Главная
Задача про четыре стакана

Задача про четыре стакана +42

02.04.2015 06:22

viktorpanasiuk 42 29340 Источник

В комментариях к моему посту, одним из пользователей был задан интересный вопрос. Суть его такова: Имеем 4 стакана, с одинаковым объемом воды. 2 из них с горячей, 2 — с холодной. Смешиваем стаканы с горячей и холодной водой. Ждем 10 мин и смешиваем оставшиеся. Вопрос: в какой смеси вода будет горячее?

Нагрев и остывание

Нагрев и остывание подчиняются закону Ньютона-Рихмана, решение уравнений которого имеет вид:

$T(t)=T_{out}+e^{-kt}(T_{0}-T_{out})$

$T_{out}$ — температура окружающей среды;
$T_{0}$ — начальная температура;
$t$ — время;
$k$ — коэффициент, описанный ниже;

Давайте детально исследуем эту формулу:

в момент времени $t=0$ , температура равна начальной $T_{0}$ .
Подробнее
$T(0) = T_{out}+e^{-k\cdot 0}(T_{0}-T_{out})=T_{out} + e^{0}(T_{0}-T_{out}) = T_{out} + T_{0}-T_{out}=T_{0}$
с течением времени, она стремится к окружающей (в не зависимости, была начальная выше или ниже неё) по экспоненциальному закону, со скоростью, пропорциональной коэффициенту $k$ .
Побробнее
Так как $\lim_{t\rightarrow \infty }\left e^{-kt}\rightarrow 0$ , то $T(t\rightarrow \infty )\rightarrow T_{out}+0\cdot (T_{0}-T_{out}) = T_{out}$

Теперь несколько слов о коэффициенте $k$ :

$k=\frac{\alpha S}{mc}$

$\alpha$ — коэффициент теплоотдачи, зависящий от многих факторов, получаемый экспериментально.
$S$ — площадь границы раздела;
$m$ — масса;
$c$ — удельная теплоемкость тела;

Если с $S$ (площадь соприкосновения воды и стенок сосуда), удельной теплоемкостью $c$ и массой $m$ все понятно, то с коэффициентом теплоотдачи $\alpha$ все не так очевидно. Он показывает, сколько джоулей за секунду уйдет через метр квадратный границы раздела, при разности температур в 1 Кельвин. К счастью, в нашем случае, не важно знание абсолютного значения этого коэффициента.

Смешивание

Какой станет итоговая температура воды после смешивания? Как бы банально это не звучало, но для нашего случая (смешиваем равное количество воды):

$T_{H+C}=\frac{T_{H}+T_{C}}{2}$

$T_{H}$ — температура горячей (Hot) воды;
$T_{C}$ — температура холодной (Cold) воды;
$T_{H+C}$ — температура смеси;

Доказательство

Количество выделенной или поглощенной энергии системы, c изменением ее температуры, связаны простым отношением:

$\Delta Q=cm\Delta T$

Горячая вода, охлаждаясь до $T_{H+C}$ отдаст такое же количество энергии, сколько заберет холодная, нагреваясь до той же температуры. Поэтому можем записать:

$\Delta Q_{H}=cm(T_{H}-T_{H+C})=cm(T_{H+C}-T_{C})=\Delta Q_{C}$

$T_{H}-T_{H+C}=T_{H+C}-T_{C}$

$2T_{H+C}=T_{H}+T_{C}\Rightarrow T_{H+C}=\frac{T_{H}+T_{C}}{2}$

Стаканы 2 и 4

Температура этих стаканов изменяется по экспоненциальному закону и через время $\Delta t$ станет:

$T_{2}(\Delta t) = T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{H}-T_{out})$

$T_{4}(\Delta t) = T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{C}-T_{out})$

Далее смешиваем и получаем:

$T_{2+4}(\Delta t) = \frac{T_{2}(\Delta t)+T_{4}(\Delta t)}{2}=\frac{T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{H}-T_{out})+T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{C}-T_{out})}{2}=$

$=\frac{2T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{H}-T_{out}+T_{C}-T_{out})}{2}=\frac{2T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{H}+T_{C}-2T_{out})}{2}=$

$=T_{out}+e^{-k\Delta t}\left (\frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )$

Стаканы 1 и 3

Смешиваем:

$T_{1+3}=\frac{T_{H}+T_{C}}{2}$

И через $\Delta t$ получаем:

$T_{1+3}(\Delta t)=T_{out}+e^{-k\Delta t}(T_{1+3}-T_{out})=T_{out}+e^{-k\Delta t}\left (\frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )$

Казалось бы разницы нет, но…

Подвох или еще раз о коэффициенте k

Наш цилиндрический стакан с точки зрения потерь тепла, можно разбить на три зоны: дно (bottom), верхняя часть (top) и боковые стенки (sidewall). Поэтому и коэффициент $k$ можно записать как сумму:

$k=k_{b}+k_{s}+k_{t}$

, где

$k_{b} = \frac{\alpha _{b}S_{b}}{cm}$ , $k_{s} = \frac{\alpha _{s}S_{s}}{cm}$ , $k_{t} = \frac{\alpha _{t}S_{t}}{cm}$

Если стакан рассматривать как цилиндр с радиусом $R$ и высотой $h$ , то:

$S_{b} = S_{t}=\pi R^{2}=S$

, а

$S_{s} = 2\pi Rh = 2\frac{S}{R}h$

Можем записать:

$k=\frac{S}{cm}\left ( \alpha _{b}+\frac{2h}{R}\alpha _{s}+\alpha _{t} \right )$

Так вот, для случая 1 и 3, при смешивании, масса и высота столба воды удваиваются:

$k_{1+3}=\frac{S}{c\cdot 2m}\left ( \alpha _{b}+\frac{2\cdot 2h}{R}\alpha _{s}+\alpha _{t} \right ) = \frac{S}{cm}\left ( \frac{\alpha _{b}}{2}+\frac{2h}{R}\alpha _{s}+\frac{\alpha _{t}}{2} \right )$

А вот к случаю 2 и 4 это не имеет никакого отношения, так как остывают (нагреваются) они по-одиночке, и после смешивания, дальнейшее изменение температуры нас абсолютно не волнует.

Выводы и еще один подвох

Если рассматривать

$k_{1+3}=\frac{S}{cm}\left ( \frac{\alpha _{b}}{2}+\frac{2h}{R}\alpha _{s}+\frac{\alpha _{t}}{2} \right )$

$k_{2+4}=\frac{S}{cm}\left ( \alpha _{b}+\frac{2h}{R}\alpha _{s}+ \alpha _{t} \right )$

можно сделать вывод что $k_{1+3}$ всегда будет меньше чем $k_{2+4}$ , а поэтому, если вспомнить что коэффициент определяет скорость изменения температуры, она, в случае 1 и 3 будет меньше.

Подвох состоит в значении $\frac{T_{H}+T_{C}}{2}$ относительно температуры окружающей среды. Если это значение будет выше, то остывание смеси 1+3 будет медленее чем 2+4 и, как итог, температура первой — выше. Однако, если подстроить эксперимент таким образом, что среднее температур будет ниже окружающей — «горячее» будет смесь 2+4, так как она нагревается быстрее.

Интересненькое

Если внимательно рассмотреть коэфициенты, можно сделать еще один интересный вывод.

Если цилиндр выбрать таким образом, что отношение $\frac{2h}{R}$ будет достаточно большим (тонкий, но длинный), так чтобы $\left (\frac{2h}{R}\alpha _{s}\gg \alpha _{b}+\alpha _{t} \right )$ , то $k_{1+3}\approx k_{2+4}$ и их итоговые температуры будут практически одинаковы.
Напротив, если отношение $\frac{2h}{R}$ сделать достаточно малым (широкий но короткий) так, чтобы $\left (\frac{2h}{R}\alpha _{s}\ll \alpha _{b}+\alpha _{t} \right )$ , то $k_{1+3} \approx \frac{1}{2}k_{2+4}$ .

Подробнее
$k_{2+4}\approx \frac{S}{cm}\left ( \alpha _{b}+\alpha _{t} \right )$

$k_{1+3}\approx \frac{S}{cm}\left ( \frac{\alpha _{b}}{2}+\frac{\alpha _{t}}{2} \right )=\frac{1}{2}\frac{S}{cm}\left ( \alpha _{b}+\alpha _{t} \right )=\frac{1}{2}k_{2+4}$

Если подставить это значение в формулу итоговой температуры для 1+3, получим:

$T_{1+3}(\Delta t)=T_{out}+e^{-\frac{1}{2}k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )=T_{out}+\sqrt{e}\cdot e^{-k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )$

Напомним что

$T_{2+4}(\Delta t)=T_{out}+e^{-k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )$

Если обозначить:

$T_{2+4}(\Delta t)-T_{out}=\Delta T_{2+4}=e^{-k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )$

, и

$T_{1+3}(\Delta t)-T_{out}=\Delta T_{1+3}=\sqrt{e}\cdot e^{-k\Delta t}\left ( \frac{T_{H}+T_{C}}{2}-T_{out} \right )=\sqrt{e}\cdot \Delta T_{2+4}$

Таким образом, для произвольного цилиндрического стакана и $\Delta t$ , $\left |\Delta T_{1+3} \right |$ будет лежать между $\left |\Delta T_{2+4} \right |$ и $\sqrt{e}\cdot \left |\Delta T_{2+4} \right |$ :

$\left |\Delta T_{2+4} \right |< \left |\Delta T_{1+3} \right |< \sqrt{e}\cdot \left |\Delta T_{2+4} \right |$

А на самом деле..?

На самом деле, данная статья очень наглядный пример того, что к практике без теории подходить нельзя. И этот абзац содержит выводы куда важнее приведенных выше. Не знание того факта, что результат зависит, помимо прочего, и от температуры окружающей среды, приведет к неправильной интерпретации последних. Вы только представьте, два друга ставят эксперимент, холодная вода 5 градусов, горячая 60. Но у одного из них дома 25, а у другого 40. Результаты будут противоречивыми. А если у них еще и стаканы разные или действия не синхронны… Но гораздо хуже, ложно утверждать о единственно верном исходе эксперимента, в случае, если результаты одинаковы (ввиду того что горячая вода чаще всего «горячее» чем холодная «холоднее» относительно комнатной температуры). Также, всегда следует хотя бы приблизительно оценить выходные величины. Если, к примеру, разница в температурах, количественно составит 0.5 градуса, то глупо мерить ее комнатным термометром, с погрешностью в 2 градуса. Стоит упомянуть о том, что закон Ньютона-Рихмана справедлив лишь в том случае, если в воде тепло распространяется гораздо легче, чем через стенки стакана. Вдобавок коэффициент теплопроводности, как и удельная теплоемкость, может зависеть от температуры. Ну и выводы наши для цилиндрического стакана, и другая геометрия внесет свои коррективы.

Комментарии (42)

Rumlin
02.04.2015 09:32
#8314290
+3
К этой задаче есть дополнение — когда добавлять сахар в чай если надо: а) погорячее, б) похолоднее
1. beliakov
  02.04.2015 09:37
  #8314296
  +1
  Или сливки в кофе.
1. viktorpanasiuk Автор
  02.04.2015 09:53
  #8314300
  +6
  На сколько я знаю, у сахара отрицательная теплота растворения. То есть растворяясь он охлаждает.
  1. Rumlin
    02.04.2015 10:03
    #8314302
    да, и в этом нюанс школьной задачи. Подобная же задача про какой стакан остынет быстрее с чайной ложкой ли без.
    
    beliakov
    02.04.2015 10:10
    #8314308
    Если ложка пластиковая, то без разницы.
    
    kyrie
    02.04.2015 11:56
    #8314396
    +3
    Не «без разницы» а «без видимого эффекта». Конечно разница будет. Тем более, как мы уже поняли из статьи, ложка может быть большая по площади а снаружи, например, жидкий азот.
    
    beliakov
    02.04.2015 12:29
    #8314432
    +5
    Уточню — «без существенной разницы». Я, разумеется, в курсе что всякая физическая задача бесконечно сложна, потому что на всякое физическое тело действуют одновременно все законы физики. В том числе и еще не открытые.
    
    CrazyViper
    02.04.2015 17:02
    #8314772
    +1
    Задача про яблоко — это шедевр! Спасибо за ссылку.
    
    beliakov
    02.04.2015 17:14
    #8314782
    +2
    Если понравилось, тогда советую всю книгу прочитать.
    
    CrazyViper
    02.04.2015 17:19
    #8314790
    +1
    Обязательно прочитаю, спасибо!
    
    maximw
    02.04.2015 14:16
    #8314560
    +8
    ложка может быть большая по площади а снаружи, например, жидкий азот.
    И начались «урановые ломы» :)
1. Meklon
  02.04.2015 19:49
  #8314928
  У меня кстати похожий вопрос. Отключили горячую воду. Вы нагреваете чайник воды и выливаете в таз. Мыться вы начнете через 5 минут. Есть два варианта — сразу добавить холодной воды или через 5 минут.
  В каком варианте потеряется меньше тепла? Если воды добавить сразу, то будет меньше разница температур с окружающей средой и по идее медленнее будет теплоперенос.
  1. viktorpanasiuk Автор
    02.04.2015 20:29
    #8314956
    +3
    Все верно. Горячая вода потеряет больше тепла, чем теплая (смешанная) за то же время. Но еще лучше сначала налить холодной воды. Она нагреется, прежде чем вы добавите горячей.
    
    Meklon
    02.04.2015 20:38
    #8314970
    Хм. Логично)
  1. Lobey
    02.04.2015 21:01
    #8314984
    +1
    Вот только площадь поверхности воды (по которой идёт теплообмен) станет заметно больше. Имхо сомнительное решение.
    
    viktorpanasiuk Автор
    02.04.2015 21:10
    #8314994
    +1
    Площадь поверхности и дна останется прежней. Увеличится площадь боковых стенок (на высоту столба холодной воды). Учитывая что купаются зачастую в платсмассовых мисках, теплопроводность которых не фонтан, много мы от этого не потеряем.

jyura
02.04.2015 11:00
#8314342
-1
Этот эксперимент на практике просто невозможно проделать. Остается довольствоваться только одной теорией.

olekl
02.04.2015 11:19
#8314368
А эти формулы учитывают все три канала передачи тепла: конвекцию, излучение и испарение?
1. viktorpanasiuk Автор
  02.04.2015 11:27
  #8314380
  Нет такой формы передачи тепла как испарение. Учитывается только кондуктивная передача тепла.
  1. ayakovlev
    02.04.2015 12:55
    #8314468
    +1
    А разве с верхней поверхности не происходит испарение?
    И разве испарение не сопровождается понижением температуры жидкости?
    
    viktorpanasiuk Автор
    02.04.2015 13:08
    #8314492
    Все верно, но фундаментальных способов обмена теплом три: конвенкция, излучение, теплопроводность. Испаряясь, вода теряет энергию за счет всех трёх. Пар поднимается вверх, так как теплее (конвенкция), излучает, по той же причине, и обменивается с воздухом кондуктивно, так как соприкасается с ним непосредственно. Если говорить об испарении, необходимо учесть влажность воздуха (во влажном испарение замедляется), давление (при низком испарение интенсивнее), а также обдув (при обдуве испарение интенсивнее). Верно кто-то здесь подметил, что физическая задача бесконечно сложна, и все-все учесть крайне сложно.
    
    ayakovlev
    02.04.2015 13:13
    #8314500
    +1
    Вот и я про то же: после смешивания мы имеем одно зеркало испарения. И скорость потери тепла от испарения будет сильно зависеть от: влажности, температуры, скорости движения окружающего воздуха.
    
    22sobaki
    02.04.2015 18:48
    #8314872
    +2
    И мне кажется, что испарение может вносить заметный вклад в теплопотери стакана.
    
    Плюс влияние размеров стакана — при одних его пропорциях в жидкости разовьется естественная конвекция и теплота будет переноситься от внутренних горячих слоев к холодным стенкам, а при других конвекция может и не возникнуть.

bachin
02.04.2015 11:45
#8314392
+1
Следующая задача на практически ту же тему:
На плите кипящая кастрюля (100°, 1 литр воды).
Нам требуется два литра кипятка. Варианты: долить в кастрюлю (вместимости хватит) один литр холодной и дождаться кипения, либо взять еще одну кастрюлю, налить туда литр холодной воды и поставить на конфорку рядом.
Если пренебрегать теплоотдачей и краевыми эффектами нагревания самой кастрюли, то варианты эквивалентны.
Но в свое время я на спор попытался доказать теорию практикой и с треском проиграл человеку, который у плиты проводил времени больше чем я, но совершенно не знал физику.
1. kyrie
  02.04.2015 12:00
  #8314400
  И что быстрее получается?
  
  Я бы (пока без особой физики) поставил на литр холодной рядом, поскольку разница между пламенем комфорки и водой будет больше, соответственно передача тепла — быстрее. И, в этом случае, греть будут две комфорки — левая будет поддерживать температуру кипятка (который достаточно много тепла отдает), а правая — нагревать свежий кипяток.
  1. viktorpanasiuk Автор
    02.04.2015 12:26
    #8314420
    Я так понял что комфорка всегда одна. Либо холодная вода греется с кипятком, либо кипяток простаивает, пока холодная греется отдельно. иначе ответ очевиден.
    
    bachin
    02.04.2015 13:39
    #8314514
    Ответ вовсе не очевиден. Попробуйте в домашних условиях.
    Хотя нужны две одинаковые кастрюли и две одинаковые конфорки.
    Обе конфорки нагреты, на одной в кастрюле варится литр кипятка, в руках у вас еще два раза по литру.
    Правой рукой выливаем воду в кипяток, левой рукой — в пустую кастрюлю поставленную на конфорку.
    Смотрим что быстрее закипит :)
    (Ну, можно обойтись одной кастрюлей, одной конфоркой и секундомером)
    
    В конце же концов нас интересует не квадратный конь в стерильных условиях. А практическое решение прикладных задач. Что толку от всего матана, если чашечка кофе с молоком будет остывать быстрее/медленнее пока официант её несет к столику чем отдельно тот же кофе и то же молоко по отдельности?
    
    viktorpanasiuk Автор
    02.04.2015 14:39
    #8314594
    Условия интересные, нужно подумать. Решая подобные задачи, никто не требует от вас ответа с 5-ой цифрой после запятой. Важно уловить взаимосвязи. Вы должны понять что от чего зависит и на сколько. Уверен, выводы можно применить ко многим практическим вопросам, не ограничиваясь лишь чашечкой кофе.
    
    ItsGreyDay
    02.04.2015 17:40
    #8314828
    в пустую кастрюлю поставленную на конфорку.
    важный момент в том, нагрета ли до 100+ градусов пустая кастрюля.
    
    viktorpanasiuk Автор
    02.04.2015 19:29
    #8314904
    тогда важный момент на сколько массивна эта кастрюля?
    
    Bronx
    03.04.2015 09:43
    #8315288
    Если цель — быстрее получить кипяток, то нужно налить часть холодной воды в горячую, оставшуюся холодную поставить на вторую конфорку. Разделить нужно с таким расчётом, чтобы обе кастрюльки закипели одновременно. Считать лень, но думаю поделить нужно примерно пополам, так как при высокой температуре пламени можно приблизительно считать скорость нагрева равномерной.
  1. isden
    02.04.2015 12:31
    #8314434
    Имхо, долив и нагрев будет быстрее, чем нагрев в другой емкости с нуля. Емнип, объемная теплоемкость воды понижается с ростом температуры.
1. Mrrl
  03.04.2015 10:00
  #8315308
  Кастрюля с двумя литрами — 11:45
  Прогретая кастрюля с одним литром — 9:20
  Сложно определить, что такое кипение. Когда в кастрюле с одним литром поверхность уже бурлила, в кастрюле с двумя литрами, при похожем состоянии дна, пузыри никак не могли добраться до поверхности, поглощаясь водой.

leggiermente
02.04.2015 12:57
#8314474
k = k_s + k_b + k_t

Это неочевидно.
1. viktorpanasiuk Автор
  02.04.2015 13:20
  #8314502
  Тут. В двух словах, потеря тепла через дно, боковые стенки и поверхность происходит параллельно (независимо). Вот если бы сначала теплообмен шел через дно, потом через боковую стенку и затем поверхность, формула была бы: $\frac{1}{k}=\frac{1}{k_{b}}+\frac{1}{k_{s}}+\frac{1}{k_{t}}$

Beholder
02.04.2015 22:31
#8315048
+6
Вместо кучи формул нарисовали бы лучше один график — статья бы от этого выиграла намного.
1. viktorpanasiuk Автор
  02.04.2015 22:32
  #8315050
  Тут я с вами просто не могу не согласиться. Графики более наглядны.

Centimo
04.04.2015 14:08
#8321918
Где матан?

radistao
08.04.2015 17:19
#8326734
+1
а можно автора попросить в конце статьи все-таки написать практический вывод, соответствующий поставленному условию в задаче (ну как в школе учили):

Вопрос: в какой смеси вода будет горячее?
Хотелось бы где-то в пределах "Таким образом" и "А на самом деле..?" увидеть что-то более конкретное, чем ?T и e.
Например, можно указать, что при исходной температуре холодной в 15, кипятка 95 и комнатной 20 получается, что холоднее будет смесь, приготовленная через 10 минут, а не «ранняя».

ввиду того что горячая вода чаще всего «горячее» чем холодная «холоднее» относительно комнатной температуры

вот здесь уже почти «наклевался» сколь-нибудь практический вывод.
В идеале, как писали выше, увидеть бы графики для сколь-нибудь стандарнтых значений, например, 15 vs 100 и при какой температуре окружающей среды получается перелом.
Т.е., после этого можно будет с чистой совестью говорить, что «в домашних условиях, с если нужно сохранить температуру, более выгодно смешивать раньше, чем позже»
1. viktorpanasiuk Автор
  09.04.2015 09:25
  #8327600
  К примеру 15 vs 100. (15+100)/2 = 57.5 — температура перелома. Таким образом если комнатная 25 градусов (25 < 57.5), ранняя смесь будет теплее. Если комнатная 60 градусов (60 > 57.5) — смесь приготовленная через 10 мин.

basht
08.04.2015 20:40
#8327076
под катом «интересненькое» ошибка в том переходе, где появляется sqrt(e):
sqrt(e) * exp(-k deltat) — это не exp(-1/2 k deltat), а exp(-k deltat + 1/2)
1. viktorpanasiuk Автор
  09.04.2015 09:26
  #8327602
  Тут нет мне прощения. Спасибо)

Задача про четыре стакана +42

Нагрев и остывание

Смешивание

Стаканы 2 и 4

Стаканы 1 и 3

Подвох или еще раз о коэффициенте k

Выводы и еще один подвох

А на самом деле..?

Комментарии (42)

viktorpanasiuk Автор

viktorpanasiuk Автор

viktorpanasiuk Автор

viktorpanasiuk Автор

viktorpanasiuk Автор

viktorpanasiuk Автор

viktorpanasiuk Автор

viktorpanasiuk Автор

viktorpanasiuk Автор

viktorpanasiuk Автор

viktorpanasiuk Автор

viktorpanasiuk Автор