Эта задача в упрощенных постановках встречается как в школьных задачниках, так и на олимпиадах.В общем виде её можно сформулировать так.

Маленький шар массы ударяется о наклонную поверхность клина массы и отскакивает от него. Клин может скользить без трения по горизонтальному столу (на рисунке — вдоль оси ). Известны скорости клина и шара непосредственно перед ударом; требуется найти их скорости сразу после него. Удар считается абсолютно упругим, угол наклона клина известен. Векторы скоростей лежат в плоскости рисунка.

Наиболее интересно здесь условие абсолютной упругости удара. А что это, собственно, такое? Как определить данное понятие для задач подобного типа?

В теоретической механике используется понятие «идеальной связи при ударе», которое является обобщением понятия об абсолютно упругом ударе. Теоретические основы этого подхода изложены в учебнике Болотина, Карапетяна, Кугушева и Трещёва «Теоретическая механика», а мы приведём лишь основные факты и посмотрим, как эта теория работает в данной задаче.

Предположим, что у нас есть механическая система с обобщёнными координатами . Пространство обобщённых координат называется конфигурационным пространством.

Движение этой системы можно рассматривать как движение точки в конфигурационном пространстве. Скорость этой точки называется обобщённой скоростью. Система также обладает кинетической энергией . (По повторяющимся индексам ведется суммирование.)

Мы будем считать, что удар заключается в том, что точка наталкивается в конфигурационном пространстве на поверхность, заданную уравнением

и отскакивает от неё. Здесь — это гладкая скалярная функция, определённая на конфигурационном пространстве, такая, что .

Идеальность связи при ударе по определению означает, что отскок происходит по закону "угол падения равен углу отражения", при этом норма обобщенной скорости сохраняется. Норма вектора и углы здесь понимаются в смысле римановой метрики , которую задаёт кинетическая энергия.

Перейдём к решению задачи. В нашей задаче конфигурационное пространство — это пространство координат , где — координаты шара в неподвижной декартовой системе, а — координата, характеризующая положение клина.

Ударная связь (это когда шар оказывается на наклонной поверхности клина) задается уравнением

Кинетическая энергия системы имеет вид:

В общем случае мы должны записать два уравнения. Первое из них:

— это закон сохранения энергии.

Индексом «» мы обозначаем значения величин сразу после удара, а индексом «» — до него.

Второе уравнение имеет вид:

где — это виртуальные перемещения в момент удара:

Уравнение (2) означает, что проекции обобщённого импульса на касательную к поверхностиплоскость до и после удара равны.

В нашем случае уравнение (1) имеет вид:

Уравнение (2) имеет вид:

а уравнение (3) -- вид:

Подставляя это выражение в (5) и учитывая произвольность величин и, получаем систему из двух уравнений:

Эти два уравнения вместе с уравнением (4) дают полную систему алгебраических уравнений на скорости системы сразу после удара:. Скорости до удара:считаются известными.