Трое математиков получили ответ на фундаментальный вопрос о прямых путях на 12-гранном платоновом теле

Несмотря на то, что математики уже более 2000 лет [а, возможно, и ещё больше / прим. перев.] разбирают структуру пяти правильных многогранников (платоновых тел) – тетраэдра, гексаэдра (куба), октаэдра, додекаэдра и икосаэдра – мы ещё очень многого о них не знаем.

И вот трое математиков ответили на один из самых базовых вопросов, касающихся додекаэдра.

Допустим, вы стоите на одной из вершин правильного многогранника. Существует ли прямой путь, по которому можно вернуться в точку старта, не проходя ни через одну из остальных вершин? Для четырёх других правильных многогранников, составленных из квадратов или равносторонних треугольников — тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра – математики недавно дали отрицательный ответ на этот вопрос. Любой прямой путь, начинающийся с одной из вершин, либо наткнётся на другую вершину, либо будет вечно виться по поверхности фигуры, так и не вернувшись в исходную точку. Однако математики не знали, чего можно ожидать от додекаэдра, состоящего из 12 пятиугольников.

Теперь Джейдев Атрейа, Дэвид Оличино и Патрик Хупер показали, что на додекаэдре действительно существует бесконечное множество подобных путей. В их работе, опубликованной в мае в журнале Experimental Mathematics, показано, что эти пути можно естественным способом разделить на 31 семейство.

Поиск решения потребовал использования современных технологий и составления компьютерных алгоритмов. «Лет двадцать назад этот вопрос был вне досягаемости; лет 10 назад он потребовал бы невероятных усилий по написанию всех необходимых программ; и только сегодня все факторы сошлись», — написал в емейле Антон Зорич из Математического института Жасси в Париже.

Этот проект стартовал в 2016 году, когда Атрейа из Вашингтонского университета и Оличино из Бруклинского колледжа начали играться с набором плоских фигур, складывавшихся в правильный многогранник. Во время сборки многогранника Оличино понял, что накопленный за последнее время материал по плоской геометрии может оказаться кстати для понимания прямых путей на додекаэдре. «Мы буквально собирали эти штуки из разрозненных кусочков, — сказал Атрейа. – Простое любопытство исследователей совпало с новой возможностью».

Вместе с Хупером из Сити-колледжа в Нью-Йорке исследователи придумали, как классифицировать все прямые пути, выходящие из одного из углов и приходящие в него же, минуя остальные углы.

Их анализ является «элегантным решением», как выразился Говард Мазур из Чикагского университета. «Это один из тех случаев, когда я без колебаний могу заявить: Вот это да, почему же я этого не сделал!»

Скрытые симметрии

Хотя математики уже более ста лет рассуждают о прямых путях на додекаэдре, в последние годы интерес к этой теме возродился благодаря полученным недавно новым знаниям в области «поверхностей переноса». Такие поверхности формируются при помощи склейки параллельных сторон многогранника. Они оказались очень полезными для изучения широкого спектра тем, связанных с прямыми путями, идущими по фигурам с углами – от траекторий биллиардных шаров до вопросов о том, может ли один луч света осветить всю комнату с зеркальными стенками.

Базовая идея во всех этих задачах – так развернуть фигуру, чтобы идущие по ней пути стало проще изучать. Чтобы разобраться в прямых путях, идущим по правильному многограннику, можно начать с разрезания достаточного количества рёбер для того, чтобы их можно было развернуть на плоскости, сформировав, как говорят математики, сеть. Одна из сетей для куба, к примеру – фигура в виде буквы «Т», состоящая из шести квадратов.


Додекаэдр из бумаги, сделанный в 2018 году Дэвидом Оличиной и Джейдевом Атрейей для демонстрации возможности провести путь из одной вершины обратно в неё же без пересечения других.

Представьте, что мы сделали развёртку додекаэдра, и теперь идём по ней в некоем выбранном направлении. Рано или поздно мы наткнёмся на ребро сети, после чего наш путь перепрыгнет на соседний пятиугольник (тот, что был приклеен к текущему до того, как мы разрезали наш додекаэдр). При прыжке путь одновременно поворачивается на некий угол, величина которого в градусах делится на 36.

Чтобы избежать всех этих прыжков и поворотов, при встрече с ребром мы могли бы приклеить на него новую, повёрнутую копию сети, и продолжать идти прямо. Тогда у нас добавится избыточности: у нас будет два разных пятиугольника, обозначающих пятиугольник оригинального додекаэдра. Мы усложнили наш мир, но упростили наш путь. Мы можем продолжать добавлять новую сеть каждый раз, когда нам необходимо выйти за границы нашего мира.

К тому времени, как наш путь пройдёт через 10 сетей, мы повернём нашу оригинальную сеть на все возможные варианты углов, делящиеся на 36, и ориентация следующей добавленной нами сети совпадёт с той, с которой мы начинали. Получается, что 11-я сеть получается из оригинальной простым сдвигом – как говорят математики, переносом. Вместо того, чтобы приклеивать 11-ю сеть, мы можем просто приклеить ребро 10-й сети к соответствующему параллельному ребру оригинальной сети. Наша фигура уже не будет плоской, но математики считают, что она «помнит» плоскую геометрию своего предыдущего воплощения – так что, к примеру, пути считаются прямыми, если они были прямыми на ещё не склеенной фигура. После того, как мы сделаем все возможные склейки соответствующих параллельных рёбер, мы получим т.н. поверхность переноса.


Атрейа на правой руке сделал себе татуировку своей любимой поверхности переноса – двойного пятиугольника

Полученная поверхность — это представление додекаэдра, сделанное с большой избыточностью, в котором участвует 10 копий каждого пятиугольника. И оно гораздо получилось более сложным – оно склеено в виде пончика с 81 отверстиями. Тем не менее, эта сложная форма позволила троим исследователям разобраться в богатой теории поверхностей переноса.

Столкнувшись с такой гигантской поверхностью, математики закатали рукава – как фигурально, так и буквально. Поработав с ней несколько месяцев, они поняли, что поверхность пончика с 81 отверстием формирует избыточную презентацию не только додекаэдра, но и одной из самых часто изучаемых поверхностей переноса. Это двойной пятиугольник, который получается, если склеить два пятиугольника по одному из рёбер, а затем склеить все идущие параллельно стороны, чтобы получился пончик с двумя отверстиями и большим набором симметрий.

Также эта фигура вытатуирована на руке Атрейи. «Я уже знал и любил этот двойной пятиугольник», — сказал Атрейа, сделавший эту татуировку за год до того, как они с Оличино начали размышлять о додекаэдре.

Поскольку двойной пятиугольник и додекаэдр – геометрические родственники, высокая степень симметричности первого может помочь разобраться в структуре второго. «Это потрясающая скрытая симметрия», — сказал Алекс Эскин из Чикагского университета (консультировавший Атрейю по докторской диссертации 15 лет назад). «То, что у додекаэдра есть такая скрытая группа симметрии, является весьма примечательным фактом».


Джейдев Атрейа рассказывает, как они с коллегами решили давнюю задачу поиска прямых путей на додекаэдре

Взаимосвязь между этими поверхностями позволила исследователям воспользоваться алгоритмом анализа поверхностей переноса с высокой симметричностью, который разработала Мириам Финстер из Технологического института Карлсруэ. Адаптировав её алгоритм, исследователи смогли найти все прямые пути на додекаэдре, выходящие из одной вершины и возвращающиеся в неё, и классифицировать их на основе скрытых симметрий додекаэдра.

Этот анализ Атрейа характеризует как «один из самых интересных проектов за всю мою карьеру». Джейдев говорит, что очень важно постоянно играться с разными вещами.

Новый результат говорит о том, что даже в тех объектах, которые люди изучают уже тысячи лет, могут скрываться секреты, сказал Эскин. «Думаю, что даже для этих троих математиков было неожиданностью то, что они смогли сказать что-то новое по поводу додекаэдра».