0. Пролог

Теперь, когда мы показали, как пространство Минковского-Лоренца-Пуанкаре может быть представлено в терминах алгебры четырёхмерного евклидового пространства, оснащённого одним выбранным опорным направлением, мы можем далее рассматривать изоморфизм алгебры с алгеброй матриц Паули как опоро-зависимую структуру.
Сам факт изоморфизма широко известен (посмотреть можно, например, здесь, pdf, стр.8).
Посмотрим сначала на сам принцип соответствия, затем с учётом опорной зависимости.

1. Ещё один изоморфизм алгебр

Станем далее различать для удобства опору от остальных векторов базиса . Будем считать, что

После выбора опорного направления наблюдаемые пространственные STA-генераторы можно записать как Тогда относительные направления восстанавливаются правым снятием опоры: Это то же соглашение, что и у Sobczyk в записи : при отсюда получается .
Речь идёт не о самостоятельной абсолютной тройке направлений, а о том слое, который возникает после выбора опоры внутри более полной алгебры. В этом смысле алгебру ниже можно было бы обозначать как , подчёркивая её зависимость от выбранной опоры внутри 4D, но для краткости дальше будем писать обычное .
Если же не снимать опору, а оставить сами наблюдаемые оси , то они порождают уже алгебру типа , поскольку . Это не второй экземпляр Паули-алгебры, а бивекторная запись наблюдаемых пространственных осей.
Наблюдаемые пространственные STA-генераторы имеют вид , а относительные Паули-генераторы восстанавливаются правым умножением на ту же опору.
Поскольку уже введённые относительные направления удовлетворяют соотношениям

они дают вещественную клиффордову алгебру

Размерность этой алгебры над полем вещественных чисел равна Псевдоскаляр имеет квадрат
Кроме того, в нечётномерной алгебре псевдоскаляр коммутирует со всеми элементами:

То есть внутри самой вещественной алгебры уже есть элемент, ведущий себя как мнимая единица. Поэтому комплексность матричной записи Паули не обязательно понимать как внешнюю добавку. В этой записи ей соответствует внутренний псевдоскаляр относительного пространства:

Матрицы Паули удовлетворяют тем же определяющим соотношениям:

Поэтому можно задать отображение

Так как образы генераторов удовлетворяют тем же соотношениям, что и сами генераторы, это отображение продолжается на всю алгебру .
Для бивекторов и псевдоскаляра получаем:

Для произвольного элемента алгебры

его матричный образ имеет вид

Правая часть имеет вид произвольной комплексной матрицы , разложенной по базису Паули:

Если записать то обратное отображение сразу восстанавливает элемент :

Следовательно,

как вещественные ассоциативные алгебры. Матричным образом единичных роторов чётной подалгебры является группа унитарных матриц с определителем 1, то есть , которая всё же геометрически нагляднее как группа единичных роторов чётной подалгебры:

Их произведения замыкаются по кватернионной таблице с точностью до выбора знаков. Например, можно положить

Следовательно,

Единичные элементы этой чётной подалгебры являются роторами относительного трёхмерного слоя:

Именно эта группа роторов изоморфна , а уже она изоморфна :

Получаем цепочку:

Проверим произведение векторов

Пусть

В геометрической алгебре

В трёхмерной алгебре бивекторная часть дуальна векторному произведению:

Поэтому

Под отображением в матричную форму Паули получаем

Здесь и .

Это ровно стандартная формула Паули:

Скалярная часть геометрического произведения соответствует симметричной части произведения:

Бивекторная часть соответствует антисимметричной части:

В матричной записи это даёт:

Таким образом, в этой записи некоммутативность матриц Паули можно читать не как отдельный квантовый фокус, а как матричный образ геометрического произведения разных направлений.

Теперь вернёмся к опорному направлению .

Полная наблюдаемая пространственная ось имеет вид

После правого снятия опоры эта же ось превращается в относительный Паули-вектор:

Здесь и находится смысл выделенного направления. Выбор превращает бивекторные наблюдаемые оси в относительные направления , порождающие .
Иначе говоря, является пространственной осью в наблюдаемой пространственно-временной записи, а является Паули-генератором после правого снятия опоры.
Поэтому алгебра в этой конструкции не является инструментом в готовом абсолютном трёхмерном пространстве. Она возникает только как относительная алгебра после выбора опоры и правого снятия этой опоры с наблюдаемых осей.
В этой записи можно сказать так:

где сами получены из наблюдаемых осей правым снятием опоры:

Именно поэтому алгебра Паули появляется не на уровне исходной 4D-геометрии целиком, а на уровне наблюдательского среза. Полная 4D-запись хранит опору , а Паули-запись получается после её факторизации:

Внутри скобок находится паравектор

Его пространственная часть живёт в относительной алгебре , матричным образом которой является алгебра Паули. Следовательно, матрицы Паули реализуют не исходную четырёхмерную алгебру целиком, а относительную трёхмерную алгебру, возникающую после выбора опоры .

2. Буст

Теперь посмотрим, что в этой записи происходит с бустом. Пусть буст направлен вдоль наблюдаемой пространственной оси . В STA его генератором является бивектор Но в принятом соглашении поэтому
То есть в относительной записи генератором буста оказывается сам Паули-генератор .
Введём ротор буста с быстротой :

Знак в экспоненте фиксирует выбранное соглашение о направлении буста; ниже используется именно это соглашение.
Пространственный ротор строится на бивекторе с квадратом -1 и даёт тригонометрические функции. Буст строится на элементе с квадратом +1: поэтому даёт гиперболические функции.
STA-вектор в нашей записи имеет вид

Под действием буста:

Снимем справа старую опору :

Так как

получаем

Это не противоречит стандартной сэндвич-форме для STA-вектора: изменение правого множителя возникает из-за того, что после преобразования мы снова снимаем старую опору справа.
То есть в паравекторной записи буст действует не обычным сопряжением , а двусторонним произведением одного знака:

Раскрывая произведение, получаем:

Это обычная лоренцева смесь временной компоненты и компоненты вдоль направления буста. Поперечные компоненты остаются прежними:

Именно здесь видно первое важное отличие от обычного -поворота: если смотреть из старого наблюдательского слоя, то чистый Паули-вектор при бусте смешивается со скалярной частью паравектора:

Значит, вещественное подпространство

не является инвариантным под действием буста как подпространство чистых пространственных Паули-векторов. Если смотреть из старого Паули-слоя, буст смешивает скалярную ось паравектора с продольной Паули-осью.

3. Паули-пространство под бустом

Теперь посмотрим не на преобразование координат события, а на то, что происходит с самим относительным Паули-слоем при переходе к бустированному наблюдателю.

Новые STA-оси определяются стандартно:

Тогда новые относительные Паули-генераторы должны быть получены уже относительно новой временной оси:

Подставим:

Но

Уточню, что здесь не является ротором обычного пространственного : его генератор имеет квадрат +1, поэтому он сохраняет паулиевы соотношения, но не сохраняет старое разложение по грейдам.
Для буста вдоль получаем:

То есть новый Паули-слой, если смотреть на него из старой алгебры , уже не является чистым векторным подпространством старого . Он наклоняется в смесь векторного и бивекторного уровней:

При этом сами новые генераторы по-прежнему удовлетворяют паулиевым соотношениям:

Например,

Смешанные члены исчезают, потому что

Псевдоскаляр относительной алгебры при этом остаётся тем же:

потому что коммутирует со всеми элементами .

Значит, буст не уничтожает паулиеву структуру. Он меняет не сами паулиевы соотношения, а вложение относительного трёхмерного Паули-слоя в полную алгебру. То, что для нового наблюдателя снова является чистой тройкой Паули-генераторов, из старого слоя видно как смесь векторного и бивекторного уровней.
Получается любопытная вещь: буст вдоль в обычной STA остаётся бустом в плоскости , но после снятия опоры его действие на старый Паули-слой выглядит как гиперболическое смешивание поперечной пары с её бивекторной, то есть -умноженной, копией.

Поскольку

имеем

Поэтому буст в направлении можно прочитать как мнимую подкрутку поперечной Паули-плоскости на угол

Строго говоря, действие исходного 01-буста на комплексированное Паули-подпространство индуцирует буст в пространственной плоскости 23.

4. Промежуточный итог

В первом разделе мы фактически отделили обычный изоморфизм от его геометрического происхождения. В этой записи Паули-алгебра появляется не как алгебра заранее данного абсолютного трёхмерного пространства, а как относительный слой, возникающий после выбора опоры и правого снятия этой опоры с наблюдаемых осей . Поэтому матрицы Паули можно понимать как матричный образ не всей исходной четырёхмерной геометрии, а выделенного наблюдательского среза.

Во втором разделе тот же выбор опоры был применён к бусту. Оказалось, что STA-буст вдоль после снятия опоры имеет генератор , то есть формально тот же элемент, который в относительном слое играет роль Паули-генератора. Но из-за квадрата он даёт не обычный -поворот, а гиперболическое преобразование. В паравекторной записи это приводит к стандартной лоренцевой смеси и , но одновременно показывает, что старое пространство чистых Паули-векторов не остаётся инвариантным: продольная ось смешивается со скалярной частью паравектора.

Далее мы посмотрели уже не на координаты события, а на сам Паули-слой нового наблюдателя. Новый набор снова удовлетворяет паулиевым соотношениям, но если описывать его из старого слоя, он уже лежит не только в векторной части , а в смеси векторов и бивекторов. Иначе говоря, буст не разрушает Паули-структуру, но меняет её вложение в полную алгебру. В старой записи это выглядит как гиперболическое смешивание поперечной пары с её -умноженной копией, то есть как мнимая подкрутка поперечной Паули-плоскости.

Складывающаяся картина получается достаточно аккуратной: наблюдаемая Паули-алгебра оказывается не автономным трёхмерным объектом, а опоро-зависимым срезом более полной четырёхмерной алгебры. При смене инерциального состояния меняются не сами паулиевы соотношения, а способ, которым этот относительный слой вложен в полную структуру. Это позволяет читать лоренцевы преобразования не только как преобразования координат, но и как переупаковку наблюдаемой алгебры.

В таком чтении комплексность Паули-записи тоже выглядит менее внешней. Псевдоскаляр остаётся внутренним элементом относительного слоя, а бивекторная часть, возникающая при бусте, естественно попадает в ту же комплексированную структуру. Это не даёт новой физической теории само по себе, но показывает, что обычные спинорные и паулиевы конструкции можно рассматривать как проявления выбранной опоры и её изменения внутри более полной геометрической алгебры.

Перспектива здесь, на мой взгляд, в том, чтобы дальше проследить, какие структуры сохраняются при смене опоры, а какие являются только свойствами конкретного наблюдательского слоя. Особенно осторожно можно поставить вопрос о том, не является ли часть привычной квантовой матричности следствием именно такого опоро-зависимого представления геометрических объектов. Строго здесь утверждается только алгебраический факт: буст сохраняет паулиевы соотношения нового слоя, но меняет его грейдовое разложение относительно старого слоя. Физическая интерпретация этого факта требует отдельной проверки.