25.05.2023 06:22
Lloyder 1 1700 Источник

Введение и результаты

Привет, Хабр! В данной статье мы рассматриваем проблему совершенного кубоида. Совершенный кубоид, это прямоугольный параллелепипед у которого все семь основных величин (три ребра, диагонали его граней и диагональ самого параллелепипеда) являются натуральными числами. То-есть решение следующей системы уравнений в целых числах.

\begin{cases}a^2+b^2=d^2\\a^2+c^2=e^2\\b^2+c^2=f^2\\a^2+b^2+c^2=g^2\end{cases}

Ниже будет изложено доказательство того что такой совершенный кубоид не может существовать.

Доказательство

Докажем от противного. Допустим он существует и будет решением нашей системы. Для начала перепишем систему уравнений в другом виде.

\begin{cases}g^2=a^2+f^2=b^2+e^2=c^2+d^2\\a^2+b^2=d^2\end{cases}

Если подставить d из уравнения из второй строчки в первое, получим:

a^2+b^2+c^2=g^2=a^2+f^2\\b^2+c^2=f^2

Получили исходное уравнение. Аналогично можно получить и второе уравнение:

a^2+c^2=e^2

Теперь пару слов о примитивности. Примитивная пифагорова тройка, это тройка где катеты и гипотенуза взаимно простые. То-есть, нельзя разделить их на некое число и получить другую пифагорову тройку. Аналогично, примитивный совершенный кубоид, это такой кубоид стороны которого нельзя разделить на число и получить совершенный кубоид поменьше. Далее в доказательстве от противного мы предполагаем существования именно примитивного совершенного кубоида.

Далее идёт небольшая лемма. "g" равно НОК(Наименьшему общему кратному трёх гипотенуз примитивных пифагоровых треугольников). Гипотенуза примитивного пифагорова треугольника, это гипотеза прямоугольного треугольника, которая взаимно простая с катетами. Из чего следует что "g" равно трижды некоторым гипотенузам помноженным на коэффициенты.
Лемма 1.1

g=НОК(C_{1},C_{2},C_{3})=K_{1}C_{1}=K_{2}C_{2}=K_{3}C_{3}

Докажем сначала в одну сторону. Допустим "g" равно НОК по трём гипотенузам и тд. Значит оно будет решением нашей системы уравнений:

(K_{1}C_{1})^2=(K_{1}a_{1})^2+(K_{1}b_{1})^2=a^2+f^2

Ведь квадрат гипотенузы обязан раскладываться на сумму квадратов катетов. В нашем случае помноженной на некий коэффициент. Аналогично далее:

(K_{2}C_{2})^2=(K_{2}a_{2})^2+(K_{2}b_{2})^2=b^2+e^2\\(K_{3}C_{3})^2=(K_{3}a_{3})^2+(K_{3}b_{3})^2=c^2+d^2a_{i},b_{i} - Катеты

Теперь докажем в другую сторону. Если "g" число являющееся решением нашей системы, значит оно равно НОК по трём гипотенузам.

g^2=a^2+f^2=b^2+e^2=c^2+d^2

Теперь наоборот. Мы имеет сумму катетов, которая равна квадрату числа. Значит она равна некой гипотенузе с коэффициентом. И так трижды.

g=K_{1}C_{1}=K_{2}C_{2}=K_{3}C_{3}

Мы имеет число которое может разделить на любую гипотенузу. Значит число делит НОК по трём гипотенузам.

g=K*НОК(C_{1},C_{2},C_{3})=Kt_{1}C_{1}=Kt_{2}C_{2}=Kt_{3}C_{3}\\Kt_{i}=K_{i}

Лемма доказана. Ещё раз, чтобы всё уточнить. Для решение первых трёх уравнений:

g^2=a^2+f^2=b^2+e^2=c^2+d^2

Мы берём любые 3 примитивные пифагоровы тройки, ищем их НОК и получаем наше "g". То-есть, для существования нашего совершенного кубоида, нам осталось удовлетворить последнему условию:

a^2+b^2=d^2

Далее я покажу что это невозможно. Подставим под уравнение наши катеты с коэффициентами. Получим:

(K_{1}a_{1})^2+(K_{2}a_{2})^2=(K_{3}b_{3})^2 (1)

Так как:

НОК(C_{1},C_{2},C_{3})=K_{1}C_{1}, то=>K_{i} =НОК(C_{1},C_{2},C_{3})/C_{i}

Подставим в уравнение 1 и получим:

(\frac{НОК(C_{1},C_{2},C_{3})a_{1}}{C_{1}})^2+(\frac{НОК(C_{1},C_{2},C_{3})a_{2}}{C_{2}})^2=(\frac{НОК(C_{1},C_{2},C_{3})b_{3}}{C_{3}})^2

Сокращая получим:

(\frac{a_{1}}{C_{1}})^2+(\frac{a_{2}}{C_{2}})^2=(\frac{b_{3}}{C_{3}})^2(2)

Домножим всё сначала на C1. Тогда будет:

(a_{1})^2+(\frac{C_{1}a_{2}}{C_{2}})^2=(\frac{C_{1}b_{3}}{C_{3}})^2

Теперь рассмотрим знаменатели. Справа дробь + целое, слева дробь. Значит их знаменатели должны быть равны. Естественно после сокращения. Важно, сокращаться будут только НОД по двум гипотенузам, а2 и b3 участвовать не будут. Поскольку они взаимно просты с своими гипотенузами. Значит (НОД, это наибольший общий делитель):

\frac{C_{3}}{НОД(C_{3},C_{1})}=\frac{C_{2}}{НОД(C_{2},C_{1})}

Перемножаем крест на крест

C_{3}НОД(C_{2},C_{1})=C_{2}НОД(C_{3},C_{1})

Аналогично берём уравнение 2 и умножаем всё на C2.

(\frac{C_{2}a_{1}}{C_{1}})^2+(a_{2})^2=(\frac{C_{2}b_{3}}{C_{3}})^2\\\frac{C_{3}}{НОД(C_{3},C_{2})}=\frac{C_{1}}{НОД(C_{2},C_{1})}\\C_{3}НОД(C_{2},C_{1})=C_{1}НОД(C_{3},C_{2})

Получаем:

C_{3}НОД(C_{2},C_{1})=C_{2}НОД(C_{3},C_{1})=C_{1}НОД(C_{3},C_{2})

Опять получаем число которое делит любую из трёх гипотенуз. Значит число содержит их НОК. Значит:

C_{3}НОД(C_{2},C_{1})=C_{2}НОД(C_{3},C_{1})=C_{1}НОД(C_{3},C_{2})=НОК(C_{1},C_{2},C_{3})K\\=K_{1}C_{1}K=K_{2}C_{2}K=K_{3}C_{3}K

Значит:

НОД(C_{i},C_{j}) =K_{t}K<=>K_{t}=НОД(C_{i},C_{j})/K

Мы взяли примитивный совершенный кубоид, поэтому:

НОД(K_{1},K_{2},K_{3})=1=НОД(НОД(C_{2},C_{3})/K,НОД(C_{1},C_{2})/K,НОД(C_{1},C_{3})/K)\\НОД(НОД(C_{1},C_{2}),НОД(C_{1},C_{3}),НОД(C_{2},C_{3}))=K

НОД, это пересечение простых входящий в каноническое разложение, значит наш НОД равен НОД по трём гипотенузам.

НОД(C_{1},C_{2},C_{3})=K\\C_{3}НОД(C_{2},C_{1})=C_{2}НОД(C_{3},C_{1})=C_{1}НОД(C_{3},C_{2})=\\=НОД(C_{1},C_{2},C_{3})НОК(C_{1},C_{2},C_{3})(3)

Далее идёт лемма о формуле которая понадобиться. Из школы известно что:

НОД(a,b)*НОК(a,b)=ab

А что если числа три? Какая тут справедлива формула?

Лемма 1.2

C_{1}C_{2}C_{3}=\frac{НОК(C_{1},C_{2},C_{3})НОД(C_{1},C_{2})НОД(C_{1}C_{3})НОД(C_{2},C_{3})}{НОД(C_{1},C_{2},C_{3})}\\\frac{C_{1}C_{2}C_{3}}{НОК(C_{1},C_{2},C_{3})}=\frac{НОД(C_{1},C_{2})НОД(C_{1}C_{3})НОД(C_{2},C_{3})}{НОД(C_{1},C_{2},C_{3})}(4)

Доказательство: По основной теореме арифметики любое число представимо в виде произведения простых. У этих чисел могут быть общие простые (НОД). Рассмотрим числа как множества, а общие простые, как пересечения. Тогда используя формулу включений исключений для трёх множеств, получим наше уравнение 4.

Вспомним уравнение 3.

C_{1}НОД(C_{3},C_{2})=НОД(C_{1},C_{2},C_{3})НОК(C_{1},C_{2},C_{3})(5)

Заметим что слева присутствуют простые которые входят только в числа С2 и С3, а справа нет, там только их пересечение. Это значит что это пустое множество. Значит:

C_{1}=\frac{НОД(C_{1},C_{2})НОД(C_{1},C_{3})}{НОД(C_{1},C_{2},C_{3})}

Аналогично для С2 и С3

C_{2}=\frac{НОД(C_{2},C_{1})НОД(C_{2},C_{3})}{НОД(C_{1},C_{2},C_{3})}\\C_{3}=\frac{НОД(C_{3},C_{1})НОД(C_{3},C_{2})}{НОД(C_{1},C_{2},C_{3})}

Возьмём уравнение 5 и подставим наше C1. Будет:

\frac{НОД(C_{1},C_{2})НОД(C_{1},C_{3})НОД(C_{3},C_{2})}{НОД(C_{1},C_{2},C_{3})}=НОД(C_{1},C_{2},C_{3})НОК(C_{1},C_{2},C_{3})

Используя уравнения 4, заменив правую часть, получим:

\frac{C_{1}C_{2}C_{3}}{НОК(C_{1},C_{2},C_{3})}=НОД(C_{1},C_{2},C_{3})НОК(C_{1},C_{2},C_{3})\\C_{1}C_{2}C_{3}=НОД(C_{1},C_{2},C_{3})НОК(C_{1},C_{2},C_{3})^2

Теперь вспомним основную теорему арифметики для последнего уравнения. По ней будет справа произведение трёх гипотенуз, то-есть для произвольного простого сумма степеней. А слева минимальная степень плюс дважды максимальная. НОД, берёт минимальную степень, а НОК максимальную.

α_{1}+α_{2}+α_{3}=α_{1}+2α_{3}=>α_{2}=α_{3}

Теперь применим тот же ход к тому чему равно "g".

g=K_{1}C_{1}=K_{2}C_{2}=K_{3}C_{3}\\b_{1}+α_{1}=b_{2}+α_{2}=b_{3}+α_{3}

Заметим что b3 должно быть быть равно нулю. Потому что НОД для Кi равен 1, а раз α2 равен α3, то и b2 равен нулю. Значит наше простое число которое входит во все числа, будет на самом деле входить только в одно из Ki. Значит все Кi взаимно простые попарно. Значит:

K_{1}=C_{2}=C_{3}\\K_{2}=C_{1}=C_{3}\\K_{3}=C_{1}=C_{2}

Почти всё. Мы получили что все Кi равны какому-то числу, но мы взяли примитивный совершенный кубоид. А значит НОК всех Кi равен 1. Противоречие.

Вот и всё. Пару слов о значении данной работы. Данная работа относится к открытым проблемам геометрии. История показывает, как часто фундаментальная математика находит своё применение в более прикладных сферах знания или даже в создании новых гаджетов.

Спасибо что уделили внимание, надеюсь что не ошибся. 

Комментарии (1)


  1. MasterMentor
    25.05.2023 10:08
    #25582146
    +3

    Молодец, Михаил Артурович! Хоть всё и умещалось в доказательство, что: а) в целых нет решения уравнения a^2 + a^2 = b^2 (оно же запись частного случая теоремы Пифагора) и б) аналитическое отображение каждого геометрического объекта, на который по условиям задачи раскладывается исходная фигура, имеет именной такой вид, в статье мы видим и умение составлять систему уравнений, и элементы теории множеств, и определённые размышления на тему анализа систем уравнений.

    Единственно, для придания статье статуса "сложный", рекомендовал бы, например, комбинаторно доказать б) для множества всех кубов, или, например, отобразить всё множество параллелепипедов на какое-нибудь пространство, разлагающее их на треугольники, и сделать обобщающий вывод для полученных так классов.