Используя целочисленные разбиения, математики открыли новый способ определения простых чисел, а также неожиданным образом связали две области математики

Простые числа уже несколько столетий привлекают внимание математиков, которые продолжают искать новые закономерности, помогающие найти такие числа и понять, как они распределяются среди других. Простые числа — это целые числа больше 1, которые делятся только на 1 и на себя. Три наименьших простых числа — 2, 3 и 5. Выяснить, являются ли маленькие числа простыми, очень просто — достаточно проверить, на какие числа они могут делиться. Однако когда математики переходят к действительно большим числам, задача определения простых чисел быстро усложняется. Если проверить, имеют ли числа вроде 10 или 1 000 больше двух делителей, довольно просто, то такие простые подходы уже не работают в случае проверки того, являются ли гигантские числа простыми или составными. Например, самое большое известное простое число 2^136279841 - 1 требует для записи 41 024 320 цифр. Поначалу это число может показаться умопомрачительно большим. Однако, учитывая, что существует бесконечно много целых положительных чисел разного размера, это число ничтожно мало по сравнению с ещё более крупными простыми числами.

Кроме того, математики хотят заниматься чем-то более интересным, чем просто скрупулёзно пытаться разложить числа на множители, чтобы определить, является ли любое данное целое число простым. «Нас интересуют простые числа, потому что их бесконечно много, но выявить в них какие-либо закономерности очень сложно», — говорит Кен Оно, математик из Университета Вирджинии. Тем не менее, одна из главных целей — определить, как простые числа распределены по числовой шкале.

Недавно Оно и двое его коллег — Уильям Крейг, математик из Военно-морской академии США и Ян-Виллем ван Иттерсум, математик из Кёльнского университета в Германии, — разработали совершенно новый подход к поиску простых чисел. «Мы описали бесконечно много новых видов критериев для точного определения множества простых чисел, и все они сильно отличаются от „если вы не можете разделить его на множители, то оно, наверное, простое“», — говорит Оно. Работа Оно и его коллег, опубликованная в журнале Proceedings of the National Academy of Sciences USA, заняла второе место в конкурсе на получение премии в области физических наук, которая присуждается за научное мастерство и оригинальность. Оно отмечает, что в некотором смысле эта находка предлагает бесконечное количество новых определений того, что значит, что число — простое.

В основе стратегии команды лежит понятие, называемое целочисленными разбиениями.

«Теория разбиений очень древняя», — говорит Оно. Она восходит к швейцарскому математику XVIII века Леонгарду Эйлеру, и с течением времени математики продолжали её расширять и совершенствовать. «На первый взгляд, разделения — это детская забава, — говорит Оно. — Сколькими способами вы сможете сложить числа, чтобы получить другие числа?» Например, число 5 имеет семь разбиений: 4 + 1, 3 + 2, 3 + 1 + 1, 2 + 2 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 и 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Однако эта концепция оказывается скрытым ключом, открывающим новые способы обнаружения простых чисел. «Замечательно, что такой классический комбинаторный объект — функция разбиения — может быть использован для обнаружения простых чисел этим новым способом», — говорит Катрин Брингманн, математик из Кёльнского университета. (Брингманн и раньше работала с Оно и Крейгом, а в настоящее время она является постдокторантом ван Иттерсума, но в данном исследовании она не участвовала). Оно отмечает, что идея такого подхода родилась из вопроса, заданного одним из его бывших студентов, Робертом Шнайдером, который сейчас работает математиком в Мичиганском технологическом университете.

Оно, Крейг и ван Иттерсум доказали, что простые числа являются решениями бесконечного числа полиномиальных уравнений определённого типа в функциях разбиения. Названные диофантовыми уравнениями в честь математика третьего века Диофанта Александрийского (но известные задолго до него), эти выражения могут иметь целочисленные решения или рациональные (то есть такие, которые можно записать в виде дроби). Другими словами, находка показывает, что «целочисленные разбиения обнаруживают простые числа бесконечно многими естественными способами», — пишут исследователи в своей статье в PNAS.

Джордж Эндрюс, математик из Университета штата Пенсильвания, который редактировал статью PNAS, но не участвовал в исследовании, описывает находку как «нечто совершенно новое» и «нечто неожиданное», поэтому трудно предсказать, «к чему это приведёт».

Это открытие выходит за рамки изучения распределения простых чисел. «На самом деле, мы одним махом захватываем все простые числа», — говорит Оно. Метод заключается в том, что вы можете подставить целое число, равное 2 или больше, в определённые уравнения, и если результат будет верным, то это целое число простое. Одно из таких уравнений: (3n³ - 13n² + 18n - 8)M₁ (n) + (12n² - 120n + 212)M₂ (n) - 960M₃ (n) = 0, где M₁ (n), M₂ (n) и M₃ (n) — хорошо изученные функции разбиения. «В более общем случае» для определённого типа функции разбиения «мы доказываем, что существует бесконечно много таких уравнений обнаружения простых чисел с постоянными коэффициентами», — пишут исследователи в своей статье в PNAS. Проще говоря, «это почти то же самое, как если бы наша работа дала вам бесконечно много новых определений для понятия „простое число“, — говорит Оно. — Это просто умопомрачительно».

Результаты работы команды могут привести к множеству новых открытий, отмечает Брингманн. «Помимо собственно математического интереса, эта работа может вдохновить на дальнейшие исследования удивительных алгебраических или аналитических свойств, скрытых в комбинаторных функциях», — говорит она. В комбинаторике — математике счёта — комбинаторные функции используются для описания количества способов выбора или расположения элементов в наборах. «В более широком смысле это показывает богатство связей в математике, — добавляет она. — Подобные результаты часто стимулируют свежие мысли в разных областях».

Брингманн предлагает математикам несколько возможных путей развития исследования. Например, они могли бы изучить, какие ещё типы математических структур можно найти с помощью функций разбиения, или поискать, как можно расширить основной результат для изучения различных типов чисел. «Существуют ли обобщения основного результата на другие последовательности, такие как составные числа или значения арифметических функций?» — спрашивает она.

«Кен Оно, на мой взгляд, один из самых интересных математиков на сегодняшний день, — говорит Эндрюс. — Это не первый случай, когда он заглянул в классическую проблему и открыл действительно новые вещи».

Остаётся ещё множество нерешённых вопросов о простых числах, многие из которых существуют очень давно. Два примера — гипотеза о простых числах-близнецах и гипотеза Гольдбаха. Гипотеза о простых числах-близнецах утверждает, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов — простых чисел, которые отличаются друг от друга на два. Числа 5 и 7 являются простыми числами-близнецами, как и 11 и 13. Как формулирует эту гипотезу Оно, «каждое чётное число, большее 2, можно представить как сумму двух простых, по крайней мере, одним способом». Но никто не доказал, что эта гипотеза верна.

«Подобные проблемы ставили в тупик математиков и теоретиков чисел на протяжении многих поколений, практически на протяжении всей истории теории чисел», — говорит Оно. Хотя недавняя находка его команды не решает этих задач, по его словам, это яркий пример того, как математики расширяют границы, чтобы лучше понять загадочную природу простых чисел.