Бесконечность — удивительная штука. Никто ее не видел, не трогал, никто не может даже по-настоящему представить. Но о ней говорят, ею пользуются и достигают результатов. Бесконечность не помещается в уме, но с давних пор будоражит умы. Сегодня поговорим о том, откуда пошла бесконечность, как развивались представления о ней, и каково текущее положение дел в этой области.

Начало бесконечности

Судя по всему, исторически первым приближением к понятию бесконечности стало понятие «очень большого числа». Когда-то большим числом считалось даже пресловутое «сорок сороков». Для тех, кому не хватало такого масштаба, имелись мириады (которые сейчас понимаются иносказательно, а в Древней Греции означали десятки тысяч). Или, если перейти от абстрактных количеств к конкретным величинам, можно взять время, которое требуется, чтобы сносить трое железных сапог и сгрызть три железных каравая. Сюда же можно отнести «тьму» (десять тысяч либо миллион, в зависимости от способа счета), легион (сто тысяч либо триллион), а также, внезапно, современные гугол и гуголплекс.

История последних двух чисел, придуманных математиком в беседе с малолетними племянниками, очень характерна. Наверное, многие из читателей играли в детстве в «кто назовет самое большое число» — и быстро убеждались, что в эту игру невозможно выиграть. Даже если ты знаешь число гуголплекс — противник может просто сказать «гуголплекс плюс один». Древние люди тоже это поняли, и все заверте…

Кто и когда впервые сделал гигантский шаг от легиона к бесконечности, точно установить вряд ли удастся. Вероятнее всего, это произошло примерно две с половиной тысячи лет назад. В тот период, плюс-минус век, упоминания настоящей бесконечности, а не просто чего-то очень большого, начинают встречаться и в учении пифагорейцев, и в древнеиндийских Упанишадах.

Древние греки, не успев выдумать бесконечность, сразу же ее невзлюбили и стали отождествлять с первобытным Хаосом. Определенная логика в этом есть: если что-то нельзя пересчитать, то о каком порядке может идти речь. Индусы же рассуждали о том, что если от бесконечного отнять конечную часть, то бесконечное от этого не уменьшится. Более того, они рассматривали целую иерархию бесконечностей, от «почти несчетных» до «бесконечно бесконечных». Звучит как что-то, чем слишком умные люди маются от безделья. Но, как мы увидим в следующей части, и те, и другие оказались удивительно прозорливы.

До сих пор мы говорили скорее о философии, а что насчет математики? Первые результаты, связанные с бесконечностью, получили древние греки. Евклид доказал, что существует бесконечное множество простых чисел. Ведь если это не так, можно перемножить их все, прибавить единицу — и получить число, которое не делится ни на одно из них. Евдокс же, чтобы найти площадь окружности, вписывал в нее правильные многоугольники, а затем бесконечно увеличивал у них число сторон.

На этом моменте остановимся подробнее.

Два вида бесконечности (пока что)

Различие, которое отметил еще Аристотель, и которое остается важным по сей день — это различие между потенциальной и актуальной бесконечностью. Пояснить его можно так: потенциальная бесконечность — это когда у тебя в саду растет яблоня, и ты можешь сорвать столько яблок, сколько захочешь. Захочешь сотню — сорвешь сотню. Захочешь гуголплекс — сорвешь гуголплекс (если руки не устанут). Для любого наперед заданного числа найдется столько яблок, и даже больше.

Что же такое актуальная бесконечность? Это когда выходишь в сад и видишь, что на яблоне растет бесконечное число яблок. Сразу. И без всяких условных конструкций типа «сколько захочешь». Эту яблоню твои желания абсолютно не интересуют, она просто есть.

Древние греки бесконечности не доверяли в принципе, а актуальной ее разновидности — особенно. Вышеупомянутую теорему о простых числах они понимали именно в потенциальном смысле: что ежели златопоножным ахеянам понадобится мириад простых чисел, то их можно вычислить, а ежели мириад мириадов, то тоже можно, дайте только время. Про то, что существует бесконечное число простых чисел, среди сынов Эллады и речи не велось. 

Даже геометрические прямые, которые нам в школьном учебнике описываются как бесконечные, у Евклида изначально были бесконечно продолжаемыми. Дескать, если надо — бери линейку и черти́ от забора до обеда.

Впрочем, несмотря на оговорки Евклида, актуальная бесконечность пришла в математику именно со стороны геометрии. И началось все с Архимеда.

Актуальная бесконечность: скрытая угроза

Одно из выдающихся математических открытий Архимеда — выведенная им формула объема шара. Однако техника этого вывода была достаточно громоздкой. Архимед вписывал в половину шара «слоеный пирог» из множества почти плоских цилиндров. Похожий «пирог» он вписывал в большой цилиндр, из которого по центру был вырезан конус. Указав на то, что объемы этих «пирогов» всегда совпадают, какими бы тонкими ни были цилиндры и как бы плотно «пироги» ни заполняли исходные тела, Архимед сделал вывод, что и объемы самих тел равны.

Такая техника называется «метод исчерпывания», и она позволяла древним математикам решать задачи, для которых сейчас используют «новомодное» интегральное исчисление. Однако метод исчерпывания очень трудоемок и требует большой усидчивости. Вплоть до XVI века бедные математики пользовались им, вычисляя площади и объемы криволинейных фигур. А потом решили — хватит это терпеть. И открыли ларец Пандоры.

Новый метод назывался «метод неделимых», и суть его заключалась в замене потенциальной бесконечности на актуальную. Вместо того, чтобы делать слоеный пирог со сколь угодно тонкими коржами, можно взять бесконечное число бесконечно тонких слоев. Разрежем половину шара, цилиндр и конус параллельными плоскостями. В каждом сечении мы видим, что сумма двух окружностей дает третью — значит, и сумма двух объемов даст третий!

Новый метод, прекрасный в своей простоте, был назван «методом неделимых», или «методом Кавальери», в честь итальянского математика, который внес большой вклад в его развитие. Однако даже сам Кавальери понимал, что с этим методом что-то не так. Если применить его неправильно, то получится бредовый результат. Простейшая иллюстрация — так называемый «парадокс Кавальери»: два треугольника можно «расслоить» на одинаковые наборы отрезков, хотя площади у треугольников разные.

Актуальная бесконечность оказалась очень коварной штукой. Не зря Архимед ее опасался: используя что-то похожее на метод неделимых, чтобы угадать результат, он затем доказывал его строгим методом исчерпывания.

Примерно в то же время, что и Кавальери, с коварством актуальной бесконечности столкнулся и Галилей. Он обнаружил следующий парадокс: каждое натуральное число можно возвести в квадрат, следовательно, квадратов столько же, сколько натуральных чисел. Однако не каждое натуральное число является квадратом, следовательно, квадратов меньше, чем натуральных чисел. Получается, от бесконечности можно взять часть, и она окажется равна целому! Галилей так и не придумал, что с этим делать, и решил, что такие понятия, как «больше» и «равно», можно применять лишь к конечным количествам. 

С одной стороны, было уже понятно, что использование актуальной бесконечности ведет к ошибкам и парадоксам. Но с другой стороны, когда метод неделимых срабатывал правильно, он был так удобен, что отказываться от него уже совершенно не хотелось. Поэтому, несмотря на критику (которой было немало), математика необратимо ступила на скользкий путь актуальной бесконечности.

Ньютон, Лейбниц и бесконечность наоборот 

Какое число самое маленькое? «Минус бесконечность!» — воскликнет догадливый читатель. А если без учета знака, по абсолютной величине? Тогда, разумеется, ноль. А если кроме ноля? Тут читатель может и призадуматься. Игру в самое маленькое число при таких правилах невозможно выиграть, как и игру в самое большое. Если кто-то назовет число «единица, деленная на гуголплекс», всегда можно ответить «единица, деленная на гуголплекс и еще пополам». Но что если самое маленькое число, большее ноля, все-таки существует? Тогда, чтобы окончательно всех запутать, надо назвать его труднозапоминаемым словом «инфинитезималь», от латинского infinitesimus — «бесконечный по счету, номер бесконечность». Грубо говоря, если играть в самое маленькое число бесконечно долго, то бесконечным по счету ответом будет инфинитезималь.

Математик и священник Джон Валлис, придумавший символ бесконечности «∞», обозначал инфинитезимали как «1/∞». И с тем, и с другим он оперировал очень смело, что вызвало большое неудовольствие у Римской католической церкви. Католики в своих научных и философских воззрениях очень сильно опирались на труды Аристотеля, а тот решительно отвергал актуальную бесконечность в любом виде. К счастью, Валлис был англиканцем, и недовольство Папы Римского его совершенно не беспокоило. Однако это показательный пример того сопротивления, которое встречали математические бесконечности в течение всей своей истории.

Двое великих математиков XVIII века, Ньютон и Лейбниц, независимо друг от друга пришли к выводу, что бесконечно малые величины могут принести бесконечно большую пользу в математике. Например, с точки зрения математики не очень удобно давать определение касательной к кривой. Лайфхак, который работает для окружности («касательная пересекает окружность в ровно одной точке») не очень подходит для более сложных кривых. Используя понятие «бесконечной маленькости», можно сказать, что, грубо говоря, касательная пересекает кривую в двух бесконечно близких точках, а секущая идет «поперек» и проходит только через одну. А для нахождения объема криволинейной фигуры можно резать ее не на плоскости, как Кавальери, а на слои бесконечно тонкие, но не нулевой толщины. Так, слово за слово, и возникли дифференциальное и интегральное исчисление.

Впрочем, о действительно строгом обосновании речь еще не шла. Для бесконечно малых величин не было строгих аксиом, подобных правилам арифметики или геометрии Евклида. Более того, они нарушали предыдущие аксиомы — в частности, аксиому Архимеда, которая гласит, что даже очень маленький отрезок, взятый достаточное число раз, станет больше, чем любой наперёд взятый большой. Инфинитезимали неархимедовы — нет такого количества инфинитезималей, чтобы в сумме получилась хотя бы единица, деленная на гуголплекс.

Методы математического анализа работали «магически», зачастую приводили к неверным результатам и подвергались саркастической критике видных философов того времени. Епископ Беркли называл инфинитезимали «призраками почивших чисел». Есть мнение, что даже лилипуты в «Путешествии Гулливера» были небольшим стебом над инфинитезималями.

Архимед наносит ответный удар

Несмотря на всю критику, полезность математического анализа была очевидна. С его помощью решались задачи из геометрии, физики, астрономии, которые без него решить было бы крайне трудоемко или даже вовсе невозможно. Ни один современный бухгалтер не променяет эксель на деревянные счеты, даже если эксель глючит и зависает. Точно так же и математики не спешили отказываться от матанализа из-за его недостаточной строгости и вовсю пользовались бесконечно малыми. А как известно, если безобразие нельзя прекратить, его нужно возглавить.

Строгая формализация математического анализа началась с Коши. И началась она как раз с того, что Коши отказался от инфинитезималей. Вместо них появились громоздкие формулировки, основанные на потенциальной бесконечности. Для примера рассмотрим классический анекдот про математиков.

В бар заходит бесконечное число математиков. Первый заказывает кружку пива, второй половину кружки, третий четверть кружки, четвертый одну восьмую… «Я понял», — говорит бармен, и ставит на стойку две кружки пива.

С точки зрения Ньютона и Лейбница, бесконечно большое количество математиков заказало количество пива, которое бесконечно мало отличалось от двух кружек. С точки зрения Коши, для всякого действительного число ε (эпсилон) существует такое натуральное число N, что после того, как первые N математиков заказали свое пиво, общий объем заказа отличался от двух кружек не более чем на ε. В этой формулировке нигде не фигурирует бесконечностный по счету математик или инфинитезимальный объем пива — в общем, все те вещи, которые триггерили просвещенную общественность. При этом свою работу (суммирование бесконечного ряда) эта формулировка делает не хуже, и даже лучше — исключает ошибки при работе с актуальной бесконечностью.

Впрочем, многие физики презирают такой формализм и по сей день пользуются формулировками в духе Ньютона, говоря о «достаточно малых» или «достаточно больших» величинах. И в этом есть некоторая логика. Если физика не умеет работать с расстояниями меньше планковской величины, то по сути они мало чем отличаются от инфинитезималей.

Можно ли делить на ноль

Этот вопрос так волнует любопытных школьников всех возрастов, что в завершение этой части мы сделаем ради него небольшое лирическое отступление.

В математическом анализе часто встречается знак бесконечности, и даже можно услышать утверждения в духе «единица, деленная на бесконечность, дает ноль». А раз так, то единица, деленная на ноль, даст бесконечность. Шах и мат, училка математики!

На самом деле все не так просто. Бесконечность в математическом анализе является не «настоящим» числом, а свернутым обозначением предела бесконечно возрастающей последовательности. И любую формулу, где участвует бесконечность, нужно трактовать не как простое арифметическое тождество, а как нечто в духе Коши. «Единица, деленная на бесконечность, дает ноль», в переводе на строгий математический язык означает «если у нас есть бесконечно возрастающая последовательность, и мы вместо каждого её элемента x возьмём 1/x, то получившаяся новая последовательность будет стремиться к нолю». Так что нет, уважаемые школьники, даже если вы заглянули в учебник матанализа, по-настоящему делить на ноль все еще нельзя.

На самом деле это очень  хорошо — иначе можно было бы доказать, что любое число равняется любому другому, и любая арифметика потеряла бы смысл. Например, докажем, что двойка — это пятерка. Начнем с очевидного равенства 2 × 0 = 5 × 0. Если на ноль делить можно, то разделим на него обе части равенства. Вуаля, 2 = 5.

Для полноты рассказа необходимо упомянуть, что существуют хитрые алгебраические структуры, в которых деление на ноль разрешено — например, так называемые колеса. Но нужно понимать, что эти структуры состоят не из привычных нам чисел, в них действуют другие законы (например, неверно, что (1 + 1) × 1 = 2), и тамошний ноль — это не то же самое, что и наш. Может, на их «импортный» ноль делить и можно, но на наш «родной» все равно нельзя. 

На этом кончается первая часть истории бесконечности. Во второй части вас ожидают море парадоксов, большие надежды, горькие разочарования и полный отвал башки. Подписывайтесь, ставьте лайки, не переключайте канал.