22.04.2023 16:32
andreybrylb 23 29000 Источник

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу поговорить об открытом недавно удивительном доказательстве теоремы Пифагора. Да-да, Вы не ослышались!

Даже в этом, казалось бы, вдоль и поперек перепаханном поле осталась не обработанная полоска. Дело вот в чём: считалось, что любое доказательство теоремы Пифагора через тригонометрические функции так или иначе сводится к применению основного тригонометрического тождества:

, которое само по себе является одним из вариантов записи теоремы. Таким образом, используя это выражение, мы "будем выходить сами на себя", т.е. доказывать то, что принимаем за истину в самом начале.

Фрагмент из книги с самой большой известной коллекцией доказательств теоремы – "The Pythagorean Proposition" Элиши Лумиса Лумиса. Цитата: "Забегая вперед, вдумчивый читатель может задаться вопросом: Существуют ли доказательства, основанные на тригонометрии или аналитической геометрии? Тригонометрических доказательств не существует, потому что: все фундаментальные формулы тригонометрии основаны на истинности теоремы Пифагора; на основании этой теоремы мы говорим sin^A + cos^A = 1 и т.д. Тригонометрия существует благодаря теореме Пифагора

Однако недавно было найдено доказательство теоремы Пифагора, основанное на другом фундаментальном утверждении - теореме синусов для треугольника. Итак, рассмотрим равнобедренный треугольник (именно в нём биссектриса является высотой, а это нам важно):

Запишем для этого треугольника теорему синусов:

Теперь нам понадобится несколько геометрических построений и записанное отношение сторон подобных прямоугольников:

Теперь продолжаем применять свойства подобия для каждых последующих прямоугольных треугольников:

То есть для каждой пары:

  1. Записываем отношение подобия

  2. Выражаем общий катет через синус угла

  3. Подставляем и получаем новую длину сегмента

Как Вы можете заметить, получается кое-что замечательное. На лицо целых две геометрические прогрессии:

А теперь внимательно посмотрим, что две найденные нами стороны - это гипотенуза и катет прямоугольного треугольника с углом в 2*альфа:

В конце мы вернулись к формулу, выведенной нами с самого начала и "открыли" теорему Пифагора!

Больше математики в Telegram - "Математика не для всех"

Комментарии (23)


  1. Daddy_Cool
    22.04.2023 17:23
    #25475792
    +4

    Мне нравится вот так - рисуем квадраты и треугольники и всё понятно.
    https://medium.com/paradox-review/визуальное-доказательство-теоремы-пифагора-8f9c796cae2c


  1. Sigonavt
    22.04.2023 17:23
    #25475922
    +1

    Откуда вы получили, что sinβ = b/c


    1. andreybrylb Автор
      22.04.2023 17:23
      #25475924
      +1

      Треугольник равнобедренный


  1. Pyhesty
    22.04.2023 17:23
    #25476070
    +9

    теорема синусов имеет в своем основании теорему Пифагора и в итоге опять выходим сами на себя...


    1. samsergey
      22.04.2023 17:23
      #25476276
      +8

      Нет, не имеет. Теорема синусов это тригонометрическая запись отношений сторон и высот, не более того. Другое дело, что в приведëнном доказательстве и она не нужна.


    1. kazarX
      22.04.2023 17:23
      #25478480

      В доказательстве теоремы синусов в Википедии не используется теорема Пифагора

      https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Теорема_синусов


  1. mbait
    22.04.2023 17:23
    #25476078

    На последнем слайде, в первом равенстве описка? Должно быть "a² + b²" в знаменателе.


  1. 0xd34df00d
    22.04.2023 17:23
    #25476446
    +5

    Я очень глупый, не умею в геометрию и все эти теоремы подобия синусов забыл как страшный сон с выпуском из школы, но у вас на одной картинке (перед картинкой с красненьким) CH₁ подписано как bc/2a, а на следующей — как 2ac/b, и из этого, кажется, следует какая-то ерунда:


    CH₁ = 2ac / b = bc / 2a ⇒ 2ac / b = bc / 2a ⇒


    1. либо c = 0 (не имеет физического геометрического смысла)
    2. либо 2a / b = b / 2a ⇒ 4a² = b² (и a, b ≠ 0, что здесь можно опустить) ⇒ 2a = ±b ⇒ α = arctg ±a/b = arctg ±½ ⇒ у любого прямоугольного треугольника угол при вершине A (не являющейся прямым углом) равен 2 arctg ±½. Мне кажется, это неправильно, и бывают другие прямоугольные треугольники с углами при какой-нибудь из вершин кроме этих двух.


  1. celen
    22.04.2023 17:23
    #25476518
    +18

    Три вещи.

    1) Вот это откуда следует?

    sin(2\alpha) = \frac{2ab}{c^2}

    2) Как вы можете видеть по пункту (1), я даже в комментариях хабра могу набрать с клавиатуры tex-формулу. Почему вы заставляете нас разбираться в ваших невразумительных планшетных каракулях с многочисленными опечатками?

    3) При чем здесь тригонометрия? "Синус" используется здесь только отношение сторон. Никаких функциональных или тригонометрических свойств его здесь не эксплуатируется. Так-то в той же книге Лумиса говорится о нескольких сотнях оригинальных доказательствах теоремы, большинство из которых куда проще, и хотя прием с бесконечным рядом, конечно, забавный, выглядит всё это как извращение ради извращения.


    1. YDR
      22.04.2023 17:23
      #25476638

      соглашусь, кроме последней фразы.

      Наличие такого доказательства опровергает предположение, что "тригонометрия существует из-за теоремы пифагора", и это, в принципе, важно.


      1. DirectoriX
        22.04.2023 17:23
        #25476716
        +11

        Но в этом доказательстве синус используется только в качестве замены дроби отношения противолежащего катета к гипотенузе. Это не более чем замена переменных, и её можно использовать в любом другом доказательстве, где есть дроби.
        Вот, например, из Википедии: если там заменить a/c на sin(α) — можно ли это будет считать доказательством "через тригонометрию" только лишь потому что мы "использовали" sin где-то в доказательстве?


        Кстати, это доказательство не до конца верное, потому что упускает важный случай когда катеты равны, о чём я писал в комментарии в предыдущей итерации.


  1. Sigonavt
    22.04.2023 17:23
    #25476916
    +1

    Это что же, судя по ссылке, доказали две американские студентки?


  1. Sigonavt
    22.04.2023 17:23
    #25477268

    По поводу теоремы синусов в интернете тоже интересный круговорот. Теорема синусов доказывается через площадь произвольного треугольника, а площадь произвольного треугольника через теорему синусов или опять же через Пифагора.


    1. ris58h
      22.04.2023 17:23
      #25477586

      а площадь произвольного треугольника через теорему синусов или опять же через Пифагора

      Я школу давно закончил, но вроде без Пифагора и без синусов доказывали.


      1. chupasaurus
        22.04.2023 17:23
        #25478170

        Самая простая формула площади треугольника в доказательстве - половина произведения стороны на высоту к ней, геометрическое доказательство теоремы Пифагора работает по тому же принципу.


  1. AAbrosov
    22.04.2023 17:23
    #25477630

    у вас на первом и втором рисунке с бесконечной цепочкой треугольников разные результаты почему-то
    CH1=bc/2a и CH1=2ac/b
    первое очевидно неправильно


  1. sena
    22.04.2023 17:23
    #25477798
    +1

    считалось, что любое доказательство теоремы Пифагора через
    тригонометрические функции так или иначе сводится к применению основного
    тригонометрического тождества

    А кем это так считалось? Можно ссылку какую-нибудь?


  1. RomeoGolf
    22.04.2023 17:23
    #25478050
    +4

    Это невозможное доказательство теоремы Пифагора нашли в 2023 году

    Нужен всего лишь простой советский...


  1. vadimr
    22.04.2023 17:23
    #25478182

    Я с детства вообще не очень понимаю смысл геометрических доказательств, и чем больше я изучал математику, тем меньше их понимал.

    Все эти рисунки с построением треугольников верны только для евклидовой метрики. А функции sin(x) и cos(x) существуют совершенно независимо от пятого постулата Евклида, они могут быть заданы чисто аналитически. Их можно, наверное, хоть из пустого множества аксиоматически вывести (хотя в этом я не уверен).

    Основное тригонометрическое тождество верно просто потому, что это и есть часть определения синуса и косинуса.


    1. samsergey
      22.04.2023 17:23
      #25478416
      +1

      Вы правы в том, что тригонометрия и свойства гармонических функций могут быть получены аналитически, как собственные решения уравнения Лапласа, или уравнения

      f''=-f

      Из него, в частности, выводится и тригонометрическая единица. Геометрическое представление этих функций, действительно, приводит к евклидовой метрике и эквивалентно выполнению теоремы Пифагора.

      Однако геометрия и еë построения имеют самостоятельную ценность, давая связь между пространством и его симметриями (инвариантами). Евклидова метрика примечательна тем, что инвариантна относительно изометрий, изоморфных базовым операциям над числами (комплексными) и линейным преобразованиям, потому она чрезвычайно практична, а геометрические построения настолько плодотворны. Для того, чтобы исследовать свойства неевклидовых геометрии и римановых пространств мы опираемся на этот изоморфизм.

      Так что геометрические доказательства не ценнее алгебраических, но они прекрасно их дополняют, во многом оказываясь проще. В изоморфных структурах никто не "главный", но наличие разных подходов сильно расширяет наш инструментарий.


  1. TeaZet
    22.04.2023 17:23
    #25478594
    +2

    Уж извините, 15 лет я ничего не комментил на хабре, даже весёлые темы про ассемблер или же наоборот, как ребята не вкуривают в ковариантность и контравариантность интерфейсов...

    Господа, у меня не то чтобы неприятные, но не очень хорошие новости для тех, кто доказал... Если внимательно прочитать учебник 7-го класса геометрии(советский точно, хотя сам я 92го), то там на пальцах объясняется, в чем суть, и 5-30 минут размышлений приводят к доказательству, только не через такие "заумные" дебри (а доказательство, кстати, так и не вышло, про равные катеты забыли), а через круг, квадрат (фигура) и квадрат координат, что не требует теоремы Пифагора, а как раз таки ее геометрически выводит. Более того, можно только из квадрата(фигура) вывести основу, перенести на круг с синусом и косинусом и далее... Что-то мне кажется, что такими темпами скоро найдут не менее кривое доказательство, что PR² действительно неоспорим/применим, и PR² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)². Пойду за чипсами.


  1. Dimax239
    22.04.2023 17:23
    #25483170

    Это доказательство весьма сходно с доказательством №100 вот здесь:
    http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml

    Вот комментарий Марка Гриншпона, который руководил секцией, на которой выступали эти девочки:

    Сначала они сослались на эту книжку Лумиса. Хорошая книжка, и я готов ей доверять. Но: она была написана где-то в самом начале 1900-х, а второе и последнее издание, из которого и взят этот скриншот, вышло в 1940-м. Я не хочу подвергать сомнению утверждение Лумиса, но с тех пор много воды утекло. Это первая грубая неточность с их стороны.
    Во-вторых, судя по всему, дела так и обстояли довольно долго (наверное, никому этот вопрос не был интересен и не приходил в голову). Похоже, что первое чисто тригонометрическое доказательство опубликовал Jason Zimba в 2009-м: https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200925.pdf . Но они от него отмахнулись, и это вторая грубая ошибка. После этого появилась ещё и онлайн-публикация https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Proof109.shtml . Короче, то, что они первые — это, конечно же, неправда.
    Но они, под руководством учителя, придумали что-то чуть-чуть другое по мотивам этих уже опубликованных доказательств. Гениальностью там и рядом не пахнет, конечно. Но повторю ещё раз: за то, что они в чем-то разобрались и что-то похожее придумали сами, девочки вполне достойны похвалы. За враньё по части приоритетов их — вместе с учительницей — надо как следует пожурить (мягко говоря). И да, каюсь, мы не обратили на это внимания когда планировали сессию.
    Но то, что из этого раздули в масс-медиа и в интернете — я в шоке. (И это эвфемизм, потому что я не могу описать мои ощущения не нарушая правила группы по части допустимых выражений. ????)

    В общем давать свои ученикам подобные задачи (придумайте новое доказательство той или иной теоремы) - это правильно, а вот раздувать шум вокруг этого дела не стоит.


  1. ForkPosix
    22.04.2023 17:23
    #25483984

    Автор. Не в упрёк, но на будущее: в русском языке есть прекрасное слово для подобных случаев. "Курьёзный".