В соавторстве с Игорь Тихоненков @poo_factor Статья также доступна в расширенной английской версии.

Несмотря на то, что основополагающая статья Альберта Эйнштейна по специальной теории относительности (СТО) называлась «К электродинамике движущихся сред» (1905 год), первая ее часть посвящена обобщению именно классической механики на релятивистский случай. В рамках этого обобщения можно рассматривать и задачи, связанные с действием гравитации в ее классическом понимании – как внешней силы (а не кривизны пространственно-временного континуума, как в общей теории относительности, ОТО).

Рассмотрим одну такую задачу –  свободное падение тела в постоянном гравитационном поле g.

Направим ось y вертикально вниз (по направлению «к Земле»), а ось x – горизонтально. Рассмотрим в этом поле тело массы покоя m₀, которое изначально движется с постоянным импульсом p_x0 вдоль оси x.

Мы берем в рассмотрение релятивистскую массу частицы

Но пишем обычное уравнение – второй закон Ньютона - в проекциях на оси x и y:

Точки над x и у означают дифференцирование по времени, как обычно.

Несложное интегрирование (эта издевательская фраза в разных вариациях встречается в 10-томнике теорфизики Ландау и Лифшица по нескольку раз на каждой странице) даст нам следующие формулы для определения зависимости координаты от времени

Решение дифференциальных уравнений.

Алгебраическими преобразованиями выделим из первого уравнения.

И подставим во второе. После дифференцирования по времени и избавления от знаменателей получим дифференциальное уравнение второго порядка для y как функции от времени t:

Поскольку переменная t не входит явным образом в уравнение, можно понизить порядок дифференцирования, положив

И тогда

И уравнение становится дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными:

Его решение

Подставив обратно выражение для s(t) снова получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

Его решение (мы опустили константы интегрирования, исходя из начальных условий y(0)=0, y'(0) = 0)

Подставив его в выражение для p_x0, проинтегрируем и его:

Движение вдоль оси x

Несмотря на то, что в направлении оси x не действует никакая сила, значение координаты все равно зависит от величины поля g . Если продифференцировать x по времени, то для компоненты скорости в направлении оси x получим

то есть постепенное замедление! Связано это с тем, что с приобретением массы при разгоне вдоль оси y тело становится более инертным и тормозится. В классическом случае движение вдоль оси x оставалось бы равномерным:

График зависимости скорости вдоль оси x от времени

Движение вдоль оси y

Вдоль оси y  для выражения скорости имеем

А ускорение дается формулой

Здесь также есть отличие от классической картинки – движение, которое в классическом случае происходило бы с постоянным ускорением, тем самым g, идет иначе, так как на скорость тела наложен верхний предел - скорость света в вакууме.

График зависимости ускорения вдоль оси y от времени:

Во второй части статьи рассмотрим эту же задачу уже в рамках Общей теории относительности.