Интересным является вопрос о погружении арифметики в n+1-значные логики Лукасевича Ł_n+1. Какая часть арифметики может быть погружена в Ł_n+1? Для функции φ(х) = m  рассматривается обратная к ней, определяемая  соотношением φ ^–1(m) = {n, φ(n) = m}, где φ(х) – функция Эйлера.
Пример, если φ(n) = 4, то это уравнение имеет ровно четыре решения φ ^–1(4) = {5, 8, 10, 12}. Гольдбахом (1690 –1764) поставлена проблема о разложении четных чисел ≥ 4 на сумму двух простых. Если это верно, то для каждого числа m найдутся простые числа р и q такие, что φ(р) + φ(q) = 2m.
Эдмунд Ландау в 1912 г. на международном конгрессе математиков в Кембридже заявил, что проблема Гольдбаха недоступна для современного состояния науки. Недоступна она и сейчас. Верифицируемость предположения Гольдбаха установлена до 4∙10¹⁴.
Делались попытки найти формулу, с помощью которой вычислялись бы (или порождались) все простые числа. Наилучший результат принадлежит Ю.В. Матиясевичу (1977), который нашел полином из 10 переменных. Асимптотическое распределение простых чисел в НРЧ, доказываемое аналитическими методами, приводится в книге К. Прахара (1967). О первых 50 млн простых чисел статья Д. Цагера (1984).
Можно считать, что впервые на проблему решения подобных уравнений обратил внимание Э. Люка (1842 – 1891). Об этом сказано в книге И.В. Арнольда (1939) «… следуя Люка, сгруппированы числа n с одним и тем же значением функции φ(n) в пределах от 1 до 100, т.е. дана таблица функции обратной по отношению φ(n)»
В книге Серпинского (1968) задача №245 «Найти все натуральные числа n≤ 30, для которых φ(n) = d(n), где φ(n) – функция Эйлера, а число d(n) – число натуральных делителей числа n». Рассмотрим только случай n = 30. Делителями числа 30 являются числа 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30, т.е. d(n = 30) = 8. Значит надо решить уравнение φ(30) = 8, где n≤ 30. Или, по-другому, найти значения для обратной функции Эйлера φ ^–1(8), т.е. определить множество {n, φ (n) = 8} для  n≤ 30. Это множество образовано числами {15, 16, 20, 24, 30}. Более того, ни для каких других n >30 φ (n) ≠ 8.
Множество значений φ ^–1(m) = Ø пусто для всех нечетных значений и многих четных значений m > 1. В первой сотне числа 14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94 и 98 не являются значениями φ (n).

Введение
Изобретатели многозначных логик Э. Пост, Я. Лукасевич, Д, А, Бочвар, А. Гейтинг создавали свои системы, имея разные цели. N-значные функционально полные Рn системы Поста (1921) являются обобщением (с циклическим отрицанием) двузначной логики без семантически содержательной интерпретации. Трехзначная логика Бочвара (В₃) с промежуточным истинностным значением «бессмысленно» предназначалась для формализации логических и семантических парадоксов. Трехзначная логика Лукасевича (Ł₃,1920) имела философскую мотивацию, связанную с опровержением аристотелевской доктрины логического фатализма, основанной на двузначной логике. Трехзначная интуиционистская логика Гейтинга (G₃,1930), в которой формулируется пропозициональное интуиционистское исчисление Н.

Остановим в статье внимание не столько на логиках, сколько на одном из результатов [1] теории чисел, достигнутом при использовании логик как математического инструмента. Речь пойдет о простых числах в натуральном ряде, графах, классах эквивалентностей отношений, множествах функций логики, формулах, перечисляющих простые числа, и о др. вещах.

Первым глубоким результатом, устанавливающим связь между логиками Лукасевича и арифметическими фактами, была теорема Р. Мак-Нотона (1951) об определимости функций в логике Лукасевича Ł_∞ и ее конечных Ł_n фрагментах. Функция f (х1/n,...,xk/n)=x/n в матрице для Ł_n+1 тогда и только тогда, когда НОД (х1, …, хk, n) есть делитель х. Раньше Мак-Кинси (1936) удалось построить штрих Шеффера для n-значной логики Лукасевича Ł_n.

Затем были обнаружены связи Ł_n+1 и простых чисел, а именно показано, что логика Лукасевича Ł_n функционально предполна тогда и только тогда, когда (n – 1) простое число, а также было обнаружено, что Ł_n имеет I-J-совершенную дизъюнктивную нормальную форму, когда (n – 1) степень простого числа.
 Определение. Множество функций Х n-значной логики называется предполным в Рn, если Х ≠ Рn и, что для всякой F, F∉X, [X ∪ {F}] = Pn, где [X ∪ {F}] – множество всех суперпозиций функций из X ∪ {F}.

В 1970 г В.К. Финном обнаружено, что конечнозначные логики Лукасевича Ł_n+1по своим внутренним свойствам являются функционально предполными тогда и только тогда, когда nесть простое число. Разработан алгоритм, перерабатывающий любую логику Лукасевича Ł_n+1 в функционально предполную. Есть исходное множество логических функций и определенная на этом множестве одна операция – суперпозиция. При этом мы приходим к пониманию логики как алгебры функций.

Бочвар в 1979 г высказал идею о том, что многозначные логики следует рассматривать как фрагменты формализованных семантик. Рассматривая эту идею как адекватную арифметической действительности, показывалось, что для трехзначных логик В₃(логики Бочвара), Е₃ (логики Эббингхауза) и Ł₃ (логики Лукасевича) имеют место следующие включения: В₃   ⸦ Е₃   ⸦Ł₃. Эти включения записаны относительно множества тавтологий и множества функций в них выразимых.

Преобразование н-значных логик Лукасевича в предполные логики

Пример. Пусть n +1 = 10, тогда V₁₀ = {0, 1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9, 1}. Из критерия Мак-Нотона следует, что в Ł₁₀ нельзя, например, определить функцию I_37/39(x), когда
х = 3/9 или х = 6/9 поскольку НОД (3, 9) = 3 и НОД(6, 9) = 3, а НОД(7, 9) = 1. Уже в силу этого Ł₁₀  непредполна. Очевидно, что если числитель и знаменатель для всех 1/nиз V_n+1 являются взаимно простыми числами, т.е. НОД (i, n) = 1, то определимость I-функций в Ł_n+1 сохраняется.

Из этого следует, что ответственными за непредполноту Ł₁₀ являются значения х = 3/9 и
х = 6/9. Если из V₁₀ вычеркнуть эти значения, то останется только 8 значений.
Пусть n + 1 = 8, тогда V₈ = {0, 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7, 1}. Таким образом от Ł₁₀ мы перешли к Ł₈. А в силу теоремы 1 (Финна) Ł₈ является предполной логикой. Вычеркиваются всегда все те значения, для которых НОД (i, n) ≠ 1. Итак, для того чтобы перестроить некоторое произвольное множество истинностных значений V_n+1 надо определить число i чисел из ряда 1, 2, 3, …, n – 1, взаимно простых с n, и добавить два крайних истинностных значения (0 и 1).

Определение. Функция φ(n), которая определяется для всех целых положительных n и представляет собой количество чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n, называется функцией Эйлера.
К. Гаусс (1777 – 1855) обозначил ее знаком φ(n) для аргумента n. Функция была введена Л. Эйлером (1707 –1783) иногда ее называют тотиент.

Посредством функции φ(n) из множества V_n+1 истинностных значений получаем множество V φ(n)+2. Тогда построение предполной Ł_р+1 логики из произвольной Ł_n+1 сводится к переработке произвольного числа n в р, где р – простое число. Каждый раз n из V_n+1 перерабатывается в φ(n) +1. В основе переработки лежит теоретико-числовая функция Эйлера.
Приведем несколько значений этой функции: пример:
φ (1) = 1, φ (2) = 1, φ (3) = 2 φ (4) = 2, φ (5) = 4, φ (6) = 2,
φ (7) = 6, φ (8) = 4, φ (9) = 6, φ (10) = 4, φ (11) = 10, φ (12) = 4. Покажем также важные свойства этой функции:
(i)   φ(р) = р – 1;
(ii)  φ(n1∙n2) = φ(n1)∙φ(n2), если (n1, n2) = 1, φ(n) мультипликативная функция;
(iii) φ(р^β) = р^β-1(р – 1) для любого простого р. Из (i) и (ii) следует, что
φ(n) = (1-1/p1)(1-1/p2)(1-1p3)...(3-1/s) = nП р | n (1-1/p), ,
где знак р | n означает, что множители произведения берутся при всех возможных простых делителях числа
(iv)  φ(n) является четным числом для любого n ≥ 3.

Переход от φ(n) к φ*(n).
Пусть φ*(n) = φ(n)+1. Тогда, если n = p, то φ*(n) = (р –1) +1 = р. Отсюда, если Ł_n+1 предполна, т.е. если n = р, то функция φ*(n) не изменяет предполноту Ł_n+1. Заметим, что в примере для значений функции φ(n) значения φ*(n) = р, но не для всех n.
Например, φ*(16) = 9, а Ł₉₊₁ = Ł₁₀ не является предполной логикой, поскольку 9 ≠ р. Однако, как нам уже известно φ*(n = 9) =7 и, следовательно, Ł₇₊₁ предполна. Тогда посредством φk*(n) обозначим k-е применение функции φ*(n). При этом, если n = р, то для любого k функция φk*(n)= p

Построение классов Хр+1

Очевидно, для любого n, число k конечно, т.е. для всякого n, существует число k такое, что φk*(n) есть простое число. Возникает алгоритм, по которому любое натуральное число n перерабатывается в простое р и, следовательно, логика Ł_n+1 перерабатывается в Ł_р+1 логику; пошаговый алгоритм получает вид:
шаг 0 Пусть n = n1 и n1 ≠ рi. .
шаг 1 φ1*(n1)=рi, или φ1*(n1) =n2, где n2< n1.
шаг 2 φ2*(n2)=рi,  или φ2*(n2)=n3, где n3< n2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
шаг k φk*(nk)=рi  
Итак, любая логика Ł_n+1 перерабатывается в предполную Ł_р+1 логику приведенным выше алгоритмом. Например, логика Ł₁₃₈₊₁ перерабатывается в Ł₁₃₊₁ логику, при этом
k = 4.  
В итоге, функция φk*(n) порождает в натуральном ряде бесконечную последовательность простых чисел [Карпенко]
2,2,3,3,5,3,7,5,7,5,11,5,13,7,7,7,17,7
19,7,13,11,23,7,13,13,19,13,29,7,31,….

Точно такая же последовательность содержится в интернетовском сайте Н. Слоана «Энциклопедия числовых последовательностей» [Sloane & Plouffe. 1995].
Из существования указанного алгоритма следует, что функция индуцирует разбиение множества логик Ł_n+1 на классы эквивалентности по отношению ≈, т.е. Ł_n1+1 ≈ Ł_n2+1.

Это возможно тогда, когда существуют k, l такие, что . Отсюда в каждом классе эквивалентности содержится одна и только одна предполная логика Ł_ps+1 , где ps – s-е по порядку простое число. Сами классы обозначаются посредством Х_рs+1, например,
Х_р3+1 = {6, 9, 11, 13}, где р₃ = 5.

Пример. Пусть значение φ(n) = m = 36. Нас интересуют те значения аргумента n, которые соответствуют результату m, т.е. значения обратной функции Эйлера. Чтобы получить простые числа р, для которых (р – 1) | m, выпишем все делители m; затем к каждому из них прибавим 1. В списке оставим только простые числа. Итак, 36 = 2²∙3², поэтому делителями числа 36 являются числа 1,2,3,4,6, 9,12,18,36. Суммирование их с 1 дает: 2,3,5;4,7,13;10,19,37.
Простые числа из этого списка выпишем в обратном порядке: 37,19,13,7,5,3,2 (8 чисел).
Допустим, что нам известны значения функции φ^-1(х) для всех х < 36. Будем далее использовать следующие множества:

Тогда для построения классов имеем следующую таблицу вычислений:

Для следующего шага нам потребуются все нечетные элементы из φ^-1(36), которые уже вычислены. В итоге, φ^-1(36) = {37,57,63,74, 76, 108,114,126} (8 чисел).
Наличие эффективного метода построения множества значений φ^-1(m) обеспечивает построение алгоритма, который по любой предполной логике Ł_р+1 строит ее класс эквивалентности Хр+1. Алгоритм представляется шагами, пусть m есть некоторое простое число.
шаг 1 φk*^-1(P) = {ve}₁∪{vо}₁ поскольку φ^-1(р – 1) = {ve}₁∪{vо}₁, где {ve}₁ есть множество четных значений и  {vо}₁ есть множество нечетных значений, исключая р. Значения в {ve}₁ на каждой стадии алгоритма отбрасываются, поскольку ve – 1, как нечетное число, не может быть значением функции Эйлера φ(n). Если класс {vо – 1}₁ пуст, как, например, в случае φk*^-1(3) или φk*^-1(5), то φ2*^-1(vо)1 = Ø. Следовательно, класс эквивалентности Хр построен; в ином случае имеем:
шаг 2  φ2*^-1(vо)1= {ve}₂∪{vо}₂
:
шаг k  φk*^-1(vо)k-1 = {ve}_k∪{vо}_k. Если φk*^-1(vо)k ≠ Ø, тогда
:
шаг l. где l ≥ k.
Пример. Для примера возьмем предполную логику Ł₃₇₊₁. Ранее было установлено
φ^-1(36) = {37,57,63,74, 76, 108,114,126}, т.е. φ*^-1(37) = {57,63}∪{74,76,108,114,126}, где
(vо)1={57,63} и {ve}₁={74, 76, 108, 114, 126}. Рассмотрим φ*^-1(57) и φ*^-1(63). Поскольку множество значений φ*^-1(63) = Ø, так как число 62 не является значением функции φ(n), то остается φ*^-1(57). Находим, что φ^-1(57) = {87} ∪ {116,174}, где (vо)2 = {87} и (ve)2= {116, 174}. Поскольку φ^-1(57) = {87} = Ø, то на этом построение Х₃₇ завершается.

Графы для простых чисел

Необходимо выполнить переход от классов эквивалентности логик Лукасевича Хр+1 к классам эквивалентности Хр, что приводит к разбиению Натурального ряда чисел (НРЧ) на классы эквивалентности, такие, что в каждом классе содержится одно и только простое число. Метод такого разбиения дает способ представления каждого простого числа в форме связного, ациклического графа, с одной выделенной вершиной. Этот граф называется корневым деревом, которое обозначается посредством Тр. Корнем дерева Тр является само р, а множеством вершин – множество элементов Хр. Таким образом от логик Лукасевича осуществляется переход непосредственно к самим простым числам. Приведем изображения нескольких деревьев-графов для первых 5 простых чисел

Матричная логика К_n+1 для простых чисел и классы эквивалентности

Можно построить такую матричную логику К_n+1, которая имеет класс тавтологий тогда и только тогда, когда n есть простое число. По своим функциональным свойствам К_n+1 совпадает с логикой Лукасевича Ł_n+1 для случая, когда n есть простое число. В 1936г. для логик Лукасевича был найден штрих Шеффера (McKinsey), что доказывало эквивалентность множеств функций в этой логике. (В 1969 г. Rose A. замечает, что штрих Шеффера существует не для каждого множества функций).
В логике К_n+1 удается построить штрих Шеффера для простых чисел и в результате получаем формулу, в которую штрих Шеффера входит 53*79*2887*53611= 648 042 744 959 раз. Логика К_n+1 определяет класс тавтологий алгебро - логических полиномов, каждый из которых описывает алгоритм вычисления простых чисел. Рассмотрение комбинации двух матричных логик К_n+1 и К’_n+1 позволяет определить закон порождения классов простых чисел. Эти классы содержат все простые числа. Таким образом, множество простых чисел разбивается на определенные классы эквивалентности, задаваемые некоторыми свойствами импликации Лукасевича.

Функциональные свойства логики К_n+1ⱽ

В этом разделе приведем тексты теорем и следствий без доказательств и деталей:
Теорема 1. Для любого n≥3, n есть простое число тогда и только тогда, когда n ϵ К_n+1.
Теорема 2. Для любого n≥3 такого, что n есть простое число К_n+1 = Ł_n+1.
Теорема 3. Для любого n≥3, n есть простое число тогда и только тогда, когда К_n+1 = Ł_n+1.
Теорема 4. Для любого n≥3, n есть простое число тогда и только тогда, когда n ϵ К’_n+1.
Теорема 5. Для любого n≥3 такого, что n есть простое число К’_n+1 = Ł_n+1.
Теорема 6. Для любого n≥3, n есть простое число тогда и только тогда, когда К_n+1 = К’_n+1.
Теорема 7. Каждое простое число (кроме 2) содержится в некотором классе Рi.
Гипотеза. Каждый класс Рi конечен.

Посредством Рi обозначен класс простых чисел, при которых Di = х → у. В силу идемпотентности операции → замена дизъюнкции ˅ на → сохраняет значения обоих членов дизъюнкции. Отсюда следует, что класс Р_{i -1} содержится в классе Рi. Тогда имеем:
Ро = {3, 5, 7, 11, 13},
P1 = Pо ∪ {17, 19},
P2 =P1∪{23, 29, 31, 41, 43, 53, 59, 61}, программа для ПК позволяет продолжить
P3 =P2∪{37, 47, 109}. Класс Р4 содержит новые простые числа в количестве 51, класс Р5 содержит 21 новое простое число.
Таким образом, для каждого n импликации Лукасевича х → у соответствует свой новый класс простых чисел. Получаем разбиение множества простых чисел на классы эквивалентности относительно числа итераций. Такое разбиение простых чисел напрямую связано со свойствами импликации Лукасевича. На самом деле эти классы простых чисел были открыты в 1982 г., но результат не публиковался (в силу незавершенности исследования). Понадобилось более 10 лет, чтобы поиски штриха Шеффера для К_n+1 привели к открытию идемпотентной функции х → у.

Заключение
Рассмотренные положения и факты свидетельствуют о существенном внимании ученых к исследованию натурального ряда чисел, простым числам в нем и о последних достижениях в этом направлении.

Литература
1. Łukasiewicz J. O logice trojwartosciowey. Ruch Filozoficzny. T.5.
2. Мак- Нотон Р. Теорема о бесконечнозначной логике высказываний //Кибернетический сб.1966. №3. С.59-78.
3. Бочвар Д.А., Финн В.К. О многозначных логиках, допускающих формализацию анализа антиномий // Исслед. По математической лингвистике, математической логике и информационным языкам. М.: Наука,1972. С. 238-295.
4. Карпенко А.С. Логики Лукасевича и простые числа. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ» 2009. –256с.