В прошлой статье мы остановились на том, как Коши навел порядок в матанализе, изгнав из него актуальную бесконечность. Казалось бы, всё устаканилось, и можно строить математику на строгих и достоверных основаниях. Но история сказала на это «три раза ха». С конца XIX века и по сей день в математике творится такое, что Аристотелю не привиделось бы и в кошмаре. Сегодня у нас в программе: множество множеств, бесконечность бесконечностей, несколько парадоксов и один глобальный кризис оснований математики. Сделайте глубокий вдох и ныряйте под кат.

Множить множества

Во второй половине XIX века Георг Кантор при поддержке Ричарда Дедекинда стал развивать теорию, которая впоследствии получила название «наивная теория множеств». Почему наивная — обсудим позже, пока сосредоточимся на последнем слове в названии.

Множество — это самая абстрактная математическая структура, которая определяется как совокупность любых объектов. Можно говорить о множестве котиков, множестве читателей этой статьи или множестве простых чисел меньше 2025. Но, естественно, математику больше интересуют множества каких-то математических объектов.

Кажется, что множество не очень интересная штука. Однако оказалось, что на фундаменте теории множеств можно построить всю остальную математику. Например, можно определить натуральные числа, не используя ничего кроме множеств. Определим нуль как пустое множество ∅, не содержащее ни одного элемента. Затем каждое следующее число определим как множество, содержащее все предыдущие числа. Тогда единица будет { ∅ }, двойка — { ∅, { ∅ } }, тройка — { ∅, { ∅ }, { ∅, { ∅ } } } и так далее. Таким образом, весь натуральный ряд строится буквально из пустоты.

Математика давно нуждалась в прочном фундаменте. Если в геометрии со времён Евклида была стройная система понятий и аксиом, то в других областях математики царила та или иная степень анархии. Однако во всей этой истории с множествами был большой подвох. Когда мы говорим просто о натуральных чисел, то имеем в виду их потенциальную бесконечность. Но если мы говорим о множестве натуральных чисел — это уже бесконечность актуальная. Все натуральные числа содержатся во множестве сразу, а не добавляются по необходимости. Поэтому теория множеств немедленно подверглась критике видных математиков своего времени, таких как Анри Пуанкаре и Леопольд Кронекер. Однако паровоз прогресса было уже не остановить.

50 оттенков актуальной бесконечности

Самым удивительным открытием Кантора было то, что некоторые бесконечности бесконечнее других. А именно — что множество действительных чисел больше, чем множество натуральных.

Сперва этот факт может показаться не особенно удивительным. Разумеется, действительных чисел больше, ведь они включают в себя натуральные. Однако вспомним парадокс Галилея: множество натуральных чисел включает в себя множество точных квадратов, но при этом каждому натуральному числу соответствует его квадрат, то есть их одинаковое количество. Открытие Кантора состоит в том, что натуральных чисел меньшее количество, чем действительных. Иначе говоря — не существует способа пересчитать действительные числа. Даже если мы возьмём бесконечную последовательность действительных чисел, в ней будет содержаться лишь бесконечно малая часть от всего множества действительных чисел. 

Более того, Кантор показал, что для любой бесконечности можно построить бесконечность ещё больше. Для любого множества можно взять множество всех его подмножеств (так называемое супермножество). Кантор показал, что супермножество всегда больше, чем исходное множество. Если исходное множество бесконечно, то супермножество более бесконечно. Таким образом, существует бесконечное множество разных бесконечностей.

Кстати, помните, как в начале первой статьи мы говорили про Упанишады и про то, что древние индусы выделяли несколько видов бесконечностей? Получается, они опередили своё время на две с половиной тысячи лет.

Для описания размеров бесконечных множеств Кантор придумал специальные кардинальные числа. Самой маленькой бесконечности, количеству натуральных чисел, соответствует кардинальное число ℵ₀ (алеф-нуль), бесконечности действительных чисел — кардинальное число ℵ₁ (алеф-один), и так далее. В каком-то смысле кардинальные числа являются продолжением натурального ряда — ведь натуральные числа тоже описывают размеры множеств, просто эти множества конечны.

Так бесконечность действительно стала числом, да ещё и не одним.

∞ + 1 ≠ ∞

Чтобы окончательно довести до паники математиков своего времени, Кантор придумал не один вид бесконечных чисел, а целых два. Второй вид называется ординальные (переводя на русский — порядковые) числа. Идея Кантора заключалась в следующем: натуральные числа можно использовать как для указания количества (семь яблок), так и порядка (седьмое по счёту яблоко). Кардинальные числа указывают количество, но не порядок. ℵ₀ — это «бесконечность», но не «бесконечностный по счёту». С помощью кардинальных чисел можно указать количество действительных чисел, но не пересчитать их все. А значит, надо было придумать ещё один вид чисел.

Математическая теория, стоящая за ординальными числами, достаточно сложна, но если на пальцах: вспомним, как мы конструировали натуральные числа из пустоты. Каждому числу соответствовало множество, содержащее все предыдущие числа. А если взять множество, содержащее все натуральные числа — какое число тогда получится? Кантор подумал и решил — пусть это будет ординальное число ω, оно же — самая маленькая ординальная бесконечность.

Что будет, если взять множество, состоящее из всех натуральных чисел и ещё ω? Будет ординальное число ω + 1, и оно не равно ω. Как это показать? Множества, которые соответствуют этим числам, хоть и имеют одинаковый размер (им обоим соответствует кардинальное число ℵ₀), но при этом не одинаковы. Во множестве, которое соответствует ординальному числу ω + 1, есть особый элемент ω, который больше всех остальных (т. е. включает в себя любой другой элемент из этого множества). Во множестве натуральных чисел такого элемента нет — какое бы натуральное число мы ни выбрали, всегда найдётся число побольше.

Читателю на заметку: если вы играете в игру «кто назовёт самое большое число» и уже дошли до бесконечности, дальше нужно сразу определиться, будете вы играть в кардинальные или в ординальные числа. В первом случае после бесконечности нельзя назвать бесконечность плюс один, ведь это то же самое число. А во втором случае числа разные.

Вообще ординальные числа устроены очень увлекательно. После того, как в первый раз досчитал до бесконечности, можно досчитать до неё второй раз и получить ординальное число 2ω. Если досчитать до бесконечности ещё раз, то дойдёшь до числа 3ω. А досчитав до бесконечности бесконечное число раз, получишь ординальное число ω². Спустя бесконечность бесконечностей бесконечностей будет ω³, а если во фразе «спустя бесконечность бесконечностей бесконечностей бесконечностей…» дописать слово «бесконечностей» бесконечное число раз, то можно дойти и до ординального числа «ω в степени ω».

Впрочем, и это ещё не предел. Дальше лежат ординальные числа «ω в степени ω в степени ω», «ω в степени ω в степени ω в степени ω» и так далее. За ними — ординальное число ε, которое больше, чем любое число предыдущего вида. Если аналогичным образом поступить с числом ε, получится число ε₁, если сделать так же с ним — будет ε₂ и так далее. На эпсилонах история не заканчивается, дальше идут ординальные числа, конструируемые ещё более изощрёнными способами. И лишь спустя бесконечное число разновидностей бесконечности, так далеко, что это не могут представить даже самые выдающиеся математики, идёт ординальное число ω₁ — первый несчётный ординал, который в пересчёте на кардиналы больше, чем ℵ₀. Вот так между двумя скучными кардинальными числами умещается целая вселенная из ординальных. 

Почти наверняка у читателя при виде всех этих сложностей возник простой вопрос: а зачем? Дело в том, что для ординальных чисел работает принцип математической индукции. Если некое утверждение верно для нуля, и если из того, что это утверждение верно для всех ординалов меньше N, следует, что оно верно для N — значит, оно верно для всех ординалов. Не для какого-то жалкого бесконечного числа натуральных чисел, а прям для всех бесконечных бесконечностей бесконечностей. С помощью индукции для ординальных чисел (также называемой трансфинитной индукцией) можно доказывать теоремы даже для очень больших бесконечных множеств, пронумеровав их элементы ординалами.

И гений, парадоксов друг

Основная причина, по которой наивная теория множеств называлась наивной — это то, что она позволяла конструировать множества по произвольному принципу. Оказалось, что это ведёт к большому числу парадоксов.

Самый каноничный пример: возьмём множество абсолютно всех множеств. Тогда оно в том числе будет содержать и все свои подмножества — то есть являться собственным супермножеством. Однако, как доказал Кантор, супермножество должно быть всегда больше исходного множества. Этот парадокс называется парадоксом Кантора. 

Или другой пример: возьмём множество всех ординальных чисел. Тогда оно само должно соответствовать ординальному числу. Но это число должно быть больше всех ординальных чисел из множества, и, следовательно, не входит во множество всех ординальных чисел. Это парадокс Бурали-Форти. 

Третий пример. Рассмотрим множество, состоящее из всех множеств, которые не содержат сами себя. Будет ли это множество содержать само себя? И ответ да, и ответ нет ведут к противоречию. Это парадокс Рассела.

Казалось бы, теория с таким количеством парадоксов должна немедленно отправиться на помойку. Но, как и в случае с методом Кавальери, инструмент был слишком удобен, чтобы от него отказываться. Поэтому математики стали «фиксить баги» — вводить ограничения, запрещающие конструировать «парадоксальные» множества. Например, ввели аксиому фундирования, которая требует, чтобы у последовательности множеств, где каждое следующее является элементом предыдущего, обязательно был конец. Аксиома фундирования исключает парадоксы Кантора и Рассела (но не парадокс Бурали-Форти, с ним пришлось бороться иначе). 

При этом математики не отказались в принципе рассматривать «парадоксальные совокупности» — они просто перестали считать их множествами и стали называть классами. Таким образом можно говорить, допустим, о классе всех ординальных чисел. Современная математика ничего не говорит о количествах элементов таких классов, но если бы говорила — это было бы что-то настолько большое, что его даже нельзя назвать бесконечностью.

Иллюзия выбора

В современной аксиоматической теории множеств особое место занимает так называемая аксиома выбора. Она гласит следующее: если у нас есть семейство множеств, то существует новое множество, которое содержит по одному элементу из каждого множества семейства. Допустим, если наше семейство множеств — {1, 2}, {3, 4} и {5, 6}, то можно сконструировать множество {1, 3, 5}, содержащее по одному элементу из каждого. Впрочем, для конечного семейства конечных множеств аксиома выбора не требуется. Она нужна для бесконечных семейств «сложных» множеств, в которых не всегда можно явно указать на какой-то конкретный элемент.

На первый взгляд аксиома выбора кажется абсолютно очевидной. Однако Рассел (тот, у которого парадокс) писал о ней так: «Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы; под конец же вообще перестаешь понимать, что же она означает».
 
 У аксиомы выбора есть два неприятных свойства. Во-первых, из неё следует всякая дичь. Например, знаменитый парадокс Банаха-Тарского: можно разрезать шар на конечное число кусков, из которых потом можно собрать два точно таких же шара. На самом деле, вопреки названию, парадокс Банаха-Тарского не является парадоксом: поскольку куски, на которые режется шар, имеют очень «плохую» форму, на них не распространяется закон сохранения объёма (для них вообще не определено понятие объёма). Но и принять это утверждение на полном серьёзе готов далеко не каждый математик. 

Во-вторых, результаты, получаемые с помощью аксиомы выбора, неконструктивны. С её помощью можно доказать существование, но невозможно привести конкретный пример. Точнее, когда можно привести конкретный пример, тогда аксиома выбора не нужна. В том же парадоксе Банаха-Тарского нельзя сконструировать конкретное разрезание, можно только сказать, что оно есть. Разумеется, это тоже звучит не очень воодушевляюще.

Однако отказываться от аксиомы выбора тоже идея так себе. Без неё рассыпаются многие конструкции в теории множеств — например, на аксиому выбора неявно опирается построение ординальных чисел. В итоге аксиома имеет некий полулегальный статус: математики пользуются ей при необходимости, но всегда специально оговаривают её использование. Считается, что доказательства с аксиомой выбора имеют «иную познавательную ценность», нежели доказательства без неё.

Серый кардинал

Кардинальные числа, конечно, скучноваты по сравнению с ординалами, но есть у них и свои приколы. Самый известный из них — так называемая континуум-гипотеза. Верно ли, что не бывает множества, которое больше, чем множество натуральных чисел, но меньше, чем множество действительных чисел? Иначе говоря — верно ли, что за ℵ₀ сразу следует ℵ₁? Этот вопрос сформулировал Кантор в 1877 году, но ответ был найден лишь почти через век, в 1963-м. Суть этого ответа можно описать следующим анекдотом:

— Моня, а сколько будет дважды два?
— А мы таки покупаем или продаем?

Если без шуток — в общепринятой аксиоматике теории множеств аксиому выбора невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Можно взять в качестве новой аксиомы утверждение, что между ℵ₀ и ℵ₁ нет других кардиналов. Или альтернативно можно взять другую аксиому — что между ℵ₀ и ℵ₁ есть ещё ровно один кардинал алеф-полтора. Или ещё два кардинала. Или любое конечное количество (но вот бесконечное уже нельзя). Любая из этих аксиом прекрасно согласуется с остальной математикой.

Помимо простой континуум-гипотезы, есть также обобщённая континуум-гипотеза. Она гласит, что не только между ℵ₀ и ℵ₁, но и между любыми двумя соседними алефами нет промежуточных кардиналов. Интересный момент: обобщённая континуум-гипотеза также независима от аксиом теории множеств, но если принять её саму за аксиому, то аксиому выбора можно будет вывести как теорему. 

Бесконечно большой облом

Несмотря на все свои парадоксы, теория множеств внушала большой оптимизм математикам начала XX века. Строгий готический собор математики на незыблемом фундаменте аксиоматической теории множеств — это ли не мечта? В начале 1920-х Давид Гильберт сформулировал свою знаменитую программу, предполагавшую полную аксиоматизацию всей математики. Казалось, что скоро всё станет хорошо, можно будет забыть о парадоксах и философских спорах и просто собирать теоремы из аксиом, как конструктор Lego. Реальность, однако, внесла свои коррективы. 

В 1931 году молодой математик Курт Гёдель опубликовал две так называемых теоремы о неполноте. Первая гласила, что в любой достаточно сложной теории существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть средствами этой теории. Вторая утверждала ещё более неприятную вещь: если достаточно сложная теория непротиворечива, то в ней невозможно доказать её собственную непротиворечивость. Что такое «достаточно сложная теория» — простыми словами объяснить трудно, но если вкратце, то все теории, которыми реально пользуются математики, достаточно сложные. 

В сумме эти две теоремы означали, что программа Гильберта неосуществима. Никогда нельзя быть уверенным, не содержит ли теория парадоксов, пока не придумаешь более мощную теорию — а тогда будет непонятно, нет ли парадоксов уже в ней. А выдвинув гипотезу, всегда можно ожидать, что она, как континуум-гипотеза, окажется и недоказуема, и неопровержима. И придётся отложить конструктор Lego и опять лезть в основания математики, как советскому автолюбителю под ржавые Жигули.

Почему мы обсуждаем теоремы Гёделя в статье про бесконечность? А потому, что доказательство Гёделя было концептуально похоже на доказательство Кантором того факта, что действительных чисел больше, чем натуральных. Используя хитрую технику, известную теперь как Гёделевская нумерация, Гёдель показал, что в достаточно сложной теории множество доказуемых утверждений попросту меньше, чем множество верных утверждений. И так же, как нельзя пронумеровать действительные числа, нельзя и «продоказывать» верные утверждения. Так бесконечность нанесла свой самый подлый и сокрушительный удар математике.

Впрочем, сейчас уже двадцать первый век, и можно с уверенностью сказать, что математика пережила удар. Конечно, пришлось принять тот факт, что всё никогда не будет просто, что за любым углом может поджидать парадокс или недоказуемая теорема. Но люди, которые пасуют перед сложностями, не идут в математики. 

На Гёделе история бесконечности не заканчивается, а вот эта часть статьи, к сожалению, подходит к концу. Хотелось бы верить, что читать её было бесконечно интересно