Высокочастотный трейдинг [англ. High-frequency trading, HFT-trading] сегодня оказывает большое влияние на современные финансовые рынки. Еще 20 лет назад большая часть торгов проходила на биржах, к примеру, на Нью-Йоркской фондовой бирже, где люди, одетые в яркие костюмы, активно жестикулировали и выкрикивали свои предложения о покупке или продаже ценных бумаг. Сегодня торговля, как правило, осуществляется с помощью электронных серверов в дата-центрах, где компьютеры обмениваются предложениями о покупке и продаже путем передачи сообщений по сети. Этот переход от торговли в операционном здании биржи к электронным платформам был особенно выгоден HFT-компаниям, которые инвестировали много средств в необходимую для торговли инфраструктуру.

Несмотря на то, что место и участники торговли внешне сильно изменились, цель трейдеров – как электронных, так и обычных – осталась неизменной – приобрести актив у одного предприятия/трейдера и продать его другому предприятию/трейдеру по более высокой цене. Основное отличие традиционного трейдера от HFT-трейдера состоит в том, что последний может торговать быстрее и чаще, и время удержания портфеля у такого трейдера очень низкое. Одна операция стандартного HFT-алгоритма занимает долю миллисекунды, с чем не могут сравниться традиционные трейдеры, так как человек моргает примерно раз в 300 миллисекунд. По мере того, как HFT-алгоритмы конкурируют между собой, они сталкиваются с двумя проблемами:

• Каждую микросекунду они обрабатывают большой объем данных;
• Им нужно уметь очень быстро реагировать на основе этих данных, потому что прибыль, которую они могут извлечь из принимаемых ими сигналов, снижается очень быстро.

Онлайн-алгоритмы представляют собой обычный класс алгоритмов, которые можно применять в HFT-трейдинге. В таких алгоритмах новые входные переменные поступают последовательно. После обработки каждой новой входной переменной алгоритм должен принять конкретное решение, например, выставлять ли заявку на покупку/продажу. В этом и состоит главное отличие онлайн-алгоритмов от офлайн-алгоритмов, в которых считается, что все входные данные доступны в момент принятия решения. Большинство задач практической оптимизации в таких областях, как информатика и методы исследования операций – это именно онлайн-задачи [1].

Помимо решения онлайн-задач, HFT-алгоритмам также необходимо чрезвычайно быстро реагировать на рыночные изменения. Чтобы реагировать на ситуацию быстрее, трейдинговый онлайн-алгоритм должен эффективно работать с памятью. Хранение большого объема данных снижает скорость работы любого компьютера, поэтому важно, чтобы алгоритм задействовал минимальный объем данных и параметров, которые можно хранить в быстродействующей памяти, например, в кэш-памяти первого уровня (L1). Кроме того, этот набор параметров должен отражать текущее состояние рынка и обновляться по мере поступления новых переменных в режиме реального времени. Таким образом, чем меньше число параметров, которые нужно хранить в памяти, и чем меньше вычислений нужно проводить для каждого из этих параметров, тем быстрее алгоритм сможет реагировать на изменения рынка.

Учитывая требования к скорости и онлайн-природу задач HFT-трейдинга, класс однопроходных алгоритмов может с успехом применятся в HFT-трейдинге. В каждый выбранный момент времени эти алгоритмы на вход получают один элемент данных и используют его для того, чтобы обновить набор имеющихся параметров. После обновления один из элементов данных отбрасывается, и, таким образом, в памяти хранятся только обновленные параметры.

При разработке HFT-алгоритма могут возникнуть три проблемы. Первая заключается в оценке скользящего среднего ликвидности: решение этой проблемы может помочь HFT-алгоритму определить размер ордера, который, вероятнее всего, исполнится успешно на данной электронной бирже. Вторая состоит в оценке скользящей волатильности: решение этой проблемы помогает определить краткосрочный риск для той или иной позиции. Третья проблема основана на понятии линейной регрессии, которую можно применять в парном трейдинге связанных между собой активов.
Каждую из этих проблем можно без труда решить с помощью однопроходного онлайн-алгоритма. В этой статье описано, как проводилось бэк-тестирование однопроходного алгоритма на основе данных, взятых из книги лимитных ордеров для высоколиквидных биржевых инвестиционных фондов, и даны рекомендации по регулированию работы этих алгоритмов на практике.

Онлайн-алгоритмы в HFT-трейдинге

Одно из преимуществ HFT-трейдеров над другими участниками рынка заключается в скорости реакции. HFT-компании могут отследить любое движение на рынке – то есть информацию, содержащуюся в книге лимитных ордеров – и на его основе принять соответствующее решение в течение нескольких микросекунд. Хотя действия некоторых HFT-алгоритмов могут основываться на данных источника, находящегося за пределами рынка (скажем, при анализе новостных отчетов, измерении температуры или оценке рыночных тенденций), большинство принимает решения исключительно на основе сообщений, полученных непосредственно с рынка. По некоторым оценкам, котировки на Нью-Йоркской фондовой бирже обновляются примерно 215 000 раз в секунду [2]. Основная задача HFT-алгоритмов состоит в обработке полученных данных таким образом, чтобы можно было принимать верные решения, например, когда стоит выставить позицию или снизить риск. В примерах, приведенных в этой статье, учитывается, что HFT-алгоритмы могут видеть любое обновление цен лучшего бида или аска, в том числе данные об их размерах. Такой подкласс данных, содержащихся в книге лимитных ордеров, часто называют информацией из книги ордеров первого уровня (Level-1).

В этой статье подробно рассмотрены три примера онлайн-алгоримтов, каждый из которых предназначен для использования в HFT-трейдинге:

• Онлайн-алгоритм для вычисления математического ожидания. Предназначен для отыскания параметра, на основе которого можно предсказать доступную ликвидность, вычисляемую как сумма размеров лучшего бида и аска, на фиксированном отрезке времени в будущем. Определение этой величины может помочь оценить размер заявки, которая, вероятнее всего, будет исполнена по лучшей цене с учетом данной задержки.
• Онлайн-алгоритм для вычисления дисперсии. Предназначен для отыскания параметра, на основе которого можно предсказать реализованную волатильность на фиксированном отрезке времени в будущем. Определение этой величины может помочь оценить краткосрочный риск хранения запасов.
• Онлайн-алгоритм для вычисления коэффициента регрессии. Предназначен для отыскания параметра, на основе которого можно предсказать ожидаемую прибыль с удержания длинной и короткой позиций пары связанных активов. Определение этой величины может помочь при создании сигнала, который подается в случае, когда длинная и короткая позиции, вероятнее всего, принесут прибыль.

В каждом из трех случаев алгоритм содержит единственный параметр, «альфа», регулирующий скорость, с которой отбрасывается ненужная информация. На рисунке 1 синим цветом обозначено приблизительное изменение ликвидности (сумма размеров бида и аска). Красным и зеленым обозначено изменение параметра ликвидности при значениях параметра «альфа», равного 0,9 и 0,99 соответственно. Обратите внимание, что по мере приближения «альфа» к единице, уровень сигнала становится все более равномерным и точнее отражает тренд в исходных данных.



Рис. 1: Неочищенная и онлайн-ликвидность

На рисунке 2 показано изменение волатильности для разных значений параметра «альфа» в режиме реального времени. Обратите внимание, что, как и в предыдущем случае, с увеличением «альфа» кривая графика становится более гладкой. Большее значение «альфа» дает более ровный сигнал, однако высокая загруженность прошлых данных вызывает отставание от текущего тренда. Как будет показано в дальнейшем, выбор подходящего значения «альфа» будет либо давать более ровный сигнал, либо уменьшать отставание от тренда.



Рис. 2: Измерение онлайн-волатильности для разных значений альфа

Чтобы показать, как работает онлайн-алгоритм регрессии, мы рассмотрели временные ряды, составленные из средних цен на акции SPY и SSO – двух связанных биржевых инвестиционных фондов (SSO – тот же SPY, но объем его заемных средств вдвое больше). Как показано на рисунке 3, зависимость между двумя этими активами в процессе их изменения в течение дня близка к линейной. На рисунке 4 показано изменение математического ожидания и свободного члена для двух значений «альфа».



Рис. 3: Алгоритм онлайн-регрессии



Рис. 4: Изменение математического ожидания и свободного члена для двух значений «альфа»

Однопроходные алгоритмы

Как ясно из названия, однопроходный алгоритм считывает входную переменную ровно один раз и затем отбрасывает ее. Этот тип алгоритмов эффективно распределяет память, так как он сохраняет минимальный объем данных. В данном разделе приведено три важных примера однопроходных алгоритмов: экспоненциально скользящего среднего, экспоненциально взвешенной дисперсии и экспоненциально взвешенной регрессии. В следующем разделе будет рассказано о применении этих алгоритмов в HFT-трейдинге.

Для начала кратко рассмотрим понятие простого скользящего среднего для данного временного ряда. Оно представляет собой оценку математического ожидания для временного ряда со «скользящим» окном постоянного размера. В финансовой сфере эта оценка часто используется для определения ценового тренда, в частности, при сравнении двух значений простого скользящего среднего – в случае с «длинным» окном и в случае с «коротким» окном. В качестве применения также можно рассмотреть ситуацию, когда средний объем торговли за последние пять минут помогает предсказать объем торговли в следующую минуту. В отличие от экспоненциального скользящего среднего, простое скользящее среднее нельзя определить с помощью однопроходного алгоритма.

Пусть (X_t)_t = X₀,X₁,X₂,… – это последовательность полученных входных переменных.

Для каждого отдельного момента времени t нам нужно спрогнозировать значение следующей переменной X_t+1. Для M > 0 и t ? M, простое скользящее среднее с окном размера M определяется как математического ожидание последних M наблюдений для временного ряда (X_t)_t, то есть . Скользящее среднее также можно вычислить с помощью следующей рекурсии:

. (1)

Хоть это и онлайн-алгоритм, тем не менее, он не является однопроходным, потому что каждый входной элемент ему приходится обрабатывать дважды: когда его нужно учесть при вычислении скользящего среднего и когда его нужно исключить из оценки. Такой алгоритм носит название двухпроходного алгоритма и требует хранения в памяти целого массива размера M.

Пример 1: Однопроходный алгоритм экспоненциально взвешенного среднего

В отличие от обычного среднего , экспоненциально взвешенное среднее определяет экспоненциально уменьшающиеся значения весовых коэффициентов предыдущих наблюдений:



Здесь ? – взвешенный параметр, который подбирается пользователем и должен удовлетворять условию 0 < ? ? 1. В связи с тем, что для экспоненциально взвешенного среднего большую роль играют самые последние входные параметры, по сравнению с более ранними элементами данных, его часто считают достаточно точным приближением простого скользящего среднего.

В отличие от простого скользящего среднего, экспоненциально взвешенное среднее учитывает все предыдущие данные, не только последние M наблюдений. Более того, если дальше сравнивать простое скользящее среднее и экспоненциально взвешенное среднее, на рисунке 5 можно увидеть, сколько элементов данных в ходе оценки получают 80%, 90%, 95%, 99% и 99,9% весовой функции, зависящей от ?. К примеру, если ? = 0,95, то последние M = 90 полученных элементов данных составляют 99% оцениваемого значения. Следует отметить, что, если у временных рядов (Xt)t очень «тяжелые хвосты», то экспоненциально сглаженное среднее может состоять преимущественно из крайних наблюдений, тогда как скользящее среднее реже зависит от крайних наблюдений, так как они в итоге исключаются из окна наблюдения. Частые повторения процедуры оценки могут решить задачу долгосрочного хранения данных в памяти при экспоненциальном сглаживании.



Рис. 5: Скользящая средняя и весовой параметр

Причина выбора экпоненциально скользящего среднего вместо простого скользящего среднего для использования в HFT-алгоритме состоит в том, что его можно определить с помощью однопроходного алгоритма, впервые упомянутого в работе Р.Г. Брауна (1956г.) [3].

. (2)

Эта формула также указывает на то, что с помощью параметра ? можно регулировать весовые коэффициенты последних наблюдений, сравнивая их с предыдущими.

Пример 2: Однопроходный алгоритм экспоненциально взвешенной дисперсии

Экспоненциальное сглаживание, описанное в предыдущем разделе, позволяет оценить скользящее среднее для временных рядов. В финансах волатильность временных рядов зачастую играет немаловажную роль. Другими словами, волатильность должна отражать частоту колебаний временных рядов относительно их среднего уровня. В финансовой теории HFT-трейдинга нет однозначного определения волатильности. В этом разделе волатильность рассматривается как стандартное отклонение (квадратный корень из дисперсии) элемента данных для временных рядов (X_t)_t. Так же как и в случае с экспоненциально взвешенным скользящим средним из предыдущего раздела, можно разработать однопроходный онлайн-алгоритм, который будет оценивать волатильность для временных рядов на основе схемы экспоненциально взвешенных коэффициентов.

Дисперсия случайной переменной определяется по формуле Var(X) = E[X — E[X])²]. Для того, чтобы оценить экспоненциально взвешенную дисперсию временных рядов, необходимо вначале оценить два параметра – математическое ожидание E[X] и дисперсию:



Стандартное отклонение каждой следующей контрольной точки X_t+1 оценивается как . В этом примере входной параметр ? ? (0,1) также подбирается пользователем и определяет значения весовых коэффициентов прошлых данных, которые сравниваются с последними из полученных входных данных. В данном случае мы принимаем начальное значение статистической оценки равным 1 – она [оценка], вообще говоря, может принимать любое значение. Другой способ – ввести пробный период, в течение которого идет наблюдение за временными рядами и в качестве первоначальной оценки использовать оценку стандартного отклонения для временных рядов в этом «тестовом» окне. Конечно, подобный метод можно также использовать и при определении оценки экспоненциально взвешенного среднего.

Пример 3: Однопроходный алгоритм экспоненциально взвешенной линейной регрессии

Последним примером является однопроходный онлайн-алгоритм на основе модели экспоненциально взвешенной линейной регрессии. Эта модель похожа на модель обычной линейной регрессии, но в отличие от нее она акцентирует больше внимания (в соответствии с экспоненциальным взвешиванием) на последние наблюдения, чем на более ранние. Как уже было показано, такие методы регрессии играют важную роль в HFT-стратегиях и помогают определить связь между различными активами, их, в частности, можно использовать в стратегиях парного трейдинга.

В нашей модели мы рассматриваем двумерные временные ряды (X_t,Y_t)_t и предполагаем, что переменные X и Y связаны линейным соотношением, в которое входит и случайная погрешность ?_t с нулевым математическим ожиданием, то есть:

. (3)

Переменную Y называют переменной отклика, а переменную X – объясняющей переменной. Для простоты предположим, что у нас имеется одна объясняющая переменная, хотя обобщение до нескольких объясняющих переменных провести не так сложно. При стандартном подходе к определению линейной регрессии с помощью офлайн-алгоритма параметры ?₀ и ?₁ подбираются уже после всех наблюдений. Элементы данных каждого отдельного наблюдения записываются в отдельный вектор Y = (Y₀, Y₁,…, Y_t)^T или матрицу



Столбец из единиц в матрице X соответствует свободному члену в уравнении 3. Если мы запишем параметры ?₀ и ?₁ в виде вектора ? = (?₀,?₁)^T, то соотношение между Y и X можно компактно записать в матричной форме:

Y = X? + ?

где ? – это вектор стохастических погрешностей, каждая из которых имеет нулевое математическое ожидание.

Самый распространенный подход к оценке параметра ? заключается в использовании стандартного метода наименьших квадратов, то есть ? выбирается таким образом, чтобы сумма квадратов остаточных членов была минимальной. Решением данной задачи минимизации будет .

Как и при оценке математического ожидания и дисперсии, при оценке параметра ? большую роль должны играть более поздние наблюдения. Кроме того, однопроходный алгоритм для поиска значений ? необходим для проведения вычислений.

Далее, рассмотрим рекурсивный метод, последовательно обновляющий значения вектора ? и минимизирующий выражение:



Напомним, что параметр должен находиться на интервале (0,1) и выбираться пользователем. Параметры ?₀ и?₁ оценки по методу взвешенных наименьших квадратов можно вычислить с помощью эффективного однопроходного онлайн-алгоритма. На каждом шаге алгоритма матрица M_t размерности 2 ? 2 и вектор V_t размерности 2 ? 1 должны сохраняться в памяти и обновляться по мере получения новых данных в соответствии со следующими рекурсивными выражениями:



Что касается оценки математического ожидания и дисперсии, то для них инициализацию переменных рекурсии можно провести в пробном периоде. В итоге к моменту времени t лучшая оценка ? будет вычисляться по формуле . В литературе этот метод носит название рекурсивного метода наименьших квадратов с экспоненциальным забыванием [2].

Оценка параметра «альфа»

Как определить оптимальное значение «альфа», единственного параметра, используемого в каждой из вышеупомянутых моделей онлайн-алгоритмов? Наш подход в каждой из трех моделей заключался в определении функции отклика, значение которой мы хотим предсказать, и минимизации квадрата разности между откликом ri и нашим параметром f_i:



Этот метод позволяет определить оптимальное значение «альфа» на основе исторических временных рядов. Другой подход состоит в оценке оптимального значения «альфа», которая проводится также в режиме реального времени. Однако он требует большего объема работы и выходит за рамки темы данной статьи.

Теперь рассмотрим подробнее описанные оценки онлайн-алгоритмов и оценим оптимальное значение «альфа» на конкретном множестве данных.
1. Оценка средней ликвидности вычисляется по формуле:



где индекс i обозначает момент времени, когда была выставлена котировка. Функция отклика определяется как ликвидность, которая наблюдается спустя десять секунд:



где слагаемое b_si(10) представляет собой размер бида спустя десять секунд после выставления i-й котировки. После проведения оптимизации по параметру «альфа» было показано, что оптимальное значение «альфа» для наших данных составляет 0,97. Оно представлено на рисунке 6 в виде диаграммы рассеяния для искомого параметра и функции отклика:



Рис. 6: Диаграмма рассеяния для искомого параметра и функция отклика для значения «альфа» 0,97

2. Оценка волатильности определяется по формулам:







где индекс i обозначает текущее время в секундах. Величина отклика определяется как реализованная волатильность за последнюю минуту:



Как и в предыдущем случае, в результате перебора значений параметра «альфа» оптимальным для нашего набора данных оказалось значение, равное 0,985. На рисунке 7 показана диаграмма рассеяния для искомого параметра и функции отклика:



Рис. 7: Диаграмма рассеяния и функция отклика для «альфа» 0,985

3. Оценка регрессии при парном трейдинге находится по формулам:









где индекс i обозначает момент времени, когда была выставлена котировка. Параметр обозначет ценность акций SPY по сравнению с акциями SSO, то есть, если их разница положительна, то акции SPY относительно дешевле, и удержание длинной позиции на SPY, вероятнее всего, окажется прибыльным.

Функция отклика определяется как прибыль, полученная за последнюю минуту со сделки, которая состоит из удержания длинной позиции на одну акцию SPY и короткой позиции на ? акций SSO:



где представляет собой стоимость акции SPY спустя 60 секунд после выставления стоимости . Отклик r_i указывает на прибыльность следующей стратегии на удержание длинной и короткой позииций: «Купить одну акцию SPY и продать ? акций SSO в момент времени i, по истечении 60 секунд закрыть позицию».

На изученном множестве данных оптимальным оказалось значение «альфа», равное 0,996. На рисунке 8 показана диаграмма рассеяния для искомого параметра и функции отклика:



Рис. 8: Диаграмма рассения и функция отклика для «альфа» 0,996

Заключение

Однопроходные онлайн-алгоритмы являются эффективным инструментом в HFT-трейдинге, где каждую микросекунду им приходится обрабатывать большие объемы данных и очень быстро принимать решения на их основе. В этой статье были рассмотрены три проблемы, с которыми сталкиваются HFT-алгоритмы: оценка скользящего среднего ликвидности, необходимая для определения размера ордера, который, вероятнее всего, будет исполнен успешно на конкретной электронной бирже; оценка скользящей волатильности, необходимая для вычисления краткосрочного риска той или иной сделки; скользящая линейная регрессия, которая может применяться в парной торговле связанных активов. Однопроходные онлайн-алгоритмы могут сыграть ключевую роль в решении этих проблем.

Другим важным фактором для HFT-торговцев, о котором мы часто пишем в блоге на Хабре, является скорость работы. Одной из часто использующихся технологий повышения скорости получения и обработки данных является прямой доступ к бирже, который организуется с помощью различных протоколов передачи финансовой информации. Мы рассматривали технологию прямого доступа в этой статье, а о протоколах передачи данных писали здесь (раз, два, три).

Примечания:

1. Албрес С. 2003. Онлайн-алгоритмы: анализ. Математическое программирование 97(1-2): 3-26.
2. Кларк К. 2011. Улучшение скорости и прозрачности рыночных данных. Биржи. whatheheckaboom.wordpress.com/2013/10/20/acm-articles-on-hft-technology-and-algorithms, www.utpplan.com .
3. Браун Р. Г. 1956. Экспоненциальное сглаживание для прогнозирования спроса. Arthur D. Little Inc., с. 15.
4. Астром А., Уиттенмарк Б. 1994. Адаптивное управление, второе издание. Addison Wesley.

Об авторах:

Джейкоб Лавлесс (Jacob Loveless) – исполнительный директор Lucera и бывший руководитель отдела высокочастотной торговли в Cantor Fitzgerald. За последние десять лет господин Лавлесс успел попробовать себя в электронной торговле практически каждым из активов в различных HFT-компаниях и на различных биржах. До начала карьеры в финансовой сфере господин Лавлесс находился на должности особого подрядчика Министерства обороны США, где специализировался на эвристическом анализе секретных данных. До этого он также являлся главным техническим директором (CTO) и основателем Data Scientific. Основоположник анализа распределенных систем.

Саша Стойков (Sasha Stoikov) – старший научный сотрудник школы Cornell Financial Engineering Manhattan (CFEM) и бывший вице-президент отдела высокочастотной торговли в Cantor Fitzgerald. Он работал консультантом в Galleon Group и Morgan Stanley, а также читал лекции в институте им. Куранта при Нью-Йоркском университете и на кафедре организации производства и исследования операций в Колумбийском университете. Он получил степень Ph.D. в Техасском университете и степень бакалавра в Массачусетском технологическом институте.

Рольф Вайбер (Rolf Waeber) – специалист по количественному анализу в Lucera, в прошлом занимался количественными исследованиями в отделе высокочастотного трейдинга Cantor Fitzgerald. Он принимал участие в исследованиях регулирования риска ликвидности в рамках разработки документов «Базель II/III» в Немецком федеральном банке. В 2013 году Рольф получил степень Ph.D в области исследования операций и информационной инженерии Корнельского университета. Кроме того, он получил степени бакалавра и магистра математики в высшей технической школе Цюриха, Швейцария.