
В комнате шестеро детей играют в рукопожатия. По правилам игры, пожимают друг другу руки только дети разных полов. Четыре ребёнка пожали руки ровно двум другим детям каждый. Оставшиеся двое пожали руки ровно трём другим детям каждый. Пожали ли эти оставшиеся двое детей руки друг другу?
Сначала разберёмся, сколько в комнате мальчиков и девочек. Там не может быть только одного мальчика, поскольку тогда пожать руки нескольким детям смог бы только один ребёнок, а по условиям задачи каждый ребёнок пожал руку другому больше одного раза. Если мальчиков двое, тогда именно эти ребята жали бы руки трём остальным ребятам, а каждая из четырёх девочек пожала бы руки двум оставшимся детям. Но тогда бы каждая из девочек пожала бы руки обоим мальчикам, то есть мальчики жали бы руки четырём детям – а это не сходится с условием задачи. Получается, мальчиков в комнате не менее трёх. Если повторить эти рассуждения для девочек, получится, что и девочек в комнате не меньше трёх. Следовательно, в комнате три мальчика и три девочки.
Теперь посмотрим, одного ли пола та парочка детей, которые пожимают руки ровно трём другим детям.
1) Допустим, это две девочки. Тогда каждая из них жмёт руки каждому мальчику, и это уже по два рукопожатия у каждого мальчика. Третьему мальчику рукопожатий не хватает – получается, это не работает.
2) Допустим, это дети разных полов. Если так, им нужно пожать руки друг другу. Вот как можно распределить рукопожатия. Если A, B и C – это девочки, а X, Y и Z – мальчики, тогда рукопожатия будут выглядеть так: AX, AY, AZ, BX, CX, BY, CZ.
3. Игра с удачей
Трём девочкам, Акари, Сакуре и Юи, раздали по положительному целому числу, которое они держат в секрете. Им сообщили, что сумма этих чисел равняется 12. По условиям игры, девочке «везёт», если её число самое большое из трёх. Возможно, что везёт одной, двум или всем трём девочкам.
Акари говорит: Я не знаю, кому из нас везёт.
Сакура говорит: Я тоже не знаю, кому из нас везёт.
Юи говорит: Я тоже не знаю, кому из нас везёт.
Акари говорит: А теперь я знаю, кому повезло!
Кому?
Если Акари не знает, кому повезло, получается, что её число не превышает 5. Если бы у неё было 6 или больше, она бы точно знала, что повезло ей, потому что у двух других девочек не могло бы быть чисел 6 или больше.
По той же логике у Сакуры и Юи числа тоже не превышают 5. Когда все сообщили об этом, становится понятно, что ни у кого из них число не превышает 5.
Им известно, что сумма чисел равняется 12. Комбинаций из трёх чисел, не превышающих 5 и дающих в сумме 12, существует всего 10:
А С Ю
5 5 2
5 2 5
2 5 5
5 4 3
5 3 4
4 5 3
4 3 5
3 5 4
3 4 5
4 4 4
В первом варианте Юи поняла бы, что повезло двум другим девочкам. Есть ещё три варианта, в которых у Акари число 5, три варианта, в которых у неё 4, два варианта с 3, и один с 2. Поскольку она смогла догадаться, кому повезло, у неё должна быть 2 – в противном случае было бы непонятно, у кого какое число. А если у неё 2, то у двух других – по 5, а значит, повезло Сакуре и Юи.
Комментарии (10)
nekojiru-soup
20.09.2022 16:28+1Хорошие загадки. Подсуну своим мелким.
И вроде нашлось еще 1 решение для "Гостиницы для животных, вариант Б"
Решение: СССКС, свет в комнате 2.
Проверка:
Пусть свет горит в комнате 2.
Допустим, это собака.
Раз она нервничает, значит рядом с ней тоже собаки. То есть, в комнатах 1 и 3 — собаки.
Собака в комнате 1 не может нервничать, поскольку рядом с ней только 1 собака. Нет противоречия.
Собака в комнате 3 не нервничает, если рядом с ней только 1 собака (в комнате 2). Значит, в комнате 4 — кошка. Пока нет противоречия.
Кошка в комнате 4 не нервничает, если с ней рядом нет других кошек. Так что в комнате 5 — собака. Нет противоречий.
Собака в комнате 5 не нервничает, так как с ней рядом только кошка (в комнате 4). Нет противоречий.
Решение верно.
karavan_750
20.09.2022 16:52+2Пусть свет горит в комнате 2.
Допустим, это собака.Можно не допускать, а утверждать на основании того, что две кошки в соседних комнатах подсвечивали бы две комнаты.
adeshere
20.09.2022 19:42+6Честно говоря, меня удивило решение задачи 1 от автора. Зачем рассматривать варианты с комнатами? Это похоже на перебор, и масштабируется с трудом....
Не проще ли поискать ограничения сверху и снизу?
Вариант 1А: может ли в отеле быть 5 кошек? Нет, тогда они не станут беспокоиться и включать свет. А четыре? Нет, тогда собака всего одна и беспокоиться будут максимум две кошки. Итого, кошек не больше трех.
Теперь другая крайность: 0 кошек - понятно, что не годится. 1 кошка - тоже не годится, так как беспокоиться будет только она одна (собаку одной кошкой не напугаешь). А как насчет двух кошек? Вдвоем они могут забеспокоить не больше одной собаки. Получаем одну БС и две БК - итого три комнаты со светом.
Итого: кошек больше двух, но не больше трех. Ответ = 3.
------
Аналогично решаем вариант 1Б, хотя тут не так красиво выходит (но все равно лучше, чем перебором):
Во-первых, две кошки не могут жить рядом: тогда они будут беспокоиться обе и получится больше одной БК. Отсюда сразу следует, что кошек три, две или одна, причем вариант с тремя кошками-не-соседями только один: К-С-К-С-К. Но тут ноль БК, ноль БС, не годится.
Итого, кошек не более двух, и они не соседи.
Теперь смотрим с другого конца: ноль кошек - не годится (имеем 3 БС).
С одной кошкой придется помучиться, так как она может жить в крайней комнате (получаем линейку С-С-С-С и пару БС), во второй от края (имеем С-К-С-С-С и одну БС; это решение!) и в центре (С-С-К-С-С, ноль БС).
Остается проверить двух кошек. Поскольку они не соседи, то должна быть ровно одна БС. При этом мы уже знаем, что собак всего три. Чтобы одна из них оказалась между другими, они должны жить подряд: С-С-С. Итого, получаем второе решение: К-С-С-С-К.
Ответ: в воскресенье в отеле могут жить либо одна кошка, либо две сразу.
--------
Ну и теперь про масштабирование на случай, когда комнат больше 5. Для обоих вариантов задачи кажется правдоподобным, что если мы нашли два крайних решения (с минимально возможным Кmin и максимально возможным Kmax числом кошек, то и все значения между Кmin и Kmax тоже будет решениями. Для доказательства этого утверждения надо рассмотреть манипуляции с крайними комнатами. Правда, там много вариантов (и они разные в А и Б), так что я поленился их все рассмотреть. Но из здравого смысла кажется, что утверждение верное ;-)
P.S.
Б) Аналогичный процесс рассуждений поможет вам установить, что такой вариант возможен, когда свет горит в комнате №3, и в отеле ночуют кошка, собака, собака, собака и кошка. Итого – 2 кошки.
Забыл уточнить, что автор при формулировке ответа "Б" мудро не утверждает, что кошек ровно две. Он только говорит, что из может быть две. Так что его ответ правильный, хотя и не полный ;-)
Vsevo10d
21.09.2022 01:43Не проще ли поискать ограничения сверху и снизу?
Вариант 1А: может ли в отеле быть 5 кошек? Нет, тогда они не станут беспокоиться и включать свет. А четыре? Нет, тогда собака всего одна и беспокоиться будут максимум две кошки. Итого, кошек не больше трех.
Теперь другая крайность: 0 кошек - понятно, что не годится. 1 кошка - тоже не годится, так как беспокоиться будет только она одна (собаку одной кошкой не напугаешь). А как насчет двух кошек? Вдвоем они могут забеспокоить не больше одной собаки. Получаем одну БС и две БК - итого три комнаты со светом.
Итого: кошек больше двух, но не больше трех. Ответ = 3.
Блин. А мне такое даже в голову не пришло. Привык логику уничтожать логикой - строить ветви вариантов.
Хотя тут реально скорее повезло с количеством вариантов - ваш подход позволяет решить задачу в идеальном случае, а в общем - сократить число рассматриваемых вариантов.
stone_evil
21.09.2022 10:44+1Я, честно говоря, при прочтении первой задачи вообще сначала подумал, что соль задачи в строении гостиницы должна быть, она как колизей, и комната 5 граничит не только с комнатой 4, но и с комнатой 1. Был разочарован. Хотя в самой задаче нигде про архитектуру ни слова, может она такой и была, тогда все решения неправильные )
adeshere
20.09.2022 20:41+4Кажется, автор задачек не совсем точно их сформулировал, либо его не так поняли. Вторую задачку я не решал, так как не знаю правила игры, а вот с третьей явно есть какая-то неточность в условиях.
Итак, давайте решать поставленную задачу. Для начала заметим, что у всех трех девочек числа не больше 5. Иначе одна из них сразу же поняла бы, что выиграла. Первый шаг автора верный.
А вот дальше автор зачем-то опять скатывается в перебор вариантов, которых:
а) достаточно много, и которые
б) очень странно упорядочены в его таблице.Но главное, в ходе этого перебора он еще и совершает ошибку (что не удивительно при таком числе вариантов).
А давайте упростим задачу, и сделаем перебор только по числу Акари = А?
Для начала, рассмотрим случай 5-x-y. После первого круга ответов известно, что ни у кого нет числа 6 или больше. Но тогда любой обладатель числа 5 точно знает, что ему повезло. Так как и в варианте 5-5-2, и в варианте 5-4-3 он среди выигравших. Таким образом, если А=5, после первого круга ответов Акари точно знает, что ей повезло. И вполне может об этом заявить:
"А теперь я знаю, кому повезло!" (в том смысле, что везунчик - она; причем не важно, единственный или в паре - ее утверждение все равно верное).
Теперь рассмотрим остальные возможные значения А. Понятно, что в случае А = 4 Акари не может знать победителя. Ведь тут возможны и 444, и 453, и 435, и все они не противоречат первому кругу ответов.
Если же А < 4, то Акари заведомо проиграла. А в этом случае выиграть должны обе ее соперницы (т.к. в силу симметрии нет способа узнать, кто из них победил). То есть С=Ю. Поэтому любые нечетные значения А решением не являются (тогда С /= Ю). А среди четных решением могут быть только те, для которых невозможно С /= Ю.
В итоге нам достаточно проверить всего два варианта: А=4 и А=2. Первый случай не годится, так как имеется контрпример А=4, С&Ю = 5+3.
В варианте А=2 сумма формируется единственным образом: 2+5+5. Контрпримера с неодинаковыми С и Ю не существует в силу ограничения С,Ю < 6. Получаем второе решение А=2, С=Ю=5. Которое правильно найдено и указано автором.
Только вот оно опять не единственное...
P.S. Сообразил, как исправить условие третьей задачки! Акари должна заявить:
"А теперь я знаю всех, кому повезло!"
Тогда вариант А=5 не прокатывает, и решение 2,5,5 станет единственным!P.P.S. И вдогонку еще одно дополнение, усложняющее задачу: пускай на втором круге Акари и Сакура все еще говорят: "Я тоже не знаю, кому из нас везёт". И только Юи говорит, что знает, кто победил. Тогда остается единственный возможный вариант распределения 4-4-4 (и победили все трое).
В этом варианте интересно, что первый круг ответов "не знаю..." и второй круг ответов "не знаю.." дают разную информацию. Получается вполне себе задачка со звездочкой для тех, кому авторский вариант слишком простой ;-)
Squoworode
21.09.2022 10:50очень странно упорядочены
И вовсе нет.
Сначала идут варианты 552: хх2, х2х, 2хх.
Потом - 543: отсортированы по убыванию первого числа, для каждого варианта остальные числа идут сначала по убыванию, потом - зеркальная пара.
В конце - 444.
maty
22.09.2022 00:45+1По условиям игры, девочке «везёт», если её число самое большое из трёх.
Самое большое звучит как строгое неравенство.
Видимо, "самое большое из трех" нужно заменить на "не меньше чем каждое из оставшихся".
WelterAppleseed
По поводу пункта Б в первой задачке - а что мешает расположить животных так: СКССС? Зачем располагать обязательно двух кошек, если можно обойтись одной?
Plovchik
Я тоже так расположил - 1 кошка в итоге, когда посмотрел ответ удивился. Может в задаче имелось ввиду найти максимально допустимое количество кошек которое может быть? Из-за перевода смысл немного исказился.