Старинная запись на квитанции в уплате подати («ясака»). Она означает сумму 1232 руб. 24 коп. Иллюстрация из книги: Яков Перельман «Занимательная арифметика»
Ещё Ричард Фейнман в книге «Вы конечно шутите, мистер Фейнман!» поведал несколько приёмов устного счёта. Хотя это очень простые трюки, они не всегда входят в школьную программу.
Например, чтобы быстро возвести в квадрат число X около 50 (502 = 2500), нужно вычитать/прибавлять по сотне на каждую единицы разницы между 50 и X, а потом добавить разницу в квадрате. Описание звучит гораздо сложнее, чем реальное вычисление.
522 = 2500 + 200 + 4
472 = 2500 – 300 + 9
582 = 2500 + 800 + 64
Молодого Фейнмана научил этому трюку коллега-физик Ханс Бете, тоже работавший в то время в Лос-Аламосе над Манхэттенским проектом.
Ханс показал ещё несколько приёмов, которые использовал для быстрых вычислений. Например, для вычисления кубических корней и возведения в степень удобно помнить таблицу логарифмов. Это знание очень упрощает сложные арифметические операции. Например, вычислить в уме примерное значение кубического корня из 2,5. Фактически, при таких вычислениях в голове у вас работает своеобразная логарифмическая линейка, в которой умножение и деление чисел заменяется сложением и вычитанием их логарифмов. Удобнейшая вещь.
Логарифмическая линейка
До появления компьютеров и калькуляторов логарифмическую линейку использовали повсеместно. Это своеобразный аналоговый «компьютер», позволяющий выполнить несколько математических операций, в том числе умножение и деление чисел, возведение в квадрат и куб, вычисление квадратных и кубических корней, вычисление логарифмов, потенцирование, вычисление тригонометрических и гиперболических функций и некоторые другие операции. Если разбить вычисление на три действия, то с помощью логарифмической линейки можно возводить числа в любую действительную степень и извлекать корень любой действительной степени. Точность расчётов — около 3 значащих цифр.
Чтобы быстро проводить в уме сложные расчёты даже без логарифмической линейки, неплохо запомнить квадраты всех чисел, хотя бы до 25, просто потому что они часто используются в расчётах. И таблицу степеней — самых распространённых. Проще запомнить, чем вычислять каждый раз заново, что 54 = 625, 35 = 243, 220 = 1 048 576, а v3 ? 1,732.
Ричард Фейнман совершенствовал свои навыки и постепенно замечал всё новые интересные закономерности и связи между числами. Он приводит такой пример: «Если кто-то начинал делить 1 на 1,73, можно было незамедлительно ответить, что это будет 0,577, потому что 1,73 — это число, близкое к квадратному корню из трёх. Таким образом, 1/1,73 — это около одной трети квадратного корня из 3».
Настолько продвинутый устный счёт мог бы удивить коллег в те времена, когда не было компьютеров и калькуляторов. В те времена абсолютно все учёные умели хорошо считать в уме, поэтому для достижения мастерства требовалось достаточно глубоко погрузиться в мир цифр.
В наше время люди достают калькулятор, чтобы просто поделить 76 на 3. Удивить окружающих стало гораздо проще. Во времена Фейнмана вместо калькулятора были деревянные счёты, на которых тоже можно было производить сложные операции, в том числе брать кубические корни. Великий физик уже тогда заметил, что использование таких инструментов, людям вообще не нужно запоминать множество арифметический комбинаций, а достаточно просто научиться правильно катать шарики. То есть люди с «расширителями» мозга не знают чисел. Они хуже справляются с задачами в «автономном» режиме.
Вот пять очень простых советов устного счёта, которые рекомендует Яков Перельман в методичке «Быстрый счёт» 1941 года издательства.
1. Если одно из умножаемых чисел разлагается на множители, удобно бывает последовательно умножать на них.
225 ? 6 = 225 ? 2 ? 3 = 450 ? 3
147 ? 8 = 147 ? 2 ? 2 ? 2, то есть трижды удвоить результат
2. При умножении на 4 достаточно дважды удвоить результат. Аналогично, при делении на 4 и 8, число делится пополам дважды или трижды.
3. При умножении на 5 или 25 число можно разделить на 2 или 4, а затем приписать к результату один или два нуля.
74 ? 5 = 37 ? 10
72 ? 25 = 18 ? 100
Здесь лучше сразу оценивать, как проще. Например, 31 ? 25 удобнее умножать как 25 ? 31 стандартным способом, то есть как 750+25, а не как 31 ? 25, то есть 7,75 ? 100.
При умножении на число, близкое к круглому (98, 103), удобно сразу умножить на круглое число (100), а затем вычесть/прибавить произведение разницы.
37 ? 98 = 3700 – 74
37 ? 104 = 3700 + 148
4. Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (9), и приписывают 25.
8 ? 9 = 72, приписываем 25, так что 852 = 7225
Почему действует это правило, видно из формулы:
(10Х + 5)2 = 100Х2 + 100Х + 25 = 100Х (X+1) + 25
Приём применяется и к десятичным дробям, которые оканчиваются на 5:
8,52 = 72,25
14,52 = 210,25
0,352 = 0,1225
5. При возведении в квадрат не забываем об удобной формуле
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
442 = 1600 + 16 + 320
Конечно же, все способы можно сочетать между собой, создавая более удобные и эффективные приёмы для конкретных ситуаций.
Комментарии (26)
olgerdovich
23.10.2016 18:39Молодого Фейнмана научил этому трюку коллега-физик Ханс Бете, тоже работавший в то время в Лос-Аламосе над Манхэттенским проектом.
сказать честно, удивительно, что бы талантливейший Фейнман, весьма наглядно описывавший, как он воспринимает связь вещей и явлений (и тролливший студентов на тему, что они не улавливают связь между равенством нулю производной в экстремуме и горизонтальностью касательной к графику функции в точке минимума), не владел равенством из списка «формул сокращенного умножения» ДО знакомства с Бете. Подозреваю, что здесь имеется какия-то неточность в изложении фактов, хотя нельзя и исключить, что «на старуху бывает проруха», в конце концов.
Может, речьоб особенном удобстве именно для чисел около 50 (2x превращается просто в сотню), для меня, повторюсь, такой тезис удивителен.
Tausinov
24.10.2016 09:40Удивительнее то, что «трюком» названа формула квадрата суммы\разности:
(a +- b)^2 = a^2 +- 2*a*b + b^2
ivk4
23.10.2016 20:47-6Очень интересные «трюки», но если вы считаете не для себя, то советую пользоваться калькуляторами и никого не подставлять возможными ошибками, за исключением тех случаев, когда вы уверены на 100% в результате
Robotex
24.10.2016 12:09На поле боя времени на калькулятор не будет :)
PolyAkaMorph
24.10.2016 14:46+1Сейчас студентов гоняют за маткад, меня гоняли за калькуляторы, папу — за логарифмичекую линейку, деда (еще до войны) — за бумажку, в моде был устный счет.
Папе его учительница говорила, дескать, вот начнется война, а линейки под рукой не будет. А мой дедушка ходил в школу с ней ругаться, предъявлял свою линейку и кричал, что он с ней две войны прошел, и надо не детей «идиотить», а учить за вещами следить.
Башорг =)Robotex
24.10.2016 15:14Ну если ты держишь объект в прицеле, особенно если он еще и двигается, то у тебя не будет времени даже достать телефон, не говоря уже о том, чтобы ввести туда значения и прочитать их. Приходится все в уме считать.
Но в безопасной обстановке разумеется все делается на баллистическом калькуляторе на телефоне.isden
24.10.2016 19:19> Приходится все в уме считать.
А мне товарищи рассказывали, что у них там есть специальные таблички для этого, ибо в боевой обстановке как-то не до сложных расчетов.Robotex
24.10.2016 20:04Таблички то для стрельб на полигоне. Их заранее в калькуляторе считают перед стрельбами. Или если ты длительное время находишься на позиции, то ты найдешь время чтобы померять расстояние до каждого объекта и составить таблицы значений с разными видами атмосферных явлений.
А иногда и расстояние будет не табличное. И ветер может меняться по нескольку раз за минуту и даже цель может двигаться (так что придется умножать ее скорость на время подлета пули).
Плюс, все поправки считаются в МОА, а сетка в прицеле в милах. Так что приходится иногда еще милы умножать на 3.5. А если это дробное значение, то придется перемножить два двузначных числа. При этом, это все может происходить во время боя, когда каждая секунда на вес золота.
Плюс, если ты меряешь расстояние прицелом, то там тоже придется считать в уме формулы.
Так что табличку иметь, конечно, хорошо. А еще различные карты с подписанными расстояниями (и нанесенными дугами расстояний) и пронумерованными объектами и секторами. Но быстро считать в уме иногда все-таки приходится. Особенно, если цель уходит и у тебя всего есть 1-2 выстрела. Там уже не до табличек и калькуляторов.
Robotex
24.10.2016 20:11Обычно составляют таблицы вертикальных поправок. А горизонтальные считают в уме.
Ну и артилеристы по калькулятору и таблицам стреляют. У них для этого времени полно :) Да и считать им нужно значительно больше, чем нам )
Dum_spiro_spero
25.10.2016 01:28ivk4
Поддержу.
Мне очень нравится сценка где Фейнман «обсчитал» мастера счета на счетах — речь шла о вычислении кубического корня. Ну и Перельман в детстве был прочитан и испробован. Периодически удивляю знакомую вычисляя что-то в уме. Но. То что мы с ней вычисляем — это обычно кто-кому-за-что-сколько-должен — речь идет о мелких покупках через инет для друзей. Мои вычисления в уме она всегда перепроверяет на калькуляторе. И думается в такой ситуации это правильно. Т.е. качество результата важнее важнее всего.
— Насчет маткада и студентов — зависит от задачи.
Я тут читал/разбирал книжку по спектральным методам, решая примеры оттуда в Мэпле. Мне надо было понять суть, а интегрировать тригонометрию и решать ОДУ я в общем умею.
— Также преподаватель по численным методам рассказывая какой-то метод рекомендовал нам не писать сразу программу — а посчитать на калькуляторе ручками чтобы почувствовать как сходится алгоритм.
tormozedison
23.10.2016 23:01Кто что вот об этом скажет?
https://sites.google.com/site/calculatinghistory/home/irish-logarithms-1/irish-logarithms-part-2-1
bopoh13
24.10.2016 02:58«Китайский способ умножения» по точкам пересечения линий (ABCYZ — цифры)
AB x YZ = A x Y ++ (A x Z + B x Y) ++ B x Z
ABC x YZ = A x Y ++ (A x Z + B x Y) ++ (B x Z + C x Y) ++ C x Z
где ++ это сложение цифр в столбик соблюдая разрядность
Ещё для цифр, близких к 100 работает (подсмотрел у Кондрашова А.А., комментариев нет):
AB x YZ = (100 — [100 — AB]) x (100 — [100 — YZ]) = (AB — [100 — YZ]) & ([100 — AB] x [100 — YZ])
или AB x YZ = (YZ — [100 — AB]) & ([100 — AB] x [100 — YZ])
где & является строковым сложением (т.е. аналогично операции «x 100 +»)?
stanislavskijvlad
24.10.2016 07:16Есть признак делимости на 11.
Сумма цифр на четных позициях равна сумме на нечетных.
streetflush
24.10.2016 13:45Как то классе в 7-8м вывел формулу преобразования XY в YX правда дальше двухзначных чисел не пошел.
XY: XY-(X-Y)*9 = YX
38: 38-(3-8)*9 = 83
saboteur_kiev
24.10.2016 14:28Умножение любых чисел на 17 очень легко и удобно делается в 17-ричной системе.
А вообще, хотелось бы почитать про различные приколы, которые проявляются в системах исчисления, отличных от 10-ти и бинарной (с ней и так почти все понятно)
Например, во всех ли системах есть деление с «в периоде»?
Есть ли какие-нибудь интересные «константы», которые в определенных системах выглядят нормальными целыми числами?
mammuthus
25.10.2016 11:22Если речь про иррациональные числа, то они иррациональны вне зависимости от системы счисления.
hdkr
24.10.2016 14:38Есть интересная книжка на тему статьи, как раз сейчас читаю.
А.Бенджамин, М.Шермер — Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы.
evgeniy_vorobyev
24.10.2016 15:05По словам Р. Фейнмана, он обладал цветовым восприятием цифр, что тоже ему неплохого помогало.
Taradast
25.10.2016 13:27Мне одноклассник в школе подсказал вот такой способ умножения на 2х и 3х значные числа в уме:
последовательно умножаем между собой сотни, десятки и единицы чисел затем складываем их между собой и получаем результат. Например:
1) 6*13 = 6*10+6*3 = 60+18 =78
2) 24*33= 20*33 + 4*33 = (20*30+20*3)+(4*30+4*3)=(600+60)+(120+12)=660+132=792
3) 654*18=(600*10+600*8)+(54*10+54*8)= (6000+4800)+(540+ (50*8+4*8))=10800+540+400+32=11772
и т.д.
Удобно в магазинах при покупках чтоб не лезть за калькулятором (поначалу жена перепроверяла на телефоне но сейчас верит). Есть недостаток — нужно постоянно держать в памяти по несколько чисел (промежуточные результаты) и для 3х и более значных чисел получается тяжеловато, хотя хорошо тренирует оперативную память и если постоянно упражняться то проблем не вызывает))
ilya_1
Добавлю еще, для умножения на 11 двузначного числа необходимо сложить две цифры этого числа и результат поместить между ними, на пример 52*11= складываем 5+2=7 и помещаем 7 между 5 и 2, получится 572. Если сумма получится больше десяти то к числу сотен добавляем единицу 57*11 = складываем 5+7=12 к пятерке прибавляем 1 а двойку помещаем в середину, получится 627.
MiXei4
По-моему для умножения любого числа на 11 не нужно ничего выдумывать. Просто умножаем стандартным способом. X * 11 = X * 10 + X.