Когда я был маленький, я думал, что математика - это очень формальная наука. Как бы не так! Когда о нас, математиках, говорят как о сухарях — это ложь! (с) 17 мгновений весны.
Приглашаю вас в путешествие по 6 уровням вселенной математики - от полностью формального до философско-поэтического, и заодно мы ответим на вопрос, является ли теорема Геделя теоремой или мета-теоремой.
1 уровень - логика первого порядка
Начнем с сухих формальных теорем - например, x(y+z) = xy + xz. Это простое выражение является арифметической (и алгебраической) теоремой и легко доказывается в формальной арифметике. Это самый простой случай.
Однако не все так просто, если мы возьмем, например, Великую теорему Ферма, которую можно записать формально вот так:
Кстати
Интересно что с точки зрения теории сложности, где сложность считается по числу перемежающихся кванторов общности и существования, великая теорема Ферма является очень простой: в ней есть только кванторы общности. В частности, можно написать машину Тьюринга, которая будет перебирать все варианты и остановится, только если теорема неверна.
Вы конечно же знаете, что великая теорема Ферма доказана.в 1994 году. Однако методы, используемые в этом доказательстве, далеко выходят за рамки формальной арифметики. То есть теорема сама арифметическая, а вот доказательство - нет. Можно ли доказать эту теорему, оставаясь внутри арифметики - неизвестно. Но эта тема (какой минимальной силы теории достаточно, чтобы доказать эту уже доказанную теорему) - основной мотив обратной математики.
Если для теоремы Ферма неизвестно, можно ли ее доказать арифметически, то для теоремы Гудстейна, тоже арифметической, достоверно известно, что арифметического доказательства не существует. Зато она довольно тривиально доказывается даже в очень слабых версиях теории множеств.
Бывают и другие проблемы с доказательствами, например, доказательство теоремы четырех цветов не было сразу принято всеми математиками, потому что было сгенерировано компьютером. А доказательство abc-теоремы действует только на территории Японии. Однако, существуют компьютерные системы для автоматической верификации доказательств, так что на этом, самом первом уровне, все будет хорошо.
2 уровень - теории второго порядка
Объяснить отличие теории второго порядка для программиста очень легко: надо задуматься, какого типа переменная может стоять после квантора. Если это число (или иной простой объект, если теория не о числах, но мы пока отталкиваемcя от арифметики) - то это теория первого порядка.
Если переменная имеет тип 'любое выражение', то это теория второго порядка. Когда в школе нас учили анализу и произносили 'для любой фунцкии...', то это как раз был второй порядок. Сила теорий второго порядка значительно, значительно превышает силу теорий первого, но их основание, как мы увидим, немного более зыбко. Вообще, чем выше мы полезем, тем больше все будет ходить ходуном.
Имеется еще промежуточный уровень по силе, monadic 2nd order, где выражения в кванторах указывать нельзя, зато можно указывать множества.
Как правило, выражения обозначаются uppercase:
В данном случае X - это выражение, а если вы узнали в записи выше принцип математической индукции, то вы большой молодец. Секундочку... Но ведь принцип математической индукции используется и в формальной арифметике первого порядка! Но как - ведь по своей сути это типичное правило второго порядка!
Ответ такой: regexp. Да, да, именно он. В арифметике первого порядка принцип математической индукции выражается бесконечным количеством аксиом, подходящим под regexp. Немножко некрасиво, но работает.
Мы пока не говорили про теорему Геделя, но для теорий второго порядка она не работает. Возможно, есть какие-то аналоги. Но вообще с теориями второго порядка надо осторожнее - недаром арифметику второго порядка называют теорией множеств в овечей шкуре:
Теория множеств сравнивается с "волком" за число парадоксов, безумное число версий и вариантов теории, что может сравниться лишь с деревом вариантов *Unix. Впрочем, теория множеств - это теория первого порядка, и то, что она может успешно имитировать большинство (не все) аспекты теории второго говорит об ее чудовищной силе.
3 уровень - мета теоремы
Здесь мы добрались до Теоремы Геделя (их несколько), первая из которых утверждает, что в формальной арифметике существует выражение W, которое истинно, но недоказуемо:
Здесь PA - Peano Arithmetics. Мета теорема Геделя доказывается с помощью придания второго смысла математическим выражениям, а затем с помощью диагонального метода формируется выражение W, которое имеет дополнительный смысл: "я недоказуемо"
Запись
Означает, что утверждение E может быть доказано в теории T, и как раз этот момент и выводит нас на третий уровень логики, так как понятие "может быть доказано" не выразимо в логиках ни первого, ни второго порядков (хотя теорема Геделя и связывает доказуемость со свойствами чисел)
Интересно, что выражение W можно записать явно (мета теорема Геделя конструктивна). Я видел картинку с очень длинной формулой для W, но сейчас отыскать ее не смог. Может кто-нибудь из читателей сможет?
Я как то имел спор с человеком, который утверждал, что теорема Геделя - это арифметическая теорема, потому что выражение W выразимо в арифметике. Однако даже в этом случае доказательство производится на мета уровне и в арифметике не выразимо. Кроме того, теоремой Геделя мы называем утверждение о существовании недоказуемых утверждений в PA, а не длинное и лишенное, на первый взгляд, особого смысла длиннющее выражение W.
Если вас интересует, есть ли в арифметике более короткие недоказуемые утверждения, то да - теорема Гудстейна, которую я уже упоминал.
4 уровень - кванторы по теориям
Есть расширения теоремы Геделя, которые иногда неряшливо тоже называют теоремой Геделя. Между тем, это новый, более высокий мета уровень. Рассмотрим эти расширения:
Первое обобщение теоремы Геделя: если в PA добавить недоказуемое утверждение W в качестве новой аксиомы, то получившаяся новая теория (PA+W) все равно содержит новое недоказуемое утверждение W1, и так далее. То есть это системный баг, его не пофиксить, добавив новые аксиомы
Вы заметили квантор по теориям?
Второе обобщение теоремы Геделя: любая непротиворечивая теория, в которой выразима формальная арифметика, неполна, то есть к ней применим вариант теоремы Геделя (дополнительно требуется, чтобы система аксиом либо была конечной, либо все regexp были алгоритмически разрешимы)
Тут квантор совсем уж явен.
На этом же мета-мета уровне, теории о теориях, находится теория моделей. Она изучает, а какие же наборы объектов удовлетворяют теориям? Из интересных выводов этой теории:
Теории первого порядка не способны контролировать мощность своих моделей: если есть бесконечная модель, то есть и другие модели любой бесконечной мощности.
То есть формальная арифметика описывает не только натуральные числа (их счетное количество), но другие наборы фишек (например, мощности континуума), которые удовлетворяют всем правилам игры в арифметику! Такие модели называются нестандартными.
В другую сторону это тоже работает: теория вещественных чисел (коих континуум) имеет счетную модель (what???). Теория множеств ZFC имеет тоже счетную модель, хотя в этой модели некоторые фишки удовлетворяют формуле 'это множество несчетно'. Этот парадокс называется парадоксом Скулема.
Теории второго порядка, кстати, способны контролировать мощность своих моделей, поэтому они не сводимы к теориям первого порядка с помощью разных трюков.
Меня заинтересовал такой вопрос: модель теории - это множество объектов, которые могут этой теории удовлетворять, но какую версию теории множеств мы используем на этом уровне? Ответы математиков несколько путаны и противоречивы. В любом случае тут здание шатается уже очень сильно, того и гляди наступишь на грабли противоречивой 'наивной' теории множеств. А сделать это легче легкого: например, в альтернативной теории множеств New Foundations существует 'множество всех множеств', не создавая противоречия.
5 уровень - кванторы по логикам
Что может быть еще более абстрактного, чем кванторы по теориям? Теории, как правило, все таки полагаются на общие логические правила. Но не всегда: существует интуиционисткая логика, отрицающая принцип исключенного третьего. Она тесно связана с конструктивной математикой, где нельзя доказать существование чего-либо 'от противного', объект обязательно надо 'предъявить'. Возможны и другие версии логик.
Вот пример рассуждения на этом уровне отсюда: здесь доказывается, что из AC (знаменитой аксиомы выбора) следует правило исключенного третьего, а значит, конструктивная математика и AC несовместимы, если вы не готовы на другие жертвы:
we note that in deriving Excluded Middle from ACL1 essential use was made of the principles of Predicative Comprehension and Extensionality of Functions[18]. It follows that, in systems of constructive mathematics affirming AC (but not Excluded Middle) either the principle of Predicative Comprehension or the principle of Extensionality of Functions must fail.
The principle of Extensionality can easily be made to fail by considering, for example, the predicates P: rational featherless biped and Q: human being and the function K on predicates which assigns to each predicate the number of words in its description. Then we can agree that P≈Q but KP=3 and KQ=2.
6 уровень - философия
Да, здесь уже чистая философия, правда, замешанная на математике.
Вот например: Как относиться к тому, что разные математические теории могут давать разные, зачастую диаметрально противоположные выводы? Математики придерживаются разных убеждений: формалисты просто говорят: это игра. Мы задали разные правила, и получили разные результаты. Чему удивляться?
Платонисты же видят некую реальность за формулами, ведь теории придуманы не просто так. Например, теория множеств NF (New Foundations) построена на совершенно других принципах, чем классическая ZFC, но почему-то повторяет ее выводы о недостижимых мощностях. В NF, где есть universal set, правда, не работает AC, но это происходит и в ZFC для очень больших мощностей... Совпадение? Или подсказка, что за формулами что-то есть?
Комментарии (150)
AndreiChernykh1991
29.01.2022 21:09+2тема реально интересная, но прочитать ее можно только с физ-мат образованием)
Emelian
29.01.2022 21:11В последнее время, на Хабре появились математики, пишут умные и правильные вещи. Но если спросить что-нибудь, то вопросы, как правило, виснут в воздухе.
Процитирую еще раз свой последний комментарий:
«Вот хорошая задачка, на которую почти никто не может дать простого внятного ответа. Требуется найти ошибку в рассуждениях.
Квантовое уравнение Шредингера, в частных производных (УрШ), содержит постоянную Планка h дважды, в первой и второй степени. Рассматривая квадратное уравнение относительно h, приходим к двум выводам:
1. Если h имеет одно значение, то дискриминант равен нулю и, следовательно, УрШ распадается на два уравнения, что позволяет решить его в общем виде.
2. Иначе, фундаментальная константа h имеет два значения, что можно считать научным открытием.
Таким образом, любой вариант является значимым. Ура, товарищи! Куда обращаться за Нобелевской премией?
Насчет Теоремы Ферма. Я бы задался таким вопросом: «Возможно ли, разложить на множители трехчлен x^n + y^n – z^n, в числах алгебр Кэли-Диксона, некоторой размерности k?». Да, при этом появятся делители нуля и прочие «нюансы». Тем не менее, я думаю, вопрос интересен сам по себе.».
Ваши «Шесть уровней метавселенной математики» могут как-то помочь здесь?
И еще, поскольку вы упомянули философский уровень математики, то что бы вы могли сказать по поводу «концептуальной логики»? Критерий истинности которой – снижение локальной неопределенности. Другими словами, истина это то, что снижает локальную неопределённость. А из двух утверждений более истинно то, которое имеет меньшую неопределенность. На этой базе можно даже строить общественные теории, типа, «научной религии».
Tzimie Автор
29.01.2022 21:41Что касается физики, рекомендую вам работать в естественной системе единиц, где h=G=c=1
Шесть уровней тут не помогут
Что именно вы называете концептуальной логикой? Можно ссылку?
Emelian
31.01.2022 21:13Что касается физики, рекомендую вам работать в естественной системе единиц, где h=G=c=1
А если бы речь шла о других фундаментальных константах, например, массе и заряде электрона, то их тоже надо было бы приравнивать единице?Шесть уровней тут не помогут
Вообще-то, информация о шести уровнях математики, достаточно интересная, но не видно содержательного результата, который можно использовать для чего-либо, пусть даже в абстрактных теориях. Особняком, правда, стоит шестой уровень, который позволяет перекинуть мост в нашу практическую реальность. И то, требуются дополнительные принципы и суждения.Что именно вы называете концептуальной логикой? Можно ссылку?
То, что я вкладываю в этот термин, не соответствует тому, что об этом думают другие. Но, поскольку, термин достаточно сырой, то я им тоже пользуюсь. А, поскольку, «философия это не наука, а всего лишь форма мировоззрения», то этот уровень нужен не столько математикам, сколько «философам».
Я упоминал о «снижении неопределенности или, если хотите, противоречивости» в теориях, как неком метакритерии практической истины. Другими словами, если есть две мировоззренческие теории, то более верна та, которая имеет меньшую локальную неопределенность / противоречивость. Естественно, речь идет об относительной истинности (более правдоподобна / менее правдоподобна).
Возьмем, для примера, любую религию. Люди с формальным мышлением давно заметили, что: «Там, где начинается религия, там заканчивается логика». Вопрос, можно ли как-то решить этот логический парадокс? Для этого надо, сначала, сформулировать главное противоречие всех религий. А именно их отношение к Дьяволу. Совершенно непонятно, зачем, скажем, хороший Бог создал плохого Дьявола и во всем потакает ему?
Это противоречие легко снимается, если полагать, Бог Дьявола не создавал, и что это две равновеликие Сущности, одного уровня. А их обоих создала Сущность более высокого порядка, которую условно назовем Создатель. Для чего? Хороший вопрос. Цель Создателя – Развитие Всего Сущего, на принципах Разнообразия, Гармонии и Красоты. А как мы знаем из диамата К. Маркса, источником движения и развития являются антагонистические противоречия. Поэтому Создателю понадобились две антагонистически противоборствующие Сущности, которых он и создал. Причем, оба они имеют те же (конкурирующие) Цели, что и у Создателя. Только у Бога это Божественное Развитие, а у Дьявола – Дьявольское Развитие. На Западе даже есть термины «хищническое творчество» и «параллельные человечества» (в нашей терминологии это люди Бога и люди Дьявола, поскольку антагонистические противоречия пронизывают все уровни нашего Мира).
Можно задаться вопросом, а чем, принципиально, отличается Божественное Развитие от Дьявольского? Только одним, у Бога есть (моральные) ограничения на Развитие, а у Дьявола их нет. Соответственно, Бог ориентирован на интенсивное Развитие, а Дьявол на экстенсивное. Люди Бога готовы учитывать чужие интересы равных себе, а люди Дьявола – нет, они стремятся к достижению своих целей любой ценой за счет подавления интересов окружающих (войны и т.п.). Вспомним, что Владимир Путин недавно посетовал, что у коллективного Запада нет никаких моральных ограничений. В нашем понимании западная элита это люди Дьявола.
В общем, эта Теория Развития, или, другими словами, Научная Религия, очень продуктивна и не имеет явных противоречий, присущих обычным религиям. Более того, она завязана на диалектический материализм Маркса, который создан в интересах Создателя, тем самым, может быть полезен как людям Дьявола, так и людям Бога.
Короче говоря, продолжать можно долго, но для примера работы принципов концептуальной логики, вполне достаточно. Кстати, постоянно вертится мысль о «Троице»: Создатель – Бог – Дьявол.
А мы то, всего добавили один метапринцип в наши религиозные рассуждения. И сразу устранили массу противоречий и неопределенностей, что делает эту теорию вполне правдоподобной.Tzimie Автор
01.02.2022 13:07А если бы речь шла о других фундаментальных константах, например, массе и заряде электрона, то их тоже надо было бы приравнивать единице?
Нет, остальные ьезразмерные константы называются parameters of the standard model (wiki it)
Starche
29.01.2022 22:49Не разбираюсь в физике почти совсем, быстро погуглил. Там же есть мнимая единица в уравнении? Т.е. одно из значений h будет комплексным, что не особо интересно для реальности. И даже если бы там было не i, то вполне вероятно, что из двух решений h одно было бы отрицательным, что тоже не особо интересно.
Starche
29.01.2022 23:40Хотя всё это не важно. Важнее то, что при попытке решить уравнение относительно константы, скорее всего окажется, что второе решение будет переменной, а не константой.
Emelian
30.01.2022 21:12Очень неплохо, для начала!
Действительно, физическая сторона задачи, как и мнимость i, здесь практически не имеют никакого значения. Задача, чисто логическая. А в логике важна именно полнота рассуждений. Чего здесь не хватает?
1. Допустим, верно первое утверждение. Разделяем УрШ на два уравнения, решаем его, получаем некий частный, вырожденный случай. Что, явно, не интересно и намекает, на то, что корней у квадратного уравнения должно быть два. Но, если мы не хотим переходить на физический уровень, то достаточно просто сформулировать вопрос: «А два частных уравнения Шредингера, вместо одного, общего, будут иметь смысл?»
2. Ладно, допускаем, что корней два. Но, как вы правильно заметили, кто сказал, что второй корень будет константой, пусть даже и комплексной? Опять же, опускаясь на физический уровень, рассматривая частные решения УрШ, мы легко увидим, что второй корень всегда функция, что на фундаментальную константу явно не тянет. Наверное, при большом желании, это можно доказать и для общего случая УрШ. Однако, даже если второй корень был бы константой, то нам, все равно, предстояло бы еще доказать, что этот корень не является паразитным. Как, скажем, в случае тождества x = 1, при возведении его в квадрат: x^2 = 1, мы получаем паразитный корень х = –1. По-видимому, должна существовать система линейных, относительно h, уравнений, в частных производных, эквивалентных уравнению Шредингера. А физики любят несколько линейных уравнений заменять одним нелинейным.
Итак, оставаясь в рамках одной логики, можно если не решить данную задачу полностью, то, по крайней мере, определить пути ее разрешения. А именно, задаться вопросами:
1. Будут ли два частных уравнения Шредингера иметь смысл, вместо одного общего? (Ответ, без доказательства, не будут!)
2. Будет ли второй корень константой? (Ответ, без доказательства, не будет!)
3. Не является ли второй корень паразитным? (Ответ, без доказательства, является!)
Таким образом, прямой ответ, корней у УрШ, относительно h, – два, но второй корень паразитный и, вообще говоря, не является константой. С этим легко согласиться, даже без доказательства, поскольку иначе мы все равно никаких выгод не получим (два частных уравнения не заменят одно общее и вторую константу h мы, все равно не вычислим).
amarao
29.01.2022 21:25+4А седьмой уровень всё ещё пытается понять, что такое число...
ksbes
31.01.2022 13:35Число — элементарно: это некая нематематическая операция, удовлетворяющая определённым условиям (аксиомам арифметики). Например, процедура подсчёта трёх камешков путём поочерёдного их доставания из мешка — это 3.
Т.е. числа это API внешнего мира для математики.
Т.е. числа — это 6й уровень. Философия :)
a1111exe
31.01.2022 14:04удовлетворяющая определённым условиям (аксиомам арифметики)
Действительные, комплексные, кардинальные и всевозможные другие числа это, получается, не числа? Арифметическими-то средствами их и не запишешь...
amarao
31.01.2022 15:45Ваше определение - это одной категории с "число - существительное, неодушевлённое, средний род, 2-е склонение", ничего не объясняет.
ksbes
31.01.2022 15:55Ничего — это что конкретно не объясняет?
Определение, кстати, не моё — передаю по памяти в режиме «испорченного телефона». Мне оно понравилось именно своей конкретикой и материалистичностью. Пользуясь им можно любое действие с (арифметическими) числами перевести в конкретный алгоритм реальных физических действий (пусть и невозможных вроде 1-3).
P.S. на счет «неарифметических» чисел — это тоже действия, но уже абстрактные, математические.amarao
31.01.2022 15:56Во всём этом (включая подсчёт камешков) совершенно не понятно, что такое "1". Вот, например, у меня на столе лежит "1" телефон и над столом "1" воздух. Так?
ksbes
31.01.2022 16:05Правильный ответ:
Дайте вашу методологию подсчёта телефонов и воздуха (при чём такую, чтоб удовлетворяла аксиомам натуральных чисел) и я вам скажу так это или нет. Нет методологии измерений/счёта — нет чисел.
В том и сила математики: она позволяет предсказывать результат совершенно различных действий над совершенно разными объектами пользуясь общими для них свойствами.
Я понимаю, что нам, образованным людям сложно понять неочевидность того, что складывать камни и объёмы жидкости — это одно и тоже. Но я реально встречался с «дикими людьми» (дети-подростки, которые росли сами по себе в буквальном ауле и не умели считать) для которых была очень странной идея того что сложение камней и стаканов воды в ведре можно делать одинаково. Для них чисел — не было (пока я их не научил).
phenik
31.01.2022 17:46Для них чисел — не было (пока я их не научил).
Тут необходимо уточнение. Действительно понимание абстрактных чисел и операций над ними приобретаются в процессе обучения. Однако нативная база оценки численности является в немалой степени врожденной. В некотором виде она присутствует с рождения, присуща животным разных видов, начиная с насекомых. Это достаточно надежно установленный факт, и казалось бы о нем можно забыть — есть нативная поддержка, и есть. Даже ребенок или обезьяна с большей вероятностью выберет из двух куч кучу с большим числом, например, фруктов (специальной постановкой можно нивелировать влияние общего размера куч на выбор). При этом речь не идет о подсчете, оценка производится интуитивно, благодаря чувству численности. Но исследования показали что именно чувство численности несет отвечает за понимание смысла чисел, включая в абстрактном представлении. Эта проблема понимания смысла чисел сейчас всплыла в связи с разработкой языковых моделей ИИ. Писал развернутый комент на эту тему со ссылками на источники, см. чтобы не повторять.
0xd34df00d
31.01.2022 22:40+1Например, процедура подсчёта трёх камешков путём поочерёдного их доставания из мешка — это 3.
Три — это процедура подсчёта трёх камушков.
Хорошее определение — самоссылаемость вылезла даже раньше, чем у сепулек.
ksbes
01.02.2022 08:21Не надо «разворачивать в обратную сторону» утверждения — это плохой тон в математике. И это не определение, а пример, демонстрация. Что написано чёрным по белому.
dmitrysvd
29.01.2022 21:33+1Меня как-то заинтересовал такой выносящий мозг вопрос. Существовала ли теорема Пифагора до того, как ее открыли люди?
Tzimie Автор
29.01.2022 21:38+3Для платониста - да, существовала. Математические сущности существуют вне времени
dmitrysvd
29.01.2022 22:09Тогда и вселенная может быть такой математической сущностью, правильно?
Tzimie Автор
29.01.2022 22:15+1Безусловно
https://habr.com/ru/post/443894/
dmitrysvd
29.01.2022 22:36А что гарантирует, что математические законы выполняются правильно? Почему например электрон не может развернуться и полететь в обратном направлении?
Tzimie Автор
29.01.2022 22:50+7А кто гарантирует, что число 17 не перестанет вдруг быть простым?
dmitrysvd
30.01.2022 12:25+1Если предполагать, что вселенная получается, например, повторяющимся применением некотого правила к изначальному состоянию, что гарантирует, что наблюдаемое состояние вселенной будет именно тем, которое достижимо в результате вычислений, а не любым другим из всего множества возможных состояний?
В множестве возможных состояний есть такие, которые немного отличаются от полученного в результате вычислений. Например, если бы у фрактала Мандельброта были нескольки битых пикселей. Что гарантирует, что "существуют" только те состояния, которые могут быть получены в результате вычисления?
Tzimie Автор
30.01.2022 14:07Это гарантирует эквивалентность физики и математики в mathematical universe hypotesis Тегмарка
dmitrysvd
30.01.2022 14:21+2Не понимаю, как из эквивалентности физики и математики следует, что существуют только некоторые определенные состояния вселенной, а не все возможные из фазового пространства состояний. Ведь они тоже являются математической струткурой.
Tzimie Автор
30.01.2022 14:26Никак не следует. "Существуют" все возможные структуры. Но не все могут содержать жизнь и брать населены разумом
dmitrysvd
30.01.2022 14:38Но например существует условная вселенная, в точности такая как наша, где условный электрон развернулся и полетел в обратном направлении, и эта вселенная тоже будет математической структурой. Почему она менее "реальна", чем та, в которой выполнялись правила преобразований? Хотя у меня есть мысль, что такие вселенные тоже существуют, но менее вероятны.
Tzimie Автор
30.01.2022 14:47А почему вы считаете, что она менее реальна? Если там такие законы и они непротиворечивы, то она существует
Есть ли там жизнь, другой вопрос
amazed
30.01.2022 23:59Хотя у меня есть мысль, что такие вселенные тоже существуют, но менее вероятны.
На подобные вопросы можно конечно можно отвечать только гипотезами и мое объяснение следующее.
Электрон не может на ходу повернуть вопреки принятым во вселенной законам потому, что так он нарушит некий принцип, который можно назвать "принцип сохранения информации".
Электрон своим импульсом и координатами (точнее, своей волновой функией) несет информцаию о том, когда и в какой точке случилось нечто испускающее электроны. Например, можно поставить в космосе "электронный телескоп" и увидеть в него этот источник, собрав достаточно электронов. Если электрон развернется в нарушении законов, он сотрет эту информацию. А информация из мира не должна пропадать бесследно.
Следующий логичный вопрос - почему сохранение информации (она же обратимость, она же унитарность в квантовой механике) так важна для существования вселенной.
И здесь можно связать этот принцип с некого рода сильным антропным принципом, действующим в реальном времени для каждого события. Потеря информации из мира означает, что наблюдатель никогда не воспримет это событие. Кроме того она означает, что вся цепочка событияот большого взрыва, приведшая к этому событию тоже будет утрачена. Таким образом для наблюдателя потерянная часть реальности не существовала никогда (как фантаскике вроде "Доктор кто" или триллере про ведьму, когда из мира похищают всю память о человеке а не только самого человека). А значит наблюдатель способен наблюдать только обратимую часть реальности, не нарушающую однажды установившихся законов.
Дальше можно привести еще рассуждения, почему мир наблюдателя устойчив и не рассыпается...
Keyten
31.01.2022 03:51Что такое вообще существует?
Если я могу представить эту Вселенную в голове, значит ли это, что она существует физически, потому что мои нейроны её смоделировали?
amazed
31.01.2022 09:11"Существует" - это значит можно посмотреть какое оно, потом отвернуться, потом снова посмотреть и убедиться что оно все еще там. Все остальное от лукавого.
amazed
31.01.2022 11:07Существуют. Мы в принципе можем зафиксировать атом, определить его тип, положение, импульс, а потом повторить то же через некоторое время, зная из законов физики как он должен измениться и увидев это новое состояние.
А вот если речь идет о фотонах, виртуальных частицах или волновой функции (особеннно такой, в которой может быть неопределенное количество частиц), то здесь уже понятние "существует" напрямую не применимо. Эти сущности вводятся в теорию для того чтобы теория работала. Мы дстраиваем мир сущностей, которые "существуют" дополнительными сущностями, которые логически замыкают картину, но которые нельзя наблюдать так же как существующие. Назначать эти дополнительные сущности "существующими" ошибочно, потому что тогда кажется что с ними можно сделать все выше описанное, а это не факт.
Tzimie Автор
31.01.2022 13:08+1Да нет же. Вы не видите атом. Вы смотрите на стрелки больших приборов, на фото с электронного микроскопа, но не на сам потом непосредственно
Эта крайняя точка зрения называется macroscopic realism и имеет право на существование, как философская концепция
Разумеется, нет разницы между атомами и данном частицами
amazed
31.01.2022 15:50Тут нет ничего интересного. Когда я смотрю глазами на предмет я тоже не вижу его непосредственно. По сути я вижу мозгом, который зная как устроен мир делает выводы о существовании наблюдаемого объекта исходя из сигналов сетчатки. При этом вооружен глаз микроскопом или нет не важно. С микроскопом только цепочка выводов мозга снановится длиннее. В остальном никакой разницы.
a1111exe
31.01.2022 22:44Опровергайте!
Так уже. На всякий случай уточню, что опровергнуть это одно, а кого-то убедить в этом - совсем-совсем другое.
Солипсизм опровергается тривиальным наблюдением, что регуляция происходящего выходит за пределы собственной воли. Субъективный идеализм, который постулирует, что всё существующее существует как предмет восприятия, подвержен ударам со многих сторон (и в этом аспекте напоминает мне материализм). Например, со стороны необходимых условий, как у Канта с трансцендентальным субъектом как условием субъективности и трансцендентной вещью в себе. Или со стороны интенциональности как, емнип, это происходит у Гуссерля. Или со стороны противоречивости тотальности множественности - конкретной схемы моего рассуждения я ни у кого не припомню, но совершенно точно направление мысли мне подсказал Маймонид. Наверняка есть ещё способы, о которых я сейчас либо не вспомнил, либо не знаю.
dmitrysvd
31.01.2022 23:42Что такое вообще существует?
Это как раз самый интересный вопрос. Хотя на него навряд ли возможно дать адекватный ответ в рамках здравого смысла. Как может существовать математическая структура, которой не то что нет в реальном мире, её даже не вычисляли на компьютере, и о ней даже не знают? Но при этом она описывает какую-то сложную систему, в которой могут находиться существа, осознающее свое существование.
zuko3d
30.01.2022 02:22+5Математика живёт в умах людей, а не в реальном мире. Иногда с её помощью физики моделируют реальный мир. Законы математики by definition не могут выполняться неправильно. Если электрон развернётся и полетит в другом направлении - это говорит о физической модели, не соответствующей реальности. Математика при этом будет работать отлично, просто ожидание не совпало с реальностью.
nin-jin
30.01.2022 10:04Если выбрать аксиомы соостветствующие реальному миру, то математические закономерности будут соответствовать физической реальности. А вот если выбрать кривые аксиомы, то.. нафиг нужна такая математика.
0xd34df00d
30.01.2022 10:24+5Если выбрать аксиомы соостветствующие реальному миру, то математические закономерности будут соответствовать физической реальности.
Соответствует ли аксиома исключённого третьего реальному миру?
А вот если выбрать кривые аксиомы, то… нафиг нужна такая математика.
Современная математика нужна ради лулзов. Для того, чтобы посчитать сдачу в магазине, площадь стен дома или даже подъёмную силу самолёта, современная математика не нужна.
a1111exe
30.01.2022 10:43Соответствует ли аксиома исключённого третьего реальному миру?
Есть контрпример?
0xd34df00d
30.01.2022 10:50+1Нет, но оснований выбирать её вместо более слабых утверждений тоже нет.
a1111exe
30.01.2022 11:57+1Нет, но оснований выбирать её вместо более слабых утверждений тоже нет.
Наверное, это зависит от того, что считать основаниями. Интуитивно-то (не в смысле интуиционизма от Брауэра) закон исключённого третьего вполне рационален. И довольно классно вписывается в классическую таблицу истинности.
zuko3d
30.01.2022 14:20Простите, а что такое контрпример к аксиоме?
a1111exe
30.01.2022 14:56Простите, а что такое контрпример к аксиоме?
В данном случае конкретный пример, удовлетворяющий схеме "не (А или не А)".
0xd34df00d
30.01.2022 22:55+1Кстати, я вчера вечером уже сонный был и не проассоциировал — есть же, например, наблюдаемый и данный нам в ощущениях стандарт C++, где это условие для неинициализированных переменных не выполняется.
Например, такой код
bool foo() { bool bar; return bar || !bar; }clang компилирует в
return false;.
a1111exe
31.01.2022 14:15стандарт C++, где это условие для неинициализированных переменных не выполняется.
Да ладно, как это можно считать контрпримером? :) Можно создать стандарт, по которому вообще на всё, что угодно, будет возвращаться "false" (и это в любом случае не логическая ложь), это ничего не иллюстрирует. Мы же не будем из-за этого выбрасывать теорию моделей, не так ли? Потому что если будем, то тогда заодно и теорию доказательств придётся выкинуть - можно создать стандарт, который будет всегда возвращать "доказательство невозможно". Да чего там - стандарт, по которому "true" это "false", а "доказательство" это "не доказательство". В общем, от всей математики придётся отказаться, походу, и не только.. :)
0xd34df00d
31.01.2022 22:41+1Ура, вы доказали, что искать основание математическим аксиомам в реальном мире — дело гиблое.
a1111exe
31.01.2022 23:09Ура, вы доказали, что искать основание математическим аксиомам в реальном мире — дело гиблое.
Как? Стандарты, сколько бы их ни было - частные случаи. Впрочем, вроде, я это и не отрицал. Просто я исхожу из того, что то, что попадает под определённые формы, необходимо подчиняется их законам - пока под них попадает, конечно. Мир нашего восприятия, определённо, попадает под разные формы - в том числе и логические. При этом разные аспекты мира попадают под разные логики - для чего-то достаточно классической, а где-то уже может потребоваться модальная, темпоральная, конструктивная, инфинитарная и т.д. и т.п. Я убеждён в этом потому, что любое явление попадает под форму пропозиции: оно, поскольку явление, утвердительно. Необходимой подчинённостью явлений формам, в которые они вписываются, можно объяснить эффективность математики в эмпирических науках.
Конкретно же к нашему случаю - закон исключённого третьего можно интуитивно интерпретировать следующим образом: если А это некоторая тотальность, то при любом вычитании из этой тотальности мы получим не-А. Но любое доступное нам явление доступно нам в качестве некоторой тотальности.
Keyten
31.01.2022 03:59Одно и то же правило может быть аксиомой внутри одной теории и чем-то доказуемым внутри другой.
Мы пронаблюдали правило в физической вселенной (в физике повторяемость = доказанность), и решили построить математическую теорию об этом (а в математике доказанность = выводимость логически; а значит, нам нужны аксиомы), взяв его в виде аксиомы.
Вопрос про контрпример этой аксиоме это не уровень той самой теории, где она взята в виде аксиомы, а уровень физической теории, где мы его наблюдаем (а значит, доказываем).
zuko3d
31.01.2022 11:50Понял, имелся в виду контрпример не к аксиоме, а к правилу, которое в некоторых теориях берут за аксиому (типа "параллельные прямые не пересекаются").
nin-jin
30.01.2022 10:48Не соответствует. Логические парадоксы это прекрасно иллюстрируют.
Из этих лулзов люди потом делают далеко идущие выводы о принципиальной непознаваемости вселенной.
0xd34df00d
30.01.2022 10:51+1Какие логические парадоксы?
Только не начинайте снова про то, что «если дважды два пять, то трижды три — девять» — парадокс.
nin-jin
30.01.2022 11:08И теоремы Гёделя как раз показывают, что эти "решения" в виде ограничения выразительной мощности языка легко обходятся.
nin-jin
30.01.2022 11:14Гёделевому числу соответствует формулировка парадокса лжеца в выбранной формальной системе.
a1111exe
30.01.2022 14:04https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Гёделя_о_неполноте#Связь_с_парадоксами
Всё-таки доказуемость и истинность это не одно и то же. Формула Гёделя истинна, но не доказуема средствами системы, в которой формулируется. В отличие от парадокса лжеца, здесь не возникает противоречия.
nin-jin
30.01.2022 14:29Истинность прекрасно доказывается от противного: Если оно ложно, то существует доказательство истинности, значит оно истинно. Противоречие говорит, что оно не ложно, а значит, в соответствии с аксиомой исключённого третьего, мы доказали её истинность. А из существования доказательства следует её ложность. Тот же замкнутый круг, что и в парадоксе лжеца, но чуть завуалированный. Типичная софистика.
a1111exe
30.01.2022 16:45Противоречие говорит, что оно не ложно, а значит, в соответствии с аксиомой исключённого третьего, мы доказали её истинность.
Но не в рамках предметной формальной системы.
nin-jin
30.01.2022 17:13Да нет, именно в её рамках. Это классическое доказательство от противного, вытекающее из асиомы исключённого третьего.
a1111exe
30.01.2022 18:05Да нет, именно в её рамках. Это классическое доказательство от противного, вытекающее из асиомы исключённого третьего.
Имхо, такое рассуждение не подходит для случая теоремы Гёделя, но пока нет времени углубляться. Однако, поправьте меня, если я Вас неправильно понял. Вы утверждаете, что теорема Гёделя влечёт противоречие? Т.е., что она на самом деле не доказана?
nin-jin
30.01.2022 19:17Она показывает неполноту бинарной логики на уровне семантики, которую нельзя решить ограничениями синтаксиса.
0xd34df00d
30.01.2022 22:52+2Если оно ложно, то существует доказательство истинности, значит оно истинно.
Вы не можете так рассуждать изнутри формальной системы. Это разница между object language и metalanguage.
Тот же замкнутый круг, что и в парадоксе лжеца, но чуть завуалированный. Типичная софистика.
Если вы опровергли чуть больше сотни лет эволюции оснований математики, то либо вы гений, либо вы что-то не поняли в этих основаниях. Первое, конечно, возможно, но чисто статистически второе вероятнее.
nin-jin
30.01.2022 23:04+2Вообще-то могу:
T |- A -> AЛибо просто незашоренный детский ум увидел, что король-то голый.
0xd34df00d
30.01.2022 23:11+1Мне тут удобнее размышлять в терминах System F (и более мощных систем типов), которая достаточно мощна, чтобы к ней были применимы теоремы Гёделя, и которая имеет привычную программистскому мозгу семантику.
Короче, изнутри System F и вы не можете построить доказательство того, что данный терм имеет данный тип. Да, на той же агде вы можете написать тайпчекер для той же системы типов и им доказать, что такой-то терм имеет такой-то тип, но вы это докажете для модели, описываемой этим тайпчекером, внутри агды, но не для самой агды.
nin-jin
31.01.2022 14:21Боюсь я не знаком с Агдой. Тем не менее Quine тоже не на любом языке программирования можно написать. Причём порой не хватает сущей мелочи, которую поленились реализовать.
0xd34df00d
30.01.2022 22:49+2Она утверждает собственную невыводимость и при этом не является выводимой — в чём парадокс?
Это даже если забыть про то, что в рамках соответствующей теории выводимость любой формулы (равно как и консистентность всей логики) недоказуема, поэтому даже утверждающая собственную выводимость невыводимая формула не привела бы к парадоксам (aka к боттому) сама по себе.
nin-jin
30.01.2022 22:57В том, что она не является истинной, ибо выводится из аксиомы исключённого третьего.
0xd34df00d
30.01.2022 23:11+2Давайте строго и формально, чтобы неоднозначностей не было — какие выводы где неверные?
nin-jin
31.01.2022 14:17Да в принципе все выводы из парадокса о внешних по отношению к нему вещах являются некорректными. Вы же читали мою статью, там всё это расписано. Бинарная логика принципиально не полна (в смысле невозможности работы со всем многообразием выражений), так как допускает парадоксы.
0xd34df00d
31.01.2022 22:43+2Не допускает она парадоксы, в том-то и дело, она вообще непротиворечива и полна. Да, некоторые теории неполны, но это не является парадоксом.
Tzimie Автор
30.01.2022 14:09Абсолютно правильно с небольшим уточнением: для TOE (теории всего) модель полностью эквивалентна реальности, и карта совпадает с территорией по определению TOE - ведь если реальность отличается от модели, то теория не является TOE.
a1111exe
30.01.2022 00:12+3Для платониста - да, существовала. Математические сущности существуют вне времени
Платонист платонисту рознь. Если различать между формами самой истины, пропозиций об этой истине и множеств экземплификаций этих пропозиций, то может оказаться и так, что сама теорема существовала не всегда несмотря на вечность утверждаемой истины. Например, если под теоремой понимать экземпляр пропозиции, а не саму пропозицию. Причём, вечность самих пропозиций это тоже довольно дискуссионный момент.
Также, под математикой можно понимать совокупность дисциплин, изучающих априорные стороны абстрактного, и это не противоречит возможности темпоральности абстрактного. В конце концов, настоящее, с одной стороны которого сращение (в терминологии Уайтхеда) форм, а с другой их аннигиляция, это тоже форма - в которой абстрактное случайно (в смысле контингентно), а не априорно необходимо.
P.S. За статью, кстати, спасибо!
victor_1212
30.01.2022 00:35> Существовала ли теорема Пифагора до того, как ее открыли люди?
действительно хороший вопрос, можно добавить другой вероятно более легкий:
концепция 3х мерного (декартова) пространства - это открытие (типа америки) или изобретение (типа паровоза)?
также из более поздних комментариев, тоже не все так просто:
> Для платониста - да, существовала. Математические сущности существуют вне времени
а для Пифагора с учениками, который жил до платонистов?
с его точки зрения платонизма как бы не было даже в проекте, типа мог к примеру Платон вообще не родится, тогда как быть :)
Spaceoddity
30.01.2022 08:27+1Ну вы слышали про "единство сил природы"? Поптыки объединить три фундаментальных взаимодействия (гравитационное, сильное и электрослабое) в какой-то один основополагающий принцип. И часто высказывается мнение что принцип этот может быть... геометрическим. В частности из-за количества доступных измерений в нашей Вселенной. Как по мне, теоретически звучит довольно правдоподобно.
Тогда получается что математика это не какая-то абстракция. А наоборот, служит отправной точкой для физического воплощения нашего мира. Т.е. наша Вселенная именно такая, потому что такова математика.
Ares_ekb
30.01.2022 08:10+4Интересное видео на связанную тему https://www.youtube.com/watch?v=IOiZatlZtGU
Спикер утверждает, что есть открытые (discovered) и изобретенные (invented) языки программирования. Например, лямбда-исчисление было открыто относительно независимо математиками и информатиками. Если люди разными путями пришли к одной идеи, значит за ней стоит что-то действительно фундаментальное, видимо существующее само по себе, а мы это только открываем.
SShtole
30.01.2022 14:08Существовала ли теорема Пифагора до того, как ее открыли люди?
Мой ответ: возможно.
«Людьми» считаем компьютеры особого рода, способные выполнять вычисления, называемые нами «универсальное творческое мышление». Название у нас есть, а объяснений к нему пока нет. На нашей планете эта разновидность компьютеров представлена нашим биовидом, в остальных местах — неизвестно.
Доказательство теоремы Пифагора — разновидность вычисления, которое является физическим процессом, имеющим начало и конец во времени. Оно входит в репертуар вычислений, доступных людям.
С этой точки зрения, казалось бы, оно не существовало до открытия людьми. Как, впрочем, и большую часть времени после открытия, до тех пор, пока математику не начали массово преподавать. В наши дни оно, возможно, существует постоянно (из-за массовости школьного обучения), но я сомневаюсь (хотя бы потому, что каждый учебный план привязан к календарю с каникулами).
Но доказательство теоремы Пифагора не требует универсального творческого мышления и может быть осуществлено на узкоспециализированном компьютере, который не является человеком. Самопроизвольное возникновение такого компьютера и осуществление им этого вычисления маловероятно, но не невозможно.
Мой ответ: возможно.a1111exe
30.01.2022 14:18может быть осуществлено на узкоспециализированном компьютере (не являющимся человеком).
Без кого-то, кто способен оценить результат, как доказательство, это будет вычисленный определённым способом специфический набор бит. Аналогично этому вычисленный видеокартой игровой пейзаж останется не более, чем набором бит, пока кто-то не включит монитор.
SShtole
30.01.2022 15:02+1Объективная реальность, частью которой, без сомнения являются физические процессы, не требует для существования ничьей оценки.
a1111exe
30.01.2022 16:37+1Объективная реальность, частью которой, без сомнения являются физические процессы, не требует для существования ничьей оценки.
Действительно известная нам объективная реальность является подмножеством субъективной. О реальности, которая не входит в субъективное, можно только знать, что она есть, и что в ней нет ничего из того, что в субъективном. Впрочем, это всё метафизика. Доказательства, равно как и пейзажи - субъективные штуки.
Tzimie Автор
30.01.2022 14:28Истинность теоремы не требует вычисления. Число 17 остаётся простым вне зависимости от того, существует ли компьютер, который все время пытается его делить, проверяя простоту
Num
29.01.2022 21:45+5Спасибо, прочитал с большим удовольствием!
По поводу 6-го уровня вспоминается известный мем:
Спойлер
Sergey_Kovalenko
29.01.2022 23:12+1Эх, как давно это было. Я вот еще даже помню, что из формальной непротиворичивости теории первого порядка (невозможности в ней доказать некоторое утверждение вместе с его отрицанием) следует, что вполне определенная конструктивная процедура в пределе построит для этой теории счетную модель. Безусловно, (если полагаться на нашу логику) если теория (не обязательно первого порядка) имеет (счетно-)финитную модель, то можно утверждать ее формальную непротиворечивость. Но вот я совешенно забыл, как насчет сооотношения между формальной непротиворечивостью и существованием моделей для теорий второго порядка. Мне кажется, что когда-то давно я мог дать ответ на этот вопрос как-то используя теорему Геделя, но совершенно все забыл. Быть может Вы, уважаемый автор, помните как?
Еще некоторые уточнения насчет ZF. Мне кажется, аксиома выбора и аксиома финитности (каждое множество построенно из более простых, а самые простые - пустые множества) - есть утверждения второго порядка? Ведь множества в ZF строятся в том числе и наложением некоторых предикативных условий первого порядка на элементы и подмножества уже построенных множеств. Получается, что обе упомянутые мной аксиомы неявно перебирают предикаты языка первого порядка в ZF?
Tzimie Автор
29.01.2022 23:43Про существование моделей для теорий второго порядка не скажу.
Что касается ZF, то да, много аксиом выглядят как выражения второго порядка (для любой функции...) что еще раз говорит о недостаточном внимании к метауровням. Но это те же regexp.
Куда интеснее дело обстоит с NBG: https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann–Bernays–Gödel_set_theory
NBG is finitely axiomatizable, while ZFC and MK are not.
A key theorem of NBG is the class existence theorem, which states that for every formula whose quantifiers range only over sets, there is a class consisting of the sets satisfying the formula. This class is built by mirroring the step-by-step construction of the formula with classes. Since all set-theoretic formulas are constructed from two kinds of atomic formulas (membership and equality) and finitely many logical symbols, only finitely many axioms are needed to build the classes satisfying them. This is why NBG is finitely axiomatizable
То есть NBG обходится без regexp. В тексте про аксиоматизацию опять вижу двусмысленность. В теории множеств иногда под фнукцией подразумеватся выражение (2 порядок) или regexp (1 порядок). А иногда пользуются тем, что функция (одного аргумента) это множество всех упорядоченных пар {<параметр,значение>} - то есть функция это множество!
StjarnornasFred
30.01.2022 01:18+2Как относиться к тому, что разные математические теории могут давать разные, зачастую диаметрально противоположные выводы? Математики придерживаются разных убеждений: формалисты просто говорят: это игра. Мы задали разные правила, и получили разные результаты. Чему удивляться?
Всё так. По-научному это называется не игра, а аксиоматика. Изменим набор аксиом - получим другие результаты, не являющиеся ни ошибочными, ни лженаучными. Другое дело, что обычно на практике используется наиболее подходящая и удобная аксиоматика, остальные исключаются из рассмотрения за ненадобностью и остаются уделом любителей "задач со звёздочкой".
victor_1212
30.01.2022 03:41>обычно на практике используется наиболее подходящая и удобная аксиоматика
если интересно подумайте о том, в чем именно упомянутая практика может состоять, например в случае выбора 5-го постулата Евклида (чтобы не слишком углубляться),
конечно понятие системы аксиом является центральным в современной математике, но появилось оно не сразу, как Вы себе представляете причины появления самой концепции аксиомы или постулата?
обычно пишут что, "Аристотель считал характерным свойством аксиом общепризнанность, Декарт – очевидность, Паскаль – недоказуемость", так кто же прав, или все-таки "наиболее подходящая и удобная на практике"?
StjarnornasFred
30.01.2022 09:55+2Получается геометрия Лобачевского либо абсолютная геометрия. Вполне научные теории, но на практике почти неприменимые. Поэтому в повседневной жизни используется геометрия Евклида.
victor_1212
30.01.2022 18:26насколько известно сами аксиомы как концепция появились благодаря довольно драматическим обстоятельствам - ученики Пифагора довольно быстро нашли доказательство того, что квадратный корень из 2 не является рациональным числом, но других кроме измеримых (рациональных) чисел не знали, так как вобщем считали что любая длина отрезка является измеримой т.е. числом в их понимании, а тут получается, что длина диагонали простейшей фигуры квадрата не является таким числом, по разным источникам автора этого доказательства они приговорили к смерти, и стали искать выход из сложившегося положения больше внимания уделяя чистой геоиетрии (отсюда Евклид и дальнейшее развитие), стараясь обойти сложные вопросы существования мат. объектов, старались рассматривать их основные свойства как нечто данное в виде аксиом и постулатов, и продолжая рассуждения с этого места в виде вывода теорем и пр., типа если дано abc, то вывод xyz, в результате алгебра как таковая появилась намного позднее геометрии (средние века), и во времена Аристотеля математика и геометрия были очень близкими понятиями
ps
вполне возможны мелкие неточности, разные источники не всегда полностью совпадают, но надеюсь что суть изложена достаточно аккуратно
emaxx
30.01.2022 02:05+1Всегда интересовало - а в публикуемых математических статьях указывается, какую аксиоматику они используют? Если нет, то как вообще можно говорить о проверке и "принятии" доказательства, если в зависимости от аксиоматики результат будет разным?
0xd34df00d
30.01.2022 06:01+2Подавляющему большинству прикладных областей математики (теорверу, диффурам, и так далее) совершенно неважны конкретные основания и аксиоматика. В фундаментальных статьях, да, упоминается.
Tzimie Автор
30.01.2022 14:17+1да, например "по умолчанию" предполагают ZFC, спорные вещи (CH, GCH) пишутся явно, равно как и assumption of the existence of large cardinals.
0xd34df00d
30.01.2022 06:39+2Хорошо, что вы вспомнили про аксиому выбора в контексте конструктивной математики. Там есть один прикол.
С одной стороны, одна из формулировок аксиомы выбора — «если для множеств A и B и отношения R между A и B, для ∀x ∊ A ∃y ∊ B такое, что R(x, y), то существует функция f: A → B такая, что ∀x ∊ A R(x, f(x))».
С другой стороны, известно, что, например, агда реализует один из вариантов зависимой теории типов, содержащей определённый (и достаточно мощный для наших рассуждений) вид конструктивной логики (и вообще агда имеет интерпретацию в любой realizability model, но не будем об этом). В частности, это значит, что аксиома исключённого третьего в агде не выполняется и недоказуема: невозможно построить терм с типом вроде∀P : Set. (P ∨ ¬P).
С третьей стороны, вот вам формулировка и доказательство аксиомы выбора на агде, причём доказательство настолько простое, что агда способна сама его построить через proof search по типу:module Aoc where open import Data.Product aoc : {A B : Set} → (R : A → B → Set) → (∀ x → ∃[ y ] (R x y)) → ∃[ f ] (∀ x → R x (f x)) aoc R m = (λ z → proj₁ (m z)) , λ x → proj₂ (m x)Более того, утверждение тривиальным образом обобщается на всю иерархию типов:
module Aoc where open import Agda.Primitive open import Data.Product aoc : ∀ {ℓ₁ ℓ₂} → {A : Set ℓ₁} {B : Set ℓ₂} → (R : A → B → Set (ℓ₁ ⊔ ℓ₂)) → (∀ x → ∃[ y ] (R x y)) → ∃[ f ] (∀ x → R x (f x)) aoc R m = (λ z → proj₁ (m z)) , (λ x → proj₂ (m x))Вопрос: как это всё совмещается?
zarfaz
30.01.2022 09:28>теория вещественных чисел (коих континуум) имеет счетную модель
What???
Tzimie Автор
30.01.2022 14:21+1https://en.wikipedia.org/wiki/Second-order_logic#Non-reducibility_to_first-order_logic
That theorem implies that there is some countably infinite subset of the real numbers, whose members we will call internal numbers, and some countably infinite collection of sets of internal numbers, whose members we will call "internal sets", such that the domain consisting of internal numbers and internal sets satisfies exactly the same first-order sentences as are satisfied by the domain of real numbers and sets of real numbers. In particular, it satisfies a sort of least-upper-bound axiom that says, in effect:
Every nonempty internal set that has an internal upper bound has a least internal upper bound.
Countability of the set of all internal numbers (in conjunction with the fact that those form a densely ordered set) implies that that set does not satisfy the full least-upper-bound axiom. Countability of the set of all internal sets implies that it is not the set of all subsets of the set of all internal numbers (since Cantor's theorem implies that the set of all subsets of a countably infinite set is an uncountably infinite set). This construction is closely related to Skolem's paradox.
Thus the first-order theory of real numbers and sets of real numbers has many models, some of which are countable. The second-order theory of the real numbers has only one model, however.
nin-jin
30.01.2022 09:51Всё ждал, что вот-вот появится небинарная логика и решит все проблемы, но тут статья закончилась.
Tzimie Автор
30.01.2022 15:50Помимо платонистов и формалистов есть подход 'multiverse', где оплачен утверждения раскрашены разными цветами, как у вас. Какие то выводы зависят от AC, какие то AD, какие то CH, и все это может сосуществовать
Vsevo10d
30.01.2022 15:04+4Очень часто в своей жизни я упирался в предел своих когнитивных способностей именно в области математики.
И заодно понял, какая же чушь, когда шестилетке задают вопрос типа "что такое молоток, рояль, пила, монтировка, скрипка", и если он лепечет "инструменты" - его отдают в физмат.
Нет, есть совершенно четкий предел мышления - умение оперировать математическими абстракциями.
Вот например учась в институте, я понимал все, что можно нарисовать, в виде эпюр, графиков, диаграмм. Интегрирование? Предельно понятная операция. Полярные координаты? Нарисовал поверхность, понял, поехали дальше. Всякие там сжатия-растяжения, закон Гука, фазовые диаграммы с кривыми плавления, эвтектикой, тройные точки, состав пара бинарной смеси при такой-то температуре? Все, что угодно, пока это можно нарисовать.
Но как только начинались простейшие вещи, описываемые только кванторами и парой заглавных букв, равно-не равно, "принадлежит", гамильтониан-лапласиан, "сведем к" – у меня мозг начинал издавать звуки той самой коробки от КрАЗа. Как-то ухитрился закончить технологический вуз, так и не поняв принцип решения ЛНДУ, вывод основных формул гидродинамики и квантовых определителей. Ну не могу я представить себе какую-нибудь целую функцию или поверхность одной заглавной буквой в скобках, а потом мысленно заменить ее этой же буквой со штрихом и еще куда-то подставить.
Tzimie Автор
30.01.2022 15:47+2Я тоже часто упираюсь в предел своих способностей. Был бы поумнее, занялся бы наукой.
Vsevo10d
30.01.2022 19:55Задачи синтеза и анализа вообще не требуют особого навыка, тем более специфического склада ума. Я вот работаю в науке, и тут основное - это рутинная работа руками и очень формализованная публикационная активность. Многие подвиды работ здесь доступны слабоумному бабуину. На облечение результатов в правильные слова и представление в правильной форме уходит намного больше усилий, чем на собственно получение результатов и обмозговывание, что же они значат.
victor_1212
01.02.2022 04:02>Многие подвиды работ здесь доступны слабоумному бабуину ... облечение результатов в правильные слова и представление в правильной форме уходит намного больше усилий, чем на собственно получение результатов и обмозговывание
возможно если бы более-менее серьезный бабуин прочитал это, вероятно предложил бы Вам пожить с недельку в стае, типа показать свои способности, скорее всего социальный статус был бы примерно на уровне плинтуса с их точки зрения конечно, они не такие как люди, но таким делом как "формализованная публикационная активность" заниматься могут только люди, точнее научные работники :)
Goupil
31.01.2022 01:07Наука бывает разная, я занимаюсь прикладной, в ней какие-нибудь кванторы конечно-же есть, но спрятаны так глубокого, что для практической пользы их лучше не знать. В прикладной науке, сообенно если работаешь в индустрии, больше важна чуйка, а не предельная способность к абстракции или энциклопедические знания.
KvanTTT
31.01.2022 17:48Так все люди по больше части визуалы (даже кто называет себя аудиалом и кинестетиком), потому что большую часть информации о мире они получают через глаза. Поэтому, кстати, память на лица хорошая практически у всех людей.
vlvazverev
30.01.2022 16:34Математика настолько мощная наука, что она другая у японцев.
P.S: или это японцы мощные?
Keyten
31.01.2022 04:29+1Конкретно у одного японского математика она мощная. А остальные её не очень могут понять, поэтому до сих пор неизвестно, доказал он abc-гипотезу, или всё-таки нет.
KvanTTT
31.01.2022 17:46Ну из того, что другие не могут понять, доказал он или нет, не следует, что сам этот математик особо мощный.
Glintvein
01.02.2022 14:59Автор или кто другой, можете предположить на какой уровень понимания математики расчитана данная статья- студент, выпускник-отличник, фанат математики....
Мне как практикуещему инженеру-электронщику с высшим техн образованием, если честно, сложновато читать эту статью, вот задумался или мой уровень математики ниже плинтуса или все ОК просто статья не для всех.
a1111exe
01.02.2022 16:47Я без высшего образования, но прочитал с удовольствием.
Но статья не для всех. Имхо, она для тех, кто активно интересуется современной логикой и темами, связанными с основаниями математики. Думаю, что любой, кто вплотную изучал тот или иной вариант доказательства теорем Гёделя о неполноте, легко прочитает эту статью.
bm13kk
Следующуя ступень математики - это когда после 18 лет ее изучение у тебя происходят непоправимые изменения в сером веществе. И ты везде видишь паттерны. Ты можешь из любого утверждения исключить лишнюю информацию. Любую книгу свести к 3 словам.
Когда ты понимаешь что главное к теоремах не вывод - а ограничения, в которых эти теоремы работают.
Tzimie Автор
Но наверное вы ещё не достаточно просветлились, чтобы избавиться от собственности и отправиться странствовать, как Эрдош
bm13kk
а кто говорил про "достаточность"?
victor_1212
>о нас, математиках, говорят как о сухарях — это ложь ...
если Вы математик, пожалуйста приведите ссылку на Ваши работы, но пока, учитывая уровень статей, разрешите Вам не поверить
Tzimie Автор
Это была цитата из фильма. Мета уровень)
victor_1212
ну понятно, между делом посмотрел Ваши старые статьи, в том числе про приключения в МА, забавно но на самом деле был шанс встретиться лицом к лицу, здание в Maynard прекрасно знаю, типа работал в компании которая там стартовала, правда задолго до Вашего визита :)
Tzimie Автор
Тогда был бум доткомов, все пузыри лопались
victor_1212
это Вы мне говорите?
главным образом сетями занимался, чуть ли не с начала, типа с людьми из bbn еще работал
Tzimie Автор
На самом деле я хотел спросить, что за фирма была в том здании в Maynard
victor_1212
ну понятно, та самая что в 1957 году там стартовала
Tzimie Автор
То есть вы работали в digital??? Вау. Когда нибудь описывали впечатления?
victor_1212
ничего особенного, там >50K людей работало, если есть вопросы пишите в личку, за карму писать статьи рука не подымается :)
napa3um
(просто на тему выдающихся персоналий из математики :))
https://youtu.be/mqAf5lOJZew
StjarnornasFred
Так это все понимают. Противоположная точка зрения называется "абсолютное мышление" и всегда* ошибочна: что в гуманитарке и морально-этических вопросах, что в физике и астрономии, что в химии и биологии - и даже в самой точной из всех точных наук. Любая, даже самая стройная теория имеет крайние точки, на которых начинаются сбои. Дальше идут попытки либо соорудить новую теорию, которая их объяснит, состыкует со старой, но при этом невероятно усложнится и при этом абсолюта так и не достигнет.
Либо просто признать, что за определённым пределом округления станет 2+2=5 и это не ошибка.
bm13kk
Я точно знаю, что это понимают далеко не все. Даже не все математики понимают что это утверждение работает вне математики.
Но когда это до тебя дошло, действительно сложно понять - почему остальные не видят этой банальности. Хотя, как и многие другие банальности - это таки не банальность.
nin-jin
От вашего комментария так и веет абсолютизмом.
third112
Химия и физика основаны на эксперименте (каждый химик или физик может повторить его любое число раз); астрономия — на наблюдениях, иногда уникальных во времени; гуманитарные науки — на сборе фактов, рассказов очивидцев, документов и вещей.
Goupil
Это хорошо, когда во всем видишь паттерны и любую книгу можешь свести к 3-м словам (желательно не матерным). Главное таблетки вовремя пить и не переутруждать свой разум.
bm13kk
Зря шутите. На моих глазах преподу стало плохо и он бегал в трусах по коридору. Так что я с универа серьездно отношусь к психическому здоровью.