Полиномиальные корневые методы синтеза САУ ч.1 / forpes.ru

Главная
Полиномиальные корневые методы синтеза САУ ч.1

Полиномиальные корневые методы синтеза САУ ч.1

04.01.2024 21:05

petuhoff 5 4300 Источник

Леонид Маркович Скворцов. Широко известный в узких кругах математик, профессионально занимающийся математическами проблемами автоматического управления. Например, его авторские методы использованы в SimInTech. Данный текст, еще готовится к публикации. Но с разрешения автора, читатели Хабр будут превыми кто сможет оценить.

1. Задача заданного расположения полюсов

При синтезе систем автоматического управления (САУ) используют два основных подхода. Первый из них основан на построении оптимального по некоторому критерию закона управления, а второй – на выборе закона управления таким образом, чтобы замкнутая система обладала заданными динамическими свойствами. Второй подход используется в классических частотных и корневых методах, в которых свойства системы задаются в виде желаемой частотной характеристики либо заданного расположения корней характеристического уравнения (полюсов) замкнутой системы. Такой подход кажется нам наиболее практичным, поэтому именно его и будем здесь рассматривать.

Идея корневых методов заключается в том, чтобы путем надлежащего выбора параметров регулятора обеспечить заданное расположение корней (всех или только нескольких) замкнутой системы. Если параметр один, то можно построить траектории корней при изменении этого параметра, которые получили название корневых годографов. Метод корневых годографов был предложен еще во времена ручных расчетов и имеет ограниченные возможности для построения регуляторов, поэтому в настоящее время получили распространение и развиваются более эффективные и удобные методы модального управления (мода – составляющая свободного движения, соответствующая определенному корню).

Задача модального управления ставится как задача построения закона управления таким образом, чтобы замкнутая система имела наперед заданное расположение полюсов. Традиционные методы решения этой задачи основаны на представлении модели в пространстве состояний [1, 2, 3]. Если линейная стационарная система полностью управляема, то всегда можно сформировать закон управления в виде линейной комбинации всех переменных состояния таким образом, чтобы замкнутая система имела любой наперед заданный набор полюсов. В рамках классической постановки известна также задача частичного назначения полюсов [1, 2, 6, 26], когда задается расположение только нескольких полюсов, а остальные остаются такими же, как и в разомкнутой системе, но при этом для формирования управления также используются все переменные состояния.

При решении задачи модального управления в классической постановке требуется каким-то образом измерять все переменные состояния. Это не всегда возможно, да и не является необходимым. В большинстве случаев можно обеспечить заданные требования, формируя управление не по всем, а только по некоторым переменным. Пусть управляемый объект описывается уравнениями порядка n, а для формирования управления используются mпеременных при m < n. Тогда заданным образом можно расположить m полюсов. Расположение остальных полюсов заранее неизвестно, но предполагается, что они расположены левее назначаемых полюсов и не влияют существенно на динамику системы. Если это предположение не выполняется, то следует скорректировать расположение полюсов либо структуру регулятора и повторить расчет. Таким образом, в общем случае проектирование осуществляется в интерактивном режиме, допускающем корректировку исходных данных.

В практических приложениях наиболее актуальна задача расположения небольшого числа полюсов при ограниченном числе доступных для измерения переменных. Для решения этой задачи удобно использовать вход-выходные соотношения, в этом случае алгоритм решения основывается на операциях с полиномами и решении полиномиальных уравнений. Поэтому методы решения задачи расположения полюсов, основанные на вход-выходных соотношениях, можно назвать полиномиальными корневыми методами. Мы будем рассматривать именно такие методы, но для сравнения различных подходов изложим также и алгоритм, основанный на представлении модели одномерной системы в пространстве состояний.

2. Расположение полюсов и стандартные полиномы

Синтез системы методом модального управления включает в себя два основных этапа: 1) выбор расположения полюсов исходя из заданных требований к показателям качества; 2) построение регулятора, обеспечивающего заданное расположение полюсов. Обширная литература по модальному управлению посвящена в основном 2-му этапу, и только немногие работы, среди которых [14, 15, 20], затрагивают также и 1-й этап.

Выбор расположения полюсов эквивалентен заданию характеристического полинома при расположении всех полюсов либо заданию полинома, который является делителем характеристического полинома при расположении нескольких полюсов. При расположении одного или двух полюсов нетрудно связать параметры задаваемого полинома с показателями качества САУ. Однако при большем числе свободных параметров такая задача становится неоднозначной. Поэтому имеет смысл использовать стандартные полиномы, параметры которых имеют простую и понятную связь с показателями качества системы управления.

Представим стандартный полином в виде:

$A(s)=1+a_1\cdot s+a_2\cdot s^2+...+a_n\cdot s^n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(2.1)}$

Будем предполагать, что все коэффициенты этого полинома положительны, что является необходимым условием устойчивости. Нам нужно связать коэффициенты полинома с показателями качества, которые можно разбить на 3 группы: 1) показатели качества переходного процесса; 2) показатели быстродействия; 3) показатели точности слежения. При этом число свободных параметров, от которых зависят коэффициенты полинома и показатели качества, должно быть невелико. Мы ограничимся двумя параметрами, один из которых является показателем быстродействия и точности, а другой – показателем качества переходного процесса.

Примем $a_1=\tau, \ \ \ \ \ \ a_i=\tau^i\cdot\alpha_i$ , где ,полином (2.1) запишется в виде:

$A(s) = 1+\tau\cdot s+\tau^2\cdot \alpha_2\cdot s^2+...+\tau^n\cdot\alpha_n\cdot s^n\ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(2.2)}$

Если все корни полинома (2.2) вещественные и отрицательные, то $\tau$ – сумма постоянных времени $\tau_i=-1/\lambda_i$ всех элементарных звеньев, на которые раскладывается передаточная функция со знаменателем (2.2). Таким образом, значение $\tau$ можно использовать как показатель быстродействия. Отметим, что $\tau=1/\omega_1$ , где $\omega_1$ – первая приближенная сопрягающая частота [5, 10, 11].

Рассмотрим сначала в качестве стандартной модели простейшую систему 2-го порядка с характеристическим полиномом $A(s)=1+\tau\cdot s+\tau^2\cdot\alpha\cdot s^2$ . Передаточную функцию (ПФ) замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью примем в виде:

$W(s)=\frac{1+\tau\cdot\beta\cdot s}{1+\tau\cdot s+\tau^2\cdot\alpha\cdot s^2},$

тогда ПФ разомкнутой системы:

$W_p(s)=\frac{1+\tau\cdot \beta\cdot s}{\tau(1-\beta)s+\tau^2\cdot \alpha\cdot s^2}.$

Система будет минимально фазовой, если $0\le\beta\le1$ . При $\beta\ne1$ эта система имеет 1‑й порядок астатизма, а при $\beta=1$ – 2‑й порядок астатизма. Полином 2‑го порядка имеет единственный показатель качества $\Omega_1=a_1^2/(a_0\cdot a_2)$ [5, 10, 11], но сейчас нам удобнее использовать в качестве такого показателя обратное значение $\alpha=1/\Omega_1$ (чем меньше $\alpha$ , тем выше качество). Для системы 2-го порядка нетрудно получить аналитические выражения для основных характеристик и показателей.

Корни полинома (полюсы замкнутой системы) равны:

$\lambda_1=\frac{-1}{\tau\cdot\gamma}, \ \ \ \lambda_2=\frac{-1}{\tau(1-\gamma)}, \ \ \ где \ \ \ \gamma=\frac{1}{2}(1-\sqrt{1-4\cdot\alpha}),$

а единственный нуль при $\beta\ne0$ равен $-1/(\tau\cdot \beta)$ . При $\alpha<1/4$ корни вещественные, а переходная характеристика имеет вид:

$y(t)=1+\frac{\gamma-\beta}{1-2\cdot\gamma}exp \left ( \frac{-t}{\tau\cdot\gamma} \right )-\frac{1-\gamma-\beta}{1-2\cdot\gamma}exp \left(\frac{-t}{\tau(1-\gamma)} \right),\\ \gamma=\frac{1}2{(1-\sqrt{1-4\cdot\alpha})}.$

Если $0\le\beta\le1-\gamma$ , то функция y(t) является монотонной, а если $\beta>1-\gamma$ , то она имеет перерегулирование, величина которого определяется по формуле:

$\Delta y=(y(t^*)-1)\cdot100\% \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(2.3)}$

где:

$t^*=\tau\frac{\gamma(1-\gamma)}{1-2\gamma}\left [ln\left (\frac{\beta-\gamma}{\gamma}\right)-ln\left (\frac{\beta+\gamma-1}{\gamma} \right)\right].$

При $\alpha=1/4$ переходная характеристика запишется в виде:

$y(t)=1-exp\left(-\frac{2\cdot t}{\tau}\right)\left(1+\frac{2(1-2\cdot \beta)t}{\tau}\right)$

и при $\beta>1/2$ имеет перерегулирование, вычисляемое по формуле (2.3) где $t^*=\tau\cdot \beta/(2\beta-1)$ .

При $\alpha>1/4$ корни комплексные, а переходная характеристика выражается формулой:

$y(t)=1-\frac{1}{\delta}exp\left(\frac{-2\cdot t/\tau}{1+\delta^2}\right)\left[(1-2\beta)sin\left(\frac{\delta\cdot t/\tau}{2\alpha}\right)+\delta\cdot cos\left(\frac{\delta\cdot t/\tau}{2\alpha}\right)\right],\\ \delta=\sqrt{4\cdot\alpha-1.}$

Если эта характеристика имеет перерегулирование, то оно вычисляется по формуле (2.3), где

$\tau^*=\left \{\begin{align} \tau\frac{2\alpha}{\delta}\left ( arctic\left(\frac{\beta\cdot\delta}{\beta-2\beta}\right)+\pi \right), \ \ \ \beta<2\alpha,\\ \tau\frac{2\alpha}{\delta}arctg\left(\frac{\beta\cdot\delta}{\beta-2\beta}\right), \ \ \ \ \ \beta>2\alpha,\\ \tau\frac{\pi\cdot\alpha}{\delta}, \ \ \ \ \ \ \ \ \beta=2\alpha. \end{align} \right.$

При $\alpha<0.3$ , $\beta<0.3$ перерегулирование отсутствует или не превышает 0.12%, при $\alpha<0.35$ , $\beta<0.35$ оно не превышает 1%, а при $\alpha=1$ , $\beta=1$ равно 29.8%.

Из приведенных характеристик видно, что $\tau$ задает временной масштаб, а форма переходной характеристики определяется только параметрами $\alpha$ и $\beta$ . Реальные системы имеют более высокий порядок и содержат больше параметров, однако модель 2-го порядка может быть полезной, если процессы в системе определяются в основном двумя доминирующими полюсами, расположенными ближе других к началу координат.

Рассмотрим теперь стандартные модели более высоких порядков. Определим два типа стандартных ПФ разомкнутой системы. ПФ 1‑го типа соответствует системе с первым порядком астатизма и имеет вид:

$W_p(s)=\frac{1}{\tau\cdot s+\tau^2\alpha_2s^2+...+\tau^n\alpha_ns^n}. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(2.4)}$

ПФ 2-го типа соответствует системе со вторым порядком астатизма и имеет вид:

$W_p(s)=\frac{1+\tau\cdot s}{\tau^2\alpha_2s^2+...+\tau^n\alpha_ns^n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(2.5)}$

В общем случае числители передаточных функций могут иметь более сложный вид, но в [14] отмечалось, что «и при другом виде числителя эти формы весьма полезны, так как могут служить отправной точкой при отыскании оптимального расположения корней». Поэтому ограничимся пока представлениями (2.4) и (2.5), которые вполне подходят в качестве стандартных (эталонных) моделей.

Основными показателями точности следящей системы являются порядок астатизма и добротность по скорости или ускорению. Для системы 1-го типа (2.4) добротность по скорости равна $D_1=1/\tau$ , а для системы 2-го типа (2.5) имеем $D_1=\infty$ и добротность по ускорению $D_2=1/(\tau^2\alpha_2)$ . В общем случае числитель ПФ вносит свои коррективы в значение добротности, но если судить только по характеристическому полиному, то наиболее подходящим параметром для предварительной оценки возможности обеспечить требуемую точность является $\tau.$ Параметр $\tau$ удобно использовать в качестве показателя быстродействия и точности также и потому, что его изменение (при тех же значениях $\alpha_1$ ) изменяет лишь временной масштаб, не изменяя формы переходного процесса.

В [5, 10, 11] было показано, что качество переходного процесса напрямую зависит от показателей качества $\Omega_i$ характеристического полинома. Показатели качества полинома (2.2) зависят только от значений $\alpha_i$ и выражаются в виде:

$\Omega=(\Omega_1,\Omega_2,...\Omega_{n-1})^{1/(n-1)}$

Для удобства будем использовать также и обратную величину $\alpha=1/\Omega$ .

При задании стандартного полинома ограничимся двумя параметрами: показателем быстродействия и точности $\tau$ и показателем качества $\Omega$ . Для такого полинома имеем:

$a_0=1, \ \ \ \ \ \ a_1=\tau=-\sum_{i=1}^n\frac{1}{\lambda_i}, \ \ \ \ \ \ a_n=\prod_{i=1}^n\left(-\frac{1}{\lambda_i}\right), \ \ \ \ \ \ \ \frac{a_{n-1}}{a_n}=-\sum_{i=1}^n\lambda_i,$ $\Omega^{n-1}=\frac{a_1\cdot a_{n-1}}{a_0\cdot a_n}=\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{\lambda_i}\right)\sum_{i=1}^n\lambda_i. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(2.6)}$

В дальнейшем нам иногда будет удобно использовать нормированный стандартный полином, получаемый при $\tau=1$ :

$A(s)=1+s+\alpha\cdot s^2+\alpha_3\cdot s^3+...+a_n\cdot s^n,$

тогда коэффициенты полинома (2.1) при $\tau\ne1$ получаем в виде $a_i=\tau^i\cdot\alpha_i$ . Рассмотрим два вида стандартных полиномов, которые при заданной степени n однозначно задаются показателями $\tau$ и $\alpha$ .

Нормальные полиномы. В [25] нормальными названы полиномы, имеющие одинаковые значения всех показателей качества $\Omega_i$ . Приняв $\Omega_i=1/\alpha$ и учитывая, что $a_{i-2}a_i/a^2_{i-1}=\alpha, \ \ \ i=2,...,n$ , получим коэффициенты таких полиномов в виде:

$a_0=1, \ \ a_1=\tau, \ \ a_i=\alpha\frac{a_{i-1}^2}{a_{i-2}}, \ \ \ i=2,..,n.$

или в виде $a_i=\tau^i\cdot\alpha^{i(i-1)/2}$ . Из этих формул видно, что коэффициенты нормального полинома однозначно определяются значениями $\tau,\alpha,i$ и не зависят от степени полинома n.

Алгоритм 1. Расчет коэффициентов нормального полинома по заданным значениям $\tau,\alpha,n$ . Реализация этого алгоритма в виде функции norpol на языке SimInTech имеет вид:

function norpol(tau,alfa,n:integer):array
var i:integer;
norpol=(n+1)#1;
for (i=1,n) norpol[i+1]=tau^i*alfa^(i*(i-1)/2);
end;

В результате выполнения этой функции получаем массив коэффициентов нормального полинома, расположенных в порядке возрастания степеней s.

Геометрические полиномы. В [20] было предложено располагать корни полинома по закону геометрической прогрессии, при этом знаменатель этой прогрессии может быть как действительным, так и комплексным числом. Мы назвали эти полиномы геометрическими потому, что расположение их корней на комплексной плоскости имеет простую геометрическую интерпретацию. Все корни расположены либо на вещественной прямой по закону геометрической прогрессии либо равномерно на дуге окружности с центром в начале координат. Частными случаями геометрических полиномов являются биномиальные полиномы и полиномы Баттерворта.

При $n\le3$ геометрические полиномы совпадают с нормальными полиномами и имеют вид:

$n =1, \ \ \ A(s)=1+\tau\cdot s;\\n=2, \ \ \ A(s)=1+\tau\cdot s+\tau^2\cdot \alpha\cdot s; \\ n=3, \ \ \ A(s)=1+\tau\cdot s+\tau^2\cdot\alpha\cdot s+\tau^3\cdot \alpha^3\cdot s^2.$

При расчет коэффициентов геометрических полиномов более сложен, чем для нормальных полиномов. Покажем, как получить коэффициенты геометрических полиномов по значениям $\tau,\alpha,n$ . Для этого найдем сначала знаменатель прогрессии . Упорядочим корни так, чтобы выполнялись соотношения

$\lambda_i=q^{i-1}\cdot \lambda_1, \ \ \ \ \ \ \ i=2,..,n. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(2.7)}$

Если – комплексное число, то $|q|=1,|Re \ q|<1$ , а в случае вещественного положим $q\ge1$ . Из (2.6), (2.7) получим:

$\Omega^{n-1}=\frac{1}{\alpha^{n-1}}=\sum_{i=0}^{n-1}q^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}q^i=\frac{1}{q^{n-1}}\left ( \sum_{i=0}^{n-1}q^i \right )^2,$

откуда получаем уравнение для нахождения в виде:

$\frac{1}{q^{n-1}}\left (\sum_{i=0}^{n-1}q^i\right)^2-\frac{1}{\alpha^{n-1}}=0. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(2.8)}$

В общем случае – комплексное число, поэтому для решения этого уравнения желательно сформировать его относительно одной вещественной переменной, которую обозначим через . Примем $x=Re\cdot q$ , тогда:

$q=\left \{\begin{align} x+j\sqrt{1-x^2}, |x|<1,\\ x,\ \ \ \ \ \ \ \ \ |x|\ge1.\end{align} \right.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(2.9)}$

где – мнимая единица. Формулы (2.8), (2.9) задают уравнение вида относительно . Исследование функции при $n\ge2$ показало, что на интервале $cos(2\pi/n)\le x \le1/\alpha$ она монотонно возрастает, а уравнение имеет единственное решение, которое нетрудно найти любым подходящим методом.

Таким образом, нахождение сводится к решению уравнения (2.8), (2.9) относительно и последующей подстановке полученного значения в (2.9). При все действия по вычислению левой части уравнения (2.8) выполняем с комплексными числами, но результат будет действительным. Однако из-за вычислительных ошибок может появиться малая мнимая часть, поэтому после выполнения вычислений следует преобразовать результат в действительную форму, отбросив мнимую часть.

Алгоритм 2. Расчет коэффициентов геометрического полинома по заданным значениям $\tau,\alpha,n$ .

1. Найти q, решив уравнение (2.8), (2.9).

2. Cформировать геометрический полином $B(s)=1+b_1\cdot s+..+b_n\cdot s^n$ с полученным значением . Принимаем (целая часть – наибольшее целое, не превышающее ). Если нечетное, то

$B(s)=(1+s)\prod_{i=1}^m(1+\beta_is+s^2), \ \ \ \ \ \beta_i=q^i+q^{-i},$

если четное, то

$B(s)=\prod_{i=1}^{m}(1+\beta_is+s^2), \ \ \ \ \ \ \ \ \beta_i=q^{i-1/2}+q^{1/2-i}.$

(в любом случае все $\beta_i$ будут вещественными).

3. Произвести нормировку коэффициентов, чтобы полином имел заданное значение показателя быстродействия $\tau$ . Для этого принимаем коэффициенты полинома в виде: $a_i=b_i(\tau/b_1)^i, \ \ \ \ \ \ \ \ \ i=1,...,n,$

тогда полином вида (2.1) с этими коэффициентами и будет геометрическим полиномом степени n с заданными значениями показателей $\tau$ и $\alpha$ .

Алгоритм реализован в виде функции geopol(tau,alfa,n) на языке программирования SimInTech, а также в виде одноименного программного блока (модуля) системы Mathсad.

Проведем сравнение нормальных и геометрических полиномов. При одинаковых значениях $\tau,\alpha$ и они имеют одинаковые значения $\sum\lambda_i,\sum1/\lambda_i$ и $\prod\lambda_i$ , откуда следует, что при коэффициенты и геометрического полинома будут такими же, как унормального полинома.

При сравнении качественных характеристик нам удобно использовать обобщенный показатель качества $\Omega=1/\alpha$ , который совпадает со всеми показателями $\Omega_i$ нормального полинома. Прежде всего, нас интересует устойчивость полиномов, т.е. условия, при которых все корни полинома имеют отрицательные вещественные части. Рассмотрим необходимые и достаточные условия устойчивости вида $\Omega>\Omega_{min}$ , где $\Omega_{min}$ – граничное значение при заданном значении . Кроме этого, рассмотрим условия действительности всех корней полинома: $\Omega\ge\Omega_{Re}$ .

Для геометрических полиномов соответствующие граничные значения запишутся в виде

$\Omega_{min}=\frac{1}{q}\left(\sum_{i=0}^{n-1}\right)^{\frac{2}{n-1}},q=cos\left(\frac{\pi}{n-1}\right)+j\cdot cos\left (\frac{\pi}{n-1}\right);\Omega_{Re}=n^{\frac{2}{n-1}}.$

Для нормальных полиномов не удалось получить аналогичные простые выражения в зависимости от . В табл. 1 приведены значения $\Omega_{min}$ и $\Omega_{Re}$ стандартных полиномов для $n\le8$ . У нормальных полиномов при дальнейшем увеличении эти значения практически не изменяются и при больших равны $\Omega_{min}=1.37652, \ \ \Omega_{Re}=3.23364.$ У геометрических полиномов при увеличении n эти значения приближаются к 1, при этом справедливы асимптотические формулы $\Omega_{min}\approx1+(2\cdot ln(n)-ln(\pi/2))/n,\Omega_{Re}=1+2\cdot ln(n)/n$ . В табл. 2 приведены корни стандартных полиномов при $\tau=1,\Omega=2$ , упорядоченные по убыванию действительных частей (при n > 5 приведены только первые 4 корня). При произвольном $\tau$ соответствующие значения нужно разделить на $\tau$ .

Таблица 1. Значения $\Omega_{min}$ и $\Omega_{Re}$ стандартных полиномов

	Нормальный полином		Геометрический полином
n	$\Omega_{min}$	$\Omega_{Re}$	$\Omega_{min}$	$\Omega_{Re}$
2	0	4	0	4
3	1	3	1	3
4	1.414	3.236	1.442	2.520
5	1.466	3.234	1.554	2.236
6	1.414	3.234	1.568	2.048
7	1.356	3.234	1.551	1.913
8	1.376	3.234	1.525	1.811

Таблица 2. Корни стандартных полиномов при $\Omega=2, \tau=1$

n	Нормальный полином	Геометрический полином
2	$-1\pm j$	$-1\pm j$
3	$-1\pm 1.73j,-2$	$-1\pm 1.73j,-2$
4	$-2\pm 2j,-2\pm 2j$	$-1.35\pm 2.48j,-2.65\pm 0.99j$
5	$-1.51\pm 1.76j,-4,-4.49\pm 5.23j$	$-2.42\pm 3.19j,-3.58\pm 1.78j-4$
6	$-1.52\pm 1.78j,-5.59\pm 0.89j,...$	$-4.97\pm 2.71j,-5.40\pm 1.67j,...$
7	$-1.52\pm 1.78j,-5.31,-8,...$
8	$-1.52\pm 1.78j,-5.31,-7.61,...$

Некоторые показатели переходных и частотных характеристик стандартных систем 1-го типа с ПФ вида (2.4) при $\Omega-2$ приведены в табл. 3. Здесь $\sigma$ – перерегулирование, T_пп – время переходного процесса по уровню 5%, $\Delta\varphi$ – запас устойчивости по фазе. При n > 4 характеристики систем с нормальным характеристическим полиномом практически не изменяются. В отличие от них характеристики систем с геометрическим полиномом изменяются – уменьшается и совсем исчезает перерегулирование, а запас устойчивости по фазе увеличивается. Этот факт вполне объясняется изменением расположения доминирующих корней при повышении порядка (см. табл. 2) – у нормальных полиномов эти корни практически перестают изменяться, а у геометрических полиномов они становятся вещественными и увеличивается их разброс. Можно также объяснить такое поведение и с помощью показателей качества $\Omega_i$ , которые у нормальных полиномов все равны $\Omega$ , а у геометрических полиномов при n >3 один или несколько первых и последних показателей больше $\Omega$ за счет других показателей, которые меньше $\Omega$ . Например, при $\Omega=2,n=6$ имеем: $\Omega$ = [2.34, 1.83, 1.74, 1.83, 2.34].

Таблица 3. Характеристики стандартных систем 1-го типа при $\Omega=2$

$\Omega$	Нормальный полином			Геометрический полином
$\Omega$	$\sigma,\%$	$T_{пп}/\tau$	$\Delta\varphi,град.$	$\sigma,\%$	$T_{пп}/\tau$	$\Delta\varphi,град.$
1	4.3	2.07	65.5	4.3	2.07	65.5
3	8.1	2.98	60.5	8.1	2.98	60.5
4	6.2	2.54	61.0	6.0	2.36	62.0
5	5.5	2.50	61.1	1.3	1.60	63.8
6	5.5	2.52	61.1	0.0	1.70	65.2
7	5.5	2.52	61.1	0.0	1.80	66.2
8	5.5	2.52	61.1	0.0	1.85	67.1

Таблица 4. Характеристики стандартных систем 2-го типа при n = 5

$\Omega$	Нормальный полином			Геометрический полином
$\Omega$	$\sigma,\%$	$T_{пп}/\tau$	$\Delta\varphi,град.$	$\sigma,\%$	$T_{пп}/\tau$	$\Delta\varphi,град.$
1.7	87.3	3.57	22.5	104.4	7.12	17.6
2	51.6	2.32	33.6	60.7	1.97	31.4
2.5	32.3	2.29	45.1	33.4	2.12	44.1
3	24.3	2.20	52.5	23.9	2.06	52.0

Для стандартных систем 2-го типа (2.5) приводим в табл. 4 зависимости основных характеристик от $\Omega$ при .

Продолжение следует...

Небольшое видео, с демонстрацией рельного приимущества численных методов интегрирования от Скворцова Леонида Марковича над другими математическими методами интегрирования.

Литература

1. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.

2. Андреев Ю. Н. Алгебраические методы пространства состояний в теории управления линейными объектами (обзор зарубежной литературы) // Автоматика и телемеханика. 1977. № 3. С. 5–50.

3. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб.: Наука, 2000. 475 с.

4. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 768 с.

5. Воронов В. С. Показатели устойчивости и качества робастных систем управления // Изв. АН. Теория и системы управления. 1995. № 6. С. 49–54.

6. Икрамов Х. Д. О размещении полюсов линейных стационарных систем // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1993. Вып. 9. C. 237–291.

7. Карташов Б. А., Шабаев Е. А., Козлов О. С., Щекатуров А. М. Среда динамического моделирования технических систем SimInTech. М.: ДМК Пресс, 2017. 424с.

8. Каханер Д., Моулер К. Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. 575 с.

9. Козлов О. С., Скворцов Л. М. Исследование и проектирование автоматических систем с помощью программного комплекса "МВТУ" // Информационные технологии. 2006. №8. C. 9–15.

10. Козлов О. С., Скворцов Л. М. Синтез робастных регуляторов минимального порядка // Наука и образование (электронный научно-технический журнал). 2013. № 2. URL: http://engineering-science.ru/doc/533324.html.

11. Козлов О. С., Скворцов Л. М. Синтез простых робастных регуляторов // Автоматика и телемеханика. 2015. № 9. С. 102–114.

12. Крутько П. Д. Полиномиальные уравнения и обратные задачи динамики управляемых систем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. !986. № 1. С. 125–133.

13. Крутько П. Д., Максимов А. И., Скворцов Л. М. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем. М.: Радио и связь, 1988. 306 с.

14. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976. 184 с.

15. Литвинов Н. Д. Метод расположения корней характеристического полинома, обеспечивающий заданные степень устойчивости и колебательность системы // Автоматика и телемеханика. 1995. № 4. С. 53–61.

16. Медведев В. С., Потемкин В. Г. Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентов. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. 287 с.

17. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.

18. Скворцов Л. М. Синтез закона управления по заданным полюсам и нулям передаточной функции // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1987. № 6. С. 149–153.

19. Скворцов Л. М. Синтез линейных систем методом полиномиальных уравнений // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1991. № 6. С. 54–59.

20. Скворцов Л. М. Расположение полюсов при синтезе модального регулятора // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1993. № 6. С. 226–229.

21. Скворцов Л. М. Интерполяционный метод решения задачи назначения доминирующих полюсов при синтезе одномерных регуляторов // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1996. №4. С. 10–13.

22. Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. 564 с.

23. Chen C. T. Linear system theory and design. New York: Oxford University Press, 1999. 334 p.

24. Kailath T. Linear Systems. New Jersey: Prentice-Hall, 1980. 682 p.<o:p></o:p>

25. Naslin P. Polynomes normaux et critere algebrique d'amortissement // Automatisme. 1963. V. 8. № 6. P. 215–233.

26. Saad Y. Projection and Deflation Methods for Partial Pole Assignment in Linear State Feedback // IEEE Trans. Autom. Control. 1988. V. 33. № 3. P. 290–297.

Комментарии (5)

Anzorik_228
04.01.2024 21:48
#26340208
+2
Респект Автору за очень грамотное оформление статьи! Очень приятно видеть конкретику в статье. Хороший мозговой штурм от А до Я в данной тематике
1. petuhoff Автор
  04.01.2024 21:48
  #26340218
  +4
  Продолжение будет еще интереснее

Arastas
04.01.2024 21:48
#26340852
.

excoder
04.01.2024 21:48
#26341268
Спасибо!

А почему добротности таковы, каковы они есть (как они выводятся и на что влияют?), и почему это так называется? Как это называется в англоязычной литературе?
1. Refridgerator
  04.01.2024 21:48
  #26343090
  +1
  Q factor. Влияет на величину резонанса, ширину полосового фильтра и длину импульсной характеристики.