Гипотеза Коллатца, часть 3 / forpes.ru

Главная
Гипотеза Коллатца, часть 3

Гипотеза Коллатца, часть 3 -6

29.05.2023 10:21

Martynov_M 84 1800 Источник

Аннотация

Это третья статья из цикла "Доказательство гипотезы Коллатца".
Первая часть находится здесь.
Вторая часть здесь.

§1. Постановка вопроса

Как известно, гипотеза Коллатца может оказаться неверна только лишь в том случае, если существует такое число n, которое зацикливается или уходит в бесконечность. В противном случае, число n всегда достигает единицы.

В первой части публикации мы выяснили, почему вообще гипотеза Коллатца начинается с единицы. Во второй части мы доказали, что в 3n+1 не существует циклов и повторов. Сейчас же мы покажем, почему сиракузские последовательности не могут уйти в бесконечность и слева, и справа. Бесконечность для них только одна, она начинается с единицы.

§2. Терминология

Гипотеза Коллатца – это алгоритм.
Что такое алгоритм? Это совокупность точно заданных правил (набор инструкций).

Если развернуть 3n+1 в обратную сторону $\frac {n-1}{3}$ , то это тоже алгоритм? – спросите вы.
– Да, это тоже алгоритм. Но другой, – отвечу я.

Пример последовательности 3n+1:
13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Пример последовательности $\frac {n-1}{3}:$
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13 …

§3. Разговор двух программистов

1 мая 2022 года, время полночь:
– Бро, как охватить все последовательности Коллатца?
– Нужно изменить алгоритм $\frac {n-1}{3}$ .
– Как?
– Добавить в него новую инструкцию.
– Какую?
– На разветвление.
– Но это будет другая задача!
– Да. Именно! Она и строит все последовательности Коллатца.
– Допустим, ты прав. Но как это поможет нам с доказательством?
– Что первичнее? Полная версия алгоритма или обрубок?
– Конечно, полная! Обрубок 3n+1 вообще ничего не умеет, только спускаться к 1… Постой, подожди. На что ты намекаешь? Ты хочешь сказать, что математики на протяжении 100 лет решали не ту задачу?
– Вот именно.
– Я в шоке! Что дальше?
– Мы выкинем все чётные числа из алгоритма.
– Так нееееельзя! Это издевательство над математиками!
– Мы творцы алгоритмов и делаем с ними всё что хотим.
– К чему ты клонишь?
– У меня есть подозрение, что программисты подсунули математикам «кота в мешке». Алгоритм $\frac {n-1}{3}$ и вся гипотеза Коллатца – это порождение другой сущности…, – сказал один приятель другому, и в это время небо в Оренбурге заволокло тучами.

Раздался гром. Два русских мужика из сельской глубинки на границе Казахстана, перекрестились, опрокинули стакан водки, и произнесли тост за упокой «Великой недосягаемой гипотезы Коллатца».

§4. Рекурсия

Итак, отставим шутки в сторону и перейдем к конкретике.
Как показано в первой части публикации, обратная схема для гипотезы Коллатца – это алгоритм $\frac {n-1}{3}$ .

Но что вообще из себя представляет эта «обратная схема»? Ведь мы замахнулись на охват сразу всех последовательностей Коллатца. Мы строим всё дерево целиком!

Сделав одно открытие, мы даже не заметили, как перешли к другому. Прошел год с момента публикации. Этого достаточно, чтобы всё осмыслить.

§5. Что такое рекурсия?

Рекурсия – это описание какого-либо объекта через самого себя.

С точки зрения натуральных чисел, все числа – это порождение других чисел. Все числа имеют уникальные рекурсивные связи. Все числа имеют родителя и потомков. Все числа рекурсивно связаны друг с другом. Единица, однажды породив число, уже никогда не сможет остановиться, – гласит вселенская истина. Всё это и есть рекурсия.

Словами Наполеона Бонапарта: «Рекурсия породила миф о гипотезе Коллатца, рекурсия его и убила!»

Для осознания рекурсии программисты часто используют конструкцию:
рекурсия $\rightarrow$ см. рекурсия $\rightarrow$ см. рекурсия $\rightarrow$ см. рекурсия $\rightarrow$ …

Как известно, сила рекурсии – в её способности описать бесконечное число операций c бесконечным числом элементов только через саму себя, как сущность, не прибегая при этом ни к каким другим понятиям. Рекурсия – Бог алгоритмов.

§6. Рекурсия в рекурсии, вот где собака зарыта!

На строгом математическом языке рекурсию $\frac {n-1}{3}$ можно классифицировать как классическую взаимную рекурсию, когда одно нечетное число расщепляется на два других. И этот процесс зацикливается сам на себе (уходит в бесконечность):

Стоит отметить, что в прикладных задачах всегда есть ограничение на количество «саженцев». Но в гипотезе Коллатца таких ограничений нет, и мы можем расщеплять число бесконечно долго.

Такой вид рекурсии, как известно, образует двоичное дерево в Теории графов:

§7. Шаг рекурсии

Строго говоря, такого термина как «шаг рекурсии» в математике нет. Он используется только в программировании. И только в случае, когда взаимная рекурсия упрощается до прямой рекурсии, что мы и сделали в первой части работы.

Но в математике с этим дела обстоят еще хуже.

Взаимная рекурсия – это абстракция абстракций, её нельзя записать формулой. Всё, что мы можем сделать, это использовать функцию F для фиксации каждого нашего действия, каждого нашего перехода по дереву, каждой генерации сиракузской последовательности, каждого разветвления нечетного числа:

$F = [f_{1}(n), f_{2}(n)],$
где

$f_{1}(n) = \begin{cases} \frac{2n-1}{3}, & n ≡ 2 \; mod \; (3) \\ \frac{4n-1}{3}, & n ≡ 1 \; mod \; (3) \\ 0, & otherwise \end{cases}$

$f_{2}(n) = 4n+1.$

Такая запись эквивалентна понятию «шаг рекурсии», на который мы ссылались в предыдущих работах. Но функция F не имеет для нас никакого практического смысла. Она лишь служит доказательством, что такой вид рекурсии – тоже рекурсия. Проверили. Доказали. Идем дальше.

§8. Ряд нечетных чисел

Переходим к бесконечности. Все нечетные числа по модулю 3 равномерно рассредоточены в ряду нечетных чисел: 3k, 3k-1, 3k-2.

Сдвигая любое нечетное число по правилу $\frac{2n-1}{3},$ $\frac{4n-1}{3}$ с позиции 3k-1, 3k-2 мы всегда получаем число 3k. Для каждого числа n количество сдвигов разное. Но все они упираются в 3k, «хвост рекурсии». Почему так происходит?

Как показано в этой статье, это происходит из-за того, что среди нечетных чисел есть такие числа, которые «привязаны» к числу 3k. Мы будем называть их маркерами. Как только последовательность $\frac {n-1}{3}$ доходит до такого маркера, она сразу же упирается в 3k. Выглядит это следующим образом:

Не пугайтесь. Всё просто:

Числа вида 3k-1, 3k-2 порождают друг друга через правила $\frac{2n-1}{3},$ $\frac{4n-1}{3}$ .
Они делают это до тех пор, пока не поймают свой маркер.
Маркеры – это те же числа 3k-1, 3k-2, но только «привязанные» к 3k.
Маркеры всегда раздваиваются. Одна ветка уходит на 3k, другая на 4x+1.
Маркеры «А» – особенные, они могут порождать сразу два хвоста рекурсии 3k.
Маркеры «Б» так не умеют.
Числа вида 3k-1 могут порождать число 3k через правило 4x+1.
Числа 3k-2 так не умеют.
Любой выход из блока (применение правила 4x+1) означает создание нового блока.
Новый блок всегда начинается с 3k-1, 3k-2.

Пример.

Число 111:
… 111 $\rightarrow$ 445 $\rightarrow$ 593 $\rightarrow$ 395 $\rightarrow$ 263 $\rightarrow$ 175 $\rightarrow$ 233 $\rightarrow$ 155 $\rightarrow$ 103 $\rightarrow$ 137 $\rightarrow$ 91 $\rightarrow$ 121 $\rightarrow$ 161 $\rightarrow$ 107 $\rightarrow$ 71 $\rightarrow$ 47 $\rightarrow$ 31 $\rightarrow$ 41 $\rightarrow$ 27.

Как мы видим, 111 – это хвост рекурсии (3k), он принадлежит другому блоку. Применяем к нему правило 4x+1. Получаем новый блок. Стартовое число 445. Применяем к нему правила $\frac{2n-1}{3},$ $\frac{4n-1}{3}$ . Натыкаемся на маркер 41.

Маркер не простой. Он особенный. Принадлежит классу «А». Этот маркер порождает сразу два хвоста (27, 165). Наш блок отработал. Но в процессе он сгенерировал 20 новых чисел. Применяем к каждому из них 4x+1 и получаем еще 20 новых блоков. Это и есть рекурсия. Бесконечное разветвление чисел.

§9. Математическое обоснование

Мы проверили триллионы последовательностей Коллатца на компьютере, и все они оказались блоками рекурсии по схеме описанной выше.

Как уже было сказано, существование маркеров было доказано нами в этой статье. Поэтому сейчас мы рассмотрим только переходы по правилу 4x+1:

имеет целочисленное решение. Это означает, что числа 3k-1 могут порождать 3k через правило 4x+1.

не имеет решения.

Последнее равенство можно интерпретировать так: «Хвост никогда не сможет породить еще один хвост, потому что он хвост».

Таким образом, в наших статьях "Доказательство гипотезы Коллатца" мы получили полное математическое обоснование всего того, что происходит внутри рекурсии. Мы рассмотрели так называемый «шаг рекурсии» и уже на основе него выявили все возможные связи между нечетными числами.

§10. «Золотое сечение»

Мы подсчитали процент маркеров и получили цифру 22.22%. Это огромный удельный вес для оставшихся 44.44% чисел.

Даже если по каким-то причинам числа 3k-1, 3k-2 избежали первой встречи с маркером, они всё равно обречены наткнуться на него. Это обусловлено равномерностью их распределения.

Другими словами, «золотое сечение» в гипотезе Коллатца (охват всех чисел) достигается:
– Во-первых, пропорциональностью всех классов 3k, 3k-1, 3k-2 по отношению друг к другу.
– Во-вторых, отсутствием циклов (см. предыдущую работу).
– В-третьих, правилом 4x+1.

§11. Правило: 4x+1

Начиная с единицы, рекурсия соединяет все блоки между собой правилом 4x+1. Это означает, что двигаясь в обратном направлении (по схеме 3n+1) можно разложить любое нечетное число на эти же самые блоки и снова получить единицу.

Но если рассматривать гипотезу Коллатца в той постановке вопроса, как это делают математики, то она недоказуема. Потому что невозможно понять, что вымысел, а что правда? Где блок, а где деление на 2?

«Фальшивость» 3n+1 сделала из этой задачи настоящую головоломку века, а в совокупности с нетерпимостью математиков к рекурсиям, сформировала легенду.

«Нет такого математика, которой бы не потерпел крах в гипотезе Коллатца», – говорится в различной литературе, и добавляется: «Наука бессильна! Даже не пытайтесь её доказать!»

Но вот перед нами обычная последовательность Коллатца:
53 $\rightarrow$ 160 $\rightarrow$ 80 $\rightarrow$ 40 $\rightarrow$ 20 $\rightarrow$ 10 $\rightarrow$ 5 $\rightarrow$ 16 $\rightarrow$ 8 $\rightarrow$ 4 $\rightarrow$ 2 $\rightarrow$ 1.

Теперь сравним её с нашей рекурсивной моделью:
53 $\rightarrow$ 13 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 5 $\rightarrow$ 1.

Как мы видим, в последовательности Коллатца отсутствуют числа 13 и 3. Куда они делись?
– Их там не должно быть, – скажите вы, – Потому что (53*3 + 1) = 160, 160/2 = 80…
– Нет, – скажу я вам, – Вы не правы. Они там есть.
– Но где? Мы вам не верим, покажите!
– Но тогда вопрос уже к Вам. Что, по-вашему, означает то самое правило 4x+1 в контексте нашей рекурсии?
– Оно означает, что любое нечетное число можно разложить на определенное количество блоков, вплоть до единицы. Потому что эти блоки образованы из единицы. Это элементарно, Ватсон! Вы же сами сказали.
– Вот именно! Тогда зачем Вы ломаете блок? Почему не применяете 4x+1?
– Но как?
– Замените 53 на 13, 13 на 3, и вы получите рекурсию в том виде, в котором она и была.

Один из контр-примеров к моим работам обычно звучал так: – А ну-ка объясни:
1365, 4096, 2048, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Действительно, без математической модели не было смысла идти к математикам. Но теперь всё встало на свои места. Любое число вида «4x+1» – это ограничитель. Это блок. Нельзя пренебрегать им.

Становится очевидным, что любая сиракузская последовательность «фальшива» по своей сути, по своему определению, потому что она не учитывает переходы 4x+1.

– Но что будет, если мы будем учитывать все переходы 4x+1? – спросите вы.
– Тогда вы получите рекурсию в том виде, в котором она и была. Вы получите набор блоков, связанных между собой правилом 4x+1.

§12. Но что если маркера нет? Тогда ваша мат. модель не работает?

Рассмотрим такое число n, которое бесконечно долго прыгает по правилам $\frac{2n-1}{3},$ $\frac{4n-1}{3}$ и никак не может найти свой маркер.

Случай 1. Правило $\frac{2n-1}{3}$ преобладает над числом, и оно спускается к единице.
Но спуск к единице возможен только лишь по тем числам, которые уже и так находятся рядом с единицей. Это означает образование цикла в гипотезе Коллатца. Например, 3 -> 13, n -> 13. Но мы доказали, что циклов нет. Получаем противоречие. Отсюда следует, что такого числа нет.

Случай 2. Правило $\frac{4n-1}{3}$ преобладает над числом, и оно уходит в бесконечность.
Но мы и так движемся из единицы в бесконечность. Здесь нет противоречий.

§13. Окончательные выводы

Построение мат. модели позволило систематизировать все процессы в рекурсии. На основе мат. модели мы пришли к выводу, что такой вид рекурсии не может генерировать сиракузские последовательности, уходящие в бесконечность и слева, и справа. Бесконечность для них только одна, она начинается с единицы. Что и требовалось доказать.

С уважением,
автор статьи: Михаил Мартынов.

Комментарии (84)

wataru
29.05.2023 10:44
#25594282
+15
Первая ошибка в статье уже в третьем абзаце.

В первой части публикации мы выяснили, почему вообще гипотеза Коллатца начинается с единицы. Во второй части мы доказали, что в 3n+1 не существует циклов и повторов.

Нет. В первой части вы развернули процесс, выкинули четные числа и рассмотрели, а что там растет из 1 (т.е. какие числа в прямом процессе приходят в 1).
Во второй вы доказали, что нет циклов и повторов для этих чисел (приходящих к 1).

Главное: почему все числа получаются из 1 в вашем процессе, вы так и не доказали.

Дальше по существу спорить даже не буду. Вы опять доказали, что, если посмотреть на числа, для которых гипотеза коллатца выполняется, то мы получим, что все эти числа приходят в 1, т.е. гипотеза коллатца для этих чисел доказана.

Опять повторю только, что процесс 5n+1 в этой статье нигде не встречается, несмотря на ваши обещания его разобрать. А все ваши рассуждения на этот процесс тоже переносятся практически без изменений. Но для этого процесса есть цикл не проходящий через 1, который я приводил в комментах к прошлой статье. Т.е повторив ваши рассуждения можно "доказать" очевидно неверный факт, что аналог гипотезы Коллатца для 5n+1 выполняется. Значит ваши рассуждения или неверны, или неверен вывод из них. Поскольку все рассуждения элементарны — ошибки в них нет. Ошибка в выводе — из всех ваших рассуждений не следует, что гипотеза коллатца выполняется (потому что вы проводите рассуждения на дереве, растущем из 1, т.е. только на числах, которые удовлетворяют гипотезе. Т.е. вы рассматриваете только "хорошие" числа и доказываете, что они хорошие").

Пока вы не покажите, какие ваши рассуждения их первых статей не относятся к 5n+1 или чем 5 принципиально отличается от 3, все ваши рассуждения дальше не достойны даже чтения по существу, потому что вы развиваете неверную идею.
1. flange
  29.05.2023 10:44
  #25595964
  Похоже, что можно даже не исследовать 5n+1. Просто посмотрим на отрицательные числа. Там тоже очень очевидные циклы. И все рассуждения про остатки от деления на 3 сразу же поломаются. Если конечно автор не начнёт утверждать, что (-1 mod 3 == -1), ибо его язык программирования так говорит.
  1. wataru
    29.05.2023 10:44
    #25595986
    Не стал я лезть в отрицательные числа. Это совсем бесполезно. Можно же вообще никакой другой процесс не рассматривать — ведь есть же цикл 4->2->1->4 прямо в данной задаче. Он опревергает логику автора, ведь автор "доказал", что циклов вообще никаких быть не может во второй статье. Но автор уперся рогом, мол "единица в условии задачи дана, а значит это не считается". Отрицательные числа автор просто отметет, как "фальшивые" или еще какой-нибудь бред сгенерирует.
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25596610
    -3
    Все ваши рассуждения дальше не достойны даже чтения по существу, потому что вы развиваете неверную идею.
    
    Автор настолько прислушался к этой реплике, что построил уже математическую модель своей идеи.
    
    "Недостоин прочтения" – это мем! Не читал, но осуждаю! Прекрасно! :)

sci_nov
29.05.2023 10:44
#25594662
Да, огород ещё тот... Видимо поэтому не получается доказать эту гипотезу :)
1. Martynov_M Автор
  29.05.2023 10:44
  #25594918
  -5
  Никто и не пытается доказать. Если вы откроете англоязычную Википедию, то увидите, что математики не могут даже классифицировать 3n+1 как алгоритм. Они до сих пор не понимают что это такое.
  
  В теории алгоритмов этот вид задач был подробно разобран еще в 1960-е, и называется «метод рекурсивного спуска». Но с математиками беда. Они отрицают (не понимают) рекурсии. Вот несколько цитат:
  
  Paul Erdos:
  «Безнадежно. Абсолютно безнадежно. Математика не готова к таким задачам».
  
  Richard Guey:
  «Даже не пытайтесь. Я не смог, и вы не сможете. Это тёмный лес».
  
  Jeffrey Lagarias:
  «Это мистика. Наука бессильна».
  
  Теренс Тао:
  «Я приблизился к ней на 99%, но не решил. Она находится за пределами моего понимания».
  
  К. Саундарараджан:
  «Мне кажется, математики не особо понимают, что они там решают. Поэтому и нет продвижения в области 3n+1».
  
  С чего начинается доказательство? С классификации алгоритма.
  Если математики не способны дать классификацию, о чем дальше разговаривать :(
  1. sci_nov
    29.05.2023 10:44
    #25595006
    алгоритм простой как два пальца. не обязательно строго классифицировать.
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25595066
    Обязательно. Метод рекурсивного спуска не нужно доказывать.
    Зачем он вам? Это просто метод, спуск по дереву. Он не представляет никакой ценности для исследователя.
    
    wataru
    29.05.2023 10:44
    #25595108
    Дайте ссылочку на описание "метода рекурсивного спуска". Сдается мне, что вы тут опять изобретаете свой собственный термин, никому в мире более не понятный.
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25595138
    3n+1 – метод рекурсивного спуска, алгоритм нисходящего синтаксического анализа, где контекстно-свободная грамматика задана двумя арифметическими операциями 3n+1 и n/2, которые по очереди взаимно вызывают друг друга для ответа на вопрос: является ли переданная в качестве аргумента сиракузская последовательность сиракузской.
    
    wataru
    29.05.2023 10:44
    #25595262
    Вы нашли что-то внешне похожее на ваше дерево, но оно вообще не то.
    
    Где здесь "синтаксический анализ" вообще взяли? Синтаксический анализ анализирует строку. Ему на вход подается строка и алгоритм выдает, принадлежит ли она заданному формальному языку.
    
    Во-первых, что за строка, во-вторых, что за язык? Вы ничего этого формально не задали, и не сможете.
    
    является ли переданная в качестве аргумента сиракузская последовательность сиракузской.
    
    Та же проблема что и во всех ваших статьях. Является. Всегда. Сиракузская последовательнось — является сиракузской по определению. Как синяя машина является синей, или футбольный мяч является мячем. Это в определениии объекта задано.
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25596136
    -1
    Любая последовательность Коллатца – это последовательность элементов, следующих друг за другом строго по заданной грамматике (3n+1 и n/2).
    Потому что это прописано в постановке задачи.
    
    В таком виде 3n+1 – это классический метод рекурсивного спуска.
    Но с разницей лишь в том, что в метод (в процедуру) мы передаем всю последовательность Коллатца целиком. А в задаче 3n+1 мы её только формируем, шаг за шагом.
    
    Но как только мы её сформируем, мы имеем право спросить:
    – А что это было? Это был метод рекурсивного спуска?
    – Да, он самый.
    – И что из этого следует?
    – Это результат работы рекурсии.
    – Какой?
    – Взаимной рекурсии.
    
    wataru
    29.05.2023 10:44
    #25597098
    строго по заданной грамматике (3n+1 и n/2).
    
    Вы прочитайте, что такое грамматика. И задайте ее. (3n+1 и n/2) — это арифметические операции, а не грамматика.
    
    это классический метод рекурсивного спуска.
    
    Нет. "классический метод рекурсивного спуска" получает на вход строку и выдает да/нет. У вас нет ни строк, ни результата.
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25597130
    -1
    Контекстно-свободная грамматика. Арифметические выражения.
    Почитал. Теперь вы почитайте.
    
    Sixshaman
    29.05.2023 10:44
    #25597338
    +2
    1) Какие терминалы и нетерминалы в вашей грамматике? Какой алфавит?
    
    2) Приведите пример строки, которую генерирует ваша грамматика. По шагам, как в англоязычной статье, в разделе "Example: Algebraic Expressions".
    
    wataru
    29.05.2023 10:44
    #25598112
    Почитал
    
    Опять вы даете ссылки на что-то умное, даже его, похоже, не читая. Что у вас за алфавит-то хотя бы скажете?

serejk
29.05.2023 10:44
#25595526
"Пример последовательности 3n+1:
13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Пример последовательности $\frac {n-1}{3}:$
1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 13 …"

Первый я понимаю, а как понять второй?
1. wataru
  29.05.2023 10:44
  #25595532
  Первый я понимаю, а как понять второй?
  
  Тут автор смотрит на последовательность задом наперед. С конца, с 1.
1. serejk
  29.05.2023 10:44
  #25595550
  А, я заглянул в первую часть и понял. Поясните тогда, пожалуйста, что значит вот это:
  
  "Число 4. $\frac {4-1}{3} = 1$
  
  Число 4. Умножаем на 2. Получаем 8."
  
  Почему там в примерах два раза пример для числа 4, причем с разными условиями, второе из которых противоречит сформулированным?
  1. wataru
    29.05.2023 10:44
    #25595592
    Прямые последовательности однозначны. Для каждого числа задается ровно одно следующее, в зависимости от четности. Если же смотреть задом на перед, то может быть несколько вариантов. Потому что 8/2 = 4 и 3*1+1=4. Оба числа после преобразорвания дают 4. Вот поэтому из числа в обратном процессе может быть несколько "переходов".
    
    serejk
    29.05.2023 10:44
    #25595660
    Понятно, спасибо.
    И все равно, автор, это какой-то плохо связанный поток мыслей. Вы пишете в хаб "Математика", но изложение - какой-то математический сюр.
    
    Элементарно, в гипотезе Коллатца простая формулировка - "берем любое n, если нечетное, то..., если четное, то..." - и постулат - "для любого n в итоге придем к единице."
    В вашем же случае, если принять формулировку (куда более сложную и не очевидную, с ее "если делится нацело на три, то...", "всегда умножаем на два для порождения новых веток"), то каков ваш постулат, который вы в итоге доказываете? Я, если честно, так его не не смог вычленить в каком-то лаконичном виде. Вот для таких тупых, как я, можете его повторить, одним предложением?
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25595916
    -2
    Коллатц предлагает нам спуститься к единице. Но мы можем развернуть алгоритм из единицы.
    
    Единственная сущность (!) в математике, способная из единицы создать все последовательности Коллатца - это рекурсия.
    Рекурсии бывают разные. Наша постоянно разветвляется.
    
    Определив механизм разветвления и сконструировав мат.модель мы обнаружили, что постановка задачи в гипотезе Коллатца «фальшивая».
    
    Такой процесс (3n+1, n/2) рождает фальшивое дерево. Оно спускается к единице по фальшивому пути.
    
    Наша же мат.модель строит совершенно другое дерево, которое тоже спускается к единице.
    
    Наверное, не все оценили юмор. Но математики "тупят" с гипотезой Коллатца. Они до сих пор не понимают, с чем имеют дело. Нельзя использовать процесс (3n+1, n/2) для доказательства гипотезы Коллатца.
    
    wataru
    29.05.2023 10:44
    #25595978
    +1
    Единственная сущность (!) в математике, способная из единицы создать все последовательности Коллатца — это рекурсия.
    
    Вы не доказали, что она это делает. Так что может таких сущностей вообще нет.
    Но даже если и да, то она тогда не единственная сущность. Это лишь один из способов описания структуры, заданной (3n+1, n/2).
    
    Такой процесс (3n+1, n/2) рождает фальшивое дерево. Оно спускается к единице по фальшивому пути.
    
    Оно нисколько не фальшивое.
    
    Но математики "тупят" с гипотезой Коллатца.
    
    Тупите здесь только вы. Вам уже десяток человек одно и то же повторяет: Вы ничего не доказали. Вот может быть вот такой цикл, ваша "рекурсия" его не опровергает никак. А вы все продолжаете глумиться над умными людьми да тешить свою манию величия. Ей-богу синдром Даннинга — Крюгера в чистом виде. Вы очень слабы в математике. Настолько, что даже не понимаете, что вы в ней слабы.
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25596162
    -2
    «Фальшивое» – этот термин я употребляю целенаправленно. Потому что есть два дерева с чётными числами. Они оба спускаются к единице.
    
    Одно дерево – рекурсия, другое – процесс 3n+1, n/2. Они не совпадают. Это очевидно. Вы понимаете меня?
    
    И не нужно столько желчи выплескивать. Вас это не красит.
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25596658
    -1
    Единственная сущность (!) в математике, способная из единицы создать все последовательности Коллатца - это рекурсия.
    
    Вы не доказали, что она это делает.
    
    wataru, а вы уверены? Вы точно читали первую публикацию?
    
    Мы там как раз разбираем все виды разветвлений в гипотезе Коллатца и явно доказываем, что наша мат. модель включает в себя все последовательности Коллатца целиком и сразу.
    
    wataru
    29.05.2023 10:44
    #25597112
    а вы уверены? Вы точно читали первую публикацию?
    Мы там как раз разбираем все виды разветвлений в гипотезе Коллатца и явно доказываем, что наша мат. модель включает в себя все последовательности Коллатца целиком и сразу.
    
    Нет. Вы там нигде никак не доказали, что все числа достижимы из 1. Вы там лишь развернули процесс и выкинули четные числа. Все. Если бы вы там это доказали, то уже можно было бы остановиться. Если все числа достижимы из 1, то, развернув последовательности назад, мы получили бы, что все числа приходят к 1 в исходном процессе, т.е. уже все доказано. Ваши последующие статьи как бы и не нужны вообще.
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25597160
    -1
    Вы с темы не соскакивайте. Все последовательности Коллатца имеют строго прописанный в постановке задачи механизм разветвления. Мы его разобрали. Доказали. И воспроизвели с единицы.
    
    А теперь докажите нам, что есть такая последовательность Коллатца, которая использует другой механизм разветвления?
    
    flange
    29.05.2023 10:44
    #25597280
    +1
    Так это вы соскакиваете. Если доказать, что все числа достижимы из единицы, то тот факт, что нет циклов и нет бесконечно растущих последовательностей, не связанных с основным деревом, автоматически тривиально следует. И вот это как раз очевидно. Почему вы игнорируете это?
    
    wataru
    29.05.2023 10:44
    #25598140
    И воспроизвели с единицы.
    
    Вооот. Вы смотрите только на те последовательности, которые в 1 упираются. Те, которые где-то циклятся (как контр-пример в случае с 5n+1) вы даже не рассматриваете вообще.
    
    что есть такая последовательность Коллатца, которая использует другой механизм разветвления?
    
    Нет. Может быть последовательность с таким же разветвлением, но в "соседнем" дереве. Вот в случае 5n+1 есть как минимум 2 непересекающихся дерева, с одиним и тем же механизмом разветвления. Одно растет из 1. Другое, допустим, из 11 (не помню что там именно за число на втором цикле). Вот в вашем случае точно также может быть несколько непересекающихся деревьев. Обратного вы не доказали. В этом и состоит гипотеза коллатца. Существование единственного дерева — это лишь чуть-чуть переформулированная гипотеза, которую вы пытаетесь доказать.
    
    serejk
    29.05.2023 10:44
    #25596512
    Нет, еще раз. Сформулируйте внятную постановку. Коллатц ничего не «предлагает», а формулирует все в конкретном виде, взять хотя бы с Википедии:
    
    «Берём любое натуральное число n. Если оно чётное, то делим его на 2, а если нечётное, то умножаем на 3 и прибавляем 1 (получаем 3n + 1). Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее.
    
    Гипотеза Коллатца заключается в том, что какое бы начальное число n мы ни взяли, рано или поздно мы получим единицу».
    
    Вы же не гипотезу Коллатца доказываете, как Вы сами уже признавали, а свою какую-то идею. Так вот, еще раз: сформулируйте, пожалуйста, вашу основную идею в аналогичном виде: что дано, что утверждается и тд.
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25596536
    Гипотеза Коллатца, часть 1.
    
    §. Введение
    Для доказательства гипотезы Коллатца нам нужно перейти к совсем другой задаче. К полной версии алгоритма (к рекурсии).
    
    serejk
    29.05.2023 10:44
    #25596546
    Ну вот я и прошу сформулировать вашу "другую задачу". Она же не может формулироваться в трех постах, правда? Должна быть ее формальная постановка, в третий раз уже говорю: вот это дано, вот это докажем. и в таком духе.
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25596556
    -1
    Collatz conjecture.
    
    Statement of the problem.
    «If the conjecture is false, it can only be because there is some starting number which gives rise to a sequence that does not contain 1. Such a sequence would either enter a repeating cycle that excludes 1, or increase without bound.»
    
    Дано: гипотеза Коллатца.
    
    Постановка вопроса:
    «Гипотеза Коллатца может оказаться неверна только лишь в том случае, если существует такое число n, которое зацикливается или уходит в бесконечность. В противном случае, число n всегда достигает единицы.»
    
    Рассмотрим:
    
    Почему 3n+1 в принципе спускается к 1 (первая публикация, вводная).
    
    Почему 3n+1 не зацикливается так, как это делает, например, 5n+1 (вторая публикация).
    
    Почему 3n+1 не уходит в бесконечность (третья публикация).
    
    serejk
    29.05.2023 10:44
    #25596566
    Это несерьезно, что за увиливания? Вы мне в комментариях отвечали: " Я доказываю не гипотезу Коллатца, а задачу из которой следует гипотеза Коллатца. "
    
    Сформулируйте эту задачу. Вы в публикациях нигде не рассматриваете "3n+1", как вы сейчас пишете, а что-то свое. Вы через абзац говорите, как эта гипотеза ущербна, "фальшива" и все такое, а на просьбу сформулировать свою, из которой якобы все следует, вы отвечаете формулировкой оригинальной гипотезы.
    
    Это уже начинает походить на какую-то извращенную форму троллинга. Вы посты для чего пишете, чтобы донести что-то до читателей? Или это графомания?
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25596582
    Гипотеза Коллатца, часть 1.
    
    §. Введение
    ...Для доказательства гипотезы Коллатца нам нужно перейти к совсем другой задаче. К полной версии алгоритма (к рекурсии).
    
    serejk, вы понимаете, что это означает?
    
    Это означает, что мы должны ответить на вопрос, почему рекурсия генерирует все последовательности Коллатца.
    
    Этому и посвящены мои публикации.
    
    Я не рассматриваю задачу 3n+1, так как это делают другие математики. На мой взгляд, это совершенно глупо рассматривать спуск по дереву, не понимая того, как строится само это дерево.
    
    Я думал, что это объяснять не надо. Ведь термин рекурсия, который я использую в самом начале (в первой публикации), это уже всё прекрасно объясняет.
    
    serejk
    29.05.2023 10:44
    #25596586
    Нет, не понимаю, и осмелюсь предположить, что никто не понимает.
    
    "Для доказательства гипотезы Коллатца нам нужно перейти к совсем другой задаче. "
    Во-первых, это утверждение само по себе требует доказательства. Во-вторых, эту "другую задачу" необходимо четко и ясно сформулировать, чего я от вас и добиваюсь.
    
    Вы пишете, сейчас "Я не рассматриваю задачу 3n+1", хотя комментарием выше писали:
    "Рассмотрим:
    
    Почему 3n+1 в принципе спускается к 1 (первая публикация, вводная).
    
    Почему 3n+1 не зацикливается так, как это делает, например, 5n+1 (вторая публикация).
    
    Почему 3n+1 не уходит в бесконечность (третья публикация)."
    
    "Я думал, что это объяснять не надо. Ведь термин рекурсия, который я использую в самом начале (в первой публикации), это уже всё прекрасно объясняет. " - нет, как раз все нужно подробно объяснять, никакие из ваших выкладок ничего "прекрасно" не объясняют. Я у вас даже постановки добиться не могу.
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25596594
    Вы правы, я использую в комментариях "3n+1" из-за сокращения. Чтобы собеседник меня понимал. Так проще, нежели писать что "рекурсивная модель, генерирующая всё дерево последовательностей Коллатца целиком, обладает такими свойствами, как … … … , которые переносятся на все последовательности Коллатца…"
    
    Дело в том, что кто-то говорит, что рекурсия и 3n+1 – это тривиальные вещи, следующие друг из друга, из самого понятия дерева и рекурсивного спуска по нему.
    
    Кто-то сразу переходит к хейту и заявляет, что рекурсий в принципе нет в математике, и нельзя делать так, как я это делаю (генерирую всё дерево целиком).
    
    Кто-то пытается искать ошибки, там где их нет. У всех свои подходы.
    
    serejk
    29.05.2023 10:44
    #25596606
    Вы точно мне отвечаете? Я ничего не говорил ни про хейт, ни про ошибки, ни про то, что "кто-то говорит". Я вас просил внятно сформулировать постановку того (я не знаю, какое правильное определение этому подобрать), что вы в итоге доказываете. Не говорите только, что гипотезу Коллатца, это не правда, и вы сами это признавали. У вас своя задача, которую нужно отдельно и независимо формулировать. Если даже оригинальная гипотеза Коллатца в итоге станет следствием (это обычно тоже нужно показывать), у вас должны быть своя формулировка и свое доказательство. Любые другие варианты - это тогда не математика, а просто винегрет мыслей.
    
    А пока этого нет, я полностью поддерживаю других в их мнении: вы просто назвали черно-белое бело-черным и почему-то объявили это доказательством. Ваши попытки в чем-то разобраться, безусловно, ценны, но с таким отношением к процессу, как сейчас, это детское ребячество.
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25596622
    -1
    Спасибо. Учту.
    Вся моя беда в том, что я не математик. Я программист.
    И я не обладаю аппаратом математического доказательства.
    
    Но я неоднократно обращался к математикам, докторам мат.наук, профессорам, и видел своими глазами, как после прочтения моей работы у них буквально опускались руки, после увиденного термина "рекурсия".
    
    Почему так, я не знаю. Но вы правы. Это моя вина. Не раскрыл работу полностью.
    
    С другой стороны за год скитаний по кабинетам и форумам я до сих пор ни от кого не получил поддержки в развитии этой идеи.
    
    Т.е. это какая-то неприязнь что-ли, не понимание этого термина со стороны математиков. Я не знаю.
    
    serejk
    29.05.2023 10:44
    #25596670
    +1
    Ну вы сами и ответили на свой вопрос: раз "я не математик. Я программист", то какого понимания вы ждете от математиков? Если вы хотите что-то делать в этой сфере, это вам нужно овладеть этим аппаратом, и научиться говорить с людьми на одном языке, а не требовать чего-то от них,
    В целом, если бы Вы сменили хаб "Математика" на что-то более общее, и не писали нигде безапелляционных фраз "доказательство гипотезы Коллатца", то к вам вообще не было бы вопросов :-) Ну, есть у вас какие-то мысли, вы их изложили. Зачем оно и для кого - это вопрос отдельный. Но когда вы так жоско врываетесь - извольте соответствовать.
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25596706
    Вы снова правы.
    Но я вот что подумал :)
    
    Предположим, мне написали 1000 людей на различных форумах, что моя рекурсия не имеет отношения к гипотезе Коллатца, и что я, в общем-то, не прав, и т.д.
    
    Ну, это так. Они мне действительно это пишут.
    Но тогда, рассудите.
    
    В первой публикации я привожу механизм разветвления n*2, тот который использует задача 3n+1 (в оригинальной постановке). Он вообще нуждается в доказательстве? Т.е. нужно ли нам доказывать, что n/2, это обратная операция n*2?
    
    Далее я доказываю, что для нечетных чисел механизм разветвления «4x+1». И снова ни у кого претензий нет.
    
    Таким образом, в моем понимании, я уже доказал, что наша мат.модель включает в себя все последовательности Коллатца целиком и сразу.
    
    Но меня хейтят "ты ничего не доказал".
    
    А как доказать-то? Какой-то замкнутый круг. Я не понимаю от критиков, что они хотят увидеть.
    
    Их философию я понимаю. Но конструктивного подхода мне никто не предлагает.
    
    serejk
    29.05.2023 10:44
    #25596742
    +2
    "рассудите" - рассуждаю: чтобы быть понятым, надо говорить с людьми на одном языке. Если 10 строителей будут строить дом, при этом каждый будет описывать процесс как ему вздумается (при том, что каждому конкретному работнику в его голове все будет казаться понятным) - то ничего не выйдет. Для этого есть конкретная документация, есть порядок, терминология и тп. Только так можно получить результат.
    
    Вы же, по сути, излагаете свои мысли, понятные сходу вам одному. Кто-то в комментариях, судя по всему, смог понять, что вы имеет ввиду, кто-то бросил читать после первого же абзаца.
    
    У вас нет никакой "мат.модели", как вы пишете, потому что понятие математической модели здесь в целом неприменимо. Утверждения вида "Таким образом, в моем понимании, я уже доказал, что наша мат.модель включает в себя все последовательности Коллатца целиком и сразу." являются голословными, и требуют внятной строгой переформулировки и доказательства в общем виде, а не на примерах.
    
    Поэтому чтобы вас поняли, вам нужно вернуться в исходную точку, и для начала четко сформулировать математическую постановку того, что вы хотите доказать. И это не гипотеза Коллатца, потому что ее условия вы заменяете своими, значит в строгом смысле и гипотеза у вас становится своя. Сформулировав исходные положения, далее нужно сформулировать постулат, утверждение. Для оригинальной гипотезы он звучит так "Для любого натурального n последовательность, образованная последовательным применением условий гипотезы, сходится к единице." В вашем случае, даже если понять условия (мне их помогли понять в комментариях, потому что по тексту это для меня оказалось трудной задачей), то постулат остается неясен. По той обратной логике, которую вы описываете, такая последовательность стремится в бесконечность, так получается?
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25596986
    Да, так. Рекурсия начинается из единицы. И единственное движение вверх – это 4x+1. Такая рекурсия не может генерировать сиракузские последовательности, уходящие в бесконечность и слева, и справа.
    
    Это, пожалуй, самый простой постулат в моей работе.
    
    Но далее, всё интересней. Мы проверяем нашу мат.модель и процесс 3n+1 (оригинальный) на соответствие друг другу. И они не равны. Почему так?
    
    Оказывается, механизм разветвления в гипотезе Коллатца (в том виде, в каком она есть) и механизм разветвления в нашей мат.модели не совпадают.
    
    Процесс 3n+1 (оригинальный) – «фальшивит» по отношению к нашей мат. модели. Там, где нужно применять 4x+1, он применяет n/2.
    
    Отсюда следует, что существует два вида спуска к единице, настоящий и «фальшивый».
    
    Вы уже видели, да? Что наша мат.модель для числа 27 делает 100 шагов к единице. А в гипотезе Коллатца – 111 шагов.
    
    serejk
    29.05.2023 10:44
    #25596994
    +3
    Знаете, единственная рекурсия, которую я пока реально вижу - это рекурсия ваших ответов. Вы как будто сами с собой говорите.
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25597058
    Да, интересно.
    Вы спросили - я ответил. Мне показалось, что раз вы спрашиваете, то вас интересует ответ.
    
    Вы спрашивали про постулаты. Что вам неясна цель моих работ. Но вы спрашиваете это уже не первый раз. Тогда как прикажете вам отвечать?
    
    serejk
    29.05.2023 10:44
    #25597082
    Это не постулат. Это опять ваши рассуждения и мысли. Если вы считаете, что вот это:
    
    "Рекурсия начинается из единицы. И единственное движение вверх – это 4x+1. Такая рекурсия не может генерировать сиракузские последовательности, уходящие в бесконечность и слева, и справа."
    
    является сформулированным постулатом, который вы доказываете, то это не так. У вас тут и "вверх", и "слева и справа". Пока внятно сформулировать у вас не получилось, потому что вы и не пытались, а просто еще раз повторили то, что уже писали.
    
    P.S. Что значит "уйти в бесконечность слева" - за гранью моего понимания.
    
    Sixshaman
    29.05.2023 10:44
    #25597072
    Такая рекурсия не может генерировать сиракузские последовательности, уходящие в бесконечность и слева, и справа.
    
    Что такое "уходить в бесконечность слева"? Что такое "уходить в бесконечность справа"? Объясните эти термины, пожалуйста.
    
    Оказывается, механизм разветвления в гипотезе Коллатца (в том виде, в
    каком она есть) и механизм разветвления в нашей мат.модели не совпадают.
    
    То есть вы доказали (на самом деле нет) совершенно другую задачу. Вам нужно доказать гипотезу Коллатца, в которой механизм разветвления другой.
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25597094
    Постановка вопроса:
    
    «Гипотеза Коллатца может оказаться неверна только лишь в том случае, если существует такое число n, которое зацикливается или уходит в бесконечность. В противном случае, число n всегда достигает единицы.»
    
    Объяснение.
    
    Предположим, что есть такое число n, которое в гипотезе Коллатца не спускается к единице, а, наоборот, уходит в бесконечность.
    
    Отсюда следует, что мы не можем его получить из единицы. Но мы можем запустить из этого числа нашу рекурсию по правилу 4x+1. Тогда мы получим сиракузскую последовательность, уходящую в бесконечность и слева, и справа.
    
    Вам нужно доказать гипотезу Коллатца, в которой механизм разветвления другой.
    
    Вы читали первую часть публикации? Мы берем механизм разветвления строго из гипотезы Коллатца. Нам неоткуда его больше взять.
    
    wataru
    29.05.2023 10:44
    #25597152
    Но мы можем запустить из этого числа нашу рекурсию по правилу 4x+1. Тогда мы получим сиракузскую последовательность, уходящую в бесконечность и слева, и справа.
    
    А можем запустить по правилу 4x+1, чередуя его с (2n+1)/3 или (4n+1)/3. Тогда все ваши рассуждения неверны и может быть есть и бесконечные последовательности в обе стороны.
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25597218
    -1
    Зачем вы пишите то, что не понимаете. Ё-мое. Докатились. Вы понимаете постановку задачи? Ну, понимаете, что такое сиракузская последовательность уходящая из n в бесконечность?
    
    wataru
    29.05.2023 10:44
    #25597462
    что такое сиракузская последовательность уходящая из n в бесконечность?
    
    Это бесконечная сиракузская последовательность (рекуррентно заданная по правилам n/2 и 3n+1), начинающаяся с n, не содержащая повторов. Или, альтернативное определение: это бесконечная сиракузская последовательность, супремум от которой равен бесконечности. Или, альтернативное определение: это бесконечная сиракузская последовательность, содержащая сколь угодно большие числа. Первое определение, на мой взгляд, наиболее логично, но остальные ему эквивалентны.
    
    Sixshaman
    29.05.2023 10:44
    #25597372
    Отсюда следует, что мы не можем его получить из единицы. Но мы можем
    запустить из этого числа нашу рекурсию по правилу 4x+1. Тогда мы получим
    сиракузскую последовательность, уходящую в бесконечность и слева, и
    справа.
    
    Вы опять не объяснили, что такое "уходить в бесконечность и слева, и справа". Что это значит? Почему не может?
    
    ksbes
    29.05.2023 10:44
    #25597456
    А что не понятно в словах "уходить в бесконечность"? Или вас смущает "слева" и "справа"?
    Ну так имеется ввиду последовательное применение как прямого, так и обратного правила (такая у автора терминология): он деревья обоих правил "сшивает" в единице, получая что-то вроде:… 5 -> 1 <- 21 <-… (чётные числа опускаем — они "фальшивые" :) )
    
    А почему не можем получить из единицы применением обратного правила? Потому что тогда бы мы пришли из него в единицу применением прямого правила, что противоречит тому, как мы это число взяли.
    
    wataru
    29.05.2023 10:44
    #25597132
    +1
    Рекурсия начинается из единицы. И единственное движение вверх – это 4x+1. Такая рекурсия не может генерировать сиракузские последовательности, уходящие в бесконечность и слева, и справа.
    
    Если рекурсия начинается из 1, то она не может уходить в бесконечность слева (или справа? Что у вас там за стороны). Она с одного конца по определению заканчивается в 1.
    
    flange
    29.05.2023 10:44
    #25597144
    +3
    Но меня хейтят "ты ничего не доказал".
    
    Меньше воспринимайте на свой счёт, больше сосредоточьтесь на доказательстве. То что вы предъявляете - не доказательство. Не потому что хейтят, не потому что заговор, а потому что у людей более развитый математический аппарат чем у вас. И они вам пытаются указать на ваши ошибки. Но вы очень старательно это игнорируете. И на неудобные вопросы не отвечаете (что здесь, что на матфорумах). Если вы опять в этом комментарии увидите унижение ваших способностей, то вы просто не хотите принимать, что можете быть где-то неправы.
    
    Рассуждения, которые вы используете, по своей сложности соответствуют первому курсу математического факультета, или даже старшим классам любых мат школ. Даже эта рекурсия - это все элементарные вещи для понимания. Даже в статье обозначено, что она "простая". Абсолютно любой человек с математическим бэкграундом вам скажет, что это не доказательство. Сходите к себе в университет, пообщайтесь с людьми оттуда. Может быть вживую им удастся вас убедить в этом.
    
    А сейчас получается, что вы считаете себя самым умным математиком на планете. А если вы говорите, что вы не математик, то есть повод задуматься. Но что-то мне подсказывает, что у вас критическое мышление по отношению к себе просто выключено. Это все сказано, не чтобы вас обидеть, правда. Люди просто хотят, чтобы вы поняли, где вы не правы. Но сделать это достаточно непросто. Если бы вы использовали строгие рассуждения, было бы проще показать на конкретное место и сказать - "тут неправда". А когда вы используете различные термины (которые в общем-то не нужны тут) вперемешку, позволяете себе вставлять свои термины, которые тоже непонятно зачем нужны, а ещё приправляете это какими-то анекдотическими вставками, то это тяжело читать, тяжело указать на проблему, тяжело с вами спорить.
    
    tenzink
    29.05.2023 10:44
    #25599864
    +1
    Рассуждения, которые вы используете, по своей сложности соответствуют первому курсу математического факультета, или даже старшим классам любых мат школ.
    
    Шутите? Методы уровня 7-8 класса мат кружка, только в рассуждениях полное отсутствие культуры мышления
    
    flange
    29.05.2023 10:44
    #25599902
    В принципе, я полностью согласен. Но перестраховался, чтобы не давать особых поводов автору уводить дискуссию в русло типа где же 8-ми класснику будут рассказывать про шаги рекурсии, рекурсивные спуски и прочие неуместные вещи.

Martynov_M Автор
29.05.2023 10:44
#25596254
Выношу вопрос на обсуждение.
Последовательность Коллатца для числа 27 приходит к единице за 111 шагов.

Наша рекурсивная модель приходит к единице за 100 шагов:

27 $\rightarrow$ 82 $\rightarrow$ 41 $\rightarrow$ 124 $\rightarrow$ 62 $\rightarrow$ 31 $\rightarrow$ 94 $\rightarrow$ 47 $\rightarrow$ 142 $\rightarrow$ 71 $\rightarrow$ 214 $\rightarrow$ 107 $\rightarrow$ 322 $\rightarrow$ 161 $\rightarrow$ 484 $\rightarrow$ 242 $\rightarrow$ 121 $\rightarrow$ 364 $\rightarrow$ 182 $\rightarrow$ 91 $\rightarrow$ 274 $\rightarrow$ 137 $\rightarrow$ 412 $\rightarrow$ 206 $\rightarrow$ 103 $\rightarrow$ 310 $\rightarrow$ 155 $\rightarrow$ 466 $\rightarrow$ 233 $\rightarrow$ 700 $\rightarrow$ 350 $\rightarrow$ 175 $\rightarrow$ 526 $\rightarrow$ 263 $\rightarrow$ 790 $\rightarrow$ 395 $\rightarrow$ 1186 $\rightarrow$ 593 $\rightarrow$ 1780 $\rightarrow$ 890 $\rightarrow$ 445 $\rightarrow$ 111 $\rightarrow$ 334 $\rightarrow$ 167 $\rightarrow$ 502 $\rightarrow$ 251 $\rightarrow$ 754 $\rightarrow$ 377 $\rightarrow$ 1132 $\rightarrow$ 566 $\rightarrow$ 283 $\rightarrow$ 850 $\rightarrow$ 425 $\rightarrow$ 1276 $\rightarrow$ 638 $\rightarrow$ 319 $\rightarrow$ 958 $\rightarrow$ 479 $\rightarrow$ 1438 $\rightarrow$ 719 $\rightarrow$ 2158 $\rightarrow$ 1079 $\rightarrow$ 3238 $\rightarrow$ 1619 $\rightarrow$ 4858 $\rightarrow$ 2429 $\rightarrow$ 607 $\rightarrow$ 1822 $\rightarrow$ 911 $\rightarrow$ 2734 $\rightarrow$ 1367 $\rightarrow$ 4102 $\rightarrow$ 2051 $\rightarrow$ 6154 $\rightarrow$ 3077 $\rightarrow$ 769 $\rightarrow$ 2308 $\rightarrow$ 1154 $\rightarrow$ 577 $\rightarrow$ 1732 $\rightarrow$ 866 $\rightarrow$ 433 $\rightarrow$ 1300 $\rightarrow$ 650 $\rightarrow$ 325 $\rightarrow$ 81 $\rightarrow$ 244 $\rightarrow$ 122 $\rightarrow$ 61 $\rightarrow$ 15 $\rightarrow$ 46 $\rightarrow$ 23 $\rightarrow$ 70 $\rightarrow$ 35 $\rightarrow$ 106 $\rightarrow$ 53 $\rightarrow$ 13 $\rightarrow$ 3 $\rightarrow$ 10 $\rightarrow$ 5 $\rightarrow$ 1.

Это два разных дерева (!) с чётными числами.
Как называть первое, как называть второе? Я ввёл термин истинное и "фальшивое" дерево.

Какие варианты?
1. serejk
  29.05.2023 10:44
  #25596520
  Для гипотезы Коллатца данные последовательности уже имеют название:
  
  «The sequence of numbers involved is sometimes referred to as the hailstone sequence, hailstone numbersor hailstone numerals (because the values are usually subject to multiple descents and ascents like hailstones in a cloud),[5] or as wondrous numbers.[6]»
  
  Вашу последовательность можете называть, как хотите.
  1. Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25596548
    Термин «градины, опускающиеся вверх-вниз» на мой взгляд сыграл с гипотезой Коллатца дурную шутку. Он отлично вписывается в легенду о недоказуемости 3n+1.
    
    Но как только мы переходим к мат. модели, то обнаруживаем, что градины – это всего лишь тривиальные переходы 4x+1.
    
    serejk
    29.05.2023 10:44
    #25596554
    Я не знаю, о чем Вы. Я отвечал на вопрос: "Как называть первое, как называть второе? "
    
    Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25596562
    Я именно об этом:
    
    «The sequence of numbers involved is sometimes referred to as the hailstone sequence, hailstone numbersor hailstone numerals (because the values are usually subject to multiple descents and ascents like hailstones in a cloud),[5] or as wondrous numbers.[6]»
1. Deosis
  29.05.2023 10:44
  #25596950
  61 -> $\rightarrow$ 15
  
  Это переход по правилу 4х+1, которое не применяется напрямую в дереве Коллатца.
  
  Для пары х(неч) и 4х+1 выполяется утверждение К(х) = К(К(К(4х+1))).
  
  То есть вы делаете три шага вперед и один назад по дереву и называете это одним шагом. Естественно у вас не сойдется количество шагов.
  1. Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25597006
    Да. Вот именно. Об этом и публикация. Что этот переход нужно делать обязательно.
1. wataru
  29.05.2023 10:44
  #25598106
  Как называть первое, как называть второе?
  
  Корректный математический термин тут — двойственность. Вы построили двойственную задачу, двойственное дерево, двойственные последовательности.
  
  Вместо правил n/2, 3n+1 у вас тут правила:
  
  Четные числа делим на 2.
  
  Числа вида 8k+1 преобразуем как 3n+1 (после чего число будет делиться на 4, но не на 8).
  
  Числа вида 8k+3, 8k+7 перобразуем как 3n+1 (после чего число будет делиться на 2, но не на 4).
  
  Числа вида 8k+5 преобразуем как (n-1)/4.
  
  Эта последовательность сложнее исходной, но отсюда можно выкинуть четные числа, потому что там, где получаются четные числа, всегда будет известное количество делений на 2 до следующего нечетного.
  
  Построили вы эту двойтвенную последовательность, сначала рассмотрев развернутые сиракузские последовательности, потом построив двойственные к ним (правило 4x+1), и развернув все опять.
  
  По построению, число приходит к 1 в сиракузской последовательности тогда и только тогда, когда вот эта двойственная последовательность приходит к 1.

sci_nov
29.05.2023 10:44
#25601240
Все нечетные числа 2k+1 у которых индекс k - чётный, k=2p, после применения коллатцевых преобразований уменьшаются, т.к. на одно умножение на 3 гарантированно приходится два деления на 2, что в итоге дает "сжатие" в 4/3 раз (это доказывается элементарно). Осталось доказать, что все нечётные, у которых индекс нечётный, также будут сжиматься - вот в чём большая проблема...
1. ksbes
  29.05.2023 10:44
  #25601518
  Мне больше нравиться попытка доказательства через двоичные разряды:
  Умножение на 11b (3) нечётного числа с последующим прибавлением единицы даёте нам:
  1)увеличение количества двоичных разрядов на 2 для чисел вида 11х… х1b и на 1 разряд для чисел вида 10х… х1b
  2)обязательно в конце появляется 0 — т.е. последующее деление на два уменьшает количество разрядов на 1. Далее, после этого деления, для чисел вида а=х… х11b правило (11b*a+1)/2 даст у… у1b. Для чисел вида х… х01b — снова чётное и снова уменьшение на один разряд.
  
  При этом в п.2) вполне возможно появление ещё нулей в конце (вплоть до ситуации "все нули" для степеней двойки), в п 1) разрядность выше повысится не может.
  
  Т.е. общая тенденция идёт именно к уменьшению количества разрядов — т.е. именно к единице.
  
  Но это всё, конечно, не строгое доказательство — у нас может быть особое число, которое постоянно выдаёт нечётную цепочку чисел вида 11х… х11b, которая будет бесконечно возрастать. Но по крайней мере, мы знаем, что последняя цифра такого числа в десятичной записи 3 или 7 :)
  
  Я пытался там дальше использовать свойства признака делимости на 11 (разность суммы нечётных разрядов минус суммы чётных разрядов делится на 11 — это верно для любого основания). Но как-то не зашло.
  1. sci_nov
    29.05.2023 10:44
    #25602374
    А что значит 11х… х1b? Также 10х… х1b и х… х01b.
    
    ksbes
    29.05.2023 10:44
    #25602676
    Это двоичные (предположительно большие) числа. Неизвестные/неважные разряды я заменил на х… х, чтобы показать что между начало и концом — там много ещё.
    
    sci_nov
    29.05.2023 10:44
    #25602758
    Понятно. А разве нельзя доказать, что не существует такого числа, которое будет генерировать шаблон 11х… х11b?
1. Deosis
  29.05.2023 10:44
  #25602710
  Можно попробовать сконструировать функцию, которая не меняется от деления на 2 или умножения на 3, но меняется от прибавления 1.
  
  Тогда доказательство гипотезы можно свести к анализу такой функции.

nik123123
29.05.2023 10:44
#25602048
+1
любоое "доказательство" отказывающееся от общепринятых терминологий не стоит подробного изучения. базовое правило, никогда не подводит

wataru
29.05.2023 10:44
#25602426
+1
Автор, ну так что там с 5n+1 процессом? Хватит уже неудобные вопросы игнорировать и считать всех математиков мира идиотами.

Напомню: Все ваши рассуждения их первых двух статей элементарно переносятся на процесс, где вместо 3n+1 используется правило 5n+1. Точно также можно построить двойственное дерево без четных чисел. Значит вы как бы "доказали", что аналог гипотезы Коллатца выполняется и для 5n+1.

Вот только для 5n+1 аналог гипотезы коллатца не выполняется: есть цикл 13->66->33->166->83->416->208->104->52->26->13 и, например, число 13 к 1 никак не приходит.

Так что или ваши рассуждения неверны, или вы делаете из них неверный вывод. Я утверждаю, что ваши выкладки верны (они тривиальны, хоть и написаны очень неформально и непоследовательно), но вы из них делаете неверный вывод. Ваши рассуждения применимы только к числам, достижимым из 1 в дереве. И для них вы и доказали, что там нет ни циклов, ни ухода на бесконечность. Но это бесполезная работа — все числа, достижимые из 1, уже по построению удовлетворяют гипотезе Коллатца. Ведь если по дереву вверх можно до числа дойти, то спускаясь по дереву сиракузской последовательностью, очевидно, вернемся в 1.

Kirill_Panteleev
29.05.2023 10:44
#25603674
Здравствуйте! Я студент СПбГМТУ, на данный момент работаю над проектом "Визуализация и численное доказательство гипотезы Коллатца". Проект направлен на общий анализ существующих решений, визуализаций и прорывов в проблеме математики. Проект уже на финальном этапе, но вы выпустили новую часть, что ведёт к переделке проекта. Возникли вопросы: ваши статьи направлены на решение проблемы или вы разбираете уже существующие идеи? планируете выпускать новые части в ближайшее время?
1. wataru
  29.05.2023 10:44
  #25603690
  Не надо на основе этой статьи никаких проектов делать. Если препод или кто-то из аудиенции хоть чуть-чуть умеет думать — опозоритесь.
  1. Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25603740
    -2
    wataru, вы уже опозорились, но поймете это позже.
    
    flange
    29.05.2023 10:44
    #25603754
    К вам вопросов там накопилось повыше и еще в предыдущих статьях. Может соизволите на них ответить? Или вы это чисто для себя доказываете (и уже все доказали)?
    
    wataru
    29.05.2023 10:44
    #25603798
    Это уж точно нет. По крайней мере, я отвечаю на заданные вопросы, и не превозношу себя над Теренсом Тао и другими великими математиками.
  1. sci_nov
    29.05.2023 10:44
    #25603758
    :)
    
    wataru
    29.05.2023 10:44
    #25603788
    +1
    Вообще, подозреваю, что это альт-аккаунт автора :)
1. tenzink
  29.05.2023 10:44
  #25603764
  В качестве иллюстрации культурного феномена можно спокойно брать. По теореме Ферма тоже был поток "доказательств". Так как её доказали, то теперь все силы переброшены на гипотезу Коллатца. Думаю, что перед вами достаточно тривиальные ошибочные рассуждения, претендующие на решение

Martynov_M Автор
29.05.2023 10:44
#25603904
-1
Kirill_Panteleev, у меня ограничение 1 комментарий в час. Я скинул вам в личку мой сотовый. Позвоните, как будет время. Я расскажу вам мои дальнейшие действия по Коллатцу.

wataru, вы себя ведете недостойно. Я вам уже сделал несколько замечаний. Примите это во внимание.
1. wataru
  29.05.2023 10:44
  #25603926
  +1
  Чем недостойно? Я вас уже десяток раз во всех трех статьях тыкал в дыры в вашем "доказательстве". Но вы быстро начинаете игнорировать мои рассуждения. Это вы ведете себя недостойно. Называете всех вокруг и великих математиков в особенности "не понимающими" очевидных вещей, позиционируете себя как великого гения, но при этом сами признаетесь, что вы "не математик". Обещаете разобрать дырку с процессом 5n+1 и потом игнорируете все это.
  
  По-моему, вы можете смело считать меня самым вредным оппонентом вашего труда. Я тут почти единственный достаточно упертый, чтобы вместо минуса пытаться объяснить вам, где у вас ошибка. Потрудитесь потратить ваш 1 комментарий в час, чтобы смешать меня, ничего непонимающего с грязью. Ответьте по существу на мой вопрос тут: https://habr.com/ru/articles/738260/#comment_25602426
  1. Martynov_M Автор
    29.05.2023 10:44
    #25604998
    Сейчас отвечу.

Гипотеза Коллатца, часть 3 -6

§1. Постановка вопроса

§2. Терминология

§3. Разговор двух программистов

§4. Рекурсия

§5. Что такое рекурсия?

§6. Рекурсия в рекурсии, вот где собака зарыта!

§7. Шаг рекурсии

§8. Ряд нечетных чисел

§9. Математическое обоснование

§10. «Золотое сечение»

§11. Правило: 4x+1

§12. Но что если маркера нет? Тогда ваша мат. модель не работает?

§13. Окончательные выводы

Комментарии (84)

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор

Martynov_M Автор