Продолжаем знакомство с моделью числа и ее свойствами, а конкретно, с симметриями на разном уровне представления модели: областей строк, отдельных строк, элементов одной строки и элементов разных строк. Для читателей, ознакомившимися с моими предыдущими статьей 1(О разложении модели числа), статьей 2 (О симметриях...) и др. предлагается продолжить знакомство с проблемой моделирования и исследования чисел. Объект натуральный ряд чисел (НРЧ) настолько богат известными и совершенно новыми свойствами, что само их перечисление потребовало бы много места и времени.

Рассмотрение же конкретного свойства в деталях ограничивает автора с одной стороны располагаемыми знаниями, а с другой - ограниченным объемом публикации. Тем не менее, есть желание показать читателям развернутую картину проявлений такого свойства НРЧ, как симметрия в поведении элементов этого замечательного объекта.

 Например, обращал ли кто-нибудь внимание на последовательности квадратичных вычетов (КВВ) элементов НРЧ по разным модулям, когда модель рассматриваем как фрагмент НРЧ или конечное числовое кольцо вычетов по модулю N. Эти квадраты следуют парами R_о, R₁ и получают вид (21 пара) для N = 1961. Пары КВК 484 = 22²; 529 =23² и
625 = 25²; 676 =26² образованы смежными числами, для N = 1961 они окаймляют в 4-м слое средний вычет r_cсс = 0; и для N = 2501 в 5-м слое средний вычет r_cсс = 0.

Почему во втором случае N = 2501 квадраты следуют вначале с флексиями 0, затем с 1²=1,
4= 2², 3², 4² ? Эти квадраты лежат в строках за пределами тривиальной области ТКВК и среди них нет кратных d_б.

В табличках приведен порядок следования КВВ = КВК полных квадратов, объединенных в пары (верх\низ), всего 42 квадрата (для N = 1961) и 48 квадратов (для N = 2501). Каждый квадрат получен в некоторой точке х_о и реализует решающий интервал (РИ), обеспечивающий получение решения задачи факторизации большого числа (ЗФБЧ) N, т.е. для вычисления делителей N. На основании закона распределения делителей можно записать соотношение d_i = х_о ±√КВК и при необходимости воспользоваться алгоритмом Евклида НОД.

Цель публикации в первую очередь образовательная, познавательная, популяризация науки, а также стремление привлечь в ряды исследователей, в науку приток новых молодых (и не очень) умов, вызвать в таких умах стремление к поиску ответов на возникающие вопросы.  Масштабность темы требует ввести разумные ограничения на излагаемый материал после краткого панорамного её рассмотрения

Введение

По мере изложения текста используются аббревиатуры (сокращения), которые я собрал в одном месте для удобства читателя. Эти сокращения мной используются во всех статьях по проблеме факторизации числа и информационной безопасности.
СММ – списочная многострочная модель числа;
ЗРД — закон распределения делителей числа;
НРЧ — натуральный ряд чисел;
ПНЧ — последовательность нечетных чисел;
ИБ — информационная безопасность;
КВВ — квадратичный вычет элемента кольца по модулю N;
КВК — квадратичный вычет – полный квадрат;
ЧКСС — четверка кратных смежных строк;
КЧКВ — конечное числовое кольцо вычетов по модулю N; ТКВК — тривиальная непрерывная область строк СММ, содержащая все КВК;
ТССС — тривиальная непрерывная область строк СММ, содержащая все средние вычеты, сохраняющие смежность сомножителей;
ДЦ, ДIn, Д0, — дубли строк СММ центральной, первой (инволюций), последней (нулевой;
Идемпотент — идемпотентный элемент, элемент е кольца, полугруппы или группоида, равный своему квадрату: е² = е.
Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — инволютивный элемент х кольца, квадрат которого х² =1; преобразование, которое является обратным самому себе, а квадрат инволюции равен единице в кольце.

Ранее уже упоминалось, что в СМ-модели установлено, по меньшей мере, пять осей (позиций, линий) симметрии (по трем первым позициям материалы описаны, рассмотрены и опубликованы):
– нулевая (нижняя) строка модели;
– центральная строка модели;
– строка нетривиальных инволюций;
– линия раздела четверки смежных кратных пар строк;
– линия, разделяющая строки идемпотентов;

Каждая из перечисленных позиций, обеспечивает самостоятельный вариант компоновки строк с вычетами, в основу которых кладется определение номера исходной и дублируемой строки.

Линия раздела пар четверки кратных смежных строк

Задача в целом остается прежней – локализовать каждую строку СММ, используя новые симметрии. Первые два слоя окаймления линии образуют пары кратных строк ЧКСС
Эта линия раздела является общей границей двух пар (4-ки) кратных смежных строк с номерами х_о. Такая 4-ка имеет общие КВВ с тройкой кратных смежных строк (строка-дубль нулевой) и общие значения t и t_п с окаймленными нетривиальными инволюциями.
Симметрия этой линии проявляется для строк-дублей, окаймляющих r_cсс средние вычеты.
При разных модулях N номера строк окаймляющих линий определяются четной инволюцией и нижней строкой СММ.

В списке СМ-модели (в колонках с монотонно возрастающими значениями Х_о , Х₁) встречаются значения кратные делителям N без ограничения на четность коэффициента кратности. В колонках (Т, Т_п) последовательных нечетных чисел (ПНЧ) также встречаются значения кратные делителям N, но уже только с нечетным коэффициентом кратности k. Генерирование элементов ПНЧ происходит путем суммирования пары смежных чисел, а для колонки Р – путем перемножения слагаемых.

Т = {0 + 1 = 1, 1+ 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 4 = 7, …, n+(n+1) = 2n + 1},
Р = {0 · 1 = 0, 1 · 2 = 2, 2 · 3 = 6, 3 · 4 = 12, …, n· (n+1) = n² + n}.

Для таких двух последовательных сумм в Т и Т_п одно из слагаемых всегда является общим. Например, для t = 5 и t = 7 имеем: 2 + 3 = 5, 3 + 4 = 7, общее слагаемое 3. Переменная р = t₁· t_о равна произведению слагаемых, из которых один или оба сомножителя могут быть кратны делителю N.

При этом один сомножитель (это может быть один из делителей N) остается общим для двух (строк) последовательных значений. Это делает пару последовательных значений Р, R_c кратными общему нечетному делителю. Такие значения t далее преобразуются в средние вычеты r_c и в силу специфики преобразования пара смежных строк в позициях р и r_c получает кратные одному из делителей значения r_cв и r_cн (верхнее и нижнее). Для другого делителя это также справедливо.

Такие пары многочисленны и между ними в СММ может быть разное количество s некратных строк s = 0, 1, 2, …. Существует вариант размещения кратных разным делителям пар строк, когда две смежных пары кратных разным делителям строк образуют непрерывную четверку кратных смежных строк (ЧКСС). В такой четверке монотонные значения t_п повторяют (зеркально) четыре значения колонки t в области строки нетривиальных инволюций. Другими словами, такая четверка строк и четверка строк, окаймляющая строку нетривиальных инволюций (включая ее саму), имеют совпадающие встречно направленные отрезки столбцов Т, Т_п (табл. В4).

Симметрия ориентирована на средние вычеты из ТССС. Как и ранее относительно этой линии пары строк нумерованных слоев модели симметрично отдаляются от линии, но дублирование таких строк приводит к иному, чем ранее, результату. Все соответствующие пары строк-дублей разделяются единственной строкой, содержащей средний вычет r_cсс из ТССС со свойством сохранения смежности сомножителей.

В таблице ВВ4  показаны лишь начало такого списка вычетов r_c = 0, 2, 6, 12… в строках с номерами х_о (r_cсс = 0) = 1128, х_о (r_cсс = 2) = 883, х_о (r_cсс = 6) = 638, х_о (r_cсс = 12) = 393, … с их окаймлением парами строк-дублей. Пары строк СММ послойно окаймляют выделенную линию, постепенно отдаляясь от нее.

4. Симметрии модели. Линия раздела пар строк четверки

Мы уже рассмотрели, как окаймляются строки с полными квадратами в позициях левых вычетов, рассмотрели механизмы образования и размещения строк-дублей для строк,
окаймляющих линии и строки симметрии. Это были вопросы, касающиеся носителя Х. Теперь перейдем к другому носителю Тп интересующих нас элементов, а именно, кратных делителей. Отличия оказываются значительными, но тем более интересными для изучения. Поясним как локализуются строки-дубли с квадратами rл и средними rccc вычетами. Какие существенные отличия имеются при локализации. Между одиночными кратными разным делителям строками в СММ возникают промежутки из некратных строк.

Если промежуток между кратными строками содержит нечетное число строк, то по ЗРД средняя строка промежутка имеет квадратичный вычет КВВ = КВК = r_л полный квадрат, равный квадрату удаленности границ интервала от центра. Границами промежутка служат строки с элементами, кратными разным значениям делителей (элементы х₁ и х_о).
В какой-то мере аналогичное явление имеет место и для средних вычетов r_ccc. Также рассматриваются промежутки из некратных строк, но уже между сдвоенными (парами) смежных строк кратных разным делителям. Если промежуток содержит нечетное число некратных строк, то центральная (средняя) строка имеет средний вычет r_ccc со свойством сохранения смежности сомножителей. Поясним это описание числовым примером.

Пример К. Задан модуль приведения N = 989. На рис.1 размещен фрагмент СММ, содержащий элементы, названные в тексте ранее. Одиночные кратные по х₁ и х_о делителям строки в модели имеют номера х_о = 253 = 11∙23, х_о = 258 = 6∙43, х_о = 276 = 12∙23 (заливка голубым цветом). Между ними интервалы из 4-х и 17 некратных строк. Для большего интервала (17 строк) существует центральная точка (строка, ее номер х_о = 267).  В этой точке квадратичный вычет равен r_л = 267 ²(mod N) = 81 – полный квадрат. Аналогично, в х_о = 277, КВК = 576 = 24², что означает удаленность границ РИ от центра из 24 строк; х_о = 253 = 11∙23, х_о = 301 = 7∙43.

С кратными значениями по t_п являются также две пары смежных строк первая пара с номерами х_о = 264, х_о = 265, где нижняя строка пары содержит элемент t_п = 529 = 23∙23 и вторая с номерами х_о = 279, х_о = 280, где нижняя строка пары содержит элемент
t_п = 559 = 13∙43. Кратными делителям являются не номера строк, а значения Р и r_с = 713 = 31∙23, r_с = 253 = 11∙23 (оба кратны делителю d = 23) в верхней паре и значения r_с = 946 = 22∙43,
r_с = 516 = 12∙43 (оба кратны другому делителю d = 43) для нижней пары строк.

Интервал (промежуток) некратных строк между этими смежными парами нечетный (равен 13 строкам), т.е. имеет центральную точку (строку с номером х_оц = 272). Значение
r_ccc = 56 = 7·8 – это произведение числа строк интервала до центра на число после центра, включая границы его самого. С другой стороны, это значение равно разности КВВ r_л (272) строки и rло, т.е. 798 – 742 = 56. В таблице А4 выделены заливкой (зеленые) значения r_ccc строк пересечения тривиальных областей ТКВК ∩ ТССС = {42, 272}
Окаймление строк-дублей со средними вычетами вида (R_ccc) парами строк (верх\низ)

Таблица А4 КВВ пар строк, послойно (11слоев) окаймляющих строки со средними вычетами (r_ссс) приведена ниже. Таблица формируется, начиная со средней (центральной строки), в клетки которой вписываются в лексикографическом порядке значения r_ссс = 0, 2, 6, 12, 20, 30, …, 272, …,812, 870, 930. Рядом указываются значения t строк СММ, содержащих эти r_ссс. Далее из СММ в клетки столбцов (выше\ниже r_ссс) вписываются послойно (i = 1(1)I(N)) КВВ окаймляющих строк.

Слои КВВ окаймляющих строк располагаются в таблице горизонтально. Такую таблицу легко преобразовать в таблицу с вертикальным расположением КВВ слоев. В преобразованной таблице каждый i-й слой КВВ образует i-й столбец. Строкам (парам верхняя\нижняя) такой таблицы соответствуют значения (имена) r_ссс. Каждому r_ссс в слое отводится две строки (клетки) в каждом столбце. Две центральные строки для r_ссс = 0 – смежные. К ним сверху и снизу примыкают КВВ окаймляющих строк первого слоя для
r_ссс = 2, затем для r_ссс = 6 и так далее до конца списка r_ссс.

Почему рассматривается такое преобразование таблиц ? Дело в том, что в СММ все послойные последовательности КВВ (столбцы таблицы) уже содержатся в явном виде. При формировании СММ они возникают автоматически. Необходимо только указывать центральную пару (r_ссс = 0) каждого слоя (столбца.)

В табл. А4 зарегистрированы КВВ окаймления (11слоев) строк-дублей средних вычетов. Каждой паре окаймляющих строк соответствуют дубли (табл. Б4, каждый слой –вертикаль) Пятый слой строк-дублей содержит в основном КВВ=КВК – полные квадраты (N = 989)

Такие пары являются смежными для столбца 1-го слоя и для всех остальных слоев. Для
r_cсс = 0 это КВВ=443, КВВ=54; для r_cсс= 2 это КВВ =834, КВВ = 656 в этом же 1-м столбце.

Локализация вычетов. Рассматривая КВВ таблицы СММ, обратим внимание на распределение строк-дублей, содержащих КВВ = КВК = r_л (т.е. дубли из ТКВК) и строк-дублей, содержащих средние (r_ccc) вычеты (дубли из другой тривиальной области ТССС). Будем иметь ввиду, что регулярность распределения строк, содержащих кратные делителей N имеет место при всех составных N.

При этом будем учитывать, что элементы строк кратные делителей в роли х₁ и х_о всегда встречаются одиночными строками (исключая строки с идемпотентами, в СММ они смежные) и могут иметь целочисленные четные и нечетные коэффициенты, в то время как элементы кратные тех же делителей в роли средних вычетов (r_c, r_c-1) всегда возникают сдвоенными (парами) смежных строк и при этом в нижней строке такой пары всегда размещается и элемент t_п кратный делителю с целым нечетным коэффициентом кратности. 

Описанные кратные строки одиночные и парные (выделены заливкой), содержащие кратные делителям элементы, служат некоторым фоном, решеткой, на которых проявляются полные квадраты r_л = КВК и средние вычеты со свойством после редукции сохранять смежность сомножителей r_c = r_ccc. Квадраты формируют соотношения закона распределения делителей (ЗРД) в НРЧ, а средние вычеты обеспечивают быстроту поиска квадратов и однозначность решения ЗФБЧ. Задача в целом остается прежней – локализовать каждую строку СММ, используя новые симметрии. Первые два слоя окаймления линии образуют пары кратных строк ЧКСС.

Области левых вычетов, относительно средних, сохраняющих смежность сомножителей

Ранее были рассмотрены области аттракции для КВК с центрами в точках кратных большего делителя А_i = id_б. Подробно описывалась взаимосвязь областей, проявляющаяся симметричным включением в нумерованные слои КВВ. Элементы КВВ строк в колонках часто меняются местами. Совсем иначе выглядят зависимости при рассмотрении окаймлений средних вычетов вида r_ссс. Хотя все r_ссс распределяются по списку СММ для разных N неповторимым образом, но для таблиц все r_ссс помещаются в центральную строку упорядоченными лексикографически.

Основное отличие в том, что каждый столбец-слой таблицы Б4 вертикально выстроенных КВВ слоев начинается не в строках, где размещены средние вычеты, а от некоторых разделительных линий между парами строк СММ, задаваемых текущими х_о номерами. Первый слой окаймляющих строк начинается от линии разделения четверки смежных строк кратных разным делителям. Линия проходит между строками с номерами х_о =194 и х_о=195. Дополнением до инволюции этой пары строк является пара х_о = 106 и х_о = 105. Линия между этой парой строк порождает второй слой окаймлений для r_ссс.

Далее номера этой пары увеличиваем на четную инволюцию (In = 300) и получаем очередную пару строк с разделяющей линией х_о = 406 и х_о = 405, порождающей строки третьего слоя. Следующий слой с нечетным номером – это слой пять, порождается линией между строками с номерами х_о = 16 и х_о = 17. Четные слои четвертый и шестой образуются линиями между строками-дополнениями до инволюции (х_о = 284 и х_о = 283) и увеличенными на инволюцию (In = 300), т.е. х_о = 316 и х_о = 317.

Далее по аналогии можно продолжить, чередуя четные и нечетные номера слоев. 8-й слой порождается линией между строками с номерами х_о = 72 и х_о = 73. Слои 7-й и 9-й определяются линиями между строками с х_о= 372 и х_о= 373, х_о= 227 и х_о= 228, т.е. для 7-го
х_о = 300 +72 = 372 и х_о = 300 =73 = 373, а для 9-го х_о = 300 – 72 = 228 и х_о = 300 –73 = 227.

Следующие три слоя 10, 11,12 задаем вначале для 11-го слоя х_о = 161 и х_о = 162, для 10-го добавим инволюцию, а для 12 определим дополнение к инволюции х_о = 461 и х_о = 462,
х_о = 300 – 161 = 139 и х_о = 300 – 162 = 138.

Представление симметричных областей КВВ, связываемых со средними вычетами r_ссс СМ-модели, существенным образом отличается от рассмотренных ранее, как по устройству, так и по зависимостям элементов. Удобно выполнять описание с использованием таблицы областей аттракции КВВ строк, окаймляющих послойно (в 6-ти слоях) упорядоченные средние вычеты r_ссс

Находим интервалы между парами кратных сдвоенных строк четной длины. Центр интервала определяется линией его раздела пополам, проходящей между строками верхней с номером х_осл и нижней х_осл.

Первая такая линия – линия раздела ЧКСС. Строки с такими КВВ окаймляют r_ccc = 0 в 1-ом слое. Номера этих строк х_о1 = х_1о –In = 495 –300 = 195 и х_о1 = х_оо –In = 494 –300 = 194. Колонка КВВ от этой линии (вверх\вниз) окаймляет все r_ccc в lex порядке строками 1 слоя. Вторая линия (для 2-го слоя окаймления) лежит между строками-дополнениями до модуля N, т.е. сверху х_о2 = 300 –195 = 105 и снизу х_о2 = 300 – 194 = 106. Третья линия увеличивает номера строк на In, т.е. х_о3=300+105 = 405 и х_о3= 300+106 = 406.   Вообще правильнее будет записать условия так х_о2 = 300 ±  105 и х_о2 = 300 ± 106, где
х_о2 = 105 и х_о2 = 106. Тогда для слоев 4-го и 6-го находим номера х_о5 = 16 и х_о5 = 17, х_о4,6 = 300 ± 16 и х_о4,6 = 300 ± 17, где х_о5 = 272 = 16∙17 = r_ccc  самый верхний средний вычет.

Главной особенностью строк-дублей таких отдаляющихся пар строк окаймления (см. таблицу А4) является то, что они становятся смежными (х_о (r_cсс) = ± 1 верхняя\нижняя) со строками, включающими вначале средние вычеты в строках-дублях в порядке монотонного возрастания среднего вычета r_c = 0, 2, 6, 12, ..., а после их исчерпания из ТССС, и для строк с другими вычетами.

Рассмотрим подробнее свойство строк СМ-модели, которое проявляется с дублями строк, послойно окаймляющих линию, разделяющую пары строк четверки смежных, кратных делителям N строк.

Каждая строка-дубля с r_cсс ϵ ТССС в 5-м слое пар строк окаймления содержит КВВ=КВК, первые степени которых для r_cсс = 0 смежные, а их сумма равна ½ (d_м + d_б) полусумме делителей N. Для N =2501 в строке с r_cсс = 0 это КВК 25² и 26², а для r_cсс = 2 это КВК 24² и 27², r_cсс = 6 это КВК 23² и 28², r_cсс = 12 это КВК 22² и 29² и т.д.
25+26 = 24+27 = 23+28 = 22+29 =½(41+61) = 51.

Пример 8. (Симметрия линии раздела 4-ки смежных кратных делителям N пар строк). Пусть N = 2501 = 41·61. Этот вид симметрии в СМ-модели задается средней линией 4-ки кратных строк (Табл. В4, ВВ4, выделена заливкой). Ведущая роль у средних вычетов. Тройки вычетов строк 1-го слоя четверки дублируются в окаймляющих строках «нулевой» строки, содержащей r_ссс = 0.

Эти средние кратные строки 4-ки содержат также элементы (блоки) х_о = r_с = 246 = 6·41 и
х₁ = r_с = 2257=37·61, такие же элементы содержатся в окаймляющих строках строки нетривиальных инволюций. Строки 2-го слоя (внешние строки четверки) содержат тройки вычетов строк, которые   содержатся в окаймляющих строках среднего вычета r_с = 2.

Так средняя линия четверки (двух смежных пар строк, выделены заливкой) кратных разным делителям N строк задает симметрию положения (значение отдаленности от нее) других строк модели, дубли которых лежат в других областях СМ-модели и оказываются разделенными лишь единственной строкой, содержащей дубль-строку среднего вычета r_c из тривиальной области вычетов сохраняющих свойство смежности сомножителей.

При этом квадратичный вычет номера разделяющей строки окаймляется квадратичными вычетами номеров исходных симметрично (послойно) отдаленных строк, кратной четверки. В таблице В4 заливкой выделены две пары строк СМ-модели. Верхняя пара строк кратна меньшему делителю dм = 41, нижняя – кратна большему делителю dб = 61. КВВ пары внутренних строк четверки окаймляют строку-дубля последней (нулевой) строки (Табл.ВВ4). Следующие окаймляющие линию пары строк имеют строки-дубли с помещенными между ними строками, содержащими средние вычеты из ТССС, с соблюдением очередности следования их друг за другом, начиная с значений r_c = 0, 2, 6, 12, 20, … до исчерпания списка ТССС.

В следующей таблице ВВ4 (верхняя строка) вычеты левый и правый из нулевой строки поменялись местами; правый вычет КВК= 625 стал играть роль центра решающего интервала; средний вычет принял значение r_c (1123) = 1250 = х_оо (1250). В нормальном положении (дубль среднего вычета 1-й строки СММ) он равен 1 + r_по = 1 + 625 = 626; нечетная инволюция (Ин = 245 = (122 = 2·61) + (123 = 3·41)) раскладывается в сумму кратных разным делителям N слагаемых. Дубль нулевой строки окаймляется строками с КВК 25² и 26², размещенными в 5-ом слое.

Между строками-дублями со средними вычетами r_с с ССС расстояние равно нечетной инволюции, 1128 – 883 = 883 – 638 = 638 – 393 = 393 – 148 = … = 245.

Все три вычета дублирующей строки повторяют вычеты строки оригинала. Так для окаймления строки-дубля нулевой строки две средние строки 4-ки (таблицы В4) повторяют вычеты. В таблице эти строки смежные (не разделяются как во в таблице ВВ4 дублем нулевой строки). Средние вычеты пары внутренних строк-дублей таблицы утраиваются до
0+3·246 = 738, 3·2257= 1769; при окаймлении очередного элемента r_с = 2, возрастают в 5 раз для r_с = 6, то есть до 2 + 246·5 =1232 и 2+ 1283 и далее растут с нечетным k коэффициентом, т.е.
k = 1(2) … до исчерпания элементов ТССС. Номера строк, симметричных относительно средней строки в четверке кратных смежных строк модели, определяются умножением половины четной инволюции на порядковый коэффициент k, соответствующий среднему вычету в ТССС. Этот коэффициент k принимает последовательные значения нечетных чисел от k = 1, 3, 5, …  и возрастает до исчерпания средних вычетов в ТССС, следующих в порядке возрастания значений.

Пример 9. (Симметрия линии раздела 4-ки смежных кратных делителям N пар строк). Пусть N = 989. В разделе таблицы А4 симметрий для средней линии четверки кратных разным делителям строк (первые 17 колонок) указаны исходные значения r_с средних вычетов со свойством сохранения смежности сомножителей (TCCC). Множества этих значений вычетов можно пронумеровать, они начинаются от r_с = 0, 2, 6, …, получают номера n = 1, 2, 3, … и одинаковы для всех чисел N. С ростом N изменяется только их количество в списке модели. Пусть выбран дубль среднего вычета из ТССС r_с = 30 = 5·6. Его порядковый номер
n = 6. Строки-дубли, окаймляющие среднюю линию раздела кратных смежных строк 4-ки, лежащие в 6-м слое, имеют КВВ r_лв = 117 и

r_лн= 440 тогда коэффициент k = 2·6 – 1 = 11. Эти окаймляющие строки отделены одна от другой 10-ю промежуточными строками. Дубли этих строк оказываются отделенными лишь одной строкой, содержащей дубль среднего вычета r_ссс = 30. Коэффициент кратности
k = 2n–1, где n – текущий номер среднего вычета из ТССС. Этот номер для r_ссс равен большему из 2-х смежных сомножителей. Значение n для r_ссс определяется как больший смежный сомножитель в списке средних вычетов. Начало этого списка имеет такой вид:

r_ссс = {0·1 = 0, 1·2 = 2, 2·3 = 6, 3·4 = 12, 4·5 = 20, 5·6 = 30, 6·7 = 42, …}.

Таким образом, вычет r_ссс = 30 получает текущий номер n (30) = 6. Тогда, k = 2n – 1 = 11.
Это означает, что средний вычет r_ссс = 30 содержится в строке с номером х_о = 661, то есть номер х_о = ½k300(mod 989) = 661. В зависимости от выбранного значения составного модуля N строка-дубль модели, содержащая этот средний вычет r_ссс = 30, получит разный номер.

Для N = 989 нетривиальная четная инволюция равна х_о = 300, а ее половина 150. Убедимся, что х_о является инволюцией: х_о² = 300²(mod 989) = 90000 = 1 + 91·989 = 1. Теперь вернемся к определению номера строки х_о (r_с = 30) = 150k = 150·11 = 1650. Выполним приведение по модулю N, что дает х_о (r_с = 30) = 1650 – N = 1650 – 989 = 661. Для строки с этим номером можно вычислить средний вычет по формуле

r_с (х_о= (N – 661)) = ¼ ((N – 2·х_о)² – 1) = ¼ ((989 – 2·328)² – 1) =27722(mod 989) = 30.
Для этой строки легко определяется квадратичный вычет и окаймляющие его вычеты
r_л (661) = (х_о (r_с = 30))²(mod 989) = 661²(mod 989) = 772.

Заключение

Здесь описан очередной объект СМ-модели, порождающий симметрии. Удивительным следует признать факт: разнообразие типов механизмов, порождающих симметрии строк на довольно статичном множестве строк модели. В рамках заданного составного числа N и в пределах СМ-модели строки не перемещаются и не обнаруживают явно признаков симметрии.

Анализ причин проявления ряда особенностей в поведении отдельных элементов и целых строк привел к необходимости внимательного рассмотрения частных деталей. Например, если делители N (простые числа) связаны линейной зависимостью, то
р=23, q=1+2р =47, модуль N =1081, идемпотент оказывается равным q = 47;
р=67, q=1+4р =269, модуль N =18023, то идемпотент оказывается равным q = 269; или
р=13, q=2+3р =41, модуль N = 533, то инволюция оказывается равной q - 1= 40; или
р=61, q=2+5р =307, модуль N =18727, то инволюция оказывается равной q - 1= 306.

Доказывать эти факты - отвлекаться от основной задачи жалко тратить время (Ферма и Эйлер тоже не все доказывали и допускали ошибки). Но польза от фактов есть, при их изучении всплыли симметрии, о которых слышать и читать ранее не доводилось, но разобраться кое в чем удалось. Что и выношу на суд общественности.