1. Введение

Здравствуйте, уважаемые читатели Хабра!

Данная статья может оказаться полезной для тех, кто интересуется физикой воздушного винта, реактивного движения, а также для всех, кто неравнодушен к теме авиамоделизма и авиаконструирования!

Я приглашаю Вас ознакомиться со своими выкладками касающимися анализа теоретического предела удельной тяги (кг/кВт) ВМУ в статической конфигурации и, немаловажно, доказательства, что таковой предел существует. И его не обойти никакими техническими ухищрениями и различными способами совершенствования формы лопастей. Этот предел накладывает ограничения на то, какое значение максимальной тяги можно получить для винта с заданным ограниченным диаметром (ометаемой площадью) и заданной ограниченной мощностью силовой установки.

В силу профессиональной специфики часто приходится взаимодействовать со специалистами, которые также, как и я, занимаются электрической авиацией. Пилотируемой и беспилотной.
И нередко случается участвовать в дискуссиях на тему того, что существенного улучшения характеристик летательного аппарата (ЛА), особенно в режимах вертикального взлета и посадки (VTOL), можно достичь за счет поиска новой прогрессивной модели воздушного винта, по сравнению с имеющимися образцами на рынке. Сюда же относятся вопросы, касательно того, дает ли выигрыш в удельной тяге схема с размещением винта (вентилятора) внутри трубы (ducted fan).

Путем несложного анализа процессов, происходящих при работе любой пропульсивной системы (использующей внешнюю среду, как рабочее тело для создания тяги), было решено предложить методику расчета теоретического предела удельной тяги, цель которой - дать ориентир для оценки реальной эффективности ВМУ и возможность сравнивать их между собой.

2. Что такое удельная тяга?

Это один из важнейших параметров, который позволяет оценить эффективность используемого пропеллера, импеллера или любой другой аэро- и гидродинамической установки для создания тяги, которая будет приводить летательный (или плавательный) аппарат в движение.

Единица измерения - один Ньютон тяги на Ватт мощности (Н/Вт)
На практике удобно использовать другую размерность: один килограмм тяги на киловатт мощности (кг/кВт).

Примеры:

• Удельная тяга для парамотора Moster-185, на котором мною было совершено несколько тысяч полетов - 75 кг при мощности 25 л.с. на валу винта диаметром 125 см:
  75кг / (25л.с. х 0.735) = 4.08 кг/кВт в режиме максимальной мощности:

• Удельная тяга для электрической винтомоторной установки HobbyWing Xrotor X11max согласно таблице, представленной производителем:

  

  На максимальной мощности: 9.55 кВт и 44.7 кг тяги - 4.68 кг/кВт.
  
  Данная установка также была у меня в работе.

  Следует обратить внимание, что для корректного сравнения с ВМУ с ДВС необходимо учесть, что в таблице указана электрическая мощность, подаваемая к контроллеру мотора, а нам необходимо брать значение механической мощности на валу, куда прикреплена ступица воздушного винта. Ориентировочное значение сквозного КПД, учитывающий потери в проводах, контроллере (ESC) и в электродвигателе можно взять как 87%, поэтому удельная тяга ВМУ X11max с точки зрения механического привода будет около 5.38 кг/кВт.

  Также, из таблицы виден один очень важный факт: при снижении оборотов и снижении подаваемой мощности удельная тяга вырастает!

  Но о причине этого явления мы поговорим чуть позже.
  

• Удельная тяга экспериментального импеллера VF-570 найденного на просторах Ютуба:
  https://www.youtube.com/watch?v=e-25Y7lKBgo

  Для различных режимов, включая режим максимальной мощности:
  393В 16.4А 6.4 кВт 23.5 кг - 3.7 кг/кВт;
  385В 33.7А 13.0 кВт 40.3 кг - 3.1 кг/кВт;
  371В 78А 28.9 кВт 75.4 кг - 2.6 кг/кВт;
  339В 215А 72.9 кВт 146 кг - 2 кг/кВт.

  Аналогичная картина - чем больше тяга, снимаемая с установки - тем меньше показатель удельной тяги.

Разные ВМУ с разными показателями числа лопастей, диаметром винта/вентилятора, с разным шагом винта, с разными оборотами - как это всё привести к единому знаменателю и понять, какая ВМУ лучше, а какая хуже? Какие данные, заявленные производителем реализуемы физически, а какие завышены по соображениям маркетинга?

3. Как работает воздушный винт? Анализ физики процесса

Согласно третьему закону Ньютона - если приложить к материальному телу силу, то точно такая же сила будет действовать на нас, равная по модулю и противоположная по знаку.
Это означает, что если мы будем давить на воздух с силой 1 Ньютон, то воздух будет давить на нас с силой 1 Н. Это и будет наша сила тяги. Так как воздух - среда нетвердая, текучая и "продавливаемая", то для того, чтобы статическую тягу создавать постоянно - следует отбрасывать объемы воздуха один за другим, непрерывно, получая некоторое фиксированное значение массового расхода рабочего тела.
Этот принцип является базовым и лежит в основе принципа работы любой пропульсивной и реактивной системы: систематически отбрасываем в одну сторону от себя новые и новые порции рабочего тела - движемся в другую сторону.

Соответственно, у нас появляются два параметра, которыми мы можем оперировать, чтобы достичь заданного значения тяги:

• манипулировать массовым расходом рабочего тела (сколько кг в каждую секунду воздуха или другой среды мы будем отбрасываем от себя);

• влиять на прирост скорости рабочего тела (насколько будет изменяться скорость воздуха до контакта с ВМУ и после операции по его разгону в м/с за счет ВМУ).

Имеем два базовых закона:

• Тяга F любого движителя, работа которого основана на отталкивании от себя рабочего тела - равна произведению скорости его истечения на его массовый расход:
  (W - массовый расход рабочего тела, кг/с)
  (V - скорость истечения, м/с):

• Чтобы разогнать материальное тело массой m (включая воздух) до скорости V потребуется затратить энергию:

• Отсюда вытекают следствия:
  I. Мощность, которую необходимо подводить к системе, которая разгоняет рабочее тело до скорости V равна:

Пример:
Допустим, мы сидим в лодке на середине озера. У нас есть корзина с камнями, каждый из которых имеет массу 0.3 кг. Какую реактивную тягу мы получим, если зададимся целью кидать камни в определенную сторону с частотой 2 камня/сек и если после броска они достигают скорости 10 м/с?
Ответ: (0.3 х 2) кг/с х 10 м/с = 6 Н или около 0.6 кг тяги.

Какую мощность мы затрачиваем на разгон камней при условии, что разгон камней происходит с КПД = 100%?
Ответ: (0.3 х 2) кг/с х (10 м/с^2)/2 = 30 Вт.

Какая удельная тяга нашей реактивной установки?
Ответ: 0.6 кг/0.03 кВт = 20 кг/кВт.

Допустим, мы захотели поменять ситуацию. Камней в корзине мало, и чтобы создавать ту же самую тягу подольше, решили расходовать камни в два раза реже, но кидать их со скоростью в два раза большей.

Тяга: (0.3 х 1) кг/с х 20 м/с = 6 Н или около 0.6 кг тяги (не изменилась).
Мощность: (0.3 х 1) кг/с х (20 м/с^2)/2 = 60 Вт (увеличилась в два раза).
Удельная тяга: 0.6 кг/0.06 кВт = 10 кг/кВт (ухудшилась в два раза).

Вывод: чем меньше используется рабочего тела для создания той же тяги, тем до бОльшей скорости необходимо его разгонять и тем хуже становится показатель удельной тяги.
Этим законом объясняется причина, почему реальные вертолеты имеют винты большого диаметра, а вертолеты из фильма "Аватар" могут летать только в условиях атмосферы с бОльшей плотностью и при более низкой силы тяжести планеты Пандора. Маленькие винты имеют маленькую ометаемую площадь, маленькая площадь не может захватить большую массу воздуха и поэтому для той же тяги необходимо компенсировать недостаток массового расхода бОльшим значением скорости истечения воздушной струи. А это - энергозатратный путь. Земной вертолет в конфигурации фантастического SA-2 samson будет малогрузоподъемным, неэкономичным и дорогостоящим из-за высоких требований к мощности силовой установки.

Теперь перейдем к ВМУ:

Простой геометрический анализ дает нам следующие уравнения:

II. Массовый расход воздуха при скорости потока V:

где p - плотность воздуха, D - диаметр трубы.

III. Затрачиваемая мощность:

IV. Тяга:

V. Удельная тяга:

(в размерности Н/Вт, для размерности кг/кВт надо умножить на 1000/g = 102, где g - ускорение свободного падения - 9.8 м/с^2).

В формуле всё посокращалось, какая красота!
Удельная тяга зависит только от одного параметра - от скорости истечения струи, другими словами от того, насколько быстро мы разгоняем воздух.
Отсюда видно, что самый эффективный винт или вентилятор - этот тот, что разгоняет воздух до возможно МЕНЬШЕЙ скорости.

4. Окончательный вид формул

Для теоретического предела тяги [Н]:

Для теоретического предела удельной тяги [Н/Вт]:

Где:
p - плотность воздуха. Для +20С и нормальном атмосферном давлении - 1.204 кг/куб.м;
D - диаметр воздушного винта или внутренний диаметр трубы импеллера, м;
P - механическая мощность подводимая к винту или вентилятору.

5. Расчёты на примерах

Начнем расчет с импеллера VasyFan-570 с внутренним диаметром воздухозаборника 570 мм.
Предположим, что КПД вентилятора равен 100%, а КПД электромотора - 90%.
Тогда 72.9 кВт электрической подаваемой мощности, соответствуют 65.6 кВт мощности, закачиваемой в разгон струи воздуха, проходящей через эту трубу.

Выясним, до какой минимальной скорости теоретически может разгоняться поток в трубе VasyFan 570 мм, если все 65.6 кВт мощности будут израсходованы на приведение молекул воздуха в поступательное движение:
Выразим V из формулы для тяги:

Подставляем 65600 Вт и 0.57 м:
V = 75.39 м/с.

Площадь сечения трубы: pi/4 х 0.57^2 = 0.255 кв.м.
Объем воздуха для отрезка струи длиной 1 метр: 0.255 куб.м.
Масса воздуха для отрезка струи длиной 1 метр: 0.255 х 1.2 = 0.306 кг.

Массовый расход воздуха при скорости потока V:
W = 23.085 кг/с.
Тяга:
F = 1740.4 Н (177.6 кг).
Удельная тяга:
Q = 0.0265 Н/Вт (или 2.71 кг/кВт).

И так, теоретическое максимальное значение удельной тяги: 2.71 кг/кВт.
Мы получили цифру теоретического предела. Больше 2.71 кг/кВт при диаметре трубы 570 мм и закачиваемой мощности 65.6 кВт в разгон воздуха - не будет ни при каких условиях, ни при каком самом совершенном винте! Это фундаментальный лимит, который определила сама природа и законы Вселенной.

А данные автора показывают на этой мощности 2.22 кг/кВт.
Это составляет 82% от теоретического предела. Эта цифра позволяет нам осторожно предположить, что автор проекта VasyFan предоставил нам честные результаты, полученные в ходе экспериментов с силовой установкой.

Теперь рассчитаем теоретический предел удельной тяги для парамотора Moster-185:

Q = 6.98 кг/кВт - теоретический предел для механической мощности 18.3 кВт и диаметре винта 125 см.
Реально имеем 18.35 кВт и 75 кг тяги:
Q = 75/18.35 = 4.09 кг/кВт.

58.5% от теоретического предела!

А также рассчитаем ВМУ для тяжелых БПЛА HobbyWing Xrotor X11max:

Q = 8.95 кг/кВт - теоретический предел для механической мощности 8.31 кВт и диаметре винта 122 см (48 дюймов).
Реально имеем:
Q = 44.7/8.31 = 5.38 кг/кВт.

60% от теоретического предела!

Видим, что импеллер VasyFan-570 превосходит обычный двухлопастный винт по своей способности приблизиться к теоретическому пределу удельной тяги в первом случае в 82/58.5 = 1.40 раза. Во втором - в 82/60 = 1.36 раза.

36-40% превосходство импеллера над воздушным винтом!

Чем можно объяснить такой факт?
Известно, что при работе воздушного винта имеют место потери и не вся вращательная энергия на валу винта преобразуется в кинетическую энергию движущегося поступательно воздуха, создающего тягу.

Перечислим виды потерь мощности при работе винта:

1. потери на индуктивное сопротивление - перетекание потока с нижней части лопасти на верхнюю с образованием концевых вихрей;

2. сужение воздушной струи после выхода из ВМУ к центру, что приводит к ее разгону до большей скорости

3. вращение воздушных масс;

4. преодоление профильного сопротивления лопастей;

5. потери на создание шума, преобразование механической энергии в акустическую;

Размещение винта (вентилятора) в трубе позволяет уменьшить влияние 1-го и 2-го факторов, а установка спрямляющего аппарата в виде неподвижных лопаток с обратным расположением угла атаки по отношению к лопастям вентилятора позволяет нивелировать 3-ий фактор. Это помогает поднять КПД установки и приблизить ее к теоретическому пределу.

6. Propeller Selector

Для практических расчетов воздушных винтов без кольцевого обтекателя полезна такая небольшая и простая программка. Она выдает довольно близкие значения к тем, что получаются на практике при тестировании ВМУ.
Подставим для примера значения диаметра винта, шага и механической мощности для ВМУ HobbyWing Xrotor X11max:

Видим результат 43.25 кг тяги, что довольно близко к значению 44.66 кг тяги, даваемому производителем.
Единственное, стоит сказать, что в программе лучше не увлекаться расчетами винтов с очень малым шагом, она начинает завышать значения тяги. Оптимальный диапазон соотношения шага к диаметру винта, где результаты расчетов наиболее корректны находятся в диапазоне 0.35-0.6.

Также, мы можем проверить один интересный момент. Если умножить частоту вращения выраженную в оборотах в секунду на шаг винта для данного примера, то мы можем получить оценочное значение скорости, до которой может быть разогнана воздушная струя данной ВМУ при работе.

17.5 дюймов = 0.4445 метра
2884 об/мин = 48.07 об/сек
0.4445 х 48.07 = 21.36 м/с.

Сравним это со скоростью истечения рабочего тела, получаемого по формуле:

p - плотность воздуха - 1.2 кг/куб.м;
D - диаметр винта 48 дюймов - 1.22 м;
P - мощность - 8313 Вт.

V = 22.8 м/с.

Довольно неплохое совпадение для разных методов расчёта!

7. Важное замечание

Математические выкладки в данной статье стоит применять для винта, который неподвижен или движется с небольшой скоростью (скорость ЛА значительно меньше скорости истечения струи) относительно невозмущенных воздушных масс вдали от винта.
Характерные примеры: квадрокоптер, вертолет в режиме висения.
Или: парамотор, где скорость полета в несколько раз ниже, чем скорость истечения воздушной струи.

Для значительных скоростей движения (часто имеет место быть для самолетов) маленький винт может быть эффективнее, чем большой:

Также, следует проводить различие между КПД винта с точки зрения его способности переводить вращательное движение в поступательное движение воздушных масс и КПД винта с точки зрения совершения всем транспортным средством полезной работы.

Висящий вертолет не совершает перемещения в пространстве - полезной работы не производит, несмотря на значительный расход топлива и расход энергии силовой установкой.

Если говорить о КПД винта применительно ко всему летательному аппарату, то он меняется по закону, имеющему следующий характер:

8. Заключение

Теоретический анализ движения воздушных масс через заданную площадь поперечного сечения, описываемую лопастями винтомоторной установки, позволяет нам выявить теоретически максимальный достижимый лимит тяги, который может быть получен для самой совершенной конструкции винта или любого другого устройства для разгона воздушной струи. Расчет данного лимита в каждом индивидуальном случае позволяет в рамках единой методики сравнивать ВМУ между собой, а также оценивать, насколько они близки по показателю эффективности к гипотетической идеальной силовой установке.

Также, мы видим, что существующие модели ВМУ на рынке уже довольно близко подобрались к своим максимальным возможностям по части КПД и эффективности.

Ожидать прорывных технологий, которые позволят в будущем увеличить снимаемую тягу с единицы ометаемой площади больше чем на пару десятков процентов - не стоит, так как проблема лежит в фундаментальных законах геометрии и физики: законе сохранения энергии и импульса.