12.08.2022 20:11
R3EQ 5 4500 Источник

Современная программа школьного образования гораздо отличается от той, по которой учился я. По крайней мере, речь идёт про математику, так как именно эта наука была и есть для меня центральной. Порой даже в 5 классе можно встретить задачи по математике, которые не под силу решить даже взрослым. Особенно, если эти задачи взяты из олимпиадных работ. Порой ко мне обращаются родители школьников помочь разобрать ту или иную задачу. В основном это задачи на логику и комбинаторику.

В данной статье я разберу одну из самых простых задач - популярная задача про книги. Способов решения может быть и не один, но мой способ может показаться одним из самых сложных. Сначала сформулируем задачу в общем виде, выведем формулу решения, а затем - рассмотрим в качестве примера частный случай. Именно частный случай и встречается в задачах.

Имеется в продаже n книг. Стоимость всех книг, кроме первой, составляет c_1 рублей, стоимость всех книг, кроме второй, составляет c_2 рубля и так далее, стоимость всех книг, кроме последней (n-ой) составляет c_n рублей. Сколько стоит каждая книга в отдельности?

Решение

Обозначим переменными x_i стоимость i-ой книги, где i=\overline{1,n}. То есть, стоимость первой книги - x_1, стоимость второй книги - x_2 и так далее, стоимость последней книги - x_n. Чтобы не городить большие формулы, для наглядности обозначим переменной x стоимость всех книг, то есть

x=\sum_{i=1}^nx_i.

По условию задачи x-x_1=c_1, x-x_2=c_2, и так далее, x-x_n=c_n. Данные выражения можно записать в систему уравнений

\left\{\begin{matrix}x-x_1=c_1,\\ x-x_2=c_2,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x-x_n=c_n.\end{matrix}\right.

Сложив левые и правые части системы уравнений, получим следующее равенство:

\sum_{i=1}^n(x-x_i)=\sum_{i=1}^nc_i.

Раскроем скобки в левой части равенства.

\sum_{i=1}^nx-\sum_{i=1}^nx_i=\sum_{i=1}^nc_i.

Видим, что первое слагаемое в левой части равенства (уменьшаемое) есть ничто иное, как nx, так как содержимое под знаком суммы не зависит от индекса суммирования. А второе слагаемое (вычитаемое) равняется x, учитывая обозначение вначале. Поэтому получается:

nx-x=\sum_{i=1}^nc_i.

Очевидно, можно вынести x за скобку.

(n-1)x=\sum_{i=1}^nc_i.

Отсюда получаем выражение для x, то есть, находим стоимость всех книг.

x=\frac{\sum\limits_{i=1}^nc_i}{n-1}.

По условию задачи известны стоимости всех книг, кроме каждой (значения c_i). Поэтому, чтобы найти стоимость каждой книги x_i, нужно из стоимости всех книг x вычесть c_i:

x_i=x-c_i,

или, окончательно:

x_i=\frac{\sum\limits_{i=1}^nc_i}{n-1}-c_i,

где i=\overline{1,n}.

В качестве примера рассмотрим частный случай данной задачи для

n=4, \ \ c_1=36, \ \ c_2=38, \ \ c_3=40, \ \ c_4=42.

Формулировку данной задачи и варианты её решения легко можно найти в интернете на многочисленных форумах. Данная задача встречается в учебнике математики 4 класса. Подставляем данные значения в окончательную формулу. Сначала найдём стоимость всех книг:

x=\frac{36+38+40+42}{4-1}=\frac{156}3=52.

Затем найдём стоимость каждой книги:

x_1=52-36=16, \\x_2=52-38=14, \\x_3=52-40=12, \\x_4=52-42=10.

Ответ: 16, 14, 12, 10 руб.

Комментарии (5)


  1. da-nie
    13.08.2022 09:46
    #24625508
    +2

    А если записать исходную сумму в виде матрицы систем линейных уравнений и решить её методом Гаусса? Ведь формально вклад в сумму книги это просто 1 или 0 в матрице коэффициентов.
    Это, конечно, не 4 класс. :) Но и задача как-то мало на сей класс походит. Я таких в 4 классе точно не решал. :)


    1. R3EQ Автор
      13.08.2022 10:40
      #24625586

      Это олимпиадная задача, вроде. А вообще, идея хорошая. Можно и так. Только не "в виде матрицы СЛУ", а СЛУ в матричном виде.


  1. intank
    13.08.2022 11:37
    #24625696
    +7

    Ребенку нужно догадаться, что просуммировав все n наборов c у него будет на один меньше (n-1) полных наборов стоимостей книг. Ну а дальше - дело техники.


  1. bay73
    13.08.2022 19:59
    #24626728
    +5

    О, на habr пришли задачки для начальной школы. Интересно, пора ли алгоритм сборки детской пирамидки публиковать.


  1. e1vanov
    13.08.2022 20:02
    #24626740
    +2

    В матричном виде наша система запишется так:

    \begin{bmatrix}0 & 1 & \dots & 1\\1 & 0 &\dots & 1\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1 & 1 & \dots & 0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}

    Пусть I - это единичная матрица порядка n, а U- это матрица порядка n, заполненная единицами, т.е. u_{ij} = 1 \: \forall\: i, j. Несложно проверить, что U^ 2 = nU.

    Итак, из решения, приведенного в статье, следует, что ответ единственный, а значит матрица в левой части (=U-I) обратима. Давайте найдем ей обратную. Вернее, подберем)

    (U-I)\left(\frac{1}{n-1}U-I\right) = \frac{1}{n-1}U^ 2 - U - \frac{1}{n-1}U + I = \\= \left(\frac{n}{n-1}-1-\frac{1}{n-1}\right)U+I = I\Rightarrow\\\Rightarrow (U-I)^ {-1} = \frac{1}{n-1}U-I\\

    Откуда получаем:

    \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{n-1}-1 & \frac{1}{n-1} & \dots & \frac{1}{n-1}\\\frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-1}-1 &\dots & \frac{1}{n-1}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-1} & \dots & \frac{1}{n-1}-1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{\sum_{i=1}^nc_i}{n-1}-c_1\\\frac{\sum_{i=1}^nc_i}{n-1}-c_2\\\vdots\\\frac{\sum_{i=1}^nc_i}{n-1}-c_n\end{bmatrix}

    Да, вполне похоже на олимпиадную задачку для 4 класса :)