Единица по Бурбаки. Красота запредельной абстрактности / forpes.ru

Главная
Единица по Бурбаки. Красота запредельной абстрактности

Единица по Бурбаки. Красота запредельной абстрактности +38

14.05.2023 20:48

nihole 60 11000 Источник

В своем стремлении к формальной точности математики, кажется, иногда переходят границу разумного. Tакая мысль, думаю, возникает у многих, когда они впервые видят определение единицы у Бурбаки.

На обложке вы видите это определение, и это сокращенная, очень и очень сокращенная запись. Бурбаки вводят лишь минимально необходимый набор символов для построения теории (семь символов, символ связи и буквы) и те знаки, которые вы видите в определении в основном являются сокращением.

Аккуратный расчет (здесь вы найдете ссылку на статью) показывает, что, если развернуть эти сокращения, то длина этого знакосочетания представляет 2 409 875 496 393 137 300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 знаков и 871 880 233 733 949 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 связей. Это безумное число. Если бы мы попробовали записать его обычным шрифтом, то это заняло бы сто миллиардов квинтиллионов квинтиллионов книг.

Первое впечатление (и, согласитесь, обоснованное) - дичайший формализм, доведенный до абсурда.

Но при внимательном рассмотрении и некотором времени потраченном на изучение предмета приходит понимание того, насколько это красивое и точное определение. Более того, это довольно естественное и простое определение, и за 15 минут я попробую вас в этом убедить, даже если ваше знание математики ограничивается школой.

Комментарий:
Еще учась в институте, я был озадачен этим определением, и именно тогда у меня возникло то понимание, которое я хочу изложить в этой статье. Но все же, имея физико-математическое образование, я сейчас далек от науки, поэтому, как обычно, это всего лишь мое непрофессиональное мнение и анализ, который, впрочем, как мне кажется, может быть интересен таким же любопытным не профессионалам, как и я.

Это определение было дано Бурбаки мимоходом, в одном из комментариев в "Теории множеств":

(гл. III, пар. 3, п. 2, стр 188)

Информация об издании

В издании 1970 года были сделаны некоторые изменения, которые существенно удлинили длину терма. Оценка длины, приведенная в аннотации, была сделана с учетом этого изменения. В моем случае я ссылаюсь на следующее издание:

Пояснение знаков и терминов

Для построения любых знакосочетаний теории, Бурбаки вводят лишь следующие символы:

буквы (в нашем примере - )
знаки

знак связи (не потребуется в нашей статье)

Все остальное, что вы видите в приведенном определении единицы - сокращения.

Пояснение некоторых знаков:

$\tau$ - тау оператор, или оператор выбора, или $\epsilon$ оператор Гильберта - это самый загадочный объект, и мы посвятим ему существенную часть статьи.

$\vee$ - логический оператор "или".

$\lnot$ - логическое отрицание.

= - равно.

$\in$ - принадлежность.

Для оставшихся двух знаков не могу найти latex функции, но они нам и не потребуются в статье.

Есть также знак связи (рисуется между $\tau$ оператором и значком квадрата), который нам тоже не потребуется.

Знакосочетание обычно выглядит как-то так:

(Не пытайтесь понять смысл - его нет, это просто пример формальной записи).

При этом Бурбаки сразу же оговариваются, что если следовать формальным правилам, используя только эти введенные знаки, то это приведет к "типографическим и умственным затруднениям" (в силу безумной длины), поэтому вводятся сокращения - скобки, кванторы, и все остальное, с чем мы привыкли работать в математике.

Примеры некоторых сокращений:

$\exists$ - квантор существования. $\exists u$ читается, как "существует такое ".

$\forall$ - квантор всеобщности. $\forall u$ читается, как "для любого ".

$\wedge$ - логическое "и".

$\Rightarrow$ - импликация; оборот "если ... , то ...".

$\Leftrightarrow$ - эквивалентность.

$\varnothing$ - пустое множество.

1 - единица.

- пара.

$\times$ - символ прямого произведения множеств.

... ( я привел только те, что мы будем использовать в данной статье)

Так, например, пустое множество имеет следующее представление:

Сначала шокирует, правда?

Терм:

Бурбаки делят знакосочетания на термы, соотношения и теоремы. В "Теории множеств" даются точные правила, как их различить, но не будем усложнять. Просто примем тот факт, что запись единицы - это терм.

Давайте разбираться. В принципе, в вышеприведенном отрывке все уже объяснено, я лишь соберу всю информацию воедино.

Сначала немного поменяем вид записи, чтобы было ясно видно шесть соотношений, объединенных логическим "и" ( $\wedge$ ), и структурность, определяемую скобками:

$\tau_Z\Biggl((\exists u)(\exists U)\biggl( u=(U,\{\varnothing\},Z)\wedge$

$U \subset \{\varnothing\} \times Z \wedge$

$(\forall x)\Bigl((x \in \{\varnothing\})\Rightarrow (\exists y)\bigl ((x,y) \in U\bigl)\Bigl)\wedge$

$(\forall x)(\forall y)(\forall y') \biggl(\Bigl((x,y) \in U \wedge (x,y') \in U\Bigl)\Rightarrow (y=y')\biggl)\wedge$

$(\forall y)\Bigl((y \in Z) \Rightarrow(\exists x)((x,y) \in U)\Bigl)\wedge$

$(\forall x)(\forall x')(\forall y)\biggl(\Bigl((x,y)\in U \wedge (x',y) \in U\Bigl)\Rightarrow(x=x')\biggl)$

$\biggl)\Biggl)$

Комментарий:
Последнее соотношение было добавлено переводчиком из формальных соображений - оно не учитывается при расчете длины терма.

Бурбаки вводят понятие единицы через кардинальные числа, поэтому это наш следующий пункт.

Кардинальные числа

Обычно для конечных множеств кардинальное число или мощность множества вводится как количество элементов в множестве. Так, кардинальное число множества, состоящего из трех элементов $\{a,b,c\}$ равно 3: $Card \{a, b, c\} = 3$ . Но в нашем подходе натуральные числа еще не определены, и подход как раз обратный - натуральные числа вводятся через кардинальные числа. Поэтому данное простое определение нам не подходит.

Бурбаки вводят определение кардинального числа следующим образом:

$Card(X) = \tau_Z(Eq(X,Z))$

Ниже в статье мы попытаемся "понять" смысл этой записи. Вся "глубина" кроется в символе $\tau$ .

Так вот, единица вводится, как кардинальное число множества, состоящего из пустого множества

$1 \equiv Card(\{\varnothing\}) = \tau_Z(Eq(\{\varnothing\},Z))$

Все остальные натуральные числа вводятся подобным образом, например, для 2

$2 \equiv Card(\{\varnothing, \{\varnothing\}\}) = \tau_Z(Eq(\{\varnothing, \{\varnothing\}\},Z))$

Равномощность

Если отложить понимание $\tau$ оператора, то остается только понять смысл $Eq(\{\varnothing\},Z)$ .

- это утверждение равномощности множеств и .

Для конечных множеств это просто значит, что количество элементов в множестве X ровно такое же, как и в множестве Y. Но, опять-таки, мы же еще не умеем считать. Поэтому Бурбаки идут другим путем - они идут через взаимно однозначные соответствия. Действительно, если мы можем установить взаимно однозначное соотношение между элементами двух множеств (для каждого элемента), то понятно, что эти множества будут иметь и одинаковое количество элементов. Формально, чтобы определить понятие равномощности, Бурбаки последовательно определяют следующие понятия

график
соответствие
функция (отображение)
биекция
равномощность

Давайте и мы пройдем этим же путем.

График

(гл. II, пар. 3, п. 1)

Определение:
Говорят, что G есть график, если каждый элемент в G есть пара, иначе говоря, если справедливо соотношение:

$(\forall z)(z \in G \Rightarrow (z$ есть пара

Пара обозначается как . При этом вводится понятие проекции.

Проекция 1:
Проекция 2:

Здесь все просто. График - это набор пар вида . Проекция 1 - есть первый элемент в паре ( в нашем примере), а проекция 2 - второй (y).

Далее Бурбаки вводят понятие соответствия.

Соответствие

(гл. II, пар. 3, п. 1)

Определение:
Соответствием между множеством A и множеством B называется тройка $\Gamma = (G,A,B),$ где G - график, такой, что $pr_1 G \subset A$ и $pr_2 G \subset B$ . Мы говорим, что G есть график соответствия $\Gamma$ , - область отправления, и - область прибытия соответствия.

Проще показать на примере:

Следующая тройка является соответствием:

$A = \{a_1,a_2,a_3\}$ - область отправления соответствия

$B = \{b_1,b_2,b_3\}$ - область прибытия соответствия

$G = \{(a_1,b_1), (a_1,b_2), (a_2,b_1)\}$ - график соответствия

Обратите внимание, что множество всех проекций 1 графика ( $\{a_1, a_2\}$ в нашем примере) является подмножеством области отправления ( $\{a_1,a_2,a_3\}$ в нашем примере), как и множество проекций 2 ( $\{b_1, b_2\}$ ) - подмножество области прибытия ( $\{b_1, b_2, b_3\}$ ).

Функция (отображение)

(гл. II, пар. 3, п. 4)

Теперь мы можем дать определение функции:

При этом также говорят об f, как об отображении множества в множество .

Функциональный график - это о том же, о чем и хорошо известное со школы определение функции (однозначной). А далее говорится, что в случае функции область отправления должна быть ровно той же, что и область определения (множество всех проекций 1).

Например, вот это будет функцией :

$A = \{a_1,a_2,a_3\}$

$B = \{b_1,b_2,b_3\}$

$F = \{(a_1,b_1), (a_2,b_1), (a_3,b_2)\}$

Биекция

(гл. II, пар. 3, п. 7)

Определение:
Пусть - отображение в . Мы скажем, что есть инъекция, или инъективное отображение, если любые два различных элемента из имеют различные образы относительно . Мы скажем, что есть сюръекция, или суръективное отображение, если . Мы скажем, что есть биекция, или биективное отображение, если одновременно и инъективно и сюръективно.

Теперь это действительно взаимно однозначное соответствие для всех элементов, как области отправления, так и области прибытия. Например, следующее отображение является биекцией (а все, приведенные выше, не являются биекцией):

$A = \{a_1,a_2,a_3\}$

$B = \{b_1,b_2,b_3\}$

$F = \{(a_1,b_1), (a_2,b_3), (a_3,b_2)\}$

Возвращаемся к равномощности

(гл.3, пар.3, п.1)

Определение:
Мы будем говорить, что множество равномощно множеству если существует биекция на . Соотношение " равномощно множеству " мы будем обозначать как .

Теперь мы готовы к пониманию, что же у нас написано в определении единицы.

Собираем все воедино

Первая строчка:

$(\exists u)(\exists U)(u=(U,\{\varnothing\},Z)$ ...

Это значит, что существуют такие и , что равно тройке $(U,\{\varnothing\},Z)$ . При этом в рамках введенных ранее обозначений на первом месте в тройке ( в данном случае) - график, на втором и третьем $(\{\varnothing\},Z)$ - множества. Свойства этой тройки объясняются в следующих строчках.

Вторая строчка:

$U \subset \{\varnothing\} \times Z$

Перемножение множеств $A \times B$ - это набор всевозможных пар , где $a \in A$ и $b \in B$ . Но тогда вторая строчка всего лишь значит, что - это график, а $u=(U,\{\varnothing\},Z)$ - это соответствие (с графиком , областью отправления $\{\varnothing\}$ и областью прибытия ), которое ... (смотрим следующие строчки).

Третья строчка:

$(\forall x)\Bigl((x \in \{\varnothing\})\Rightarrow (\exists y)\bigl ((x,y) \in U\bigl)\Bigl)$

Выглядит немного странно, потому что у нас только один элемент в множестве, но формально это значит, что область отправления соответствия равна области определения .

Четвертая строчка:

$(\forall x)(\forall y)(\forall y') \biggl(\Bigl((x,y) \in U \wedge (x,y') \in U\Bigl)\Rightarrow (y=y')\biggl)$

Это утверждение, что график функционален, то есть для каждого элемента $x \in \{\varnothing\}$ (да, звучит опять-таки странно, потому что только один элемент), существует не более, чем один объект, соответствующий этому x относительно . Вместе со строчкой 3 это дает то, что есть функция, отображающая $\{\varnothing\} \rightarrow Z$ .

Пятая строчка и шестая строчки (шестая строчка добавлена переводчиком) являются зеркальным отражением ( $Z \rightarrow \{\varnothing\}$ ) третьей и четвертой, что говорит о биекции

$(\forall y)\Bigl((y \in Z) \Rightarrow(\exists x)((x,y) \in U)\Bigl)$

$(\forall x)(\forall x')(\forall y)\biggl(\Bigl((x,y)\in U \wedge (x',y) \in U\Bigl)\Rightarrow(x=x')\biggl)$

Таким образом действительно, эти шесть строчек (пока не рассматриваем $\tau$ ) - это просто логическая запись того, что было определено Бурбаки, как равномощность между множеством и множеством $\{\varnothing\}$ : $Eq(\{\varnothing\},Z)$ .

Теперь давайте поймем смысл выражения $\tau_zEq(\{\varnothing\},Z)$ .

Тау символ Бурбаки и эпсилон оператор Гильберта

Пытаясь понять точный смысл $\tau$ оператора, я постоянно приходил к противоречию. Я не смог понять значение этого оператора у Бурбаки и обратился к другим источникам. Так, например, возьмем википедию.

Читаем, что $\tau$ символ Бурбаки является эквивалентом $\epsilon$ оператору Гильберта и обозначает то же самое ("is equivalent to the Hilbert notation and is read the same"). Хорошо, продолжаем читать википедию, пытаясь понять, что же представляет собой эпсилон оператор Гильберта?

Предполагаемая интерпретация $\epsilon_x A$ — это некоторый , который удовлетворяет , если он существует. Другими словами, $\epsilon_x A$ возвращает некий терм такой, что истинно, в противном случае он возвращает какой-либо терм по умолчанию или произвольный терм. Если более, чем один терм может удовлетворять , то любой из этих термов (которые делают истинным) может быть выбран недетерминировано.

("The intended interpretation of $\epsilon_xA$ is some that satisfies , if it exists. In other words, $\epsilon_x A$ returns some term such that is true, otherwise it returns some default or arbitrary term. If more than one term can satisfy , then any one of these terms (which make true) can be chosen, non-deterministically.")

Применив это к нотации Бурбаки, имеем, что $\tau_xA(x)$ это просто КАКОЙ-ТО элемент , который делает истинным (если он есть). И этот элемент выбирается недетерменированно, но тогда для меня это значит, что это ЛЮБОЙ случайно выбранный элемент делающий A истинным (возможно, я не понял определение, данное в википедии). Я встречал подобное определение и в других источниках. Но если мы примем именно такое понимание символа $\tau$ , то мы не сможем понять ни определение единицы, ни многое другое в Бурбаки.

Аксиома S7

Так, например, аксиома S7 гласит:

Но почему?

Давайте рассмотрим пример.

Предположим, что у меня в кармане лежат 3 одинаковых монетки, и что-то еще, например, блокнот и ручка. Пусть утверждение : " - это круглый предмет, и он находится в моем кармане", а утверждение : " - это металлический предмет, и он находится в моем кармане". Тогда для этих монеток выполняется условие ( $\forall x$ ) ( $R \Leftrightarrow S$ ). Действительно, любой металлический предмет в моем кармане - это монетка, а значит она круглая и, наоборот, любой круглый элемент в моем кармане металлический (да, мы считаем что монетки круглые и металические). Но тогда в соответствии с аксиомой $\tau_x(R)=\tau_x(S)$ . Но, если я выбираю элемент случайно, мне не понятно, почему это должен быть один и тот же элемент. Почему случайно выбранный круглый объект в моем кармане является тем же самым, что и случайно выбранный металлический предмет в моем кармане?

Но, если мы прочитаем пояснение Бурбаки, то мы увидим, что речь идет не о КАКОМ-ТО СЛУЧАЙНОМ, а о ПРИВИЛЕГИРОВАННОМ предмете.

Но что значит "привилегированный"?

Формально, никто не должен ничего объяснять (чему и следуют Бурбаки). Бурбаки ввели аксиому S7, и таким образом определили поведение $\tau$ оператора. То, что эта аксиома "все больше отдаляется от обычной интуиции" ( что означает лишь то, что понять это невозможно) не является определяющим или блокирующим фактором для математика. Не важно, понятно это или нет публике, да и самим математикам, если это не приводит к противоречиям, значит это допустимо. Ну, впрочем, физикам не привыкать - квантовую теорию, например, сложно назвать интуитивно понятной.

Но все-таки математики (в том числе и Гильберт) пытаются объяснить.

Исторически сначала Гильберт ввел именно $\tau$ символ и определил его следующим образом:

Обратите внимание, что здесь появилось описание того, как находится этот привилегированный объект - в данном случае это самый "неподходящий" или самый "худший" для данного предиката элемент. И если уж для него утверждение верно, то оно верно и для всех остальных объектов. В дальнейшем смысл оператора был несколько изменен, также изменился и символ. Вместо $\tau$ стали использовать $\epsilon$ .

Вот как объясняет этот $\epsilon$ оператор J.L. Bell в статье "Hilbert's $\epsilon$ operator and classical logic ":

Вот оно! Выделенный элемент в данной интерпретации - это ИДЕАЛЬНЫЙ элемент. Наш привилегированный элемент - это самый подходящий, идеальный элемент относительно утверждения. Бурбаки взяли именно это определение, но оставили из типографических соображений символ $\tau$ (вместо $\epsilon$ ). Седьмая же аксиома Бурбаки соответствует 2-й эпсилон аксиоме введенной Аккерманом в 1938 году.

Но все же вернемся к нашим монеткам. Почему самое металлическое должно равняться самому круглому? Могу повторить только слова Бурбаки о том, что как-то это становится совсем неинтуитивным. Получается так, что не важно, по какому признаку мы определили множество, $\epsilon$ оператор выбирает один элемент из этого множества, который идеально представляет это множество. Я могу это понять только в такой интерпретации. Тогда, действительно, это будет один и тот же элемент.

Но вернемся к нашему определению.

$Eq(\{\varnothing\},Z)$ . Это лишь значит любое множество , состоящее из одного элемента. Но, т.к. термин единица пока не введен, то берется множество $\{\varnothing\}$ (которое состоит из одного элемента) и ставится условие, что равномощно этому множеству. Например, если вы представили одну овцу, то ваша мысленная овца тоже удовлетворяет этому условию, а также представляемый вами один абстрактный предмет (если вы способны это сделать) - тоже часть этого множества.

$\tau_Z(Eq(\{\varnothing\},Z))$ - это идеальные множество из всех множеств, состоящих из одного элемента (равномощных $\{\varnothing\}$ ) , элемент, который наилучшим образом отражает суть всех этих множеств, отбрасывая частности и представляя только суть, заключающуюся в том, что это множество состоит из одного элемента (равномощно $\{\varnothing\}$ ). Так, например, все более абстрагируясь, мы можем в качестве предела представить совсем абстрактное множество, единственным свойством которого будет только то, что это множество состоит из одного элемента. Это множество и будет нашим идеальным элементом. Но ведь это уже можно принять за единицу.

Красиво, не права ли?

Как я понял из моего короткого исследования, эта тема по-прежнему будоражит математико-философские умы. Так, например, в статье Boniface, J. (2004). "Hilbert et la notion d’existence en mathématiques" исследуется вопрос, является ли $\epsilon_x$ идеальным элементом или идеей (в Платоновском смысле). В контексте этого анализа подумалось, что, может быть, было бы честнее ввести еще одну функцию , которая возвращала бы платоновскую идею, взятую от идеала и определить единицу, как

$1 \equiv idea(\tau_Z(Eq(\{\varnothing\},Z))$

Но здесь мой мозг уже начинает закипать.

Комментарии (60)

leshabirukov
14.05.2023 21:47
#25547678
+17
Как можно было не процитировать Пуанкаре?

Это определение в высшей степени подходит для того, чтобы дать представление о числе 1 тем лицам, которые никогда о нем ничего не слышали!
1. jamiederinzi
  14.05.2023 21:47
  #25547712
  +8
  Не процитировать Пуанкаре можно было в первую очередь потому, что он отозвался таком образом не об определении единицы по Бурбаки, а об определении по Бурале-Форти, которое, кстати, было здесь на Хабре уже разобрано: https://habr.com/ru/articles/263067/
  1. leshabirukov
    14.05.2023 21:47
    #25548162
    +1
    Понял! Я туда тоже смотрел, но решил, что Бурале-Форти один из Бурбаков. По мне, так к этой форме высказывание Пуанкаре еще лучше подходит.
    
    nihole Автор
    14.05.2023 21:47
    #25548226
    Согласен. Я, например, так и не смог понять до конца формулу Бурале-Форти - Бурбаки ближе :)
1. 0xd34df00d
  14.05.2023 21:47
  #25547956
  +5
  Теория множеств вообще паршиво подходит для того, чтобы быть серьезными основаниями математики, что и демонстрируют все эти Бурбаки и прочие.
  
  Единица — это просто s∘0, где s и 0 — некоторые особые стрелки в некоторый особый объект N, удовлетворяющий некоторому универсальному свойству на пару строк текста. Да, у вас может быть несколько (бесконечно много) единиц, но они все изоморфны, ничего страшного.
  
  Чем это определение хорошо — оно работает не только для множеств и функций между ними, но и для более интересных категорий — вычислимых функций, графов, пар множеств, пучков и прочих топологий.
  1. leshabirukov
    14.05.2023 21:47
    #25548164
    А нельзя обобщенные единицы делать как функтор из моноида натуральных чисел? Это как-то естественнее было бы.
    
    leshabirukov
    14.05.2023 21:47
    #25548294
    (EDIT: ) То есть, обратно, в моноид натуральных чисел
    
    0xd34df00d
    14.05.2023 21:47
    #25550284
    +1
    А что такое моноид натуральных чисел, если мы ещё единицу (и, очевидно, прочие числа) не определили?
    
    Да и на функтор (что туда, что обратно) надо наложить какие-то дополнительные условия — константный функтор очевидно не подходит.
    
    leshabirukov
    14.05.2023 21:47
    #25551162
    Ну, не знаю. Хочется, чтобы абстрактная модель структуры с единицей жила в том же пространстве, что и конкретная структура (натуральные числа, функции, графы и т.д.) Ожидаешь, что теория категорий позволит всё это описать категориями, а абстракцию функтором.
    
    0xd34df00d
    14.05.2023 21:47
    #25551300
    +3
    А она и живёт в том же пространстве.
    
    Что такое натуральное число? В теории множеств вы можете в него тыкнуть и сказать, что это элемент такого-то множества [натуральных чисел], но в теоркате так нельзя, там нельзя тыкать внутрь объектов, там есть только стрелки. В теоркате вы говорите, что у вас
    
    есть объект натуральных чисел N (ментальная модель в Set — множество натуральных чисел) вместе с двумя стрелками O : 1 → N (здесь и дальше 1 — это терминальный объект категории, а не арифметическая единица) и s : N → N,
    
    если для любого другого объекта a и пары стрелок x : 1 → a и f : a → a
    
    существует и единственна функция h : N → a такая, что
    
    выполняется h∘O = x и h∘s = f∘h (я бы нарисовал диаграмму, она красивая, но не умею делать это в комментариях).
    
    Это примерно эквивалентно тому, что в Set вы по начальному элементу x ∊ A и функции f : A → A можете задать (единственную) функцию h : N → A согласно паре (рекурсивных) уравнений:
    
    h(0) = x h(n + 1) = f (h (n))
    
    Поэтому вышеупомянутое сводится к тому. что вы можете рассмотреть категорию диаграмм определённого вида (конкретно, 1 → a → a), и объект натуральных чисел (вместе с теми двумя морфизмами) просто будет начальным объектом в этой категории.
    
    А наше обычное натуральное число n становится n раз применённой стрелкой s к стрелке O.
    
    Или, другое эквивалентное определение, если вам ну очень хочется функторы — по данной категории можно построить категорию её эндоморфизмов (но она не очень интуитивная), потом построить забывающий функтор G из этой категории эндоморфизмов в исходную, ставящий в соответствие эндоморфизму объект, на котором он действует, и тогда если у него есть левый сопряжённый функтор F в эту категорию эндоморфизмов, то действие сопряжения на стрелке id_{F(1)}} : F(1) → F(1) (здесь 1 — всё ещё терминальный объект) даст вам стрелку 1 → GF(1), которая будет примерно соответствовать натуральным числам.
    
    Если честно, я не уверен, что эта конструкция лучше и понятнее, чем «пара морфизмов с таким-то универсальным свойством».
    
    а абстракцию функтором.
    
    Абстракции — это любые вещи, имеющие универсальные свойства. Функторы помогают сформулировать некоторые из них, но они не обязательно должны вылезать.
  1. MasterMentor
    14.05.2023 21:47
    #25548260
    Теория множеств - прекрасное основание для математики. Другое дело, что не стоит городить огород (математической) логики там, где она не нужна. Нельзя ввести числовую алгебру иначе, как аксиоматически (т.е. объявив то либо иное множество "числовым" и задав на нём функции). Но я где-то читал, что именно Бурбаки ввели все -екции (биекция итд), что есть их несомненный вклад в развитие математики.
    
    Отсюда и первая часть статьи с началами теории множеств - хороша и стройна, а вот вторая - со всеми этими "цитатами" на английском - "плавает" откровенно.
    
    0xd34df00d
    14.05.2023 21:47
    #25550288
    Теория множеств — прекрасное основание для математики.
    
    Ну да, система, где терм sin ∊ 1 имеет смысл (пусть он и ложен, но это надо узнать), конечно, прекрасна.

victor_1212
14.05.2023 21:47
#25547770
+7
>Так, например, возьмем википедию .... если мы примем именно такое понимание символа $\tau$ , то мы не сможем понять ни определение единицы, ни многое другое в Бурбаки.

просто показывает что Бурбаки и википедия плохо совместимы, их том по теории множеств был опубликован где-то в 1954, и не то чтобы сильно устарел, скорее даже в момент публикации уже был довольно спорным, если правильно помню Курт Гедель вообще считал авторов этого тома не вполне нормальными, когда-то давно учился на мехмате, интересовался математикой и даже пытался его читать, но как-то повезло интуитивно почувствовать примерно тоже самое что Гедель и бросить это бесполезное занятие, конечно строго imho

excoder
14.05.2023 21:47
#25547822
+8
Ох уж эта бурбакинщина... Может быть конечно дело вкуса, но на мой взгляд это не та математика, что можно назвать красивой.

Refridgerator
14.05.2023 21:47
#25547874
+8
Идея Бурбаки была в том, чтобы весь накопленный математический опыт выразить исключительно через теорию множеств, даже ценой натягивания совы на глобус. Исключительная сложность даже элементарных понятий тому наглядное подтверждение.

shuhray
14.05.2023 21:47
#25547898
Вот интересно, все остальные книжки Бурбаков вполне нормальные. Полезли не в своё дело (среди них не было специалистов по матлогике и основаниям математики)
1. Sergey_Kovalenko
  14.05.2023 21:47
  #25548192
  Я не заглядывал внутрь Бурбаки, но разве их программа не была как раз направлена на аксиоматизацию математики. Без специалистов по матлогике и основаниям математики? Забавно!
  1. victor_1212
    14.05.2023 21:47
    #25549076
    +2
    это была программа Давида Гильберта, заметим сформулированная до результатов Геделя о неполноте и пр., группа Бурбаки собиралась реализовать эту программу, в свое время были многочисленные обсуждения почему в ранних томах Бурбаки работы Геделя упорно не упоминаются, однозначного мнения нет, но по факту поздние тома Бурбаки скорее энциклопедия математики, чем продолжение работ по программе Гильберта
    
    ps
    
    на первый взгляд представляется, что важность программы Гильберта существенно снизилась после работ Геделя

Lord_Ahriman
14.05.2023 21:47
#25547960
+5
Нужно понимать две вещи:

а) Работы Бурбаки даже в момент их опубликования считались довольно спорными.
б) Цитируемая тут книга самая спорная из всех, т.к. среди авторов не было специалистов по вопросам, которые в этой книге рассматриваются.

18741878
14.05.2023 21:47
#25548144
+3
Бурбаки - как много в этом звуке...

Ни черта не понятно, но крайне занятно. Держу на расстоянии вытянутой руки свой экземпляр "Теории множеств" и порой в него поглядываю, дабы осознать свою ничтожность :) Сам постоянно спотыкаюсь об это "тау" и, признаться, так и не врубился по-настоящему. Автору спасибо за то, что предпринял попытку сопоставить взгляды и обозначения Бурбаки и Гильберта. Я бы на это не решился.
P.S. В моем издании "Теории множеств" есть превосходное приложение, посвященное понятиям отображения и функции. Вот оно, в отличие от основного текста, читается легко. Как будто его писал кто-то другой

ksbes
14.05.2023 21:47
#25548292
-1
А разве не 0<=>{}<=>{0} по определению и свойствам пустого множества? (и почему латекс из инструкций не работает?)
Если так — то все эти «числа» просто эквивалентно «схлопываются» в пустые множества.
1. domix32
  14.05.2023 21:47
  #25548906
  Дык 0 = сard(∅) по-идее. А единица стартует с множества содержащее другое множество, двойка - два предыдущих множества, тройка - три предыдущих и далее по индукции. Куда множество множеств можно схлопнуть, если мы выражаем числа через количество элементов во множестве? Теоретически можно сделать множество из пустых множеств, но там свойства для всяких проекций-биекций-фигекций неприятные и аксиомы поверх таких множеств определять в лучшем случае неудобно.
  
  Соотвественно ваше утверждение будет ложным, т.к. пустое множество не может быть эквивалентно множеству, содержащим ноль. По крайней мере без дополнительных определений.
  1. ksbes
    14.05.2023 21:47
    #25548974
    Куда множество множеств можно схлопнуть, если мы выражаем числа через количество элементов во множестве?
    Ну так количество элементов — точно ноль
    Соотвественно ваше утверждение будет ложным, т.к. пустое множество не может быть эквивалентно множеству, содержащим ноль.
    Виноват, не сразу разобрался как вставить формулу. Имелось ввиду: ∅<=>{}<=>{∅}
    
    amishaa
    14.05.2023 21:47
    #25549200
    +3
    Пустая коробка, и коробка, содержащая пустую коробку, - это разные сущности.
    
    ksbes
    14.05.2023 21:47
    #25549236
    Только вот множество — это не коробка. Это абстрактное, "мысленное" объединение. Это, если хотите материальную аналогию, одинаковый ярлычок, который мы клеим на объекты. И никуда не наклеенные ярлычки и никуда не наклеенные ярлычки, которые никуда не наклеили ещё раз — это одно и тоже
    
    amishaa
    14.05.2023 21:47
    #25549256
    Только в случае {∅} мы наклеили наш ярлычок.
    А именно наклеили на единственный объект - на (единственный) ярлык, который никуда не наклеен.
    
    ksbes
    14.05.2023 21:47
    #25549436
    Любое множество содержит пустое подмножество: {1,2,3} <=> {∅,1,2,3}.
    Т.е. на ∅ уже наклеены все возможные ярлыки.
    
    Более того, т.к. пустое множество — это тоже множество, то оно содержит пустое множество, как своё подмножество: {}<=>{∅}.
    Т.е. этот ярлык уже наклеен сам на себя (наклеены абсолютно все ярлыки)
    
    Потому как скобочки не расставляйте — получим нуль элементов в множестве.
    
    Пока что это утверждение мне не опровергли
    
    mayorovp
    14.05.2023 21:47
    #25549470
    +4
    Вы путаете элемент множества и подмножество.
    
    Верно что ∅ ⊂ {1,2,3}
    Но неверно что ∅ ∈ {1,2,3}
    
    Иными словами, фигурные скобки не раскрываются.
    
    Тут нечего "опровергать", это просто по определению.
    
    ksbes
    14.05.2023 21:47
    #25549616
    +3
    А ну да, туплю после выходных, спасибо за объяснение!
    
    domix32
    14.05.2023 21:47
    #25550324
    {1,2,3} <=> {∅,1,2,3}.
    
    Опять же это утверждение неверно. Вы может выбрать из множества нисколько элементов, то бишь пустое подмножество и там будет не эквивалентное соотношение, а вот та самая проекция, тау или ещё какой-нибудь способ из той же оперы. Но тут есть нюансы с аксиомой выбора, которое может увести в разные области теории множеств.
    Аналогия с коробками вполне легитимная в этом смысле. Если не нравятся коробки можете вектора программисткие использовать.
    
    # пустое множество len(empty_set) = Card(∅) = 0 empty_set = [] # непустое множество включающее пустое множество # len(set1) = 1 set1 = [empty_set] # далее по индукции # len(set1) = 2 set2 = [empty_set, set1] # len(set1) = 3 set2 = [empty_set, set1, set2] # а можно несколько пустых множеств # покласть в одно множество и никто меня не остановит set_0 = [empty_set, empty_set, empty_set]
    
    Тут более наглядно почему ничто никуда не схлопывается. Множество содержащее множество не может быть эквивалентно пустому множеству просто по определению.
    
    mayorovp
    14.05.2023 21:47
    #25549260
    Но это всё равно не делает {∅} эквивалентным пустому множеству.
    
    Более того, в стандартной модели арифметики Пеано множество {∅} соответствует элементу, следующему за {} (то есть единице если начинать ряд с 0 или двум если начинать ряд с единицы).
    
    ksbes
    14.05.2023 21:47
    #25549448
    Ну так про это я и пишу — что мол как же так, если ∅ это — {}, а {1,2,3,4} тождественно {∅,1,2,3,4}?
    
    mayorovp
    14.05.2023 21:47
    #25549452
    Нет, не тождественно.
    
    ksbes
    14.05.2023 21:47
    #25549466
    ссылку?
    
    mayorovp
    14.05.2023 21:47
    #25549480
    На учебник математики? Давайте вы как-нибудь сами.
    
    zkutch
    14.05.2023 21:47
    #25550116
    Просто посчитайте сколько элементов в одном множестве и сколько в другом. Еще можно написать так {∅,1,2,3,4} = {{},1,2,3,4}, но это не {1,2,3,4}.

WaRLoC
14.05.2023 21:47
#25549100
+2
Честно говоря попытки определить "1" через смыслы которые кроются в терминах логики, и эти смыслы так или иначе включающие в себя понятие единицы (я помню про отличие "1" и "один" но как минимум полагаю что первое входит в смысл второго) оставляют у меня ощущение что люди пытаются замкнуть логику саму на себя. То что мы оперируем сепарированными понятиями, например элемент множества подразумевает что это один элемент множества откуда смысл "1" начинает использоваться в определении самого себя. Видимо мне не хватает еще каких-то знаний и определений из математики :((
1. nihole Автор
  14.05.2023 21:47
  #25552028
  +1
  Угу. А если вспомнить, что 1 - это бит, то вообще удивительно, что они определили бит через безумное количество бит. :)
  1. WaRLoC
    14.05.2023 21:47
    #25552858
    ну "1" это все таки не бит, а полбита :). Бит все таки может принимать 2 состояния

zkutch
14.05.2023 21:47
#25549636

"Пытаясь понять точный смысл \tauоператора, я постоянно приходил к противоречию. Я не смог понять значение этого оператора у Бурбаки ... "

Можно узнать к какому противоречию и что не понятного в самом определении тау (33стр., Русское изд. 1965г.(Гл. 1, пар. 1, п. 1)) ?
1. nihole Автор
  14.05.2023 21:47
  #25550120
  Формально, я понимаю все, что там написано, но так и не понимаю сути этого символа из того, что там написано. Это просто введенные правила составления знакосочитаний.
  1. zkutch
    14.05.2023 21:47
    #25551016
    +1
    Наверное вы имеет ввиду что ваше понимание сути ведет к противоречию и я как раз интересовался этим пониманием. С другой стороны один из смыслов этой книги я вижу как раз в том чтобы создать математику как науку об именно знакосочетаниях, как науку о правилах создания и определенной обработки определенных знакосочетаний. Если правила создания и обработки знакосочетаний работают, то каждый волен вкладывать суть свою. Мы понимаем друг друга в том смысле, что мы согласовали правила составления и обработки именно знакосочетаний.
    
    Позвольте пример: вы прекрасно привели схему S7 как правило работы с символом тау, но заключаете, что из равенства термов следует, что это один и тот же самый терм. Но надо следовать точно написанным знакосочетаниям - равенство всего лишь реляционный знак и схема S7 говорит лишь об равенстве (то же мелким шрифтом на 66стр.), а не о тождестве.
    
    Продолжу мысль. Если тау есть возможность выбора, то схема S7 говорит, что для эквивалентных свойств выбранные объекты равны, но это не один и тот же объект.
    
    nihole Автор
    14.05.2023 21:47
    #25551110
    +1
    Интересное замечание. Готов рассмотреть такой вариант, но мне кажется, что тогда все становится еще более запутано.
    
    Вот берем определение функционального графика:
    
    «Мы говорим, что график F есть функциональный график, если для каждого x существует не более, чем один объект, соответствующий этому x относительно F.»
    
    В определении единицы они представляют это в виде следующей формулы
    
    $(\forall x)(\forall y)(\forall y') \biggl(\Bigl((x,y) \in U \wedge (x,y') \in U\Bigl)\Rightarrow (y=y')\biggl)$
    
    Если мы примем то, что y = y’ не значит, что это один и тот же объект (а значит что-то другое), то эта формула не отражает определения. По определению это должен быть один и тот же объект.
    
    Мне кажется, чтобы понять смысл схемы S7 я пытаюсь подогнать тау, а Вы знак равенства.

zkutch
14.05.2023 21:47
#25551342
Тут есть следующая тонкость: в том месте где вводится схема S7 (61стр., Русское изд. 1965г.) как раз и идет речь об отличии в высказываниях термы равны и термы тождественны. Взгляните на стр. 62 самый верхний (первый) мелкий текст - взаимозаменяемость тождества и равенства прямо называется вольностью речи (в английском издании 2004г. стр. 45 "by abuse of language"), но при точном истолковании это, разумеется не одно и то же.

Ваш пример про функциональный график уже на стр. 90, но он рождается на стр.63, перед C45, где определяется соотношение "существует самое большое одно x, такое, что R". Т.е. тут равенство есть как раз реляционный знак эгалитарной теории. Так, что запись y = y’, сохраняя точность, утверждает как раз равенство объектов, а не их тождество и как раз это и есть определение функционального графика. Это не увеличивает запутанность, а, наоборот, расставляет все по местам. Взглянем еще раз: у нас есть знакосочетания, термы, не тождественные, но равные. Глядя сверху, с позиций, например, алгебры, можно сказать, что это первый виток фактор-множества по эквивалентности, в этом случае по знаку равенства.

Теперь про тау. Чтобы не быть зависимым от википедии интуитивный смысл приведен на стр. 36 в единственном мелком тексте где говорится, что с помощью тау создается привилегированный объект, если он существует. В английском издании 2004г. стр.20 употребляется термин "distinguished object", но так как это замечания вне основного текста и существование еще не определено, то каждый понимает в меру своего внутреннего понимания, недоступного другим.

Самое интересное с тау начинается в кванторных теориях, где появляется определение существования. Для него и созданно тау и с этого определения можно о нем точно рассуждать.

И, да, Вы так и не рассказали мне о противоречии.
1. nihole Автор
  14.05.2023 21:47
  #25551896
  У меня нет никакого сомнения, что группа профессиональных казуистов не допустила формальных ошибок или противоречий. Когда я говорю о том, что я постоянно сталкивался с противоречием, то я имел ввиду лишь противоречия в моем понимании предмета, и это связанно именно с тем, что ясно не определен смысл привилегированного элемента.
  
  Понятно, что тождественность и равенство не равны. Но давайте по существу. Вот в моем примере с монетками, где утверждение А - круглое в моем кармане, а утверждением В - металическое в моем кармане. $\tau (A)$ и $\tau(B)$ укажут на один и тот же предмет?
  1. mayorovp
    14.05.2023 21:47
    #25552892
    Тау-оператор не указывает на предмет, это просто символ который вводится аксиоматически.
    
    Это просто ярлык, наклеенный на предикат.
    
    nihole Автор
    14.05.2023 21:47
    #25553068
    
    mayorovp
    14.05.2023 21:47
    #25553124
    Ключевое слово здесь — "изображает": ????_x(B) не является предметом, а просто находится на его месте в формуле.
    
    nihole Автор
    14.05.2023 21:47
    #25553184
    Здесь Бурбаки явно называют $\tau_x$ предметом, без всяких изображают
    
    ksbes
    14.05.2023 21:47
    #25553218
    Тут явно пытаются ввернуть в математику объективный идеализм и "платоновские монетки" (иначе как одна монета может быть привилегированее другой?).
    А раз так то противоречивость будет зависит от школы философии которой вы придерживаетесь. И спор, как я понимаю, немного бессмыслен.
    
    mayorovp
    14.05.2023 21:47
    #25553266
    Они просто устали говорить полные формулировки (которые у них по дохренелиону букв) и перешли к сокращённым.
    
    nihole Автор
    14.05.2023 21:47
    #25553328
    Хорошо, пусть даже изображает.
    Так тау в моем примере будет изображать одни и те же монетки или нет?
    
    mayorovp
    14.05.2023 21:47
    #25553396
    Скажите, вы когда видите запись вида f(0+) тоже недоумеваете: "какому числу этот 0+ соответствует"?
    
    Или, скажем, в определении из школьной геометрии (одном из) "вектором называют символ, изображающий класс эквивалентности направленных отрезков" задаёте вопрос — так какой же из отрезков изображает вектор?
    
    Или вот ещё пример, самый вопиющий — что означает символ ∂ в выражении ∂/∂x и чему равно ∂x?
    
    nihole Автор
    14.05.2023 21:47
    #25553410
    Еще раз посмотрите первое определение. Там ясно говорится : тау есть предмет.
  1. zkutch
    14.05.2023 21:47
    #25553250
    Если, по всем буквам, соотношение А эквивалентно В, то схема S7 не оставляет двух мнений - тау объекты по одной и той же букве равны т.е. укажут на равные предметы. Это не исключает, но и не требует их тождественности. Вам не нравится, что не тождественные объекты могут быть равными, или вы обязательно хотите получать из равенства тождество? Еще студентом читая это место я думал об объектах которые равны но не тождественны. Тогда мне помогло то, что я заменил, согласно замечанию на стр. 36, объект (предмет) обратно на терм, знакосочетание. Т.е. нужны были равные, но не тождественные знакосочетания? Так для этого подходит даже 4/2 = 2. И, если принять приведенное мной равенство, то примеров тьма. Фактически все доказанные формулы с равенствами это не тождественные но равные знакосочетания.
    
    Итак, возвращаемся к ключевому моменту - мы имеем дело с наукой о создании определенных знакосочетаний и определенных правил их обработки.
    
    Вопос о том как же работает это тау выводит на аксиому выбора и сводиться к взаимосвязи существования и выбора. Очень интересная и сильная тема.
    
    nihole Автор
    14.05.2023 21:47
    #25553320
    Мне вполне понятно, что не тождественные объекты могут быть равны.
    Я просто хочу убедиться, что не упустил ли я что-то в своем рассуждении. Если тау в моем примере указывают на одно и те же монетки, то не упустил.
    
    Мне показалось, что вы хотите указать на ошибку в моей логике.
    
    zkutch
    14.05.2023 21:47
    #25553854
    +2
    У вас просто и в тексте публикации и тем более в коменте с примером функционального графика слова "один и тот же ". Но если мы договорились, что тут равенство, то мы пришли к согласию. Я вообще очень терпимо отношусь к чужим ошибкам, как к логическим, так и к не-логическим. Главное как ведет себя человек при разборе. Трудно назвать не то что человека, но и книгу, в которой нет ошибок.
    
    Я думаю уточнение подобных деталей способствует и пониманию сути. Вот смотрите идет обсуждение что-же делает тау: то-ли изображает(замечание на стр. 36. В Английском издании 2004г. стр. 20 слово represent), то-ли указывает, то-ли это наклейка то ли это оператор. Но именно эти попытки интерпретации понять или создать суть написанного, возможно, создают неясность между беседующими. В Бурбаках же тау это просто логический знак (стр.31), с помощью которого создаются определенные знакосочетания. Это такой-же знак как знак отрицания, знак дизъюнкции и т.д. Извините, что повторяю, мы имеем дело с наукой о создании определенных знакосочетаний и определенных правил их обработки. Что понимать под ними т.е. что есть суть, понимание - это у каждого может быть свое. Я называю взаимопониманием то, как мы согласны или не согласны на оценки собеседником написанных знакосочетаний.
    
    Вам же я благодарен за поднятую тему и возможность обсудить не смотря на все возможные бурбакизации или бурбакифобии бродящие в некоторых умах. Название просто магическое - вспомнилось "Блеск и нишета .." т.е. красота, запредельной абстрактности.
    
    nihole Автор
    14.05.2023 21:47
    #25554746
    Спасибо за дискуссию и за попытку разобраться и помочь.
    Я ведь не математик, и, хотя тема показалась мне не очень сложной, но могу просто не знать общепринятых вещей.

Ahuromazdie
14.05.2023 21:47
#25552506
Все было бы ничего, еслиб французы не пытались учить детей математике по Бурбаки...
1. nihole Автор
  14.05.2023 21:47
  #25552792
  Много работая с французами, могу сказать, что похоже этот подход им органично близок - их стилю мышлению и образованию

Единица по Бурбаки. Красота запредельной абстрактности +38

Кардинальные числа

Равномощность

График

Соответствие

Функция (отображение)

Биекция

Возвращаемся к равномощности

Собираем все воедино

Тау символ Бурбаки и эпсилон оператор Гильберта

Аксиома S7

Комментарии (60)

nihole Автор

nihole Автор

nihole Автор

nihole Автор

nihole Автор

nihole Автор

nihole Автор

nihole Автор

nihole Автор

nihole Автор

nihole Автор

nihole Автор