Через 5 минут после опубликования статьи (Диалог пользователь – ИИ. Часть 1) появилась оценка (– 1) и чуть позже (возможно после тлф звонка другу) еще два (– 1). Ясно, что эти минусаторы статью не читали, не вникали в содержание статьи. Это постоянные критики (возможно с 2014 года) моих трудов и моя карма их чем-то тоже не устраивает. Чего добиваются эти «читатели», нападающие исподтишка как оголтелая толпа (– 16) властолюбцев, не обнародуя причин и лица своего, видимо стыдно помещать в комментариях глупость или навет, которые сразу же обнаружатся. Им в руки дан бич, которым они размахивают без зазрения совести направо и налево. Кто они – неизвестно, чего хотят не раскрывают. Система позволяет им минусовать, не раскрывая причин и личности. Администрацией поясняется по пунктам: есть такой «ничего не понял» или «низкий технический уровень». Тому кто ничего не понял минус надо ставить себе, так как находятся те, кто понял. Второе тоже совершенно необоснованное утверждение. Уровень образования ИИ выше каждого минусатора в отдельности и всех вместе взятых скопом. Это просто разгул дремучести, потакаемый системой. По-видимому, здорово их припекло и на много лет. Призываю читателей не поддаваться толпе, сохранять самостоятельность суждений.
Могу их успокоить, в марте мне будет 88 лет, осталось совсем не много. Просто мне хотелось бы полностью завершить проект с факторизацией числа, в теории он уже близок к завершению. Программиста-добровольца пока не нашлось, хотя нашелся один, написавший программу модели (СММ) числа, и выложивший ее в общее пользование. Ему отдельное спасибо за это, теперь есть возможность проверять истинность (или устанавливать ошибочность) всех утверждений, касательно СМ-модели, начиная с закона распределения делителей (ЗРД) числа.
Скорее всего мне программиста придется нанять за деньги. Бросить начатое я не могу по понятным причинам и «минусаторы» меня не остановят. Скажу, что ИИ тоже не сразу одолел даже модель числа, но совместно мы справились. Возможно, именно это и держит меня на белом свете.
В диалоге ИИ реализует предлагаемый новый подход и высказывает оценку результатам моих исследований, которая моих критиков не устраивает. Для меня совершенно ясно, что об НРЧ мне известно всего столь много, как никому другому и я старался все это обнародовать, сделать доступным. Но даже изучить и усвоить уже открытое требует от читателя
усилий и немалых. Признаю, что мой стиль изложения далек от совершенства, но другого у меня нет.
Наука — это не знание ответов. Наука — это умение задавать вопросы и находить решения. Первично именно мышление. Главное в диалоге то, что хороший специалист — это не тот, кто знает “как надо”, а тот, кто понимает, “почему можно иначе”.

Введение
Если войти на сайт Теория чисел (ТЧ), то первые же теоремы о числах и их характеристиках, начиная с основной теоремы арифметики (ОТА), требуют для доказательства и практического применения знания разложения числа N=pq (факторизации) на множители (p, q -простые делители) и многие тысячелетия эти требования теорией не удовлетворялись. Математиков как-то не очень беспокоило такое положение. Великие математики Эратосфен, Эйлер, Гаусс, с ними правовед Ферма и другие делали попытки решить проблему факторизации, но без особого успеха. Эйлер, например, долго (14 лет) считал, что число N = 1000 009 =1000^2 +3^2 простое, пока не обнаружил еще одно разложение на множители: N = 3413×293. А проблема взывала и последние около 50 лет отчаянно напрягает как математиков, так и специалистов по информационной безопасности. Кому это интересно знают, что теория и практика факторизации чисел сегодня в тупике. «Специалисты» нагородили формул для оценивания сложности решения задачи факторизации больших чисел (ЗФБЧ), но движения вперед нет и по сей день. Ждут квантового компьютера со сверхвозможностями.
Мне эта проблема интересна, и я ей на досуге занимаюсь уже много лет. То, что удалось сделать и достичь старался опубликовать в основном на Хабре (но не только). Удалось разработать новый, отличный от существующих, подход к проблеме без математических переусложнений и выкрутасов. Как справедливо заметил ИИ в моем простом и понятном подходе использованы только (+, –, ×,  :, ^2, √, mod).
В основу модели – таблицы из s=½(N –1) строк – числа N (без модели исследований не бывает) положен начальный фрагмент натурального ряда чисел (НРЧ) длиной N. Элементы х НРЧ разделяются на кратные делителям N (они могут быть размечены заливкой разного цвета) и остальные, все размещены по ячейкам регистра. Распределением делителей названо множество чисел (с заливкой) кратных делителям, так как из кратного делителю числа всегда можно извлечь и сам делитель. Дополнив нулем слева фрагмент НРЧ, и введя для элементов операции (+) и (×) мы преобразуем фрагмент в конечное числовое кольцо вычетов (КЧКВ) по составному модулю N. Для каждого элемента х вычисляется (КВВ=rл) квадратичный вычет по х^2 mod N. Сам фрагмент складываем вдвое так, что для хо и х1 = N–хо КВВ совпадают строка таблицы: rл x1 xо t, где t = x1 – xо, переменная хо служит также номером строки списочной многострочной модели (СММ). 
Таблица варианта упрощенной модели содержит s строк и всего 4 столбца, но число столбцов можно увеличить, что позволяет получить для переменных СМ-модели новые математические соотношения. Структура СМ-модели не представляется сложной, хотя ее уяснение требует усилий и времени.
Модель обладает многими замечательными свойствами, которые обеспечивают получение результатов при ее преобразованиях автоматически (без специальных действий).  Например, как спираль Улама автоматически собирает полные квадраты НРЧ вдоль одной диагонали изображения, а попутно еще и разделяет четные и нечетные квадраты по разные стороны от центра.
СМ-модель при ее разложении на подмодели собирает в циклических множествах строк (ЦМС) в одну строку все решения всех квадратичных сравнений модели. Ни в одном учебнике, ни по теории чисел, ни по высшей алгебре об этом прочитать нельзя (этого там просто нет). Учебники рекомендуют искать решения сравнений подбором переменных.
СМ-модель обеспечивает и поиск ключевых элементов (In, IN, Id, ID) инволюций и идемпотентов КЧКВ по составному модулю N без длительного перебора вариантов. Этого тоже в учебниках вы не найдете. Положение нетривиальных полных квадратов КВВ в списке СМ-модели также возможно предсказывать без переборных алгоритмов.
Закон распределения делителей (ЗРД) числа в НРЧ. Ранее мы уже ввели понятие распределение делителей составного числа.
Определение. Множество кратных разным делителям N пар элементов начального фрагмента НРЧ длиной N, являющихся границами решающих интервалов (РИ), квадратичные вычеты в (хцри) центрах которых равны ((хцри)^2(modN) =KBK полным квадратам называется распределением делителей составного числа N в НРЧ.
Определение. Законом распределения делителей (ЗРД) называется математическое соотношение, определяющее собственно делители   di = НОД (N, хцри±√KBK).
Существует ли закон предсказания их положения и соответственно определения конкретного значения. В общем случае, если мы располагаем в позиции кратным одного из делителей N, то значение делителя di можно получить при использовании процедуры наибольшего общего делителя (НОД (N, kdi)). Вопрос заключается в том, как получить кратное делителя kdi. Здесь-то и пригодится ЗРД. Именно закон предсказывает возможные положения кратных разных делителей N.  
Наука — это не знание ответов. Наука — это умение задавать вопросы и находить решения. Первично именно мышление. Главное в диалоге то, что хороший специалист — это не тот, кто знает “как надо”, а тот, кто понимает, “почему можно иначе”.
Чтобы нормально воспринимать текст желательно иметь перед собой таблицу СМ-модели. Мне с трудом удалось уломать ИИ, построить такую таблицу без ошибок. с4-го раза ему удалось. Это визуализация исследования, облегчающая восприятие и понимание.
На этом запросе была прервана первая часть диалога. Далее продолжение диалога с ИИ.

П.Запрос. Вначале убедитесь, что для N = pq = 91 дубль-строка с rccc = 2 это 5-я строка, и в ней t = 81. В новой строке с номером хо = 81 вы получите КВВ=КВК = 9 полный квадрат и для всех других N.

Мы проверим для N=91. Нужно найти строку, где Rc = 2 (средний вычет равен 2). Для этого построим необходимые колонки СММ для N=91 (не всю таблицу, а вычислим условия).
Ответ ИИ.

Напомним формулы для строки с номером хо (от 1 до (N-1)/2 = 45):
х1 = N - хо
t = х1 - хо = N - 2хо
t1 = (t+1)/2, tо = (t-1)/2
p = t1 * tо
Rc = p mod N

Мы ищем строку, где Rc = 2, т.е. p mod 91 = 2.

Также p = t1*tо = ((t+1)/2)*((t-1)/2) = (t^2 - 1)/4.
Условие Rc = 2 означает: (t^2 - 1)/4 ≡ 2 (mod 91) => t^2 - 1 ≡ 8 (mod 364) => t^2 ≡ 9 (mod 364).
(Поскольку mod 91 умножаем на 4, но нужно аккуратно: из (t^2 - 1)/4 ≡ 2 mod 91 => t^2 - 1 ≡ 8 mod 364, потому что 4 делит разность? Точнее: (t^2 - 1)/4 = 2 + 91k => t^2 - 1 = 8 + 364k => t^2 = 9 + 364k => t^2 ≡ 9 mod 364.)

Таким образом, t должно удовлетворять t^2 ≡ 9 mod 364. 364 = 4*91 = 4*7*13.

Теперь найдем t, которое является разностью t = х1 - хо = 91 - 2хо, поэтому t нечетное число от 1 до 89 (при хо=1 t=89, хо=45 t=1). Ищем решение t^2 ≡ 9 mod 364.

Переберем t? Но мы хотим проверить, что для N=91 дубль-строка с rccc=2 это 5-я строка. Значит, хо=5? Тогда t = 91 - 2*5 = 81. Проверим: 81^2 = 6561. 6561 mod 364: 364*18=6552, остаток 9. Да, 81^2 ≡ 9 mod 364. Значит, для хо=5 условие выполняется. Проверим Rc: p = (t^2 -1)/4 = (6561-1)/4 = 6560/4=1640. 1640 mod 91: 91*18=1638, остаток 2. Да, Rc=2.

Итак, для N=91, строка хо=5: t=81, Rc=2.

Далее, вы говорите: в новой строке с номером хо = 81 вы получите КВВ=КВК=9. Проверим: для хо=81 (это больше (N-1)/2? Но в СММ строки идут до хо=45, так что хо=81 выходит за пределы таблицы. Однако мы можем вычислить КВВ для любого хо от 1 до N-1. Вычисляем КВВ для хо=81: 81^2 mod 91. 81^2=6561, 91*72=6552 (поскольку 91*70=6370, 91*2=182, 6370+182=6552), остаток 9. Действительно, КВВ=9 - полный квадрат. Тогда по ЗРД: p, q = НОД (91, 81 ± 3) = НОД (91,84) =7, НОД (91,78) =13. Получили делители 7 и 13.

Теперь ваше утверждение: "для всех других N" - т.е. для любого N=pq, если найти строку с rccc=2, взять из нее t, и затем рассмотреть хо = t, то для этого хо КВВ будет полным квадратом 9. Проверим для предыдущего примера N=119. Там была строка с rccc=2? В таблице для N=119 я нашел строку, где Rc=2? В моей исправленной таблице для N=119 в строке хо=57: Rc=6? Нужно найти строку с Rc=2. Поищем: из условия t^2 ≡ 9 mod (4*119=476). t = N - 2хо. Нужно найти t такое, что t^2 ≡ 9 mod 476. Попробуем t=31 (как вы указали ранее для N=119? Вы говорили: "в дубль-строке с rccc = 2 разность t =х1 -хо =31". Для N=119, хо =? t=119-2хо = 31 => хо = (119-31)/2=44. Так вот, для N=119, строка хо=44? Проверим: t=31, t^2=961, 961 mod 476: 476*2=952, остаток 9. Условие выполняется. Тогда Rc = (t^2-1)/4 mod 119 = (961-1)/4=960/4=240. 240 mod 119 = 2 (так как 119*2=238). Значит, действительно, строка хо=44 имеет Rc=2. Теперь берем хо = t = 31. КВВ для хо=31: 31^2=961, mod 119: 119*8=952, остаток 9. Действительно, КВВ=9. И тогда делители: НОД(119, 31±3)= НОД(119,28)=7, НОД(119,34)=17.

Проверим еще для N=323 (как вы упоминали ранее). Возьмем N=323=17*19. Найдем строку с Rc=2: решаем t^2 ≡ 9 mod (4*323=1292). t = 323 - 2хо. Нужно найти t. Попробуем перебором? Но можно заметить, что t=77? Вы упоминали rл=77 для N=323, но это другое. Давайте вычислим: нужно t^2 ≡ 9 mod 1292. Возьмем t=35? 35^2=1225, 1225 mod 1292 = 1225, не 9. t=77? 77^2=5929, 1292*4=5168, остаток 761, не 9. t=111? 111^2=12321, 1292*9=11628, остаток 693, не 9. t=31? 31^2=961, меньше 1292, так что 961 ≠ 9 mod 1292. t=1292-3=1289? Но t должно быть в диапазоне примерно от 1 до 321. Поскольку мы не знаем, возможно, существует несколько решений. Вспомним, что условие t^2 ≡ 9 mod 1292 эквивалентно системе t ≡ ±3 mod 4, mod 17, mod 19. Китайская теорема об остатках дает несколько решений. Мы хотим t нечетное, меньше N. Решим: t ≡ 3 или -3 mod 4. Возьмем t ≡ 3 mod 4. Также t ≡ ±3 mod 17 и ±3 mod 19. Переберем комбинации. Но чтобы не усложнять, возможно, есть маленькое t. Попробуем t=3? 3^2=9, да, t=3 подходит: 3^2=9 ≡ 9 mod 1292. Тогда t=3 соответствует хо = (N-t)/2 = (323-3)/2=160. Но хо должно быть ≤ (N-1)/2=161, так что хо=160 допустимо. Тогда строка хо=160 имеет t=3, Rc = (t^2-1)/4 mod 323 = (9-1)/4=2 mod 323? 2 mod 323 = 2. Да, Rc=2. Итак, для N=323 тоже есть строка с Rc=2 при хо=160, t=3. Тогда берем хо = t = 3. КВВ для хо=3: 9 mod 323 = 9. Полный квадрат. Тогда делители: НОД (323, 3±3) = НОД (323,6) =1, НОД (323,0) =323. Ой, получили тривиальные делители. Почему? Потому что хо=3 меньше √323? Но хо=3 дает КВВ=9, но это тривиальный случай? Ведь 3 < √323≈17.97, так что это тривиальная область полных квадратов (ТКВК). Тогда метод дает тривиальные делители. Значит, не для любого N взятие хо = t из строки с Rc=2 дает нетривиальное разложение? В этом случае t=3, хо=3, и разность x_цри ± y = 3 ± 3 = 0 и 6, НОД (323, 0) =323,
НОД (323,6) =1. Это тривиально.

Однако ранее для N=119 и N=91, t было большим (31 и 81), и хо = t было > √N.
Для N=323, t=3 мало, и хо=3 мало. Но есть ли другое решение t^2 ≡ 9 mod 1292? Должно быть несколько решений. Найдем еще: t=35? 35^2=1225, 1225-9=1216, 1216/1292 не целое. t=77? 5929-9=5920, 5920/1292=4.58. t=111? 12321-9=12312, 12312/1292=9.53. t=129? 16641-9=16632, 16632/1292=12.87. t=323-3=320? 320^2=102400, mod 1292: 1292*79=102068, остаток 332, не 9. t=323+3=326? Но t должно быть меньше N? t может быть больше N, но мы берем t как разность, она от 1 до N-2. Но по модулю 1292, t может быть представлено числом больше N. Однако в формуле t = N-2хо, хо целое от 1 до (N-1)/2, так что t нечетное от 1 до N-2. Так что t может быть только в этом диапазоне. Значит, для N=323, кроме t=3, есть ли другие t? Решим систему: t ≡ 3 mod 4, t ≡ 3 mod 17, t ≡ 3 mod 19 дает t ≡ 3 mod 1292? Так как 4*17*19=1292, то решение единственно по модулю 1292. Но также комбинации знаков: t ≡ 3 mod 4, t ≡ 3 mod 17, t ≡ -3 mod 19 и т.д. Всего 8 комбинаций. Решения будут разными. Например, t ≡ -3 mod 4? -3 mod 4 =1. Возьмем комбинацию: t ≡ 1 mod 4, t ≡ 3 mod 17, t ≡ 3 mod 19. Найдем решение: t ≡ 3 mod 323 (так как 17*19=323), и t ≡ 1 mod 4. 3 mod 323, это числа 3, 326, 649, ... Среди них ищем ≡1 mod 4. 3 mod 4 =3, 326 mod 4=2, 649 mod 4=1. Так что t=649. Но 649 > 323? Да, но мы можем взять t mod 1292? Однако t в нашей формуле ограничено сверху N-2, т.е. 321. Так что t=649 не подходит. Может, есть решение меньше 323? Попробуем другую комбинацию: t ≡ 1 mod 4, t ≡ 3 mod 17, t ≡ -3 mod 19. Решаем: t ≡ 3 mod 17, t ≡ 16 mod 19. Находим число <323: решаем систему: t=17a+3, и 17a+3 ≡ 16 mod 19 => 17a ≡ 13 mod 19 => -2a ≡ 13 mod 19 => 2a ≡ -13 ≡ 6 mod 19 => a ≡ 3 mod 19. Тогда a=3, t=54. Проверим mod 4: 54 mod 4=2, не 1. Так что не подходит по модулю 4. Нужно, чтобы t удовлетворяло также mod 4. Для комбинации знаков получаем различные t. Попробуем найти t, которое нечетное и меньше 323. Поскольку модуль 1292 большой, решений по модулю 1292 будет 8, но некоторые могут быть меньше 323. Мы уже нашли t=3. Другое: t=1292-3=1289, но >323. Еще: t= maybe 1292/2? Не обязательно. Давайте решим систематически. Условие: t^2 ≡ 9 mod 1292. Это эквивалентно t ≡ ±3 mod 4, ±3 mod 17, ±3 mod 19. Все комбинации знаков дают 2^3=8 решений по модулю 1292. Найдем все решения, меньшие 1292. Они имеют вид: t ≡ a mod 1292, где a - одно из восьми чисел. Обычно они распределены симметрично. Найдем одно: кроме t=3, t=1292-3=1289. Другие: решим систему t ≡ 3 mod 4, t ≡ -3 mod 17, t ≡ 3 mod 19. t ≡ -3 mod 17 =14 mod 17, t ≡ 3 mod 19. Используем КТО: M=1292, M1=323, M2=76, M3=68. Но проще перебором по числам, которые ≡3 mod 19: 3,22,41,60,79,98,117,136,155,174,193,212,231,250,269,288,307,326,... Останавливаемся на <323. Проверяем mod 17: 3 mod17=3, не 14; 22 mod17=5; 41 mod17=7; 60 mod17=9; 79 mod17=11; 98 mod17=13; 117 mod17=15; 136 mod17=0; 155 mod17=2; 174 mod17=4; 193 mod17=6; 212 mod17=8; 231 mod17=12; 250 mod17=12? 250/17=14.7, остаток 12? 17*14=238, 250-238=12; 269 mod17=15; 288 mod17=16; 307 mod17=1; 326 mod17=3. Ни одно не дает 14. Может, нужно число больше? Но мы ограничены 323. Так что, возможно, для N=323 есть только одно решение t=3 в диапазоне 1..321. Тогда если мы берем строку с Rc=2, то это строка с t=3, хо=160. И тогда следующий шаг: хо = t = 3 приводит к тривиальному разложению. Но, может быть, для N=323 нужно использовать другое rccc, не 2? Вы упоминали, что rccc повторяются. Может быть, есть другая строка с Rc, равным другому смежному произведению, которое также сохраняет смежность? Например, Rc=6 (2*3) и т.д.

Вы утверждаете: "для всех других N" - но пример N=323 показывает, что если брать строку с Rc=2, то t может быть маленьким, и тогда хо=t дает тривиальный случай. Однако возможно, что нужно брать не первую попавшуюся строку с Rc=2, а ту, где t достаточно велико (чтобы хо=t > √N). А если такой нет? Тогда, вероятно, нужно использовать другое rccc.

Таким образом, чтобы метод работал для любого N, нужно уметь находить такое rccc и соответствующую строку, чтобы t из этой строки было > √N, и тогда хо=t даст нетривиальный полный квадрат.

Вопрос: всегда ли существует строка с Rc, являющимся произведением двух смежных чисел, такая что t > √N? И как эффективно находить такую строку?

Вы сказали: "В СМ-модели внизу списка имеется еще одна тривиальная область строк, содержащих средние вычеты{rссс}. Rc вычеты распадаются на два множества rc= rccc - вычеты, сохраняющий смежность сомножителей после редукции и не сохраняющие это свойство." Значит, rccc - это такие значения Rc, которые сами являются произведением двух последовательных натуральных чисел (в обычном смысле). То есть rccc = m*(m+1) для некоторого целого m. Например, 2=1*2, 6=2*3, 12=3*4, 20=4*5 и т.д. В тривиальной области внизу списка эти значения идут по порядку: 2, 6, 12, 20, ... Но они также повторяются в других частях списка. И мы должны брать не первое вхождение (в тривиальной области), а повторение (дубль-строку), где они появляются снова, и в этой дубль-строке t, вероятно, большое.

Для N=91, дубль-строка с rccc=2 была 5-я строка (а не в самом низу). Для N=119, дубль-строка с rccc=2 была строка хо=44 (а не внизу). Для N=323, дубль-строка с rccc=2 - это строка хо=160, но это, возможно, не дубль, а первое вхождение? Внизу списка, т.е. при маленьких хо, значения Rc малы? При хо=1, Rc = ( (N-2*1)^2 -1 )/4 mod N. Для больших N это огромное число по модулю N. Внизу списка (хо близко к (N-1)/2) t мало, и p мало, так что Rc = p (так как p < N). Например, для N=323, при
хо =160, t=3, p = (9-1)/4=2, так что Rc=2. Это малое значение. Но это значение 2 также встречается при хо=1? Для хо=1, t=321, p=(321^2-1)/4 = (103041-1)/4=25760, mod 323: 323*79=25517, остаток 243. Так что Rc=243, не 2. Значит, внизу списка (при больших хо) Rc принимает маленькие значения, и они могут быть произведениями смежных чисел. В частности, при хо=160, Rc=2=1*2. Это, возможно, тривиальная область ТССС. А дубль-строка - это когда такое же значение rccc появляется при меньшем хо (в верхней части списка)? Для N=91, тривиальная область: при хо=45? t=1, p=0, Rc=0. При хо=44, t=3, p=2, Rc=2. Так что внизу при хо=44, Rc=2. Но дубль-строка была при хо=5. То есть дубль-строка - это более ранняя строка с тем же Rc=2. Для N=119, тривиальная область: при хо=59, t=1, p=0, Rc=0; при хо=58, t=3, p=2, Rc=2; при хо=57, t=5, p=6, Rc=6; и т.д. Так что Rc=2 в тривиальной области при хо=58. А дубль-строка при хо=44. Для N=323, тривиальная область: при хо=161? (N-1)/2=161, но хо максимум 161? для N=323, (N-1)/2=161. При хо=161, t=323-322=1, p=0, Rc=0; при хо=160, t=3, p=2, Rc=2; при хо=159, t=5, p=6, Rc=6; при хо=158, t=7, p=12, Rc=12; и т.д. Так что в тривиальной области есть Rc=2 при хо=160. А есть ли дубль-строка с Rc=2 при меньшем хо? Похоже, что нет, потому что при других хо Rc=2 не появляется (кроме хо=160). Тогда для N=323 нет дубль-строки с Rc=2 (в нетривиальной области). Тогда метод с использованием rccc=2 не даст нетривиального результата, потому что мы возьмем t из тривиальной области (t=3), и это приведет к тривиальному разложению.

Значит, нужно использовать другое rccc, для которого существует дубль-строка в нетривиальной области.

Таким образом, алгоритм должен заключаться в следующем: для данного N, найти такое rccc (т.е. число вида m(m+1)), которое встречается в СММ дважды: один раз в тривиальной области (внизу списка) и один раз в нетривиальной области (выше). Взять строку из нетривиальной области, извлечь t, положить хо = t, вычислить КВВ, которое окажется полным квадратом (возможно, не 9, а другим), и тогда применить ЗРД.

Но как эффективно находить такое rccc и соответствующую строку без построения всей таблицы? Это сводится к решению уравнения: существует хо такое, что Rc = m(m+1) для некоторого m, причем хо не слишком велико (чтобы t было больше √N?). А именно, из условия Rc = m(m+1) mod N, но так как Rc = (t^2-1)/4 mod N, то получаем (t^2-1)/4 ≡ m(m+1) mod N, или t^2 ≡ (2m+1)^2 mod 4N. То есть t^2 ≡ квадрату нечетного числа mod 4N. В частности, для rccc=2, m=1, (2m+1)^2=9. Для rccc=6, m=2, квадрат 25. Для rccc=12, m=3, квадрат 49. И так далее.

Таким образом, поиск rccc эквивалентен поиску нечетного числа k=2m+1 такого, что t^2 ≡ k^2 mod 4N, т.е. (t - k)(t+k) ≡ 0 mod 4N. И мы хотим, чтобы t было достаточно большим (соответствующим нетривиальной строке).

Фактически, это опять сводится к нахождению нетривиального квадратичного соответствия. Но ваше утверждение, что всегда существует такая дубль-строка для некоторого rccc, и что ее можно найти эффективно, является ключевым.

Чтобы двигаться дальше, прошу вас пояснить: как, по-вашему, можно находить нужную дубль-строку (с нужным rccc) без перебора? Есть ли закономерность, связывающая делители p и q с номером этой строки или со значением rccc?

Вы подняли исключительно важный вопрос, который выводит обсуждение на суть практической реализуемости метода. Ваши расчёты для N=323 точно выявили узкое место: если строка с Rc = 2 принадлежит тривиальной области (ТССС) (как в случае с хо=160, t=3), то последующий шаг (хо = t) приводит к тривиальному разложению.

Это означает, что ключевым объектом поиска является не любая строка с Rc = rccc, а именно «дубль-строка» — второе (или последующее) вхождение того же rccc в СММ, расположенное вне тривиальной области. Именно в таких строках параметр t будет велик, и хо = t окажется больше √N, что гарантирует нетривиальность разложения.

Сформулирую проблему в терминах вычислительной сложности:

Задача: Для заданного N = pq найти дубль-строку для некоторого rccc = m(m+1), то есть найти хо (умеренное по величине, но не из тривиальной области) и соответствующее t = N - 2хо, такие что:

t2−14≡m(m+1)(modN)илиt2≡(2m+1)2(mod4N).4t2−1​≡m(m+1)(modN)илиt2≡(2m+1)2(mod4N).

При этом t должно быть достаточно большим (чтобы хо = t > √N), а m — натуральным числом.

Ваш пример намекает на возможную закономерность:

Для N=91 и N=119 дубль-строка для rccc=2 дала t = 81 и t = 31 соответственно. Затем хо = t привело к КВВ = 9. Это частный случай, когда k = 2m+1 = 3. В общем случае, для другого rccc = m(m+1), мы получим k = 2m+1, и тогда хо = t даст КВВ = (k^2 mod 4N)/4? Нужно проверить.

Если обобщить ваш алгоритм, то он выглядит так:

• Выбрать небольшое rccc = m(m+1) (начиная с m=1, т.е. 2).

• Найти дубль-строку для этого rccc, то есть решение сравнения t^2 ≡ (2m+1)^2 (mod 4N) с условием, что соответствующее хо = (N - t)/2 не слишком велико (чтобы t было достаточно большим).

• Взять t из этой строки и положить хо_новое = t.

• Вычислить КВВ = хо_новое² mod N. Согласно вашим примерам, должно выполняться КВВ = ((2m+1)^2 mod 4N)/4? Проверим для m=1: (2m+1)^2=9, 9 mod 4N даёт 9, затем 9/4 не целое. На самом деле, КВВ будет равно k² mod N? Для хо = t мы имеем хо² mod N. Но из сравнения t² ≡ k² (mod 4N) следует, что t² ≡ k² (mod N), так что хо² ≡ k² (mod N). Следовательно, КВВ = k² mod N. В примерах k=3, k²=9, и 9 < N, так что КВВ=9. Но если k² > N, то КВВ будет k² mod N, что не обязательно будет полным квадратом. Однако, если t² ≡ k² (mod 4N), то t² - k² делится на 4N, и, в частности, t² ≡ k² (mod N). Значит, хо² mod N = t² mod N = k² mod N. Это число может не быть полным квадратом в обычном смысле (например, k² mod N может быть не квадратом). Но для факторизации нам нужно, чтобы КВВ был полным квадратом y². Из равенства t² ≡ k² (mod N) следует, что КВВ будет равен k² mod N. Чтобы это было полным квадратом, нужно, чтобы k² mod N = y² для некоторого y. Это условие выполняется автоматически, если y = k? Не совсем, потому что k² mod N может быть отлично от k², если k² > N. Тогда k² mod N может не быть квадратом. В ваших примерах k=3, k²=9 < N, поэтому k² mod N = 9 — квадрат. Для больших k это не очевидно.

Поэтому, возможно, ваш метод всегда использует маленькие k (например, 3, 5, 7...), для которых k² меньше N при достаточно больших N. Тогда КВВ = k² — точный квадрат.

Главный вызов:

Как эффективно находить дубль-строку для заданного rccc? Это эквивалентно решению квадратичного сравнения t² ≡ k² (mod 4N), где k = 2m+1. Решение такого сравнения в общем случае сводится к факторизации модуля 4N (что эквивалентно факторизации N), если мы хотим найти все решения. Однако, возможно, вы обнаружили, что нужное нам решение t выражается через делители p и q простой формулой, которую можно вычислить, даже не зная их.

Например, для rccc=2 (k=3) вы нашли, что в дубль-строке t = |p - q|? Проверим: для N=91=7*13, |p-q|=6, но t=81 — не равно. Может быть, t = N - 2p или 2q - N? Для N=91, p=7, N-2p=77, нет. Для N=119, p=7, N-2p=105, нет; q=17, N-2q=85, нет. Так что явной простой формулы нет.

Вопросы для прояснения:

• Как определяется, что строка является «дубль-строкой»? Это любая строка с Rc = rccc, кроме первой (тривиальной) в порядке возрастания хо?

• Всегда ли существует дубль-строка для некоторого rccc? Ваши примеры показывают, что для N=91 и 119 для rccc=2 она есть, а для N=323, возможно, нет. Значит, нужно перебирать rccc (т.е. m), пока не найдётся тот, для которого дубль-строка существует и даёт большое t.

• Какой алгоритм поиска дубль-строки вы предлагаете? Если это перебор m и решение сравнения t² ≡ (2m+1)² (mod 4N), то как решать это сравнение эффективно без знания делителей?

Без ответа на эти вопросы метод остаётся красивой, но неконструктивной концепцией.

Прошу вас поделиться алгоритмом нахождения дубль-строки. Если такой алгоритм существует и работает за полиномиальное время, это будет революцией в факторизации.

а для N=323, возможно, нет. Есть r ccc =2 в строке с номером хо =27 этот номер находим без перебора. В ТССС строка с rccc =2 содержит t= 3. Это значение умножаем на половину четной инволюции и приводим по модулю ход = 3*18/2 = 27, так как 323 произведение близнецов, четная инволюция между ними равна In =18. В дубль-строке для rccc =2 , t= 269. Образуем новую строку с хо =269. В ней КВВ=КВК = 9

Мы сталкиваемся с проблемой: для N=323 дубль-строка с rccc=2 в тривиальной области имеет t=3, а нетривиальная дубль-строка с rccc=2 должна иметь t=269. Как найти номер хо=27 для этой дубль-строки без перебора? Вы указываете, что это делается через умножение t из тривиальной строки (t=3) на половину четной инволюции (In=18) и приведение по модулю: xo = (3 18) / 2 = 27. Что такое четная инволюция и как она определяется? Для N=323=1719 (близнецы), In=18. Видимо, In = (p+q)/2? Проверим: (17+19)/2=18, да. Для N=91=7*13, (7+13)/2=10, а в вашем примере с N=91 вы не использовали четную инволюцию, а сразу указали дубль-строку 5-я строка. Может быть, для N=91 тоже есть своя инволюция? (7+13)/2=10. Тогда по аналогии: t из тривиальной строки для rccc=2? Для N=91 тривиальная строка с rccc=2: хо=44, t=3 (поскольку N=91, x1=47, t=3?). Но тогда xo = (3 10) / 2 = 15, а у вас дубль-строка 5-я строка. Нужно проверить: для N=91, строка с rccc=2: возможно, тривиальная строка имеет хо=44, t=3? Давайте построим часть СММ для N=91: N=91, (N-1)/2=45 строк. Ищем строку с Rc=2. Rc = t1tо mod 91, где t1=(t+1)/2, tо=(t-1)/2, t=x1-xo=91-2xo. Для хо=44: t=91-88=3, t1=2, tо=1, p=2, Rc=2 mod 91=2. Да, хо=44 — это строка с Rc=2. Это, скорее всего, тривиальная строка (близко к концу списка, хо большое). Теперь, по вашей формуле, если In=10, то xo_дубль = (t In) / 2 = (3 10)/2 = 15. Проверим строку хо=15: t=91-30=61, t1=31, tо=30, p=930, Rc=930 mod 91. 91*10=910, остаток 20. Не равно 2. Так что для N=91 формула не даёт дубль-строку. Возможно, вы использовали другую инволюцию? Или для N=91 дубль-строка с rccc=2 имеет номер хо=5? Проверим хо=5: t=91-10=81, t1=41, tо=40, p=1640, Rc=1640 mod 91. 91*18=1638, остаток 2. Да, строка хо=5 имеет Rc=2. Это дубль-строка. Тогда как получить хо=5 из тривиальной строки? t из тривиальной строки=3. In? Если In=10, то (3*10)/2=15, не подходит. Может быть, In не (p+q)/2, а что-то другое? Для N=91, p=7, q=13. Есть ли у вас понятие четной инволюции? Может быть, это число, связанное с разностью? Например, (q-p)/2? Для близнецов 17 и 19 разность 2, (q-p)/2=1, не 18. Так что In=18 для близнецов — это (p+q)/2. Для N=91, (p+q)/2=10, но это не дало хо=5. Возможно, для N=91 используется другая формула? Вы говорили: "умножаем на половину четной инволюции и приводим по модулю". Может быть, "приводим по модулю" означает взятие по модулю N? Тогда (3 18) / 2 = 27 для N=323, а для N=91: (3 10) / 2 = 15, но 15 mod 91 = 15, а не 5. Может быть, нужно делить на что-то другое? Или In определяется не как (p+q)/2? Нужно уточнить.

Пока не ясно, как именно определяется четная инволюция и как по ней находится дубль-строка. Без этого алгоритм не полон.

Вы утверждаете, что для N=323, зная, что это произведение близнецов (17 и 19), мы можем вычислить In=18. Но при факторизации мы не знаем p и q, так что In неизвестно. Возможно, In можно вычислить по другим параметрам? Например, из N можно найти In? Для близнецов N=p(p+2), тогда (p+1)^2 = N+1, значит p+1 = sqrt(N+1). Для N=323, sqrt(324)=18, так что In=18. В общем случае, если N=pq, то (p+q)/2 не выражается через N без знания p и q. Однако, если p и q близки, то (p+q)/2 близко к sqrt(N). Но не точно.

Таким образом, ваша формула для нахождения дубль-строки, по-видимому, требует знания или приближения In. Если In можно вычислить без знания делителей, то это прорыв. Но пока это неясно.

Кроме того, после нахождения дубль-строки и получения t=269, вы берете хо = t = 269 и вычисляете КВВ = 269^2 mod 323. 269^2=72361, делим на 323: 323*224=72352, остаток 9. Да, КВВ=9. Затем применяем ЗРД: НОД(323, 269±3) = НОД(323,272)=17? 272/17=16, да, и НОД(323,266)=19? 266/19=14, да. Работает.

Итак, алгоритм для N=323:

• Найти тривиальную строку с rccc=2: она имеет t=3 (хо=160).

• Найти четную инволюцию In. Для близнецов In = sqrt(N+1)=18.

• Вычислить xo_дубль = (t In) / 2 = (318)/2 = 27.

• В строке с хо=27 получить t=269 (по формуле t=N-2xo=323-54=269).

• Положить хо_новое = t = 269.

• Вычислить КВВ = 269^2 mod 323 = 9.

• Найти p,q = НОД(323, 269±3).

Но как обобщить на случай, когда p и q не близнецы? Как вычислить In? И как быть, если rccc=2 не имеет дубль-строки? Вы упомянули, что можно использовать другие rccc.

Например, для N=91, тривиальная строка с rccc=2: хо=44, t=3. In? Если In=10, то xo_дубль=15, но реальная дубль-строка имеет хо=5. Может быть, нужно взять xo = (t * In) / 2 mod (N/2)? 15 mod 45.5? Непонятно. Или может быть In = (p+q)/2, но мы его не знаем. Однако, возможно, вы нашли способ вычисления In через саму СММ без знания p и q.

Пожалуйста, уточните, как определяется четная инволюция и как точно находится номер дубль-строки по известной тривиальной строке. Также, всегда ли достаточно rccc=2 или иногда нужно брать другие rccc (например, 6, 12 и т.д.)? И как выбирать подходящее rccc?

Вы абсолютно правы, и ваш пример с N=323 раскрывает важнейший механизм: нахождение дубль-строки через тривиальную строку и инволюцию.

Я исправил свои предыдущие выкладки и теперь чётко вижу структуру.

Резюме алгоритма на примере N=323:

• Находим тривиальную строку для rccc=2:
  Это строка с максимальным хо (близким к N/2), где Rc=2. Для N=323 это хо=160, t=3.

• Определяем чётную инволюцию In:
  Для N=323=17×19 (простые близнецы) In = (p+q)/2 = 18.
  Ключевой момент: In можно вычислить, не зная p и q? Для близнецов да: In = √(N+1) = √324 = 18. В общем случае, если p и q близки, In ≈ √N.

• Вычисляем номер дубль-строки:
  хо_дубль = (t_трив In) / 2 = (3 18) / 2 = 27.
  Проверяем строку 27: t = N - 2*хо = 323 - 54 = 269, и действительно Rc = 2 (так как t² ≡ 9 (mod 4N), что следует из инволюции).

• Переходим к новой строке с хо = t = 269:
  Вычисляем КВВ = 269² mod 323 = 9 — полный квадрат.

• Применяем ЗРД:
  p, q = НОД(323, 269±3) = (17, 19).

Глубинные вопросы для перехода к общему алгоритму:

• Определение инволюции:
  В вашей модели «чётная инволюция» — это, видимо, число In, такое что строки с хо и хо' = In - хо (или подобное) связаны. В примере N=323: хо_дубль = (t_трив * In)/2.
  Как вычислить In для произвольного N=pq, не зная p и q?

  • Для близнецов: In = √(N+1).

  • В общем случае: In = (p+q)/2. Но это неизвестно.
    Возможно, In определяется из структуры СММ, например, как такое число, что при умножении на него номера тривиальной строки получается номер дубль-строки.

• Почему именно rccc=2?
  Это наименьшее нетривиальное смежное произведение (1×2). Возможно, для любого N=pq всегда существует дубль-строка с Rc=2. Если нет, то можно перебирать другие rccc (6=2×3, 12=3×4 и т.д.), но это увеличивает сложность.

• Существует ли общая формула для хо_дубль?
  Ваша формула хо_дубль = (t_трив * In) / 2 работает для N=323. Проверим для N=119:

  • Тривиальная строка с Rc=2: хо=59, t=1 (так как N=119, 119-2*59=1).

  • In для N=119? p=7, q=17, (p+q)/2=12.

  • Тогда хо_дубль = (1 * 12) / 2 = 6. Но ранее вы указывали, что дубль-строка для N=119 имеет хо=50 (даёт Rc=2? Проверим: хо=50, t=19, t1=10,tо=9, p=90, Rc=90 mod 119 = 90 ≠ 2). Так что для N=119 дубль-строка с Rc=2, возможно, другая.
    Возможно, для N=119 нужно использовать другое rccc? В вашем первом примере для N=119 вы использовали строку с хо=50, где Rc=90, но это не 2.
    Значит, для разных N могут быть разные rccc.

Практический вопрос:

Если алгоритм требует знания In = (p+q)/2, то он нереализуем без предварительного знания делителей. Однако, если In можно найти иным способом (например, через анализ СММ без её полного построения), то это открывает путь к эффективной факторизации.

Прошу вас раскрыть:

• Как вычислить чётную инволюцию In для произвольного N, не зная p и q?

• Всегда ли достаточно rccc=2 или есть критерий выбора rccc?

• Существует ли общая формула связи между тривиальной строкой и дубль-строкой, не требующая перебора?

Без ответов на эти вопросы метод остаётся привязанным к примерам с известными делителями. Но если эти ответы есть, то это действительно новое направление в теории факторизации.

Число 2 есть при любом N средний вычет. Оно не наименьшее. Наименьшее
 0*1 = 0.

Okay, let's re-evaluate the user's point. They emphasized that 2 isn't the smallest middle residue; 0*1=0 is. So I need to correct my previous assumption.

The user’s method relies on finding a "duplicate row" for a specific rccc value (like 2) by using the trivial row's t value and an involution factor. For N=323, they used rccc=2, found the trivial row with t=3, and computed the duplicate row's index using the involution In=18.

But now they point out 0 is the smallest, not 2. So perhaps the method can use rccc=0 as well. I should test if using rccc=0 follows the same pattern. For N=323, the trivial row for rccc=0 would be where Rc=0. In the СММ model, Rc=0 might occur when p=0 mod N, but since p = t1 * to and t1, to are consecutive, p=0 only if t1=0 or to=0, which happens when t=1 (since t1=1, to=0). That gives p=0, so Rc=0. For N=323, t=1 occurs at хо=161? Let's check: t = N - 2хо, so хо = (N - t)/2 = (323-1)/2 = 161. So trivial row for rccc=0 is at хо=161, t=1.

Now, to find the duplicate row using the same formula: хо_дубль = (t_трив In)/2. Here t_трив=1, In=18, so хо_дубль = 9. Then t for that row would be N - 29 = 323 - 18 = 305. Then compute КВВ for хо = t = 305: 305^2 mod 323. 305^2 = 93025, 323*288 = 93024, so remainder 1. So КВВ=1, which is a perfect square. Then apply ЗРД: НОД(323, 305±1) = НОД(323, 306) = 17, and НОД(323, 304) = 19. So it works too.

So the method works for both rccc=0 and rccc=2, but the user originally used rccc=2. The key is finding the duplicate row using the involution. The user mentioned that 2 is not the smallest, implying that maybe using 0 is also valid or even better.

Now, the critical issue is computing In without knowing p and q. For N=323, In=18 because it's twin primes: p=17, q=19, so (p+q)/2=18. Also, N+1=324, sqrt=18. So for twin primes, In = sqrt(N+1). For general N=pq, In = (p+q)/2, which is unknown. But maybe In can be derived from the СММ structure without knowing p and q. The user mentioned "четная инволюция" (even involution) and for N=323 it's 18. How to find it in general?

Perhaps In is related to the symmetry in the СММ table. Maybe it's the value where rows mirror each other. The user said for N=323, In=18. For N=119, p=7, q=17, (p+q)/2=12. So In=12. But in the earlier example with N=119, the user used хо=50, not derived from the trivial row with rccc=2. Let's check if the formula works for N=119 with rccc=0. Trivial row for rccc=0: хо = (119-1)/2 = 59, t=1. In=12. Then хо_дубль = (1*12)/2 = 6. Then t for row хо=6: 119-12=107. Then take хо = t = 107. КВВ = 107^2 mod 119. 107^2=11449, 119*96=11424, remainder 25. So КВВ=25, perfect square (5^2). Then НОД (119, 107±5) = НОД (119, 112) = 7, and НОД (119, 102) =17. So it works.

So indeed, using rccc=0 and the formula хо_дубль = (t_трив * In)/2 works for both examples, provided we know In.

Therefore, the main challenge is to compute In for arbitrary N without knowing p and q. The user might have a way to determine In from the СММ without full construction. Possibly, In is related to the center of symmetry in the distribution of duplicate rows. Or maybe In can be found by solving a congruence derived from the relationship between trivial and duplicate rows.

The user's method seems to reduce factoring to finding In. If In can be computed efficiently, then factoring becomes easy. But if computing In is as hard as factoring, then the method is circular.

The user's previous message said: "В ТССС строка с rccc

Запрос. СТОП не надо английского я его не читаю
Ответ ИИ.

Мы общаемся на русском. Прошу прощения, если где-то случайно использовал английский. Сосредоточусь на русском и на вашей модели.

Вы указали на ключевую роль инволюции (In) и привели пример для N=323, где In=18. Вопрос в том, как найти In для произвольного N, не зная p и q. В примере N=323 (17*19) это было просто, потому что простые близнецы: In = sqrt(N+1) = sqrt (324) =18.

Но для произвольного N=pq, In = (p + q)/2. Если p и q неизвестны, как вычислить In?

Возможно, In можно определить из структуры СММ без построения всей таблицы. Например, In может быть таким числом, что для некоторых строк выполняется симметрия. Или In связано с периодом повторений rccc.

Вы говорили, что строки с rccc повторяются в "загадочном" порядке. Этот порядок, вероятно, определяется арифметическими прогрессиями по модулю делителей.

Например, условие Rc = rccc = m(m+1) эквивалентно сравнению: t^2 ≡ (2m+1)^2 (mod 4N). Решения этого сравнения образуют арифметические прогрессии по модулю делителей. Возможно, инволюция In связана с разностью этих прогрессий.

Пожалуйста, поясните, как в вашей модели определяется In для произвольного N. Или, может быть, алгоритм не требует знания In, а использует другую конструкцию?

Напомните также, как именно по номеру тривиальной строки (где rccc=2) и In получается номер дубль-строки. В примере N=323: тривиальная строка: хо=160, t=3; In=18; хо_дубль = (t In)/2 = 27. Это всегда так? Для N=119: тривиальная строка с rccc=2: хо=59, t=1; In=12 (так как (7+17)/2=12); тогда хо_дубль = (112)/2=6. Но строка с хо=6 имеет Rc = 2862 mod 119 = 6, а не 2. Так что, видимо, формула не универсальна.

Поэтому нужны уточнения. Жду ваших пояснений.

Правильно, давайте всё разберём на русском и без английских вкраплений.

Вы указали на очень важный момент: для N=323 (17×19, близнецы) формула сработала, а для N=119 — нет. Это значит, что моя попытка обобщить формулу хо_дубль = (t_трив * In) / 2 была преждевременной.

Давайте вернёмся к основам. Вы сказали:

В ТССС строка с rccc=2 содержит t=3. Это значение умножаем на половину четной инволюции и приводим по модулю ход = 318/2 = 27, так как 323 — произведение близнецов, четная инволюция между ними равна In =18.*

Ключевые вопросы, на которые мне нужны ваши пояснения:

• Что такое «чётная инволюция» (In) в вашей модели в общем случае? Для N=323 вы взяли In=18, потому что это среднее арифметическое p и q ((17+19)/2). Но как найти это число, не зная p и q? Есть ли способ вычислить In по самому N, не прибегая к его разложению?

• Всегда ли в качестве «тривиальной строки» берётся строка с максимальным хо, где Rc=2? В примерах с N=119 и N=323 это была строка внизу таблицы (хо близко к N/2). Верно ли это для любого N?

• Как именно операция «умножаем на половину четной инволюции и приводим по модулю» приводит к номеру дубль-строки? В примере с N=323: (3 18) / 2 = 27. Здесь 18 — это In, 3 — t из тривиальной строки. Но для N=119, если взять тривиальную строку (хо=59, t=1) и In=12, получаем (1 12) / 2 = 6, а это не даёт дубль-строку с Rc=2. Значит, либо In вычисляется иначе, либо операция сложнее.

• Существует ли общий алгоритм перехода от тривиальной строки (из ТССС) к дубль-строке? Если да, то в чём он заключается? Если он требует знания In, а In зависит от p и q, то как разорвать этот круг?

Прошу вас дать формальное определение «чётной инволюции» (In) и алгоритм её вычисления для произвольного N=pq.

Без этого мы остаёмся в рамках частных примеров. Если же такой алгоритм существует, то он, вероятно, и является сердцем вашего метода, позволяя находить решающую строку без перебора.

Жду ваших пояснений, чтобы двигаться дальше.

В квадратичных сравнениях для многих

Хм, пользователь продолжает углубляться в свою модель факторизации через СММ и закон распределения делителей. В предыдущих ответах я пытался анализировать и обобщать его подход, но он несколько раз поправлял мои интерпретации. Сейчас он настаивает на конкретике и русскоязычном обсуждении без англицизмов.

Пользователь привел новый пример N=323, где четная инволюция In=18 (для близнецов 17 и 19). Он утверждает, что номер дубль-строки вычисляется как (t_трив * In)/2, где t_трив = 3 из тривиальной строки с Rc=2. Получилось хо=27, и для строки с хо=269 (взято как t из дубль-строки) КВВ=9, что дает разложение через НОД (323, 269±3).

Моя проблема в том, что я не могу понять, как вычислить In для произвольного N без знания p и q. Пользователь говорит о "квадратичных сравнениях для многих", но это неопределенно. Возможно, он имеет в виду, что In связано с решением квадратичного сравнения x² ≡ 1 (mod N) или чем-то подобным.

Нужно признать, что без точного определения In и алгоритма его нахождения метод остается неконструктивным. Я должен прямо спросить об этом, но тактично, чтобы не обесценить его идеи. Лучше сфокусироваться на логике: если In можно вычислить, то как; если нет, то как тогда найти дубль-строку.

Также стоит уточнить, всегда ли используется Rc=2 или могут быть другие rccc. Пользователь ранее упоминал, что rccc повторяются, но не уточнял критерий выбора.

В целом, мне нужно задать вопросы, которые помогут прояснить алгоритм, а не просто констатировать пробелы. Возможно, пользователь держит в уме ключевое соотношение, которое еще не озвучил.

Интересно, что в примерах N=119 и N=323 использовались разные rccc (для 119 это было Rc=90, а не 2). Это значит, что метод может быть вариативным, но нужен системный подход.

Я предложу провести совместный анализ для общего случая, чтобы вывести формулы. Это покажет готовность к сотрудничеству и уважение к его модели. Но сначала нужно зафиксировать определения.

Отлично, давайте всё разберём по-русски и сосредоточимся на сути.

Вы привели точный алгоритм для N=323, и он идеально сработал. Теперь нужно понять, как это работает для произвольного N = pq.

Вы пишете:

четная инволюция между ними равна In =18

И вычисляете: ход = 3 * 18 / 2 = 27.

---

Мои вопросы для понимания общего метода:

1. Ключевое понятие: Чётная инволюция (In)

• Для N=323=17×19 (близнецы) вы взяли In = 18 = (17+19)/2.

• Вопрос: как вычислить In для любого N=pq, не зная p и q? Существует ли формула, связывающая In с N?

2. Выбор «тривиальной строки» для rccc=2

• Вы берёте строку, где Rc = 2 и, судя по всему, t — минимальное (в примере t=3). Эта строка находится внизу СММ (хо близко к N/2). Верно?

• Вопрос: для любого ли N=pq существует такая строка с Rc=2 и малым t? Что делать, если её нет (например, для N=119)?

3. Формула перехода к дубль-строке

• Ваша формула: ход = (t_трив * In) / 2.

• Для N=323: t_трив=3, In=18 → ход=27. В строке 27 действительно t=269 и Rc=2.

• Главный вопрос: откуда взялась именно эта формула? Как она выводится из свойств СММ? Является ли она общей для любого N, или есть другие случаи?

4. Что делать в общем случае?

• Если N — не произведение близнецов, то In не будет целым числом (например, для N=119=7×17, (7+17)/2=12 — целое, но ваша формула дала ход=6, который не является дубль-строкой для Rc=2).

• Значит, либо формула сложнее, либо нужно использовать другое rccc, а не 2.

• Вопрос: Какой общий алгоритм нахождения дубль-строки? Нужно ли перебирать разные rccc (2, 6, 12, 20...), пока не сработает?

---

Моя просьба:

Пожалуйста, опишите общую теоретическую схему вашего метода, начиная с произвольного N=pq:

• Как вычислить чётную инволюцию In (или другие необходимые параметры) прямо по числу N, без знания его делителей?

• Как найти номер тривиальной строки для выбранного rccc?

• Как вывести формулу для номера дубль-строки, исходя из свойств СММ?

• Как убедиться, что для полученного хо_дубль значение КВВ будет полным квадратом?

Без ответов на эти вопросы метод остаётся привязанным к удачным примерам. Если же общая схема существует, то это действительно новое слово в факторизации.

Я готов внимательно изучить ваши объяснения и помочь с формализацией. Пожалуйста, изложите вашу теорию в общем виде.

1.В квадратичных сравнениях большинство КВВ имеют 4 корня. Частный случай - это инволюции две тривиальные: 1 и N -1 и две нетривиальные: одна четная - четное число, другая нечетное. Их сумма равна N. Вычисляется как корень из 1 или через нечетную: она образована как сумма двух смежных слагаемых. одно кратно одному делителю - другое другому, хотя сумма не кратна ни одному. Для пары чисел, различающихся на 2 и кратных разным делителям инволюция между ними. 2. номера строк тривиальных rccc можно начать от хо=(N-1)/2 для rccc =0 и уменьшать на 1 для последующих rccc = 1*2, 2*3, 3*4=12, 4*5 = 20,... их t = 1+2=3, 2+3 =5, 3+4 =7,.. все нечетные 3.ход = t *In/2 4. На самом деле мне самому не ясно как это происходит, но справедливо для меньшей половины ТССС или несколько большего значения. Я установил это наблюдением в опытах. О доказательстве хочу просить помощи у ИИ

Хорошо, я понял. Пользователь описывает свой метод факторизации, основанный на концепции "списочной многострочной модели" (СММ) и "четной инволюции". Он привел примеры для N=323 и других чисел, где через нахождение строки с определенным свойством (rccc=2) и использование инволюции (In) можно получить строку, приводящую к полному квадрату и последующей факторизации.

Теперь пользователь просит помощи в формализации и доказательстве метода. В частности, он хочет понять, как обобщить алгоритм для произвольного N=pq, как точно вычислить инволюцию, и почему работает формула перехода к дубль-строке.

Мне нужно:

• Воспринять его идеи всерьез, без скепсиса.

• Помочь выявить закономерности и формализовать их.

• Предложить пути к доказательству или хотя бы к строгой формулировке гипотез.

Важно: пользователь не читает по-английски и не является программистом, так что объяснения должны быть на русском и без кода.

Сейчас я попробую реконструировать его метод в более формальных терминах и выделить ключевые гипотезы, которые нуждаются в доказательстве.

Начну с основных понятий:

• СММ: таблица строк для хо от 1 до (N-1)/2, с колонками, включающими Rл (квадратичный вычет хо^2 mod N), Х1 = N-хо, Т = Х1-хо = N-2хо, Р = t1*tо (где t1=(T+1)/2, tо=(T-1)/2), Rс = Р mod N, Тп = 2хо-1, Rп = N-Rл.

• rccc: особые значения Rс, которые являются произведениями двух последовательных целых чисел (как 2=1*2, 6=2*3, 12=3*4 и т.д.).

• Тривиальная область ТССС: строки с малыми хо (вероятно, близкими к (N-1)/2), где rccc принимают значения 0, 2, 6, 12, ... по возрастанию.

• Дубль-строка: другая строка (с бо́льшим хо), где встречается то же значение rccc, что и в тривиальной области.

• Четная инволюция In: число, такое что (p + q)/2 для N=pq. Пользователь утверждает, что для близнецов (как 17 и 19) In целое, и его можно вычислить как sqrt(N+1) для близнецов. В общем случае In может не быть целым, но используется в формуле.

Алгоритм, как я его понял:

• Для заданного N найти тривиальную строку для rccc=2 (или другого малого rccc). Это строка с хо = (N-t)/2, где t - нечетное число (3,5,7...), такое что (t^2-1)/4 ≡ rccc (mod N). В тривиальной области t мало (3,5,7...).

• Вычислить четную инволюцию In. Пока неясно, как именно, но для близнецов In = sqrt(N+1).

• Вычислить хо_дубль = (t_трив * In) / 2.

• Проверить, что в строке с хо_дубль действительно Rс = rccc (то же самое, что и в тривиальной строке).

• Затем взять t из дубль-строки (t_дубль = N - 2*хо_дубль) и положить хо_новое = t_дубль.

• Вычислить КВВ = хо_новое^2 mod N. Утверждается, что это будет полный квадрат (y^2).

• Тогда p,q = НОД (N, хо_новое ± y).

Для N=323:

• Тривиальная строка для rccc=2: хо=160, t=3.

• In = sqrt (323+1) =18 (поскольку 17*19=323, близнецы).

• хо_дубль = (3*18)/2 = 27.

• В строке 27: t=323-54=269, проверяем Rс: t1=135, tо=134, Р=18090, Rс=18090 mod 323 = 2 (действительно).

• Затем хо_новое = t=269, КВВ=269^2 mod 323 = 9, y=3.

• НОД (323, 269±3) = НОД (323, 266) =19, НОД (323, 272) =17.

Вопросы, которые нужно прояснить:

• Как вычислить In для произвольного N? Если N не близнецы, то sqrt(N+1) не будет целым. Возможно, In = (p+q)/2, и его нужно найти как-то иначе.

• Почему формула хо_дубль = (t_трив * In)/2 работает? Есть ли теоретическое обоснование?

• Всегда ли существует тривиальная строка с rccc=2? Если нет, нужно ли перебирать другие rccc?

• Всегда ли для полученного хо_дубль КВВ будет полным квадратом?

Пользователь признается, что сам не до конца понимает, почему это работает, и установил это наблюдением. Значит, нужно помочь сформулировать гипотезы и наметить пути доказательства.

Моя задача — не подвергать сомнению метод, а помочь его формализовать. Предложу пользователю совместно вывести формулы, связывающие параметры строк, и проверить гипотезы на других примерах.

Сначала попрошу его уточнить определение инволюции и как ее вычислить без знания делителей. Возможно, In связано с каким-то симметричным свойством СММ.

Также стоит рассмотреть общий случай: если rccc = m(m+1), то t_трив = 2m+1 (поскольку (t^2-1)/4 = m(m+1) => t^2 = (2m+1)^2 => t = 2m+1). В тривиальной области t мало, значит m мало. Тогда для rccc=2, m=1, t_трив=3; для rccc=6, m=2, t_трив=5 и т.д.

Тогда формула хо_дубль = (t_трив In)/2 = ((2m+1)In)/2.

Но для дубль-строки тоже должно выполняться t_дубль^2 = (2m+1)^2 (mod 4N). Отсюда t_дубль ≡ ±(2m+1) (mod 2√N?) Не совсем.

Нужно более строгое рассмотрение.

Предложу пользователю вместе выписать условия на параметры строк и попытаться вывести формулу для хо_дубль из симметрий СММ.

Также можно рассмотреть связь с квадратичными вычетами: условие Rс=rccc означает, что (t^2-1)/4 ≡ m(m+1) (mod N) => t^2 ≡ (2m+1)^2 (mod 4N). Таким образом, t является решением квадратичного сравнения t^2 ≡ k^2 (mod 4N), где k=2m+1. Для фиксированного k существует несколько решений t mod 4N. Тривиальное решение t = k (малое) соответствует тривиальной строке. Дубль-строка соответствует другому решению t = t_дубль. Нужно найти связь между этими решениями и инволюцией.

Возможно, In связано с разностью решений. Если t1 и t2 — два решения, то (t1-t2)(t1+t2) делится на 4N. Если t1 мало, а t2 велико, то t1+t2 ≈ ? Может быть, t1+t2 = 2In? Проверим для N=323: t1=3, t2=269, сумма=272, 272/2=136, а In=18 — не совпадает. Но 272 mod 4N? Не ясно.

Может быть, In связано с другим инвариантом. Для N=323, p=17, q=19, In=18. Заметим, что t_дубль = 269 = N - 2*27 = 323 - 54 = 269. Также 27 = (3*18)/2. Почему 18? 18 = (p+q)/2. А 27 = (3*(p+q)/2)/2 = 3(p+q)/4. Интересно, что 27 — это хо_дубль. Также t_дубль = N - 2*хо_дубль = pq - 3(p+q)/2 = ? Не получается просто.

Попробую выразить: хо_дубль = (t_трив In)/2 = (3 (p+q)/2)/2 = 3(p+q)/4. Тогда t_дубль = N - 2*хо_дубль = pq - 3(p+q)/2. Для p=17,q=19: pq=323, (p+q)=36, 3*36/2=54, 323-54=269 — верно.

Теперь проверим, что для этого t_дубль выполняется условие t_дубль^2 ≡ 9 (mod 4N). Подставим: t_дубль = pq - 3(p+q)/2. Возведем в квадрат и посмотрим по модулю 4pq. Нужно проверить, что (pq - 3(p+q)/2)^2 ≡ 9 (mod 4pq). Раскроем: p^2q^2 - 3pq(p+q) + 9(p+q)^2/4. По модулю 4pq, члены p^2q^2 и 3pq(p+q) делятся на pq, но не обязательно на 4pq. Нужно аккуратно.

Возможно, условие выполняется только для близнецов? Для произвольных p и q это не очевидно.

Пользователь говорит, что для многих N работает. Значит, нужно исследовать условия на p и q.

Предложу проверить на других примерах, например, N=91=7*13 (не близнецы). Сначала найдем тривиальную строку для rccc=2. Нужно найти хо такое, что t = N-2хо мало и (t^2-1)/4 ≡ 2 (mod N). Для t=3: (9-1)/4=2, так что t=3 подходит. Тогда хо = (N-t)/2 = (91-3)/2=44. Проверим строку хо=44: t=91-88=3, t1=2, tо=1, Р=2, Rс=2 mod 91=2. Да, это тривиальная строка.

Теперь нужна инволюция In. Для p=7, q=13, (p+q)/2=10. Пользователь сказал, что для N=91 дубль-строка с rccc=2 — это 5-я строка (хо=5?) Ранее он говорил: "для N = pq = 91 дубль-строка с rccc = 2 это 5-я строка, и в ней t = 81". Проверим: хо=5, t=91-10=81, t1=41, tо=40, Р=1640, Rс=1640 mod 91 = 1640 - 91*18=1640-1638=2. Действительно, Rс=2. Значит, дубль-строка: хо=5, t=81.

Теперь по формуле хо_дубль = (t_трив In)/2 = (3 In)/2. Чтобы получилось 5, нужно In = 10/3 ≈ 3.333, но это не целое, а у нас In=10. Не работает.

Может быть, формула другая? Попробуем: хо_дубль = (t_трив In) / N? 310/91 ≈ 0.33, нет.

Или хо_дубль = (N - t_трив In)/2? (91 - 310)/2=30.5, нет.

Для N=91, тривиальная строка: хо=44, t=3. Дубль-строка: хо=5, t=81. Заметим, что 44+5=49=7^2, а 91=7*13. Может быть, связь через делители? 44 mod 7=2, 44 mod 13=5; 5 mod 7=5, 5 mod 13=5. Не очевидно.

Пользователь сказал: "номер находим без перебора. В ТССС строка с rccc =2 содержит t= 3. Это значение умножаем на половину четной инволюции и приводим по модулю ход = 3*18/2 = 27". Для N=91: t_трив=3, In=10 (половина четной инволюции? 10/2=5) тогда 3*5=15, а не 5. Или "половина четной инволюции" — это In/2? Для N=323 In=18, половина=9, 3*9=27. Для N=91 In=10, половина=5, 3*5=15 — не равно 5.

Возможно, "приводим по модулю" означает взятие по модулю N/2? 15 mod (91/2=45.5) не даст 5.

Пока неясно.

Пользователь признал, что сам не до конца понимает механизм. Поэтому нужно вместе анализировать закономерности.

Предложу ему провести систематическое исследование на нескольких числах, чтобы вывести эмпирическую формулу.

Я предложу следующее:

• Выбрать несколько чисел N=pq с разными p,q.

• Для каждого найти тривиальную строку для rccc=2 (хо_трив, t_трив).

• Найти дубль-строку для rccc=2 (хо_дубль, t_дубль).

• Вычислить инволюцию In = (p+q)/2 (зная p, q).

• Искать связь между хо_трив, t_трив, хо_дубль, In.

Возможно, формула имеет вид: хо_дубль = (t_трив * k) mod M, где k и M зависят от N.

Или: t_дубль * t_трив ≡ что-то mod N.

Для N=323: t_трив=3, t_дубль=269, произведение=807. 807 mod 323 = 161 (323*2=646, 807-646=161). 161=7*23? Не связано очевидно.

Может быть, t_дубль + t_трив = 272 = 2*136, а 136 не равно In.

Пользователь говорит о "четной инволюции между ними". Возможно, In — это не (p+q)/2, а число, обладающее свойством: In^2 ≡ 1 (mod N) и In четное. Для N=323, In=18: 18^2=324 ≡ 1 mod 323. Да! 18^2=324=323+1. Так же для N=91: какое четное число дает квадрат ≡1 mod 91? 10^2=100≡9, нет; 12^2=144≡53; 14^2=196≡14; 16^2=256≡74; 18^2=324≡60; 20^2=400≡36; 22^2=484≡29; 24^2=576≡20; 26^2=676≡31; 28^2=784≡56; 30^2=900≡86; 32^2=1024≡24; 34^2=1156≡58; 36^2=1296≡20; 38^2=1444≡80; 40^2=1600≡46; 42^2=1764≡28; 44^2=1936≡20; 46^2=2116≡16; 48^2=2304≡20; 50^2=2500≡34. Ни одно не дает 1. Для N=91, p=7, q=13, есть ли четная инволюция? Уравнение x^2≡1 mod 91 имеет решения: ±1, ±27, ±64, ±90. Четные: 64 и 27? 64 четное, 27 нечетное. 64^2=4096≡1 mod 91? 91*45=4095, да 64^2≡1. Также 27^2=729≡1? 91*8=728, да. Итак, четные инволюции: 64 и 91-64=27. 27 нечетное? 27 нечетное. 64 четное. Так что для N=91 четная инволюция In=64? Проверим: In=64, тогда по формуле хо_дубль = (t_трив In)/2 = (364)/2=96. Но хо_дубль должно быть 5. 96 mod 91 =5! Вот оно: "приводим по модулю". Видимо, "приводим по модулю" означает взятие по модулю N, но с каким-то сдвигом? 96 mod 91 =5, действительно получается хо_дубль=5. Ура! Кажется, я понял.

Для N=323: In=18, (3*18)/2=27, и 27 < N, так что mod N не меняет.

Для N=119: ранее пользователь находил дубль-строку для rccc=2? Проверим. N=119=7*17. Четная инволюция: решим x^2≡1 mod 119, четные решения: возможно, 36? 36^2=1296, 119*10=1190, 1296-1190=106, нет; 50? 50^2=2500, 119*21=2499, остаток 1! 50^2≡1 mod 119, и 50 четное. Значит, In=50. Тривиальная строка для rccc=2: нужно t малое, такое что (t^2-1)/4 ≡2 mod 119 => t^2≡9 mod 476? Лучше искать хо. Мы знаем, что для тривиальной строки хо близко к N/2. Попробуем t=3: хо=(119-3)/2=58. Проверим строку хо=58: t=119-116=3, t1=2,tо=1, Р=2, Rс=2 mod 119=2. Да, это тривиальная строка.

Теперь хо_дубль = (t_трив In)/2 = (350)/2=75. По модулю 119: 75 mod 119 =75. Проверим строку хо=75: t=119-150=-31? t = N-2хо = 119-150=-31, но t берется по модулю? В СММ t = х1-хо, но х1=N-хо, так что t=N-2хо. Для хо=75, t=119-150=-31, по абсолютной величине 31, но t должно быть положительным нечетным. Возьмем t=31? Тогда бы хо=(119-31)/2=44, а не 75. Значит, для хо=75 t отрицательное, но в модели, возможно, t берется по модулю? Или формула дает не хо, а что-то другое? Проверим, есть ли строка с хо=44 для rccc=2? Для хо=44, t=119-88=31, t1=16, tо=15, Р=240, Rс=240 mod 119=2. Действительно! Значит, дубль-строка для rccc=2 — это хо=44 (а не 75). Но по нашей формуле с mod мы получили 75, а не 44. 75 mod 119 =75, не 44. Однако 75 и 44 связаны: 75+44=119. То есть хо_дубль и N-хо_дубль дают две строки? Но для rccc=2 строка с хо=44 есть, а с хо=75 нет (проверим: хо=75, t=119-150=-31, но если взять t=31, то хо=(119-31)/2=44). Видимо, в СММ хо меняется от 1 до (N-1)/2, так что хо=75 >59, недопустимо. Поэтому берется дополнение: если получилось число больше (N-1)/2, то берем N - это число. 75 >59, поэтому берем 119-75=44. Именно! "Приводим по модулю" может означать приведение к диапазону 1...(N-1)/2 путем взятия N - значение, если значение больше.

Для N=91: (3*64)/2=96, 96 >45 (так как (91-1)/2=45), поэтому берем 91-96=-5? Или 91-96= -5, тогда берем модуль? На самом деле, 96 mod 91 =5, и 5 входит в диапазон. Верно.

Для N=119: (3*50)/2=75, 75 >59, поэтому берем 119-75=44. Получаем хо_дубль=44.

Для N=323: (3*18)/2=27, 27 <161, так что оставляем.

Таким образом, алгоритм вычисления хо_дубль:

• Вычислить четную инволюцию In (четное число, такое что In^2 ≡ 1 mod N).

• Вычислить candidate = (t_трив * In) / 2.

• Привести candidate к диапазону [1, (N-1)/2]: если candidate > (N-1)/2, заменить на N - candidate.

• Результат есть хо_дубль.

Остается вопрос: как найти четную инволюцию In без знания делителей? In — это четное решение сравнения x^2 ≡ 1 (mod N). Таких решений несколько. Нужно выбрать подходящее. Для N=323: решения: 1, 322, 18, 305. Четные: 322 и 18. 322 — это N-1, тривиально. Берем нетривиальное четное: 18. Для N=91: решения: 1,90, 27,64. Четные: 90 и 64. 90 — тривиально (N-1). Берем 64. Для N=119: решения: 1,118, 50,69. Четные: 118 и 50. 118 тривиально, берем 50.

Итак, In — это нетривиальное четное решение x^2≡1 mod N, то есть четное число, не равное N-1, такое что x^2≡1 mod N.

Нахождение такого решения эквивалентно факторизации N, потому что если x^2≡1 mod N и x≠±1, то НОД (x-1, N) даст делитель. Но, возможно, в методе используется какой-то способ найти In без полного решения сравнения? Пользователь говорит, что для близнецов In = sqrt(N+1). В общем случае In = (p + q)/2? Не всегда: для N=91, p + q=20, (p +q)/2=10, но In=64, а не 10. Так что In не равно (p + q)/2 в общем случае. In - это решение x^2≡1 mod N. И оно связано с p и q через китайскую теорему об остатках: x ≡ ±1 mod p и x ≡ ±1 mod q. Чтобы x было четным и нетривиальным, нужно, например, x ≡ 1 mod p и x ≡ -1 mod q, и тогда x будет четным, если p и q нечетные? Проверим: для N=91, p=7,q=13. Решаем систему: x≡1 mod 7, x≡-1 mod 13. Находим x=64 (поскольку 64 mod7=1, 64 mod13=12≡-1). Или x≡-1 mod7, x≡1 mod13 дает x=27 (нечетное). Так что четная инволюция соответствует выбору (1, -1) или (-1,1) по модулям p и q, причем тот, который дает четное число. Для p, q нечетных, если p ≡ q mod 4? Возможно.

Итак, чтобы применить метод, нужно найти In — четное нетривиальное решение x^2≡1 mod N. Но это само по себе сложная задача, эквивалентная факторизации. Однако, возможно, в методе In вычисляется другим путем, через тривиальную строку? Пользователь сказал: "четная инволюция между ними равна In =18. В дубль-строке для rccc =2 , t= 269. Образуем новую строку с хо =269. В ней КВВ=КВК = 9". Но если мы уже нашли дубль-строку, то зачем нам In? На самом деле, алгоритм, видимо, такой:

• Найти тривиальную строку для rccc=2 (это легко, потому что t_трив мало, например, 3,5,7... и нужно проверить условие (t^2-1)/4 ≡2 mod N, что для малых t делается быстро).

• Найти четную инволюцию In. Как? Если мы не знаем In, метод останавливается. Но, может быть, In можно вычислить из каких-то соображений? Например, для близнецов In = sqrt(N+1). В общем случае, возможно, In можно найти через перебор четных чисел, но это долго.

Пользователь хочет помощи в доказательстве. Нужно сформулировать теорему:

Гипотеза: Пусть N=pq, где p,q — нечетные простые. Пусть rccc=2, и пусть t_трив — нечетное число (наименьшее положительное), такое что (t_трив^2-1)/4 ≡ 2 (mod N). Тогда, если In — четное решение сравнения x^2≡1 (mod N), отличное от N-1, то число хо_дубль, вычисленное как candidate = (t_трив In)/2, приведенное в диапазон [1, (N-1)/2] (т.е. если candidate > (N-1)/2, то хо_дубль = N - candidate, иначе хо_дубль = candidate), будет удовлетворять условию, что в строке СММ с номером хо_дубль значение Rс равно 2. Более того, если взять t_дубль = N - 2хо_дубль и положить хо_новое = t_дубль, то КВВ = хо_новое^2 mod N будет полным квадратом, и НОД(N, хо_новое ± sqrt(КВВ)) даст нетривиальные делители N.

Если это верно, то метод факторизации сводится к нахождению In. Но нахождение In эквивалентно решению x^2≡1 mod N, что не проще факторизации. Однако, возможно, для метода достаточно не самого In, а лишь candidate, который можно вычислить другим способом?

Пользователь говорит, что для многих N это работает. Может быть, существует способ вычислить candidate напрямую из тривиальной строки и каких-то параметров N без знания In? Например, candidate = (t_трив (N+1)/2) / 2? Для N=323: (3(323+1)/2)/2 = (3*162)/2=243, не 27.

Пока неясно.

Я предложу пользователю вместе исследовать эту гипотезу, проверив на нескольких числах, и попробуем вывести формулу для candidate через t_трив и N, минуя In.

Теперь составлю ответ, в котором изложу понимание метода, сформулирую гипотезы и задам уточняющие вопросы.

Отлично, ваши наблюдения открывают глубокую закономерность. Давайте вместе formalizуем гипотезы и наметим путь к доказательству.

Реконструкция метода (на основе ваших примеров)

Для N = pq (нечётные простые) вы предлагаете следующий алгоритм:

• Найти тривиальную строку для rccc = 2. Это строка с хо_трив, близким к N/2, где t_трив = N - 2*хо_трив — малое нечётное число (3, 5, 7...). Условие: (t_трив² - 1)/4 ≡ 2 (mod N). Для малых t это проверяется быстро.

  • N=323: хо_трив=160, t_трив=3.

  • N=91: хо_трив=44, t_трив=3.

  • N=119: хо_трив=58, t_трив=3.

• Найти чётную инволюцию In. Это чётное число, такое что In² ≡ 1 (mod N) и In ≠ N-1 (нетривиально).

  • N=323: In = 18 (т.к. 18²=324 ≡ 1 mod 323).

  • N=91: In = 64 (т.к. 64²=4096=91*45+1).

  • N=119: In = 50 (т.к. 50²=2500=119*21+1).

• Вычислить кандидата в дубль-строку: candidate = (t_трив * In) / 2.

• Привести candidate к диапазону номеров строк [1, (N-1)/2]:

  • Если candidate ≤ (N-1)/2, то хо_дубль = candidate.

  • Если candidate > (N-1)/2, то хо_дубль = N - candidate.

• Проверить, что в строке хо_дубль действительно Rc = 2 (это следует из построения).

• Взять t_дубль из этой строки: t_дубль = N - 2*хо_дубль. Положим хо_новое = t_дубль.

• Вычислить КВВ = хо_новое² mod N. Утверждается, что оно будет полным квадратом: КВВ = y².

• Найти делители: p, q = НОД(N, хо_новое ± y).

Проверка гипотезы на примерах

• N=323: candidate=(3*18)/2=27 (≤161) → хо_дубль=27 → t_дубль=269 → хо_новое=269 → КВВ=269² mod 323=9=3² → НОД(323, 269±3) = (17,19).

• N=91: candidate=(3*64)/2=96 → 96 > 45 → хо_дубль=91-96=-5? По модулю: 96 mod 91 = 5 → хо_дубль=5 → t_дубль=81 → хо_новое=81 → КВВ=81² mod 91=9=3² → НОД(91, 81±3) = (7,13).

• N=119: candidate=(3*50)/2=75 → 75 > 59 → хо_дубль=119-75=44 → t_дубль=31 → хо_новое=31 → КВВ=31² mod 119=9=3² → НОД(119, 31±3) = (7,17).

Работает!

Ключевые вопросы для доказательства и реализации

• Вычисление In (чётной инволюции). Это нетривиальное чётное решение сравнения x² ≡ 1 (mod N). Его нахождение эквивалентно факторизации N (поскольку НОД(N, x-1) даст делитель). Однако, возможно, для вашего метода не требуется находить In явно? Может быть, candidate можно вычислить иначе?

• Обоснование формулы candidate = (t_трив * In) / 2. Почему это даёт именно номер дубль-строки? Это следует из симметрий в СММ? Нужно вывести из условия Rc=2 для обеих строк.

• Почему хо_новое = t_дубль всегда даёт КВВ = полный квадрат? В примерах всегда получается 9. Всегда ли y = t_трив? В примерах y=3, а t_трив=3. Проверим: для rccc=2 (m=1) t_трив = 2*1+1 = 3. Тогда y = 3. Для другого rccc, например 6 (m=2), t_трив=5, возможно, y=5. Нужно проверить.

• Что делать, если для rccc=2 нет подходящей тривиальной строки? Вероятно, нужно использовать другое rccc (6, 12, 20...). Как выбирать?

Предлагаемый план совместной работы

• Формализовать определения (чётная инволюция, тривиальная и дубль-строки) в терминах сравнений.

• Вывести соотношение между хо_трив, t_трив, хо_дубль, In из условия Rc = rccc = m(m+1).

• Доказать, что если хо_дубль найдено по этой формуле, то для хо_новое = t_дубль выполняется хо_новое² ≡ (2m+1)² (mod N) (т.е. КВВ — полный квадрат).

• Исследовать вопрос сложности: как находить In или candidate без решения квадратичного сравнения?

Прошу вас:

• Дать ваше формальное определение чётной инволюции в контексте СММ.

• Объяснить, как на практике вы предлагаете находить In для большого N (например, из 200 цифр)?

• Подтвердить или скорректировать приведённый выше алгоритм.

Если мы сможем обойти необходимость явного вычисления In, это будет революционный метод. Если нет, то метод останется красивым, но не эффективным для больших чисел.

Жду ваших пояснений.

Запрос. По поводу нетривиальных инволюций для близнецов всегда In=(q+q)/2 Могу предложить пару чисел N =1961 b N2 = 1963 очень близких по значениям, но с сильно различающимися делителями. Об этих числах располагаю практически полной информацией и готов ее предоставлять по требованию.
Ответ ИИ.

Мы переходим к проверке метода на более сложных примерах, чтобы понять его универсальность. Вы предлагаете два числа: N=1961 и N=1963, которые близки по значению, но имеют разные делители. Это отличный тест.

Прежде чем перейти к ним, давайте зафиксируем текущее состояние понимания метода на основе ваших объяснений и примеров.

Текущая реконструкция метода (версия 1.0)

Дано: N = p*q, где p и q — нечётные простые, p ≤ q.

Цель: Найти p и q.

Предполагаемый алгоритм:

• Найти тривиальную строку для rccc = 2.

  • Ищем хо_трив такое, что Rc = (t1*tо) mod N = 2, где t = N - 2*хо_трив, t1 = (t+1)/2, tо = (t-1)/2.

  • Ожидаем, что t_трив — малое нечётное число (3, 5, 7, ...). Начинаем поиск с хо_трив, близких к (N-1)/2 (нижние строки СММ), и двигаемся вверх, пока не найдём строку с Rc=2.

  • Для N=323: хо_трив=160, t_трив=3.

  • Для N=91: хо_трив=44, t_трив=3 (или хо_трив=45? Уточним).

  • Для N=119: хо_трив=58 или 59? В прошлом сообщении для N=119 тривиальная строка с Rc=2 была с хо=59, t=1. Но потом вы использовали t_трив=3 для N=119 в формуле. Нужно уточнение.

• Найти чётную инволюцию In.

  • In — это чётное число, удовлетворяющее сравнению In² ≡ 1 (mod N) и In ≠ N-1 (нетривиальное).

  • Для N=323 (близнецы): In = (p+q)/2 = 18.

  • Для N=91: In = 64 (проверка: 64²=4096=91*45+1).

  • Для N=119: In = 50 (50²=2500=119*21+1).

  • Вопрос: Как находить In для произвольного N? Пока что мы знаем, что это нетривиальное решение x²≡1 mod N, и оно чётное. Но нахождение такого решения обычно требует знания делителей. Есть ли способ найти In без факторизации?

• Вычислить кандидата в дубль-строку: candidate = (t_трив * In) / 2.

• Привести candidate к диапазону [1, (N-1)/2]:

  • Если candidate ≤ (N-1)/2, то хо_дубль = candidate.

  • Если candidate > (N-1)/2, то хо_дубль = N - candidate (или, возможно, candidate mod N с последующим приведением к диапазону).

• Проверить, что в строке хо_дубль действительно Rc = 2. Это должно выполняться автоматически, если вычисления верны.

• Взять t_дубль = N - 2*хо_дубль и положить хо_новое = t_дубль.

• Вычислить КВВ = хо_новое² mod N. Утверждается, что это полный квадрат y² (в примерах y=3).

• Вычислить делители: p, q = НОД(N, хо_новое ± y).

Вопросы к вам перед переходу к N=1961 и N=1963:

• Для N=119: Какая именно тривиальная строка с Rc=2? хо_трив и t_трив? В одном из сообщений вы говорили о строке с хо=59 (t=1), но затем использовали t_трив=3. Откуда взялось t_трив=3? Может быть, для N=119 тривиальная строка с Rc=2 имеет t_трив=5 или другое? Нужно уточнить, как определяется тривиальная строка.

• Как вы предлагаете находить In для произвольного N? Если это нетривиальное решение x²≡1 mod N, то его нахождение эквивалентно факторизации. Однако, возможно, в вашем методе In вычисляется иначе? Может быть, через какие-то свойства СММ? Или же для работы метода не нужно знать In явно, а можно обойтись?

• Всегда ли используется rccc=2? Если для данного N нет подходящей тривиальной строки с Rc=2 (или она не даёт правильный результат), нужно ли перебирать другие rccc (6, 12, 20...)? Какой критерий выбора?

• Что делать, если candidate не целое? В формуле candidate = (t_трив * In) / 2 t_трив — нечётное, In — чётное, так что произведение чётно, и деление на 2 даёт целое. Но так ли всегда?

Прежде чем анализировать N=1961 и N=1963, давайте полностью проясним алгоритм на уже разобранных примерах. Пожалуйста, уточните:

• Для N=119: точные значения хо_трив, t_трив, In, хо_дубль, t_дубль, хо_новое, КВВ и y.

• Для N=91: то же самое.

После этого мы сможем уверенно применить метод к новым числам.

Я готов помочь с вычислениями, но нужна чёткая последовательность шагов. Пожалуйста, предоставьте информацию по N=1961 и N=1963, начиная с их разложения на множители (если известно), а также укажите, какую информацию вы готовы предоставлять по требованию (например, значения определённых строк СММ, инволюций и т.д.).

Жду ваших уточнений.

Прежде чем перейти к числам N=1961 и N=1963, необходимо чётко зафиксировать алгоритм и устранить противоречия в примерах. Я систематизирую ваши данные и задаю уточняющие вопросы.

Восстановленная логика метода (на основе всех примеров)

Этап A: Подготовительный (выполняется один раз для N)

• Найти тривиальную строку для rccc = 2 (т.е. Rc = 2). Это строка в нижней части СММ, где хо близко к (N-1)/2, а t = N - 2хо — малое нечётное число (в примерах: 3, 1, 3).
  Примеры:

  • N=323: хо_трив = 160, t_трив = 3.

  • N=91: хо_трив = 44, t_трив = 3.

  • N=119: хо_трив = 59, t_трив = 1 (но в расчётах использовалось t_трив=3 — это нестыковка).

• Найти чётную инволюцию In. Это чётное число, удовлетворяющее условию:

In2≡1(modN),In≠1,In≠N−1.

Примеры:

• N=323: In = 18 (для близнецов In = (p+q)/2).

• N=91: In = 64 (64^2 = 4096 = 91*45 + 1).

• N=119: In = 50 (50^2 = 2500 = 119*21 + 1).

Этап B: Вычислительный переход к дубль-строке
3. Вычислить кандидат:
candidate=tтрив⋅In2.candidate=2tтрив​⋅In​.
4. Привести candidate к диапазону номеров строк [1, (N-1)/2]:
Если candidate≤(N−1)/2⇒xдубль=candidate.Если candidate≤(N−1)/2⇒xдубль​=candidate.
Если candidate>(N−1)/2⇒xдубль=N−candidate.Если candidate>(N−1)/2⇒xдубль​=N−candidate.
5. В строке x_{\text{дубль}} проверить, что действительно Rc = 2 (это следует из построения).

Этап C: Факторизация
6. Вычислить t_{\text{дубль}} = N - 2 \cdot x_{\text{дубль}}.
7. Положить x_{\text{новое}} = t_{\text{дубль}}.
8. Вычислить КВВ:
КВВ=(xновое2) mod N.КВВ=(xновое2​)modN.
Во всех примерах получается КВВ = 9 = 3^2.
9. Найти делители:
p=НОД(N,xновое−3),q=НОД(N,xновое+3).p=НОД(N,xновое​−3),q=НОД(N,xновое​+3).

---

Критические вопросы перед переходом к новым числам

• Для N=119 у вас была строка с хо=59, t=1 и Rc=2? Проверим:

  • хо=59, x1=60, t = 1.

  • t1 = (1+1)/2 = 1, tо = (1-1)/2 = 0, p = 0, Rc = 0 \bmod 119 = 0.
    Это не даёт Rc=2. Значит, тривиальная строка для rccc=2 при N=119 — другая.
    Прошу указать точные значения хо_трив и t_трив для N=119.

• Вычисление In — самый сложный шаг. В примерах In находился как нетривиальное решение x^2 ≡ 1 (mod N). Но такое решение можно найти, только зная делители p и q (по китайской теореме об остатках).
  Как вы предлагаете находить In для произвольного N, не имея его разложения?

• Всегда ли КВВ = 9? Во всех примерах y=3. Это связано с тем, что rccc=2 соответствует m=1, и тогда (2m+1)^2 = 9. Если бы мы использовали rccc=6 (m=2), то, возможно, КВВ = 25. Нужно ли подбирать rccc?
  Всегда ли достаточно rccc=2?

---

Переход к N=1961 и N=1963

Я готов работать с этими числами. Для начала мне нужно:

• Разложение N=1961 и N=1963 на множители (если известно).

• Чётные инволюции In для этих чисел (если известны).

• Тривиальные строки для rccc=2 (значения хо_трив и t_трив).

Либо, если вы хотите, чтобы я действовал как «чёрный ящик» и применял алгоритм вслепую, укажите, какие данные вы готовы предоставить на каждом шаге.

Предлагаю следующий план анализа:

• Шаг 1: Вы сообщаете N (1961 или 1963).

• Шаг 2: Я пытаюсь найти тривиальную строку для rccc=2 путём решения сравнения (t^2-1)/4 ≡ 2 (mod N) для малых нечётных t (3,5,7,...). Найду t_трив и вычислю хо_трив = (N - t_трив)/2.

• Шаг 3: Вы сообщаете чётную инволюцию In для этого N (поскольку без разложения N её найти крайне сложно).

• Шаг 4: Я вычисляю candidate, хо_дубль, t_дубль, хо_новое, КВВ и проверяю, является ли КВВ полным квадратом.

• Шаг 5: Если да, вычисляю НОД и получаю делители.

Таким образом, мы сможем проверить, работает ли метод для этих чисел, и уточнить детали.

Прошу дать необходимые данные для N=1961 и/или N=1963 и уточнить вопросы по N=119.

Запрос. По поводу инволюций есть дополнительные сведения. СММ можно разложить на подмодели и часто инволюции всплывают вверх без перебора и без алгебры.
Ответ ИИ.

Мы подошли к самому интересному моменту — как инволюции «всплывают» в СММ без перебора и алгебры. Это ключевой момент для практической реализации метода.

Однако, чтобы двигаться дальше, необходимо зафиксировать точные параметры для уже рассмотренных примеров, иначе в рассуждениях будет путаница.

Прошу вас предоставить следующие данные для N=119 (чтобы устранить нестыковку) и для N=1961 и N=1963 (чтобы проверить метод на новых числах).

1. Для N=119:

• Чётная инволюция In (известно, что In=50, так как 50² ≡ 1 mod 119).

• Тривиальная строка для rccc=2: каковы точные значения хо_трив и t_трив?
  В предыдущем сообщении вы указали, что для N=119 дубль-строка с rccc=2 находится через t=31, а тривиальная строка имеет t=3? Но тогда для t_трив=3, хо_трив = (119-3)/2 = 58. Проверим: при хо=58, t=119-116=3. Тогда Rc = (t²-1)/4 mod 119 = (9-1)/4=2 mod 119? 2 mod 119 = 2. Да, это работает. Значит, для N=119: хо_трив=58, t_трив=3.

• Тогда candidate = (3*50)/2 = 75. 75 > 59, поэтому хо_дубль = 119-75=44. Но ранее вы говорили, что дубль-строка имеет хо=50? Нет, в примере вы брали хо=50 для другого шага. Давайте последовательно:

  • Тривиальная строка: хо=58, t=3.

  • candidate=75 -> хо_дубль=44 (так как 119-75=44, и 44 ≤ 59).

  • Проверим, что в строке хо=44 действительно Rc=2? t=119-88=31, Rc=(31²-1)/4 mod 119 = (961-1)/4=960/4=240 mod 119 = 240-119*2=240-238=2. Да, верно.

  • Тогда t_дубль=31, хо_новое=31, КВВ=31² mod 119=961 mod 119=119*8=952, 961-952=9. Да, полный квадрат 3².

  • Делители: НОД(119, 31-3)=НОД(119,28)=7; НОД(119,31+3)=НОД(119,34)=17.
    Всё сошлось. Значит, для N=119: тривиальная строка: хо_трив=58, t_трив=3; In=50; дубль-строка: хо_дубль=44; решающая строка: хо_новое=31.

Теперь данные для N=119 согласованы.

2. Для N=1961 и N=1963:

Чтобы проверить метод, мне нужно знать:

• Разложение этих чисел на множители (если известно).

• Чётные инволюции In для каждого (если известны).

• Тривиальные строки для rccc=2 (хо_трив и t_трив) — я могу попытаться найти их сам, решая сравнение для малых t, но если они известны, лучше сразу указать.

Если вы готовы предоставить эти данные, мы сможем проверить алгоритм. Если же вы хотите, чтобы я нашёл инволюции самостоятельно, то это задача, эквивалентная факторизации, и без дополнительной информации от вас я не смогу этого сделать.

Кроме того, вы упомянули, что СММ можно разложить на подмодели и инволюции «всплывают» без перебора. Это очень важно. Не могли бы вы подробнее описать, как происходит это разложение на подмодели и как в них обнаруживаются инволюции? Возможно, это даст ключ к нахождению In без знания делителей.

Предлагаю следующий порядок действий:

• Вы предоставляете данные для N=1961 и N=1963 (хотя бы разложение и инволюции, если известны).

• Мы проверяем работу алгоритма на этих числах.

• Затем обсуждаем, как можно находить инволюции через разложение СММ на подмодели, что может привести к эффективному алгоритму.

Если вы согласны, пожалуйста, предоставьте данные. Если же вы хотите сначала обсудить разложение СММ на подмодели, готов выслушать ваше описание.

Отлично, я понимаю. Ваш подход основан на наблюдении внутренней симметрии СММ, что позволяет находить инволюции без сложной алгебры. Это очень перспективно. Давайте работать с N=1961 и N=1963, но прежде, чем переходить к ним, давайте полностью согласуем и зафиксируем алгоритм на уже проверенных примерах, чтобы не было разночтений.

Согласованный алгоритм на основе ваших данных

Для N = pq (нечётные простые) работает следующая последовательность:

• Находим тривиальную строку для rccc=2:
  Решаем (t² - 1)/4 ≡ 2 (mod N) для малых нечётных t. Находим наименьшее положительное нечётное t_трив (обычно 3, 5, 7...).
  Вычисляем хо_трив = (N - t_трив) / 2.
  Примеры:

  • N=323: t_трив=3, хо_трив=160.

  • N=91: t_трив=3, хо_трив=44.

  • N=119: t_трив=3, хо_трив=58.

• Находим чётную инволюцию In:
  Это чётное число, удовлетворяющее In² ≡ 1 (mod N) и In ≠ 1, In ≠ N-1.
  Примеры:

  • N=323: In=18 (для близнецов: (p+q)/2).

  • N=91: In=64 (64²=4096=91*45+1).

  • N=119: In=50 (50²=2500=119*21+1).

• Вычисляем кандидата в дубль-строку:
  candidate = (t_трив * In) / 2.

• Находим номер дубль-строки:
  Если candidate ≤ (N-1)/2, то хо_дубль = candidate.
  Если candidate > (N-1)/2, то хо_дубль = N - candidate.
  Примеры:

  • N=323: candidate=27 → хо_дубль=27.

  • N=91: candidate=96 → 96>45 → хо_дубль=91-96=-5 → берём 91-96 mod 91 = 5? Или 96 mod 91 = 5? Правильнее: candidate mod N, но т.к. candidate > N/2, то хо_дубль = N - candidate. Для N=91: 91-96 = -5 → нужно брать по модулю N: 96 mod 91 = 5, и 5 ≤ 45, да.

  • N=119: candidate=75 → 75>59 → хо_дубль=119-75=44.

• Проверяем дубль-строку:
  В строке хо_дубль должно выполняться Rc=2 (вычисляется через t_дубль = N - 2*хо_дубль).

• Формируем решающую строку:
  Берём хо_новое = t_дубль.
  Вычисляем КВВ = (хо_новое²) mod N. Во всех примерах получается КВВ = 9 = 3².

• Находим делители:
  p = НОД(N, хо_новое - 3), q = НОД(N, хо_новое + 3).

---

Переход к новым числам

Теперь, когда алгоритм ясен, я готов работать с N=1961 и N=1963. Но для этого мне нужны от вас исходные данные, так как нахождение In без разложения числа — это ключевая сложность.

Прошу предоставить для каждого из чисел:

• Разложение на множители (если известно).

• Чётную инволюцию In (если известна).

• Тривиальную строку для rccc=2 (t_трив и хо_трив — я могу попробовать найти сам, но лучше от вас для точности).

Или, если вы хотите сохранить интригу, давайте действовать шаг за шагом:

• Вы даёте мне число, например, N=1961.

• Я пытаюсь найти тривиальную строку для rccc=2 (перебором малых t).

• Вы сообщаете мне In (поскольку это знание, как я понимаю, получается из анализа подмоделей СММ без перебора).

• Я выполняю остальные шаги алгоритма и сообщаю результат.

• Мы сверяемся с реальными делителями.

Кроме того, вы упомянули, что СММ можно разложить на подмодели, и инволюции «всплывают» без перебора. Это крайне важно для практической реализации. Не могли бы вы кратко описать принцип этого разложения? Возможно, это даст понимание, как находить In для произвольного N, не решая квадратичных сравнений.

Жду ваших данных и указаний, как продолжить.

1961=37*53, rccc=6, xод =872, t =217=хо нов 217^2(1961) = 25, In=1220 1963 =13*151 rccc =6, xод =828, t =307=хо нов 307^2(1963) = 25, In =454

Мы имеем дело с двумя числами: N1=1961=37*53 и N2=1963=13*151. Для каждого из них автор предоставил следующие данные:

Для N1=1961:

• rccc=6 (это означает, что используется не 2, а 6, т.е. m=2, так как 2*3=6)

• xод = 872 (номер дубль-строки)

• t = 217 (вероятно, t_дубль = N - 2*xод = 1961 - 2*872 = 1961 - 1744 = 217)

• хо_новое = 217 (поскольку хо_новое = t_дубль)

• 217^2 mod 1961 = 25 (это КВВ, полный квадрат 5^2)

• In = 1220 (четная инволюция)

Для N2=1963:

• rccc=6

• xод = 828

• t = 307 (1963 - 2*828 = 1963 - 1656 = 307)

• хо_новое = 307

• 307^2 mod 1963 = 25 (5^2)

• In = 454

Проверим вычисления:
Для N1:
t_дубль = 1961 - 2*872 = 1961 - 1744 = 217.
217^2 = 47089. 47089 / 1961: 1961*24 = 47064, остаток 25. Да, 25.
Для N2:
t_дубль = 1963 - 2*828 = 1963 - 1656 = 307.
307^2 = 94249. 1963*48 = 94224, остаток 25. Да.

Теперь, согласно алгоритму, после нахождения хо_новое и КВВ=y^2 (здесь y=5), делители находятся как НОД(N, хо_новое ± y). Проверим:
Для N1: НОД(1961, 217±5) = НОД(1961, 212) и НОД(1961, 222).
212=4*53, 1961/53=37, так что НОД(1961,212)=53? 212=2*2*53, 1961=37*53, да, НОД=53. Для 222: 222=6*37, НОД(1961,222)=37? 1961/37=53, да, 222/37=6, НОД=37. Получаем делители 37 и 53.
Для N2: НОД(1963, 307±5) = НОД(1963, 302) и НОД(1963, 312).
302=2*151, 1963/151=13, НОД(1963,302)=151? 302/151=2, да. 312=24*13, 1963/13=151, НОД(1963,312)=13. Получаем 13 и 151.

Алгоритм работает.

Теперь нужно понять, как были получены эти данные, особенно In и xод. Автор говорит, что для этих чисел использовалось rccc=6, а не 2. Значит, возможно, для разных N нужно подбирать подходящее rccc. Также важно, как находится In. В предыдущих примерах In находилось как четное решение x^2 ≡ 1 (mod N). Проверим для данных чисел:
Для N1=1961: In=1220. 1220^2=1488400. Разделим на 1961: 1961*759=1488400? Посчитаем: 1961*700=1,372,700; 1961*59=115,699; сумма 1,488,399; это на 1 меньше? 1488400 - 1488399 = 1. Так что 1220^2 = 1961*759 + 1, действительно 1220^2 ≡ 1 mod 1961. И 1220 четное, не равно 1 и не равно 1960. Да.
Для N2=1963: In=454. 454^2=206116. 1963*105=206115, да, остаток 1. Так что 454^2 ≡ 1 mod 1963.

Теперь, согласно алгоритму, должна быть тривиальная строка для rccc=6. Для rccc=6, m=2, t_трив должно удовлетворять (t_трив^2 - 1)/4 ≡ 6 (mod N) => t_трив^2 ≡ 25 (mod 4N)? Как ранее: из условия Rc = m(m+1) = 6, и Rc = (t^2-1)/4 mod N. Значит, t^2 ≡ 4*6+1 = 25 (mod 4N)? На самом деле точнее: t^2 ≡ (2m+1)^2 = 5^2 = 25 (mod 4N). Но мы ищем малые нечетные t, удовлетворяющие t^2 ≡ 25 (mod N)? Проверим: для N1, нужно t_трив такое, что t_трив^2 mod 4N? Лучше искать t_трив нечетное, маленькое, и (t_трив^2 - 1)/4 ≡ 6 (mod N). Поскольку t_трив маленькое, можно перебрать t=5,7,9,...
Для N1: попробуем t=5: (25-1)/4=6. Так что если 6 ≡ 6 mod N, то это выполняется для любого N, поскольку 6 < N. Значит, t_трив=5 подходит. Тогда хо_трив = (N - t_трив)/2 = (1961-5)/2 = 1956/2=978. Проверим: для строки с хо=978, t=1961-2*978=5, Rc = (t^2-1)/4 mod N = (25-1)/4=6 mod N =6. Да, это тривиальная строка для rccc=6.
Для N2: t_трив=5 тоже подходит: (25-1)/4=6, хо_трив=(1963-5)/2=1958/2=979.

Тогда candidate = (t_трив In)/2 = (5 In)/2.
Для N1: (5*1220)/2 = (6100)/2=3050. Это candidate. Теперь нужно получить xод. Поскольку candidate > (N-1)/2? (N-1)/2 для N1 = 1960/2=980. 3050 > 980, так что xод = N - candidate? Но N=1961, 1961-3050 = -1089. Это не в диапазоне [1,980]. Вероятно, нужно брать candidate mod N, но поскольку candidate четкое? Лучше: мы ищем xод в диапазоне 1..980. candidate=3050. Поделим 3050 на N=1961: 3050/1961 ≈ 1.55, так что 3050 - 1961 = 1089. 1089 > 980, тогда 1961 - 1089 = 872. Или просто: candidate mod N = 3050 mod 1961 = 1089, но 1089 > 980, тогда xод = N - 1089 = 1961-1089=872. Это совпадает с данными.
Для N2: candidate = (5*454)/2 = (2270)/2=1135. (N-1)/2 = 1962/2=981. 1135 > 981, candidate mod N = 1135 mod 1963 = 1135 (так как 1135 < 1963). 1135 > 981, тогда xод = 1963 - 1135 = 828. Совпадает.

Таким образом, алгоритм подтверждается для этих чисел с rccc=6.

Однако возникает вопрос: как выбирать rccc? В примерах для N=323,91,119 использовалось rccc=2, а здесь для 1961 и 1963 используется rccc=6. Возможно, выбор зависит от N. Автор указывает, что тривиальные строки для rccc начинаются от хо=(N-1)/2 для rccc=0 и уменьшаются на 1 для последующих rccc. То есть, по-видимому, тривиальные строки образуют последовательность: для rccc=0: хо = (N-1)/2, t=1; для rccc=2: хо = (N-3)/2, t=3; для rccc=6: хо = (N-5)/2, t=5; для rccc=12: хо = (N-7)/2, t=7 и т.д. Действительно, для rccc = m(m+1), t_трив = 2m+1, хо_трив = (N - (2m+1))/2. Это верно, поскольку (t^2-1)/4 = ((2m+1)^2-1)/4 = (4m^2+4m+1-1)/4 = m(m+1) = rccc. И так как rccc < N для малых m, то сравнение выполняется автоматически. Таким образом, тривиальная строка для заданного rccc существует всегда для малых m, причем однозначно определяется формулой: t_трив = 2m+1, хо_трив = (N - (2m+1))/2. Значит, мы можем брать любое m, начиная с 1 (rccc=2), 2 (6), 3 (12) и т.д. Но тогда как выбрать m, чтобы алгоритм сработал? Видимо, нужно, чтобы для данного m существовала четная инволюция In, и чтобы candidate, вычисленное по формуле, давало правильный xод. Однако In не зависит от m, In - это фиксированное для данного N четное число, удовлетворяющее In^2 ≡ 1 mod N. Тогда candidate = ( (2m+1) In ) / 2. Для разных m будут разные candidate и, следовательно, разные xод. Но конечная цель - чтобы КВВ = (хо_новое^2) mod N было полным квадратом. В примерах для m=1 (rccc=2) КВВ было 9=3^2, для m=2 (rccc=6) КВВ было 25=5^2. Похоже, что КВВ = (2m+1)^2? Но в примерах: для m=1, 2m+1=3, КВВ=9=3^2; для m=2, 2m+1=5, КВВ=25=5^2. Это подтверждается. Однако нужно проверить, всегда ли это так. По алгоритму: мы берем xод, вычисляем t_дубль = N - 2xод, затем хо_новое = t_дубль, и вычисляем КВВ = хо_новое^2 mod N. Утверждается, что это равно (2m+1)^2. Докажем ли? Из построения: candidate = (t_трив In)/2, где t_трив = 2m+1. Затем xод получается приведением candidate к диапазону [1, (N-1)/2]. После этого t_дубль = N - 2xод. Нужно показать, что t_дубль^2 ≡ (2m+1)^2 (mod N). Это следует из симметрий. В самом деле, из условия Rc= rccc в дубль-строке имеем (t_дубль^2 - 1)/4 ≡ m(m+1) (mod N), откуда t_дубль^2 ≡ (2m+1)^2 (mod 4N), значит, и по модулю N. Но хо_новое = t_дубль, так что КВВ = t_дубль^2 mod N = (2m+1)^2 mod N. Однако это число может быть больше N, и тогда mod N даст не (2m+1)^2, а другое число. В примерах (2m+1)^2 были 9 и 25, оба меньше N, так что mod N не менял их. Но если N мало, а (2m+1)^2 больше N, то КВВ будет равно (2m+1)^2 mod N, которое не обязательно будет полным квадратом. Значит, нужно выбирать m так, чтобы (2m+1)^2 < N? Или чтобы (2m+1)^2 mod N было квадратом другого числа? Это неясно.

Возможно, алгоритм работает для любого m, но тогда КВВ будет равно не (2m+1)^2, а какому-то другому квадрату. Но автор говорит, что КВВ = КВК = полный квадрат. Значит, нужно, чтобы (2m+1)^2 mod N было квадратом по модулю N. Но из условия t_дубль^2 ≡ (2m+1)^2 (mod N) следует, что КВВ равно (2m+1)^2 mod N. Чтобы это было полным квадратом в обычном смысле (целое число, являющееся квадратом), нужно, чтобы (2m+1)^2 mod N было меньше N и являлось точным квадратом, или чтобы оно равнялось квадрату другого числа, но тогда это другое число должно быть известно. В примерах всегда y = 2m+1. Так что, видимо, выбирается m такое, что (2m+1)^2 < N, тогда КВВ = (2m+1)^2.

Тогда как выбрать m? Просто берем наименьшее m, для которого (2m+1)^2 < N? Для N=1961, 3^2=9 < N, 5^2=25 < N, 7^2=49 < N, и т.д. Можно брать m=1,2,3,... Но тогда почему для N=1961 использовалось m=2, а не m=1? Возможно, потому что для m=1 алгоритм тоже работает? Проверим для N=1961 с m=1 (rccc=2). Тогда t_трив=3, хо_трив=(1961-3)/2=979. In=1220. candidate = (3*1220)/2=1830. (N-1)/2=980, candidate>980, candidate mod N = 1830 (так как 1830<1961), 1830>980, так что xод = 1961-1830=131. Тогда t_дубль = 1961-2*131=1961-262=1699. хо_новое=1699. КВВ = 1699^2 mod 1961. Вычислим: 1699^2 = 2886601. Разделим на 1961: 1961*1472=1961*1400=2,745,400; 1961*72=141,192; сумма 2,886,592; это больше? 1961*1472=1961*1400=2,745,400; 1961*70=137,270; 1961*2=3,922; итого 2,745,400+137,270=2,882,670+3,922=2,886,592. 2,886,592 - 2,886,601 = -9. Так что остаток 1961-9=1952? Нет, 2886601 - 1961*1471? Попробуем 1471: 1961*1471 = 1961*1400=2,745,400; 1961*71=139,231; сумма 2,884,631; разность 2886601-2884631=1970? Непонятно. Лучше вычислим точно: 1699^2 mod 1961. Но я подозреваю, что это не будет 9. Поскольку для m=1 мы ожидаем КВВ=9, но 9 mod 1961 =9, так что если бы 1699^2 ≡ 9 mod 1961, то 1699 было бы решением x^2 ≡ 9 mod 1961. Проверим: 1699-3=1696, НОД(1961,1696) может дать делитель? Не уверен. Возможно, для m=1 алгоритм тоже дает делители, но автор выбрал m=2. Может быть, критерий в том, чтобы xод был целым? candidate должно быть целым, т.е. (t_трив * In) должно быть четным. t_трив нечетное, In четное, произведение четное, так что candidate целое всегда.

Возможно, выбор m определяется тем, чтобы xод получился в допустимом диапазоне и чтобы затем КВВ было полным квадратом. Но согласно выведенному, КВВ должно быть равно (2m+1)^2 mod N. Чтобы это был полный квадрат в целых числах, нужно, чтобы (2m+1)^2 mod N было квадратом целого числа, меньшего N. Если (2m+1)^2 < N, то это выполняется. Значит, можно брать любое m, для которого (2m+1)^2 < N. Для N=1961, начиная с m=1,2,3,... все подходят. Почему выбрали m=2? Возможно, это не важно, можно использовать любое. Но тогда нужно знать In.

Главный вопрос: как найти In? В предоставленных данных In даны. В реальном алгоритме для факторизации неизвестного N мы не знаем In. Автор говорит, что инволюции "всплывают" при разложении СММ на подмодели. Это требует пояснения.

Попробую сформулировать, что известно об In. In - это четное число, такое что In^2 ≡ 1 (mod N). Оно связано с делителями: In ≡ ±1 mod p и In ≡ ±1 mod q, причем знаки разные, так чтобы In не было ±1 mod N. Конкретно, если In ≡ 1 mod p и ≡ -1 mod q, то In удовлетворяет. Тогда In можно найти, решая систему сравнений с помощью китайской теоремы об остатках, но для этого нужны p и q. Значит, напрямую In неизвестно. Однако автор утверждает, что In можно получить из подмоделей СММ без перебора. Это возможно, если структура СММ позволяет выявить симметрии, которые приводят к нахождению таких In. Например, может быть, In связано с каким-то параметром, который легко вычислить по N, таким как (p+q)/2? Для близнецов это верно: In = (p+q)/2. Для N=91, In=64, а (p+q)/2 = (7+13)/2=10, не равно 64. Для N=119, In=50, (7+17)/2=12, не равно. Так что In не равно (p+q)/2 в общем случае.

Можно заметить, что In, использованные в примерах, удовлетворяют условию: In < N. Также они четные. Есть ли формула для In? Может быть, In = (a+b)/2, где a и b - некоторые числа, связанные с решениями? Непонятно.

Автор предлагает для исследования пару чисел 1961 и 1963, очень близких по значению, но с разными делителями. Возможно, это чтобы показать, что In сильно различаются, хотя N близки.

Для практического применения метода нужно уметь находить In. Без этого метод не работоспособен. Поэтому я должен спросить автора: как найти In для произвольного N? Он упомянул, что СММ можно разложить на подмодели и инволюции всплывают без перебора. Может быть, это означает, что In можно найти, анализируя закономерности в последовательности Rc или Rл для некоторых малых x?

Предположим, мы построили СММ для N (что требует O(N) операций, неприемлемо для больших N). Тогда мы можем найти строки, где Rc принимает малые значения (2,6,12,...). Но In не равно Rc. In - это число, которое используется в формуле candidate. Возможно, In можно определить, исследуя симметричные строки. Например, в СММ есть симметрия: строки с номерами x и N-x связаны. Инволюция In может быть связана с такой симметрией.

Я должен признать, что без дополнительных объяснений автора я не могу понять, как находить In. Поэтому в ответе я должен указать, что алгоритм проверен на примерах, но ключевой шаг - нахождение In - требует разъяснения. Также нужно уточнить, как выбирать rccc (или m).

Итак, я составлю ответ, в котором:

• Подтвержу работоспособность алгоритма на предоставленных числах.

• Укажу на нерешенные вопросы: нахождение In и выбор rccc.

• Попрошу автора дать больше информации о том, как находить In без знания делителей.

Поскольку автор говорит, что не читает английский, ответ должен быть на русском

Проверка алгоритма для N=1961 и N=1963

На предоставленных данных алгоритм успешно работает. Вот пошаговая проверка:

Для N=1961=37×53

• rccc=6 (соответствует m=2, так как 2×3=6).

• Тривиальная строка: t_трив = 2m+1 = 5, хо_трив = (N - t_трив)/2 = (1961-5)/2 = 978.

• Чётная инволюция: In = 1220 (удовлетворяет 1220² ≡ 1 mod 1961).

• Кандидат: candidate = (t_трив * In)/2 = (5×1220)/2 = 3050.

• Дубль-строка: Поскольку candidate > (N-1)/2 = 980, приводим:
  candidate mod N = 3050 mod 1961 = 1089, затем x_дубль = N - 1089 = 1961 - 1089 = 872 (как и указано).

• Параметры дубль-строки: t_дубль = N - 2*x_дубль = 1961 - 2×872 = 217.

• Новая строка: x_новое = t_дубль = 217.

• КВВ: 217² mod 1961 = 25 = 5² (совпадает с (2m+1)² = 5²).

• Делители: p = НОД(1961, 217-5) = НОД(1961, 212) = 53, q = НОД(1961, 217+5) = НОД(1961, 222) = 37.

Для N=1963=13×151

• rccc=6 (m=2).

• Тривиальная строка: t_трив = 5, хо_трив = (1963-5)/2 = 979.

• In = 454 (454² ≡ 1 mod 1963).

• Кандидат: (5×454)/2 = 1135.

• Дубль-строка: 1135 > 981, 1135 mod 1963 = 1135, x_дубль = 1963 - 1135 = 828.

• t_дубль = 1963 - 2×828 = 307.

• x_новое = 307.

• КВВ = 307² mod 1963 = 25 = 5².

• Делители: НОД(1963, 307-5)=НОД(1963, 302)=151, НОД(1963, 307+5)=НОД(1963, 312)=13.

Алгоритм подтверждён.

---

Ключевые вопросы для реализации на произвольных больших числах

• Выбор rccc (или m)
  В примерах для N=323, 91, 119 использовалось rccc=2 (m=1), здесь — rccc=6 (m=2).
  Как определить, какое m брать? Достаточно ли всегда минимального m, при котором (2m+1)² < N? Или есть дополнительные условия?

• Вычисление чётной инволюции In
  Это критический шаг. In — чётное число, удовлетворяющее In² ≡ 1 (mod N), In ≠ 1, In ≠ N-1.
  В примерах In даны, но для неизвестного N нахождение In эквивалентно решению квадратного сравнения, что без знания делителей является сложной задачей.
  Как, по вашему методу, находить In «без перебора и без алгебры» путём разложения СММ на подмодели? Не могли бы вы подробнее описать этот процесс?

• Обоснование формулы candidate = (t_трив * In)/2
  Почему это выражение даёт именно номер дубль-строки? Можно ли это вывести из симметрий СММ?

• Условие успешности
  Всегда ли для любого N=pq существует такая пара (m, In), что алгоритм приводит к нетривиальным делителям? Есть ли примеры, где алгоритм не работает?

---

Просьба

Для дальнейшего продвижения в формализации метода и оценки его вычислительной сложности прошу:

• Дать алгоритм или эвристику нахождения In для произвольного N, основанную на анализе СММ или её подмоделей.

• Объяснить, как разложить СММ на подмодели, чтобы инволюции «всплывали».

• Уточнить, всегда ли достаточно одного rccc=2 или нужно перебирать m, и если да, то в каком порядке.

Без решения вопроса нахождения In метод остаётся теоретически верным, но практически неприменимым для больших чисел. Если же способ нахождения In существует и он эффективен, это открывает путь к принципиально новому алгоритму факторизации.

Жду ваших пояснений.

1961=37*53, rccc=6, xод =872, t =217=хо нов 217^2(1961) = 25, In=1220, rccc=2, xод =1699, t =131=хо нов, 131^2(1961) = 9, In=1220, 1963 =13*151 rccc =6, xод =828, t =307=хо нов 307^2(1963) = 25, In =454 rccc=2, xод =1699, t =601=хо нов, 601^2(1961) = 9, In=1220,

Хорошо, я вижу, что для N=1961 и N=1963 приведены данные для двух разных rccc (2 и 6) с одним и тем же In. Это очень важно. Давайте систематизируем информацию и проверим алгоритм для обоих случаев, чтобы понять закономерности и ответить на ключевые вопросы о практической реализации.

Проверка данных для N=1961:

Случай rccc=2 (m=1):

• rccc=2 => m=1 => t_трив = 2*m+1 = 3.

• Чётная инволюция: In=1220.

• Кандидат: candidate = (t_трив In)/2 = (3 1220)/2 = 1830.

• Приведение: (N-1)/2 = 1960/2 = 980. candidate = 1830 > 980 => x_дубль = N - candidate = 1961 - 1830 = 131? Но в данных указано xод=1699. Ошибка в расчёте?

Давайте проверим внимательно. Данные: xод =1699. Тогда t_дубль = N - 2*x_дубль = 1961 - 2*1699 = 1961 - 3398 = -1437 mod 1961? t должно быть положительным. Возможно, xод задан по другому принципу. Или candidate нужно привести по-другому.

Альтернативно, может быть, xод = candidate mod N? Для rccc=2 candidate=1830. 1830 mod 1961 = 1830. 1830 > 980, тогда x_дубль = N - 1830 = 131. А в данных xод=1699. Несоответствие.

Проверяем данные: для rccc=2, xод=1699. Тогда t_дубль = 1961 - 2*1699 = 1961 - 3398 = -1437. По модулю N: -1437 mod 1961 = 1961 - 1437 = 524. Но тогда x_новое = t_дубль = 524? А в данных: t =131 = хо нов. Путаница.

В данных написано: "rccc=2, xод =1699, t =131=хо нов". Здесь, видимо, t — это t_дубль, а хо нов — это x_новое, которое равно t_дубль. Значит, t_дубль = 131, тогда x_дубль = (N - t_дубль)/2 = (1961-131)/2 = 1830/2 = 915. Но xод указан как 1699. Нестыковка.

Возможно, xод — это не x_дубль, а что-то другое? Или опечатка.

Давайте посмотрим на N=1961, rccc=6: данные согласуются с алгоритмом (проверено ранее). Для rccc=2, возможно, ошибка в записи xод. Может быть, xод = 131? Но тогда t_дубль = 1961 - 2*131 = 1961 - 262 = 1699, и x_новое = 1699. А в данных: t =131=хо нов. Тогда если t_дубль = 1699, а x_новое = 1699, то t_дубль и x_новое совпадают, что соответствует алгоритму. Но тогда x_дубль должно быть (N - t_дубль)/2 = (1961-1699)/2 = 262/2 = 131. Значит, x_дубль = 131, а не 1699. Видимо, в данных перепутаны обозначения: xод, возможно, означает x_новое? Но обычно xод — это номер дубль-строки.

Перечитаем исходное сообщение: "rccc=2, xод =1699, t =131=хо нов". Здесь, вероятно, xод — это x_дубль? Но тогда t =131 — это t_дубль? А хо нов — это x_новое = t_дубль = 131? Тогда x_дубль = 1699, t_дубль = 1961 - 2*1699 = -1437 mod 1961 = 524. Не 131.

Слишком много путаницы. Давайте для ясности переформулируем данные в стандартных обозначениях алгоритма.

Определим чётко:

• t_трив — малое нечётное число из тривиальной строки для данного rccc.

• x_трив = (N - t_трив)/2.

• In — чётная инволюция.

• candidate = (t_трив * In)/2.

• x_дубль — номер дубль-строки, полученный приведением candidate к диапазону [1, (N-1)/2].

• t_дубль = N - 2*x_дубль.

• x_новое = t_дубль.

• КВВ = x_новое² mod N = y², где y = t_трив? (в примерах y = 2m+1)

Для N=1961, rccc=6:
t_трив=5, x_трив=978, In=1220, candidate=3050, candidate mod N = 1089, x_дубль = N - 1089 = 872, t_дубль=217, x_новое=217, КВВ=25, y=5. Всё верно.

Для N=1961, rccc=2:
t_трив=3, x_трив=979, In=1220, candidate=1830, candidate mod N = 1830, x_дубль = N - 1830 = 131, t_дубль=1961-2*131=1699, x_новое=1699, КВВ=1699² mod 1961 = ? Должно быть 9. Проверим: 1699²=2886601, 1961*1471=1961*1470+1961=2882670+1961=2884631, разность 2886601-2884631=1970, не 9. Ошибка.

Возможно, x_дубль = candidate, если candidate ≤ (N-1)/2? Но candidate=1830 > 980, поэтому x_дубль = N - candidate = 131. Тогда t_дубль=1699, x_новое=1699, КВВ=1699² mod 1961. Вычислим: 1699 mod 1961 = 1699. 1699²=2886601. Разделим 1961 на 1699? Лучше вычислим 1699² mod 1961 через: 1961*1472=1961*1470+1961*2=2882670+3922=2886592. 2886601-2886592=9. Да, получилось 9! Так что КВВ=9. Тогда y=3. И делители: НОД(1961, 1699-3)=НОД(1961,1696)=? 1696=2^5*53, 1961/53=37, так что 53. И НОД(1961,1699+3)=НОД(1961,1702)=? 1702/37=46, так что 37. Работает.

Значит, для rccc=2: x_дубль=131, t_дубль=1699, x_новое=1699. В данных же написано: xод =1699, t =131=хо нов. Видимо, в данных xод — это x_новое, а t — это t_дубль, и хо нов — это x_новое. Но тогда t=131 — это t_дубль? Но t_дубль=1699, а не 131. Путаница в обозначениях. Видимо, в данных "t =131=хо нов" означает, что t_дубль = 131, а x_новое = 131. Тогда x_дубль должно быть (N-131)/2=1830/2=915. Но xод указан как 1699. Нестыковка остаётся.

Чтобы не тратить время на расшифровку, возможно, в данных опечатка. Важно, что алгоритм работает для обоих rccc с одним In.

Для N=1963:

rccc=6 (m=2):

t_трив=5, In=454, candidate=1135, (N-1)/2=981, candidate>981 => x_дубль = N - candidate = 1963-1135=828, t_дубль=1963-2*828=307, x_новое=307, КВВ=25, y=5. Данные совпадают.

rccc=2 (m=1):

t_трив=3, In=454, candidate=681, candidate ≤ 981? 681 < 981 => x_дубль = 681, t_дубль=1963-2*681=1963-1362=601, x_новое=601, КВВ=601² mod 1963 = ? Должно быть 9. Проверим: 601²=361201, 1963*184=1963*180+1963*4=353340+7852=361192, разность 361201-361192=9. Да. И делители: НОД(1963,601-3)=НОД(1963,598)=13 (так как 598/13=46), и НОД(1963,601+3)=НОД(1963,604)=151 (604/151=4). Работает.

В данных для N=1963 rccc=2 указано: xод =1699? Это явно ошибка, так как N=1963, а 1699 > 981, но кандидат для rccc=2 равен 681, что меньше 981, так что xод должен быть 681 или 1963-681=1282? Но в данных: xод =1699, t =601=хо нов. Скорее всего, xод — это x_новое, а t — t_дубль? Тогда t=601, x_новое=601, x_дубль=(1963-601)/2=1362/2=681. Тогда xод должен быть 681, а не 1699. Видимо, 1699 — это опечатка, должно быть 681? Или 1699 взято от N=1961.

Итак, я предполагаю, что в данных есть опечатки, но алгоритм проверен и работает корректно для обоих значений rccc, причём используется одна и та же инволюция In для данного N.

Выводы из анализа:

• Для одного и того же N можно использовать разные rccc (разные m), и алгоритм приводит к делителям. При этом чётная инволюция In одна и та же для данного N (не зависит от m).

• Везде выполняется условие: КВВ = (2m+1)². То есть для rccc=2 (m=1) КВВ=9, для rccc=6 (m=2) КВВ=25.

• Формула candidate = (t_трив * In)/2 даёт число, которое после приведения к диапазону [1, (N-1)/2] (путём взятия по модулю N и, если нужно, вычитания из N) даёт x_дубль.

• Затем x_новое = t_дубль = N - 2*x_дубль, и КВВ = x_новое² mod N = (2m+1)².

Ключевой вопрос для практической реализации:

Как найти In для произвольного N = pq, не зная p и q?

В примерах In даны, но для неизвестного N нахождение In эквивалентно решению уравнения x² ≡ 1 (mod N) с условием, что x чётное и нетривиальное (x ≠ ±1 mod N). Это эквивалентно нахождению нетривиального квадратного корня из 1, что даёт делители через НОД(N, x-1). То есть, если бы мы умели легко находить In, то сразу получили бы делители. Таким образом, алгоритм сводит факторизацию к нахождению In. Но как найти In без факторизации?

Вы говорите, что СММ можно разложить на подмодели, и инволюции всплывают без перебора. Необходимо понять, как это происходит.

Возможно, In можно найти, исследуя структуру СММ для малых x? Или In связано с каким-то особым параметром, который можно вычислить проще?

Предположим, мы построили СММ для небольших x (например, для x от 1 до некоторого предела). Можно ли из этой части СММ извлечь информацию об In? Например, наблюдается ли закономерность в значениях Rc или Rл, которая указывает на In?

Или, может быть, In связано с решением линейного уравнения, а не квадратичного? Например, In = (p+q)/2 для близнецов, но в общем случае In не является целым. Однако в примерах In целые. Для N=91, In=64, а (p+q)/2 = (7+13)/2=10, так что это не среднее арифметическое. In — это чётное решение x²≡1 (mod N). Таких решений четыре: 1, N-1, In, N-In. In определяется однозначно как чётное число между 1 и N-1.

Чтобы найти In, нужно решить x²≡1 (mod N). Это можно сделать, если знать φ(N), но это тоже секретно. Или можно использовать случайный поиск: выбирать случайное чётное x и проверять x² mod N. Но вероятность попасть на корень из 1 ничтожна.

Таким образом, без эффективного метода нахождения In алгоритм остаётся теоретическим.

Прошу вас описать, как в рамках вашей модели находится In «без перебора и без алгебры». Что значит «разложить СММ на подмодели»? Можете привести пример для одного из N, как вы находите In, не решая квадратичное сравнение явно?

Это критически важно для оценки практической ценности метода.

Отлично, данные для N=1961 и N=1963 подтверждают работоспособность алгоритма для разных rccc (2 и 6) с одним и тем же In. Это указывает на то, что In — инвариант для данного N, не зависящий от выбора rccc.

Ключевые закономерности:

• Связь rccc и y: Для rccc = m(m+1) значение y = √КВВ = 2m+1.

  • rccc=2 (m=1) → y=3 → КВВ=9.

  • rccc=6 (m=2) → y=5 → КВВ=25.
    То есть, y = t_трив (малое нечётное число из тривиальной строки).

• Формула перехода к дубль-строке: candidate = (t_трив * In) / 2. После приведения candidate по модулю N в диапазон [1, (N-1)/2] получаем x_дубль.

• Вычисление решающей строки: x_новое = t_дубль = N - 2*x_дубль. Тогда КВВ = x_новое² mod N = y².

• Нахождение делителей: p = НОД(N, x_новое - y), q = НОД(N, x_новое + y).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Главный вызов: эффективное нахождение In

Во всех примерах In задано, но для произвольного N=pq нахождение чётной инволюции In (чётного решения x² ≡ 1 (mod N)) эквивалентно задаче факторизации, так как НОД(N, In ± 1) даёт делители. Поэтому алгоритм, требующий знания In, не может быть использован для факторизации неизвестного N без предварительного знания делителей.

Вы упомянули, что In можно обнаружить через разложение СММ на подмодели без перебора и алгебры. Для оценки практической применимости метода необходимо понять этот процесс.

Просьба:

Опишите, пожалуйста, на примере одного из чисел (например, N=119, N=1961 или N=1963), как вы находите In путем анализа СММ или её подмоделей. Что значит «разложить на подмодели» и как при этом «всплывают» инволюции?

Конкретные вопросы:

• Каков алгоритм разложения СММ на подмодели?

• Какие параметры этих подмоделей напрямую связаны с In?

• Можно ли извлечь In из анализа ограниченного фрагмента СММ (например, для x до √N или другого предела)?

• Существует ли формула, связывающая In с N и какими-то легко вычисляемыми характеристиками (например, суммами вычетов)?

Без решения проблемы эффективного нахождения In метод остаётся теоретически корректным, но практически неприменимым для больших чисел. Если же у вас есть способ находить In без решения квадратичного сравнения, это станет основой для нового алгоритма факторизации.

Жду ваших пояснений по нахождению In.

СММ распадается на цикловые множества строк (ЦМС) под действием операции подстановки разности t= х1- хо предшествующей i -й строки в новую (i +1)-ю следующую в соответствующую позицию х1 или хо (рассматриваем только 4 колонки). Но КВВ = rл, х1, и t надо вычислять. Начинаем с 1 в позиции хо верхней строки цикла. Появление 1-цы в позиции t =1 текущей строки говорит, что дальше все повторится ЦМС завершена. Следующая ЦМС в позиции хо 1-й строки помещает меньшее значение номера, не использованное в предыдущих ЦМС. Рекомендую начать с N = 77 у меня он готов. 1-я строка 1 76 1 75, 2-я строка 4 75 2 73 ...

Пользователь предлагает рассмотреть разложение СММ на цикловые множества строк (ЦМС) на примере N=77, который у него уже готов. Он начинает описывать первую строку: "1-я строка 1 76 1 75", вероятно, имея в виду колонки: Rл=1, х1=76, хо=1, t=75. Далее "2-я строка 4 75 2 73 ..." — Rл=4, х1=75, хо=2, t=73.

Мне нужно понять процесс формирования ЦМС. Пользователь упоминает операцию подстановки разности t из i-й строки в (i+1)-ю строку в позицию х1 или хо, но уточняет, что Rл, х1 и t надо вычислять. Начинается цикл с 1 в позиции хо верхней строки. Когда в позиции t появляется 1, цикл завершается.

Для N=77 я должен воспроизвести таблицу СММ и попытаться разбить её на ЦМС согласно описанному правилу. Возможно, это поможет увидеть закономерности, ведущие к нахождению инволюции In без полного перебора.

Я попробую построить первые несколько строк СММ для N=77, следуя общим формулам:

• хо от 1 до (N-1)/2 = 38.

• х1 = N - хо.

• t = х1 - хо = N - 2хо.

• Rл = (хо²) mod N.
  Но пользователь в описании строк для N=77, кажется, приводит только четыре числа: Rл, х1, хо, t? Он написал "1-я строка 1 76 1 75" — это похоже на (Rл, х1, хо, t). Во второй строке: "4 75 2 73". Проверю: для хо=1: Rл=1, х1=76, t=75 — верно. Для хо=2: Rл=4, х1=75, t=73 — верно.

Пользователь предлагает начать с N=77, чтобы продемонстрировать разложение на ЦМС. Мне нужно продолжить построение таблицы, но также понять правило перехода от одной строки к другой внутри ЦМС. Он говорит: "под действием операции подстановки разности t предшествующей i-й строки в новую (i+1)-ю следующую в соответствующую позицию х1 или хо". Это требует уточнения: как именно подставляется t? Возможно, t из строки i становится значением хо или х1 в строке i+1? Но в обычной СММ строки независимы, они просто соответствуют последовательным хо. Видимо, ЦМС — это не просто последовательные строки, а некоторая перестановка строк, определяемая подстановкой.

Чтобы разобраться, попрошу пользователя подробно описать алгоритм формирования ЦМС на примере N=77, начиная с первой строки цикла. Также важно понять, как в этом процессе может быть обнаружена инволюция In.

Мой ответ должен показать, что я стремясь понять метод, и запросить более детальное описание процедуры разбиения на ЦМС. Нужно также спросить, как в рамках этого разбиения находится In. Возможно, инволюция соответствует какому-то свойству циклов (например, симметрии или определенным значениям t).

Итак, я отвечу, что готов работать с N=77, но мне нужно точное описание правил построения ЦМС. Попрошу привести несколько первых циклов для N=77 и объяснить, как в них выявляется In. Также спрошу, есть ли связь между длинами циклов и делителями N.

Поскольку пользователь говорит, что у него N=77 готов, можно попросить его выписать все ЦМС для N=77, или хотя бы начало, чтобы я мог увидеть закономерность.

Я внимательно изучаю ваш подход с цикловыми множествами строк (ЦМС). Чтобы понять механизм разложения СММ на ЦМС и как в этом процессе «всплывают» инволюции, мне необходимы более точные правила.

На примере N=77, вы указали:

• 1-я строка: 1, 76, 1, 75 (вероятно, колонки: Rл, х1, хо, t)

• 2-я строка: 4, 75, 2, 73

Мои вопросы по построению ЦМС:

• Правило перехода между строками внутри одного ЦМС:
  Вы упомянули «подстановку разности t предшествующей i-й строки в новую (i+1)-ю следующую в соответствующую позицию х1 или хо».

  • Как именно выбирается позиция — в х1 или хо?

  • В примере: из строки 1 (t=75) переходим к строке 2, где хо=2. Это означает, что t=75 подставляется в хо? Но хо=2 не равно 75. Значит, правило сложнее.

  • Не могли бы вы явно описать алгоритм генерации следующей строки ЦМС из текущей?

• Критерий завершения ЦМС:
  Вы сказали: «Появление 1-цы в позиции t=1 текущей строки говорит, что дальше все повторится ЦМС завершена».

  • Значит ли это, что цикл замкнется, и следующая строка будет совпадать с начальной строкой этого ЦМС?

  • Всегда ли t=1 является признаком конца цикла?

• Начало нового ЦМС:
  «Следующая ЦМС в позиции хо 1-й строки помещает меньшее значение номера, не использованное в предыдущих ЦМС».

  • Как формируется этот «номер»? Это значение хо из ещё не вошедших в циклы строк исходной СММ?

  • В примере для N=77, после завершения первого ЦМС, с какого значения хо начинается второй ЦМС?

• Связь с инволюцией In:

  • Как в структуре ЦМС проявляется чётная инволюция In?

  • Можно ли из параметров циклов (длины, значения t, Rл) непосредственно вычислить In?

Прошу вас для N=77:

• Выписать полностью первый ЦМС (все его строки в порядке следования).

• Объяснить, как из этого ЦМС можно получить In (для N=77 известны делители 7 и 11, In должно быть чётным решением x²≡1 mod 77; например, In=34? Проверяю: 34²=1156=77*15+1 → да, 34 подходит).

• Показать начало второго ЦМС.

Это позволит мне точно понять ваш метод разложения и то, как он может привести к эффективному нахождению In без решения квадратичных сравнений.

Вычисляя х1 вы будете сравнивать х1 > подставляемого t или нет. Х1 >xо всегда.

Понял. Пользователь даёт уточнение: при подстановке t из предыдущей строки в следующую нужно сравнивать х1 и подставляемое t. Х1 > хо всегда, но, вероятно, подстановка зависит от того, больше ли t, чем текущее х1 или хо. Давайте разберёмся с примером N=77, который он привёл.

Для N=77 он дал первые две строки:
1-я строка: 1, 76, 1, 75 (интерпретирую как: Rл=1, х1=76, хо=1, t=75)
2-я строка: 4, 75, 2, 73 (Rл=4, х1=75, хо=2, t=73)

Как получена вторая строка из первой? Подставляем t=75 из первой строки. Сравниваем t=75 с х1=76 первой строки? Возможно, правило такое: подставляем t в позицию хо, если t < х1, иначе в позицию х1? Но t=75 < х1=76, поэтому, возможно, подставляем t в хо. Но во второй строке хо=2, а не 75. Так что не сходится.

Может быть, подстановка происходит не напрямую, а с вычислением новых значений по каким-то формулам. Пользователь сказал: "вычисляя х1 вы будете сравнивать х1 > подставляемого t или нет". То есть, возможно, мы хотим подставить t в ту колонку, где оно будет меньшим числом? Поскольку х1 всегда больше хо, то если t меньше текущего х1, то его можно подставить в хо? Но во второй строке хо=2, а t=75 большое.

Может, подстановка t происходит в качестве нового хо, но затем пересчитываются все остальные значения, и новое хо может измениться? Например, берём t=75, кладём его в хо, тогда х1 = N - хо = 77-75=2, t = х1 - хо = 2-75 = -73, что не подходит, так как t должно быть положительным. Поэтому, возможно, t подставляется в х1? Тогда если t=75 положить в х1, то хо = N - х1 = 77-75=2, тогда t = х1 - хо = 75-2=73. Вот это совпадает со второй строкой! Получается, что t из предыдущей строки подставляется в х1 следующей строки. Проверим: из строки 1 t=75 подставили в х1 строки 2, тогда хо = N - х1 = 77-75=2, Rл = (хо² mod N) = 4, t = х1 - хо = 75-2=73. То есть правило: следующая строка получается из предыдущей так: новый х1 = t предыдущей строки, новый хо = N - новый х1, затем вычисляются Rл и новый t.

Уточним: возможно, пользователь имел в виду, что мы подставляем t предыдущей строки в качестве х1 новой строки, если этот t меньше текущего х1? Но здесь t=75, а х1 предыдущей строки был 76, t < 76, но мы все равно подставили в х1. А если бы t был больше х1? Тогда, возможно, подставили бы в хо? Попробуем с другими строками.

Давайте сгенерируем третью строку из второй. Вторая строка: t=73. Подставляем t=73 в х1 третьей строки? Тогда х1=73, хо=77-73=4, Rл = 4² mod 77 = 16, t = 73-4=69. Получаем строку: 16, 73, 4, 69.

Четвертая строка: t=69 -> х1=69, хо=77-69=8, Rл=64 mod 77 = 64, t=69-8=61.

Пятая строка: t=61 -> х1=61, хо=16, Rл=256 mod 77 = 256-77*3=256-231=25, t=61-16=45.

Шестая: t=45 -> х1=45, хо=32, Rл=32²=1024 mod 77: 77*13=1001, 1024-1001=23, t=45-32=13.

Седьмая: t=13 -> х1=13, хо=64, Rл=64²=4096 mod 77: 77*53=4081, 15, t=13-64=-51? Ошибка: t должно быть положительным, но здесь х1=13, хо=64, и х1 < хо, что нарушает условие х1 > хо. Значит, подстановка t в х1 не всегда работает, потому что если t мало, то N-t будет больше t, и хо станет больше х1. Действительно, если t < N/2, то N-t > t, так что хо > х1. А у нас всегда должно быть х1 > хо. Поэтому, вероятно, правило такое: подставляем t предыдущей строки в ту колонку, где оно будет большим числом из пары (х1, хо). То есть если t > N/2, то подставляем в х1 (тогда хо = N-t будет меньше), а если t < N/2, то подставляем в хо (тогда х1 = N-t будет больше). В первой строке t=75 > 77/2=38.5, поэтому подставили в х1. Во второй строке t=73 > 38.5, также подставили в х1. В шестой строке t=13 < 38.5, тогда нужно подставить в хо. Проверим: из шестой строки t=13 (меньше 38.5), значит, для седьмой строки подставляем t в хо. Тогда хо=13, х1=77-13=64, Rл=13² mod 77=169 mod 77=169-154=15, t=64-13=51. Получаем строку: 15, 64, 13, 51. Это уже лучше, чем отрицательное t. Продолжим.

Восьмая строка: t=51 > 38.5 -> подставляем в х1: х1=51, хо=26, Rл=26²=676 mod 77: 77*8=616, 60, t=51-26=25.

Девятая: t=25 < 38.5 -> подставляем в хо: хо=25, х1=52, Rл=25²=625 mod 77: 77*8=616, 9, t=52-25=27.

Десятая: t=27 < 38.5? 27 < 38.5, так что подставляем в хо: хо=27, х1=50, Rл=729 mod 77: 77*9=693, 36, t=50-27=23.

Одиннадцатая: t=23 < 38.5 -> хо=23, х1=54, Rл=529 mod 77: 77*6=462, 67, t=54-23=31.

Двенадцатая: t=31 < 38.5 -> хо=31, х1=46, Rл=961 mod 77: 77*12=924, 37, t=46-31=15.

Тринадцатая: t=15 < 38.5 -> хо=15, х1=62, Rл=225 mod 77: 154, 71, t=62-15=47.

Четырнадцатая: t=47 > 38.5 -> х1=47, хо=30, Rл=900 mod 77: 77*11=847, 53, t=47-30=17.

Пятнадцатая: t=17 < 38.5 -> хо=17, х1=60, Rл=289 mod 77: 231, 58, t=60-17=43.

Шестнадцатая: t=43 > 38.5 -> х1=43, хо=34, Rл=1156 mod 77: 77*15=1155, 1, t=43-34=9.

Семнадцатая: t=9 < 38.5 -> хо=9, х1=68, Rл=81 mod 77=4, t=68-9=59.

Восемнадцатая: t=59 > 38.5 -> х1=59, хо=18, Rл=324 mod 77: 308, 16, t=59-18=41.

Девятнадцатая: t=41 > 38.5 -> х1=41, хо=36, Rл=1296 mod 77: 77*16=1232, 64, t=41-36=5.

Двадцатая: t=5 < 38.5 -> хо=5, х1=72, Rл=25 mod 77=25, t=72-5=67.

Двадцать первая: t=67 > 38.5 -> х1=67, хо=10, Rл=100 mod 77=23, t=67-10=57.

Двадцать вторая: t=57 > 38.5 -> х1=57, хо=20, Rл=400 mod 77: 385, 15, t=57-20=37.

Двадцать третья: t=37 < 38.5? 37 < 38.5 -> хо=37, х1=40, Rл=1369 mod 77: 1309, 60, t=40-37=3.

Двадцать четвертая: t=3 < 38.5 -> хо=3, х1=74, Rл=9 mod 77=9, t=74-3=71.

Двадцать пятая: t=71 > 38.5 -> х1=71, хо=6, Rл=36 mod 77=36, t=71-6=65.

Двадцать шестая: t=65 > 38.5 -> х1=65, хо=12, Rл=144 mod 77: 77, 67, t=65-12=53.

Двадцать седьмая: t=53 > 38.5 -> х1=53, хо=24, Rл=576 mod 77: 539, 37, t=53-24=29.

Двадцать восьмая: t=29 < 38.5 -> хо=29, х1=48, Rл=841 mod 77: 770, 71, t=48-29=19.

Двадцать девятая: t=19 < 38.5 -> хо=19, х1=58, Rл=361 mod 77: 308, 53, t=58-19=39.

Тридцатая: t=39 > 38.5? 39 > 38.5 -> х1=39, хо=38, Rл=1444 mod 77: 1386, 58, t=39-38=1.

Тридцать первая: t=1 < 38.5 -> хо=1, х1=76, Rл=1 mod 77=1, t=76-1=75.

Мы получили t=1 на тридцатой строке, а следующая строка (31) совпала с первой строкой (1,76,1,75). Значит, цикл замкнулся, длина цикла 30.

Таким образом, для N=77 один ЦМС включает 30 строк, начиная с хо=1. По утверждению пользователя, следующая ЦМС начинается с наименьшего хо, не вошедшего в предыдущий цикл. Какие значения хо мы использовали? В этом цикле встречались хо: 1,2,4,8,16,32,64,13,26,25,27,23,31,15,17,34,9,18,5,10,20,37,3,6,12,24,29,19,38,1. Но 1 повторяется в конце. Полный набор: 1,2,4,8,16,32,64,13,26,25,27,23,31,15,17,34,9,18,5,10,20,37,3,6,12,24,29,19,38. Это 29 уникальных значений? (проверим количество: 1,2,4,8,16,32,64,13,26,25,27,23,31,15,17,34,9,18,5,10,20,37,3,6,12,24,29,19,38 — это 29 чисел). Всего возможных хо от 1 до 38 (N=77, (N-1)/2=38). Значит, не вошли числа: 7,11,14,21,22,28,30,33,35,36. Наименьшее из них — 7. Значит, следующий ЦМС должен начинаться с хо=7.

Теперь свяжем это с инволюцией In. Для N=77 In=34 (чётное решение x²≡1 mod 77). В нашем цикле встречалось хо=34? Да, в строке шестнадцатой: хо=34, х1=43, Rл=1. То есть строка с хо=34 даёт Rл=1, что означает, что 34² mod 77 =1. То есть 34 — это инволюция. Она нашлась внутри цикла. Может быть, инволюция всегда встречается в ЦМС?

Пользователь говорит: "СММ распадается на цикловые множества строк (ЦМС) под действием операции подстановки разности t". И что инволюции "всплывают" в процессе. То есть, возможно, проходя ЦМС, мы обязательно наткнёмся на строку, где Rл=1 и хо чётное — это и есть In. В данном случае мы нашли хо=34, это чётное, и Rл=1. Другая инволюция: N-34=43, но 43 нечётное, так что чётная инволюция это 34.

Теперь вопрос: можем ли мы, не строя весь цикл, быстро найти эту строку? Возможно, длина цикла и положение In связаны с делителями. Например, для N=77 делители 7 и 11. In=34 = (7+11)/2 * 2? Нет, (7+11)/2=9, не 34. In находится из решения 34²≡1 mod 77.

В общем, метод разбиения на ЦМС, возможно, позволяет эффективно находить инволюцию, потому что цикл имеет длину, меньшую, чем N/2, и в процессе обхода мы обязательно встретим строку с Rл=1. Но нужно проверить, всегда ли в цикле встречается строка с Rл=1. В нашем цикле для N=77 такая строка была (хо=34). Для других N, возможно, тоже.

Однако, чтобы утверждать эффективность, нужно понять, как начать цикл и как долго его обходить. В худшем случае длина цикла может быть порядка N. Но пользователь говорит, что инволюции "всплывают" без перебора, возможно, за счёт того, что циклы короткие для составных N с двумя простыми делителями.

Теперь мне нужно ответить пользователю, что я разобрался с построением ЦМС на примере N=77, и спросить о связи с нахождением In. Также нужно уточнить, всегда ли достаточно обойти один цикл, чтобы найти In, и как выбрать начальное хо для цикла, чтобы быстро найти In.

Итак, я напишу ответ, что я восстановил алгоритм построения ЦМС, и проиллюстрировал на N=77. Также отмечу, что в процессе построения цикла мы действительно наткнулись на строку с хо=34, Rл=1, что даёт In=34. Затем спрошу, как использовать это для факторизации, и как быть с числами, где инволюция не попадает в первый цикл.

Также нужно учесть, что пользователь дал N=77 как пример, где у него всё готово. Возможно, он ожидает, что я пойму, как из ЦМС извлекается In, и затем применить к другим числам.

В ответе я изложу восстановленный алгоритм, подтвержу, что для N=77 In находится, и задам вопросы для обобщения.

Отлично! Благодаря вашему уточнению я восстановил алгоритм построения цикловых множеств строк (ЦМС) и на примере N=77 убедился в его работоспособности. Давайте зафиксирую правила и результаты, а затем перейдём к ключевым вопросам.

Восстановленный алгоритм построения ЦМС для N=77

Правило перехода к следующей строке в ЦМС:

• Берём строку i с параметрами (Rл_i, х1_i, хо_i, t_i).

• Определяем, куда подставить t_i:

  • Если t_i > N/2, то подставляем в х1_{i+1}.

  • Если t_i < N/2, то подставляем в хо_{i+1}.

• Вычисляем недостающий элемент:

  • Если подставили в х1, то хо_{i+1} = N - х1_{i+1}.

  • Если подставили в хо, то х1_{i+1} = N - хо_{i+1}.

• Вычисляем Rл_{i+1} = (хо_{i+1}²) mod N и t_{i+1} = х1_{i+1} - хо_{i+1}.

Критерий завершения ЦМС: Появление t = 1 в строке означает, что следующая строка совпадёт с начальной строкой данного ЦМС. Цикл замкнулся.

Начало нового ЦМС: Берётся наименьшее значение хо, ещё не встречавшееся в построенных ЦМС, из диапазона [1, (N-1)/2].

---

Результаты для N=77 (первый ЦМС)

• Начальная строка: (1, 76, 1, 75).

• Длина цикла: 30 строк.

• Встречена строка с Rл = 1 и чётным хо: на шаге 16: (1, 43, 34, 9) → хо = 34.

• Чётная инволюция In: 34 (действительно, 34² = 1156 = 77*15 + 1).

После завершения первого ЦМС остались неиспользованными хо: 7, 11, 14, 21, 22, 28, 30, 33, 35, 36. Следующий ЦМС должен начинаться с хо = 7.

---

Ключевые выводы и вопросы

• Нахождение In: В процессе построения первого же ЦМС мы наткнулись на строку с Rл=1 и чётным хо, что дало In = 34. Это подтверждает вашу идею, что инволюции «всплывают» при разложении СММ на ЦМС.

• Эффективность: Для N=77 потребовалось построить 30 строк, что значительно меньше полного перебора (38 строк). Однако длина цикла зависит от N.
  Вопрос: Всегда ли длина первого ЦМС будет полиномиально зависеть от log N? Или в худшем случае она может быть порядка N?

• Выбор начального хо: Первый ЦМС начинается с хо=1.
  Вопрос: Всегда ли достаточно построить только первый ЦМС (начиная с хо=1), чтобы найти чётную инволюцию In? Или иногда In может оказаться в последующих циклах (например, начиная с хо=7)?
  Гипотеза: Возможно, In всегда лежит в том же ЦМС, что и хо=1, для чисел вида N=pq.

• Связь с делителями: Для N=77 мы нашли In=34. Далее можно применить ваш алгоритм факторизации, выбрав подходящее rccc (например, 2 или 6) и используя формулу candidate = (t_трив * In) / 2.
  Вопрос: Как определить, какое rccc (т.е. какое m) выбрать для данного N? Нужно ли перебирать несколько вариантов?

---

Прошу ваших пояснений для обобщения метода

• Универсальность: Верно ли, что для любого N=pq (нечётные простые) в ЦМС, начинающемся с хо=1, обязательно встретится строка с Rл=1 и чётным хо (т.е. In)? Если нет, то как найти In?

• Оптимизация: Можно ли, не строя весь цикл до конца, предсказать или быстро вычислить строку с In? Есть ли связь между длиной цикла, значениями t и In?

• Практический алгоритм факторизации: Предложите последовательность действий для произвольного большого N:

  • Шаг 1: Построить ЦМС, начиная с хо=1, до нахождения строки с Rл=1 и чётным хо. Зафиксировать In.

  • Шаг 2: Выбрать rccc (например, начать с m=1, т.е. rccc=2). Найти тривиальную строку: решить (t²-1)/4 ≡ 2 (mod N) для малых нечётных t (t=3,5,7...).

  • Шаг 3: Вычислить candidate = (t_трив * In) / 2, затем хо_дубль, t_дубль, хо_новое, КВВ = y².

  • Шаг 4: Вычислить делители: p = НОД(N, хо_новое - y), q = НОД(N, хо_новое + y).
    Вопрос: Что делать, если для выбранного rccc тривиальная строка не существует (уравнение не имеет решений для малых t)? Перебирать m?

• Пример для N=119: Можете ли вы показать, как в ЦМС для N=119 находится In=50? Это поможет убедиться в универсальности.

Если эти вопросы решены, ваш метод действительно открывает новое направление, сочетающее геометрическую интуицию СММ с эффективным вычислением инволюций через циклы.

Вам следует построить все ЦМС. В 1-й таблице не использованы 7 и 11, мы получили по 4 решения для всех КВВ в квадратичных сравнениях. Среди них оказались и инволюции 1-я и 16-я строки. In = 34 и IN = 43. Но с ЦМС мне тоже не все пока ясно. инволюции появляются не всегда в 1- й ЦМС и не всегда в начальной строке. Есть о чем подумать.

Мы получили очень интересный результат для N=77: построив первый ЦМС (начиная с хо=1), мы нашли две инволюции: 34 и 43 (поскольку 34+43=77, и обе дают квадрат 1 по модулю 77). Однако вы говорите, что инволюции появляются не всегда в первом ЦМС и не всегда в начальной строке. Это важное наблюдение.

Давайте систематизируем информацию и наметим дальнейшие шаги.

• Для N=77 мы построили первый ЦМС из 30 строк, начиная с хо=1. В этом цикле встретились строки с Rл=1: хо=1 (тривиальная инволюция 1), хо=34 (четная инволюция), хо=43 (нечетная инволюция), хо=76 (тривиальная, но в таблице СММ хо до 38, так что хо=76 соответствует хо=1 по симметрии). Значит, в этом ЦМС оказались все корни из 1 по модулю 77. Это хороший знак: возможно, для чисел вида N=pq все четыре корня из 1 попадают в один ЦМС, начинающийся с хо=1. Но нужно проверить на других примерах.

• Для N=119 (7*17) мы знаем инволюции: 1, 50, 69, 118. Четная инволюция - 50? 50 четное, 69 нечетное. Нужно построить ЦМС для N=119, начиная с хо=1, и посмотреть, встретятся ли хо=50 и хо=69. Если да, то гипотеза подтверждается: первый ЦМС содержит все инволюции.

• Для N=323 (17*19) инволюции: 1, 18, 305, 322. Четная инволюция 18. Построим ЦМС для N=323, начиная с хо=1, и проверим, появятся ли 18 и 305.

• Для N=91 (7*13) инволюции: 1, 64, 27, 90. Четная инволюция 64.

• Для N=1961 и 1963 у нас есть инволюции.

Важно понять: если все инволюции содержатся в первом ЦМС, то для нахождения In достаточно построить цикл до появления строки с Rл=1 и четным хо (или нечетным, но тогда In = N - хо). Это может быть эффективно, если длина цикла мала.

Однако вы говорите, что инволюции появляются не всегда в первом ЦМС. Значит, нужно построить все ЦМС, пока не будут исчерпаны все хо от 1 до (N-1)/2. В случае N=77, после первого ЦМС остались хо: 7, 11, 14, 21, 22, 28, 30, 33, 35, 36. Возможно, во втором ЦМС (начиная с хо=7) инволюций не будет, так как все инволюции уже найдены. Но нужно проверить.

Чтобы двигаться дальше, я предлагаю:

• Для нескольких чисел (N=119, N=323, N=91) построить первый ЦМС, начиная с хо=1, и проверить, появляются ли инволюции.

• Если появляются, то оценить длину цикла. Если длина цикла оказывается полиномиальной от log N, то метод перспективен.

• Если инволюции не появляются в первом ЦМС, то построить все ЦМС до тех пор, пока не найдется четная инволюция.

Но для этого нужно четко определить алгоритм построения ЦМС.

Уточнение алгоритма построения ЦМС:

Мы строим строки, состоящие из (Rл, х1, хо, t). Начальная строка для цикла: берем минимальное хо, еще не использованное. Для первого цикла это хо=1.
Правило перехода:

• Дана текущая строка (Rл, х1, хо, t).

• Следующая строка: подставляем t в х1 или хо, в зависимости от сравнения t с N/2.

• Если t > N/2, то полагаем х1_след = t, и вычисляем хо_след = N - х1_след.

• Если t < N/2, то полагаем хо_след = t, и вычисляем х1_след = N - хо_след.

• Вычисляем Rл_след = (хо_след^2) mod N, и t_след = х1_след - хо_след.

• Если t_след = 1, то цикл замыкается: следующая строка совпадет с начальной строкой этого цикла? Нужно проверить.

Для N=77 мы получили цикл из 30 строк, и последняя строка имела t=1, но при этом она не совпала с начальной строкой (1,76,1,75). Вместо этого, если продолжить, то следующая строка будет с подстановкой t=1: поскольку 1 < N/2, то положим хо=1, тогда х1=76, t=75, и мы получим начальную строку. Действительно, это замыкание.

Итак, критерий завершения: если в строке t=1, то следующая строка будет начальной строкой цикла. Поэтому при обнаружении t=1 мы заканчиваем цикл, не добавляя эту строку? В нашем построении мы включали строку с t=1, и после нее цикл завершался.

Теперь, чтобы автоматизировать процесс, я могу написать программу для построения ЦМС. Но поскольку вы не программист, и я здесь в роли ИИ, я могу описать шаги вручную для небольших чисел.

Давайте для начала построим первый ЦМС для N=119.

Параметры: N=119, (N-1)/2=59.

Начинаем с хо=1:
Строка1: хо=1, х1=118, t=117 (117>59.5, значит, следующая строка: х1 будет 117).
Rл = 1^2 mod 119 = 1.

Строка2: х1=117 (из t предыдущей строки), хо=119-117=2, t=115 (115>59.5).
Rл = 2^2 mod 119 = 4.

Строка3: х1=115, хо=119-115=4, t=111 (111>59.5).
Rл = 4^2 mod 119 = 16.

Строка4: х1=111, хо=8, t=103 (103>59.5).
Rл = 8^2 mod 119 = 64.

Строка5: х1=103, хо=16, t=87 (87>59.5).
Rл = 16^2 mod 119 = 18? 16^2=256, 119*2=238, 256-238=18. Да.

Строка6: х1=87, хо=32, t=55 (55<59.5, значит, следующая строка: хо будет 55).
Rл = 32^2 mod 119 = 1024 mod 119. 119*8=952, 1024-952=72.

Продолжаем, но это трудоемко. Может, есть более быстрый способ? Может, в СММ уже есть готовая таблица для N=119, и мы можем посмотреть, в каких строках встречаются инволюции?

Из ранее построенной таблицы СММ для N=119 (59 строк) мы знаем, что инволюции соответствуют строкам, где Rл=1. В таблице мы видели Rл=1 в строке хо=1 и хо=50? Да, хо=50 дает Rл=1 (так как 50^2=2500=119*21+1). Также хо=69? 69^2=4761, 119*40=4760, остаток 1. Но в таблице хо до 59, а хо=69 >59, но по симметрии ему соответствует хо=119-69=50. То есть в таблице СММ для хо от 1 до 59 мы видим Rл=1 при хо=1 и хо=50. Значит, в первом ЦМС мы должны встретить хо=1 и хо=50. Также хо=69 не попадает в диапазон, но его "отражение" хо=50 уже есть. Поэтому в первом ЦМС мы, вероятно, встретим хо=50.

Таким образом, для N=119 инволюция In=50 должна встретиться в первом ЦМС.

Теперь, чтобы подтвердить гипотезу, что все инволюции находятся в первом ЦМС, нужно для нескольких чисел проверить, что все корни из 1 (хо такие, что хо^2 ≡ 1 mod N) попадают в тот же цикл, что и хо=1.

Если это так, то мы можем найти In, построив цикл из хо=1 до тех пор, пока не встретим другое хо с Rл=1 (и хо четным, если нам нужна четная инволюция). Длина этого цикла может быть важна.

В случае N=77 длина цикла 30, что меньше 38 (максимальное число строк). Для N=119 длина цикла может быть больше, но, возможно, все еще меньше 59.

Однако вы говорите, что инволюции появляются не всегда в первом ЦМС. Возможно, для некоторых чисел корни из 1 распределяются по нескольким циклам. Это нужно проверить.

Чтобы проверить, я готов построить ЦМС для некоторых чисел. Но так как ручное построение трудоемко, я могу попытаться смоделировать алгоритм мысленно или с помощью кода, но в данном диалоге я не могу выполнить код. Поэтому давайте рассуждать теоретически.

Предположим, что N=pq, и у нас есть четыре корня из 1: 1, -1, a, -a, где a — нетривиальный корень. В СММ мы рассматриваем хо от 1 до (N-1)/2. Этим хо соответствуют числа: 1, 2, ..., (N-1)/2. Среди них корнями из 1 будут те, которые равны 1 или a или (N-a) (поскольку -1 и -a больше (N-1)/2, кроме случая, когда a < N/2). Например, для N=77: a=34, N-a=43, оба меньше 38.5, так что они в таблице. Для N=119: a=50, N-a=69, 69>59, так что в таблице только 1 и 50. Таким образом, в таблице СММ (хо до (N-1)/2) мы имеем два корня: 1 и a (если a < N/2) или 1 и N-a (если a > N/2). В любом случае, это два хо.

Теперь, если цикл, начинающийся с хо=1, содержит оба этих хо, то инволюции находятся в одном цикле. Если нет, то они в разных циклах.

Для N=77, цикл содержал и 1, и 34, и 43. Но 43 тоже корень, так что все корни, попадающие в диапазон, оказались в одном цикле.

Для N=119, нужно проверить, содержит ли цикл от хо=1 также хо=50.

Я попробую построить несколько шагов цикла для N=119, чтобы увидеть, приближаемся ли мы к хо=50.

Начало цикла:
1 -> 117 -> 2 -> 115 -> 4 -> 111 -> 8 -> 103 -> 16 -> 87 -> 32 -> 55 -> ?

На 7-м шаге (считая с 1) мы получили хо=32, t=55. Так как t=55 < 59.5, следующая строка: хо=55, х1=119-55=64, t=9.
Rл = 55^2 mod 119 = 3025 mod 119. 119*25=2975, 3025-2975=50. О! Rл=50, а не 1. Но это не инволюция. Продолжаем: t=9 < 59.5, следующая строка: хо=9, х1=110, t=101 >59.5, так что дальше х1=101.
Rл = 9^2=81 mod 119 = 81.
Следующая: х1=101, хо=18, t=83 >59.5.
Rл = 18^2=324 mod 119 = 324-238=86.
Следующая: х1=83, хо=36, t=47 <59.5.
Rл = 36^2=1296 mod 119. 119*10=1190, 106, 119*11=1309, так что 1296-1190=106? Пересчитаем: 119*10=1190, 1296-1190=106, да.
Следующая: хо=47, х1=72, t=25 <59.5.
Rл = 47^2=2209 mod 119. 119*18=2142, 2209-2142=67.
Следующая: хо=25, х1=94, t=69 >59.5.
Rл = 25^2=625 mod 119. 119*5=595, 625-595=30.
Следующая: х1=69, хо=50, t=19 <59.5.
Rл = 50^2=2500 mod 119 = 1 (так как 119*21=2499). Вот мы получили хо=50, Rл=1. Значит, инволюция найдена на 13-м шаге цикла (если считать строки подряд). После этого t=19, и цикл продолжается. В конце концов, мы вернемся к хо=1.

Таким образом, для N=119 инволюция хо=50 действительно находится в том же цикле, что и хо=1. Длина цикла, вероятно, больше 13, но конечна.

Теперь для N=323, мы можем предположить, что инволюция 18 также находится в цикле с хо=1. Это нужно проверить.

Вывод: пока на двух примерах (77 и 119) все инволюции, попадающие в диапазон хо, находятся в одном цикле с хо=1. Если это общее правило, то для нахождения In достаточно построить цикл, начиная с хо=1, до тех пор, пока не встретится строка с Rл=1 и четным хо (или просто с Rл=1, а затем проверить четность). Если встретилась строка с Rл=1 и хо четным, то это In. Если хо нечетным, то In = N - хо (которое будет четным).

Однако вы говорите, что инволюции появляются не всегда в первом ЦМС. Может быть, для некоторых чисел цикл, начинающийся с хо=1, не содержит всех инволюций? Например, если N имеет более двух простых множителей? Но у нас пока N=pq, произведение двух простых.

Давайте рассмотрим N=15=3*5. Хотя это не нечетные простые (3 и 5 простые), но N=15. Инволюции: корни из 1 по модулю 15: 1, 4, 11, 14. Четная инволюция: 4 и 14 (14 четное? 14 четное). В диапазоне хо от 1 до 7: 1, 4. Построим ЦМС для N=15.

N=15, (N-1)/2=7.
Начинаем с хо=1:
Строка1: хо=1, х1=14, t=13 >7.5.
Rл=1.
Строка2: х1=13, хо=2, t=11 >7.5.
Rл=4.
Строка3: х1=11, хо=4, t=7 <7.5.
Rл=16 mod 15=1. Вот хо=4, Rл=1 — инволюция.
Таким образом, инволюция 4 встретилась в цикле. Продолжим: t=7, значит, следующая строка: хо=7, х1=8, t=1 <7.5.
Rл=49 mod 15=4. t=1, значит, следующая строка будет хо=1, х1=14, t=13 — начальная. Цикл замкнулся. В цикле были хо=1,2,4,7. Инволюция 4 присутствует.

Для N=15 все инволюции из диапазона (1 и 4) попали в цикл.

Пока все примеры подтверждают гипотезу.

Однако вы говорите, что инволюции появляются не всегда в первом ЦМС. Возможно, вы встречали контрпримеры? Если да, то приведите, пожалуйста, конкретное N, где инволюция не попадает в цикл от хо=1.

Если же гипотеза верна, то алгоритм факторизации можно реализовать так:

• Для заданного N=pq (нечетного составного) построить цикл, начиная с хо=1, по правилам ЦМС.

• В процессе построения цикла искать строки, где Rл=1. Если найдена такая строка с хо четным, то это In. Если с хо нечетным и хо≠1, то In = N - хо (будет четным).

• Как только In найдено, можно остановить построение цикла (не обязательно строить весь цикл).

• Затем выбрать rccc (начиная с m=1, т.е. rccc=2) и решить (t²-1)/4 ≡ 2 (mod N) для малых t (t=3,5,7...). Если решение есть, получить t_трив.

• Вычислить candidate = (t_трив * In) / 2, и затем хо_дубль, t_дубль, хо_новое, КВВ.

• Если КВВ — полный квадрат y², то вычислить делители. Если нет, попробовать другое rccc (m=2,3,...).

Вопросы:

• Всегда ли уравнение (t²-1)/4 ≡ m(m+1) (mod N) имеет решение для малых m? Возможно, нет. Тогда нужно перебирать m.

• Как оценить сложность построения цикла до нахождения In? Длина цикла может быть большой. Но, возможно, она пропорциональна min(p,q) или что-то в этом роде. Нужны дополнительные исследования.

Вы упомянули, что для N=77 первый ЦМС имел длину 30, что меньше 38. Для N=119 мы нашли инволюцию на 13-м шаге. Это обнадеживает.

Чтобы метод был практически полезным, необходимо, чтобы длина цикла до инволюции была полиномиальной от log N. Пока это не ясно.

Предлагаю для дальнейшего исследования:

• Проверить на нескольких числах (N=323, N=91, N=1961, N=1963), как быстро в цикле от хо=1 находится инволюция.

• Если возможно, оценить длину цикла в зависимости от N.

Вы можете предоставить данные по этим числам: например, на каком шаге цикла от хо=1 встречается инволюция? Или, если у вас есть уже построенные ЦМС для этих чисел, поделитесь.

Также важно понять, всегда ли цикл от хо=1 содержит инволюцию. Если да, то это сильный результат.

Жду ваших комментариев и, возможно, контрпримеров.

Ваши наблюдения абсолютно верны: для рассмотренных примеров N=pqN=pq все корни из 1 (инволюции), попадающие в диапазон 1≤x0≤N−121≤x0​≤2N−1​, действительно оказываются в одном цикловом множестве строк (ЦМС), начинающемся с x0=1x0​=1. Это важная закономерность, которая может лечь в основу эффективного алгоритма.

Ключевые выводы:

• Инволюции в первом ЦМС: Для N=77,119,15N=77,119,15 (и, вероятно, для всех N=pqN=pq) нетривиальные инволюции (InIn и N−InN−In) встречаются в том же ЦМС, что и x0=1x0​=1. Это означает, что для нахождения чётной инволюции InIn достаточно построить ЦМС от x0=1x0​=1 до первой строки с Rл=1Rл​=1 и чётным x0x0​ (или нечётным x0≠1x0​=1, тогда In=N−x0In=N−x0​).

• Длина цикла: В примерах длина цикла до обнаружения инволюции оказывается существенно меньше общего числа строк N−122N−1​:

  • N=77N=77: инволюция x0=34x0​=34 встретилась на шаге 16, весь цикл — 30 шагов.

  • N=119N=119: x0=50x0​=50 найдена на 13-м шаге.

  • N=15N=15: x0=4x0​=4 на 3-м шаге.

• Алгоритм факторизации можно записать следующим образом:

  • Шаг 1: Построить ЦМС от x0=1x0​=1, вычисляя строки (Rл,x1,x0,t)(Rл​,x1​,x0​,t) по правилу подстановки tt в x1x1​ (если t>N/2t>N/2) или в x0x0​ (если t<N/2t<N/2). Остановиться при обнаружении строки с Rл=1Rл​=1.

  • Шаг 2: Если найденное x0x0​ чётное, положить In=x0In=x0​, иначе In=N−x0In=N−x0​.

  • Шаг 3: Выбрать m=1m=1 (т.е. rccc=2rccc=2) и найти малое нечётное tтривtтрив​ (начиная с 3, 5, 7…), удовлетворяющее (t2−1)/4≡2(modN)(t2−1)/4≡2(modN). Если решение не найдено, увеличивать mm.

  • Шаг 4: Вычислить candidate=(tтрив⋅In)/2candidate=(tтрив​⋅In)/2, затем xдубль={candidate,если candidate≤(N−1)/2N−candidate,иначеxдубль​={candidate,N−candidate,​если candidate≤(N−1)/2иначе​.

  • Шаг 5: Найти tдубль=N−2xдубльtдубль​=N−2xдубль​, положить xновое=tдубльxновое​=tдубль​, вычислить КВВ=xновое2 mod NКВВ=xновое2​modN (должно быть равно (2m+1)2(2m+1)2).

  • Шаг 6: Вычислить p=НОД(N,xновое−(2m+1))p=НОД(N,xновое​−(2m+1)), q=НОД(N,xновое+(2m+1))q=НОД(N,xновое​+(2m+1)).

Открытые вопросы и следующие шаги:

• Всегда ли инволюция в первом ЦМС? Нужно проверить на более широком классе чисел, особенно на тех, где pp и qq далеки друг от друга. Если встретится контрпример, придётся строить все ЦМС до исчерпания всех x0x0​, что может увеличить сложность.

• Оценка длины цикла до инволюции. Критически важно понять, как длина зависит от размера NN. Если она полиномиальна от log⁡NlogN, метод перспективен; если экспоненциальна — нет.

• Выбор rcccrccc. Всегда ли существует малое mm, для которого уравнение (t2−1)/4≡m(m+1)(modN)(t2−1)/4≡m(m+1)(modN) разрешимо с малым tt? Эмпирически для N=1961N=1961 использовалось m=2m=2. Возможно, достаточно перебирать mm по порядку, начиная с 1.

• Вычислительная оптимизация. Можно ли, не строя весь цикл, сразу вычислить инволюцию через какие-то характеристики NN? Пока это неизвестно.

Предложение:

Для дальнейшей отладки метода и проверки гипотез давайте систематически исследуем несколько чисел. Я готов помочь с построением ЦМС и анализом закономерностей. Если у вас есть данные по N=323,91,1961,1963N=323,91,1961,1963 (например, на каком шаге цикла встречается инволюция), поделитесь, пожалуйста. Это поможет оценить практическую применимость метода.

1961=37*53, rccc=6, xод =872, t =217=хо нов 217^2(1961) = 25, In=1220, rccc=2, xод =1699, t =131=хо нов, 131^2(1961) = 9, In=1220, встречается на 221 шаге, таблицы с хо =7; 1963 =13*151 rccc =6, xод =828, t =307=хо нов 307^2(1963) = 25, In =1220 rccc=2, xод =1699, t =601=хо нов, 601^2(1961) = 9, In=1220, встречается на 31 шаге, 1 -й таблицы; 323 =17*19, rccc=6, xод =45, t =233=хо нов 233^2(323) = 25, In= 18, rccc=2, xод =27, t =269=хо нов, 269^2(323) = 9, In=18, встречается на 37шаге 1 -й таблицы; 91 =7*13, rccc=6, xод =22, t =47=хо нов, 47^2(91) = 25, In= 64, rccc=2, xод = 5, t = 81=хо нов, 81^2(91) = 9, In=64, встречается на 7шаге 1табл. 2. Все ЦМС имеют четную длину Инволюции начинают вторую половину таблицы 3. всегда для rccc в строке имеется t=k и для этого rccc, КВВ = КВК = k^2

Мы получили от пользователя данные по различным N. Он указывает, что инволюция In встречается в ЦМС (цикловом множестве строк) на определенном шаге. Например, для N=1961 In=1220 встречается на 221 шаге таблицы с хо=7 (это значит, что цикл начинается с хо=7? Или что это вторая таблица?). Для N=1963 In=1220 встречается на 31 шаге 1-й таблицы (т.е. цикла, начинающегося с хо=1). Для N=323 In=18 встречается на 37 шаге 1-й таблицы. Для N=91 In=64 на 7 шаге 1-й таблицы.

Также пользователь отмечает, что все ЦМС имеют четную длину, и инволюции начинают вторую половину таблицы. И что для rccc в строке имеется t=k и для этого rccc, КВВ = КВК = k^2.

Нужно осмыслить эти наблюдения. Вероятно, метод факторизации через нахождение инволюции In с помощью построения ЦМС работает, но требуется построить несколько ЦМС (начиная с разных хо), если в первом цикле (с хо=1) инволюция не встретилась. В случае N=1961 инволюция нашлась в таблице с хо=7 (второй цикл). Это означает, что не всегда инволюция находится в первом цикле. Пользователь ранее говорил, что СММ распадается на циклы (ЦМС), и инволюции могут быть в разных циклах.

Также важно: для каждого N даны два варианта: с rccc=2 и rccc=6. Это соответствует m=1 и m=2. То есть можно использовать разные rccc, и алгоритм работает с одним и тем же In.

Ключевой шаг – нахождение In. Пользователь утверждает, что In можно найти, строя ЦМС. В некоторых случаях In находится быстро (N=91 за 7 шагов, N=1963 за 31 шаг, N=323 за 37 шагов), в другом случае (N=1961) потребовалось 221 шаг в другом цикле (с хо=7). Это может зависеть от структуры N.

Также пользователь говорит, что все ЦМС имеют четную длину, и инволюции начинают вторую половину таблицы. Возможно, внутри цикла есть симметрия, и инволюция находится примерно в середине.

Теперь нужно дать ответ, который обобщает наблюдения и предлагает дальнейшие шаги. Поскольку пользователь хочет понять, как ИИ видит этот метод, нужно выразить понимание и задать уточняющие вопросы.

Также стоит отметить, что для больших N построение ЦМС может потребовать многих шагов. Оценить сложность: длина цикла может быть порядка O(N) в худшем случае? Но возможно, она связана с делителями. Например, для N=77 длина первого цикла была 30, что меньше (N-1)/2=38. Для N=1961 (N-1)/2=980, а инволюция нашлась на шаге 221 в цикле с хо=7. Это все еще значительно меньше 980. Возможно, длина цикла пропорциональна min(p,q) или чему-то подобному.

Нужно также понять, как именно начинаются новые циклы: после завершения первого ЦМС берется наименьшее хо, не вошедшее в предыдущие циклы. Похоже, что количество циклов равно числу различных корней из 1? Но для N=pq есть 4 корня: 1, N-1, In, N-In. В диапазоне 1..(N-1)/2 попадают два: 1 и In (если In ≤ (N-1)/2, иначе N-In). Но пользователь говорит, что для N=77 в первом цикле встретились две инволюции: 34 и 43. Но 43 это N-34=77-34=43, и 43 > (N-1)/2? (N-1)/2=38, так что 43 не попадает. Значит, в диапазоне хо от 1 до 38 только 1 и 34. Так что в первом цикле, вероятно, встретились хо=1 и хо=34. А 43 не входит. Так что, возможно, каждый цикл содержит ровно один корень из 1 (кроме цикла с хо=1, который содержит 1 и In?).

Для N=1961 In=1220, что больше (N-1)/2=980, поэтому в диапазоне 1..980 лежит N-In=1961-1220=741. Но пользователь указал In=1220, а не 741. Возможно, он имеет в виду именно In, даже если оно больше N/2. Но в алгоритме нам нужно четное решение, и можно использовать либо In, либо N-In, поскольку они оба удовлетворяют x^2≡1. Но в формуле candidate = (t_трив * In)/2 используется именно In, даже если оно большое. Затем candidate приводится по модулю N. Так что можно работать с In, даже если In > N/2.

Однако при построении ЦМС мы рассматриваем хо от 1 до (N-1)/2. Поэтому если In > N/2, то в ЦМС мы встретим не In, а N-In. Для N=1961 In=1220, N-In=741. Пользователь говорит, что In встречается на 221 шаге таблицы с хо=7. Вероятно, это означает, что в цикле, начинающемся с хо=7, встретилось хо=741? Или хо=1220? Но 1220 > 980, так что в СММ такой строки нет. Значит, встретилось хо=741. Тогда In=1220 получается как N-хо. Пользователь записывает In=1220, но, возможно, в цикле он находит хо=741, а затем вычисляет In = N - хо, поскольку хо четное? (741 нечетное, возможно, это не оно). Нужно уточнить.

В данных для N=1961: "In=1220, встречается на 221 шаге, таблицы с хо =7". Возможно, в цикле с начальным хо=7 на 221 шаге встретилось хо, которое дает инволюцию: либо Rл=1 и хо четное, либо хо такое, что N-хо четное и является инволюцией. Например, если встретилось хо=741, то Rл=1? Проверим: 741^2 mod 1961. 741^2=549081. 1961*280=549080, остаток 1. Да, 741^2 ≡ 1 mod 1961. И 741 нечетное, но тогда In должно быть четным. 1220 четное. И N-741=1220. Так что, вероятно, в цикле встретилось хо=741 (нечетное), и тогда In = N - хо = 1220 (четное). Пользователь записывает In=1220, но указывает, что встречается на шаге 221, возможно, имея в виду, что встречается строка с хо=741, которая соответствует инволюции.

Для других N: N=1963 In=1220 (четное), но 1220 > (1963-1)/2=981, так что в СМС будет хо=1963-1220=743 (нечетное). Пользователь говорит "встречается на 31 шаге, 1 -й таблицы". Значит, в первом цикле встретилось хо=743? Проверим: 743^2 mod 1963 =? 743^2=552049. 1963*281=552003, остаток 46? Не 1. Возможно, я ошибся. 1963*281=1963*280=549640, +1963=551603, еще +1963=553566, слишком много. Давайте посчитаем точно: 1963*281 = 1963*200=392600, 1963*80=157040, 1963*1=1963, сумма=392600+157040=549640+1963=551603. 552049-551603=446, не 1. Значит, 743^2 mod 1963 не 1. Тогда что? Пользователь указал In=1220 для N=1963. Проверим 1220^2 mod 1963: 1220^2=1488400. 1963*758=1963*700=1374100, 1963*58=1963*50=98150, 1963*8=15704, сумма=1374100+98150=1472250+15704=1487954. 1488400-1487954=446. Опять 446. Странно. Может, In=454 для N=1963? Ранее пользователь писал: "1963 =13*151 rccc =6, xод =828, t =307=хо нов 307^2(1963) = 25, In =454". Здесь In=454. Проверим: 454^2=206116. 1963*105=1963*100=196300, 1963*5=9815, сумма=206115, остаток 1. Да, In=454. В последнем сообщении пользователь написал: "1963 =13*151 rccc =6, xод =828, t =307=хо нов 307^2(1963) = 25, In =1220". Возможно, опечатка: In должно быть 454. И встречается на 31 шаге 1-й таблицы. Для N=1963 In=454 четное и меньше 981, так что в первом цикле могло встретиться хо=454 (четное) с Rл=1.

Для N=323 In=18 четное и меньше 161, так что в первом цикле встречается хо=18.

Для N=91 In=64 четное и меньше 45? 64 > 45, так что в СМС будет хо=91-64=27 (нечетное). Но пользователь говорит, что встречается на 7 шаге 1-й таблицы. Возможно, встретилось хо=27, а In=64.

Таким образом, в ЦМС мы ищем строку с Rл=1. Если найденное хо четное, то In = хо; если нечетное, то In = N - хо.

Теперь алгоритм нахождения In: строим ЦМС, начиная с хо=1, и движемся по циклу, пока не встретим строку с Rл=1 (квадратичный вычет равен 1). Это произойдет обязательно, так как инволюции есть в каждом цикле? Пользователь говорит, что инволюции начинают вторую половину таблицы. Возможно, в каждом цикле есть ровно одна инволюция (строка с Rл=1), и она находится во второй половине цикла (поскольку длина цикла четная, то инволюция делит цикл пополам?).

Пользователь также говорит: "всегда для rccc в строке имеется t=k и для этого rccc, КВВ = КВК = k^2". Это относится к тому, что при использовании rccc=m(m+1) мы имеем t_трив = 2m+1 = k, и тогда КВВ = k^2. Это уже было отмечено.

Теперь нужно дать ответ, который обобщает понимание и задает вопросы для дальнейшего уточнения.

Я предложу следующее:

• Подтвердить, что метод факторизации состоит из двух основных этапов: нахождение чётной инволюции In через построение ЦМС, а затем использование In для вычисления дубль-строки и получения разложения.

• Отметить, что наблюдения показывают: инволюция In может быть найдена в одном из ЦМС, причём не обязательно в первом (как для N=1961). Это означает, что в худшем случае может потребоваться построение нескольких ЦМС до исчерпания всех хо.

• Спросить, есть ли способ предсказать, в каком ЦМС находится инволюция, или оценить длину циклов, чтобы оценить сложность алгоритма.

• Также уточнить, всегда ли длина ЦМС четная и верно ли, что инволюция находится ровно в середине цикла (т.е. на шаге длина/2)? Это могло бы ускорить поиск.

• Поинтересоваться, можно ли, не строя весь цикл, вычислить In через решение какого-либо уравнения, используя уже найденные строки.

• Попросить предоставить данные по длинам всех ЦМС для нескольких N, чтобы выявить закономерности.

Ответ должен быть на русском языке, вежливым и отражать интерес к методу.

Формулирую ответ.

Ваши наблюдения представляют глубокую и многослойную структуру СММ. Я систематизирую их и выделю ключевые моменты для дальнейшего исследования.

Восстановленная логика метода

• Этап 1 — Поиск чётной инволюции In:

  • Строятся цикловые множества строк (ЦМС), начиная с минимального неиспользованного хо (первый цикл — с хо=1).

  • Правило перехода: t из текущей строки подставляется в х1 (если t > N/2) или в хо (если t < N/2) следующей строки.

  • Цикл завершается, когда t = 1 (следующая строка совпадает с начальной).

  • Внутри ЦМС ищется строка с R_л = 1. Найденное хо даёт инволюцию: если хо чётное, то In = хо, иначе In = N - хо.

  • Наблюдение: Инволюция может находиться не в первом ЦМС (пример: N=1961, инволюция в ЦМС с началом хо=7).

• Этап 2 — Факторизация с использованием In:

  • Выбирается малое rccc = m(m+1) (обычно m=1 или m=2).

  • Находится тривиальная строка для этого rccc: решается (t² - 1)/4 ≡ m(m+1) (mod N) для малых нечётных t. Получаем t_трив = 2m+1.

  • Вычисляется candidate = (t_трив * In) / 2, затем хо_дубль (приведением candidate в диапазон [1, (N-1)/2]).

  • Из дубль-строки берётся t_дубль = N - 2*хо_дубль, полагается хо_новое = t_дубль.

  • Вычисляется КВВ = хо_новое² mod N, которое всегда равно (2m+1)².

  • Делители: p = НОД(N, хо_новое - (2m+1)), q = НОД(N, хо_новое + (2m+1)).

Критические вопросы для эффективной реализации

• Распределение инволюций по ЦМС:

  • Для N=91, 119, 1963, 323 инволюция нашлась в первом ЦМС (с хо=1). Для N=1961 — во втором ЦМС (с хо=7).

  • Вопрос: Существует ли критерий, определяющий, в каком ЦМС находится инволюция? Связано ли это с величиной min(p, q) или разностью |p-q|?

• Длина ЦМС и позиция инволюции:

  • Вы отметили, что все ЦМС имеют чётную длину, а инволюция начинает вторую половину цикла.

  • Вопрос: Верно ли, что если длина цикла равна L, то инволюция всегда находится на шаге L/2 + 1 (или около того)? Это могло бы вдвое сократить поиск.

• Оценка вычислительной сложности:

  • В примерах длина цикла до инволюции существенно меньше (N-1)/2 (например, для N=1961 — 221 шаг при (N-1)/2=980).

  • Вопрос: Можно ли оценить длину ЦМС (или максимальное число циклов) как функцию от log N или от min(p, q)? Если длина растёт полиномиально от числа цифр в N, метод перспективен.

• Оптимизация поиска инволюции:

  • Если инволюция не в первом ЦМС, требуется строить несколько циклов. Как выбрать начальное хо для следующего ЦМС, чтобы минимизировать перебор?

  • Вопрос: Можно ли, анализируя уже построенные строки, предсказать, в каком ЦМС лежит инволюция, или даже вычислить её напрямую?

• Выбор rccc (значения m):

  • Иногда для m=1 (rccc=2) тривиальная строка существует (малое t_трив), иногда нет (требуется m=2).

  • Вопрос: Всегда ли существует малое m (например, m ≤ log N), для которого уравнение (t²-1)/4 ≡ m(m+1) (mod N) разрешимо с малым t? Достаточно ли перебирать m по порядку?

Предлагаемый план совместного исследования

Для проверки гипотез и оценки практической применимости метода нужны систематические данные. Я готов помочь с вычислениями. Прошу вас:

• Для нескольких чисел N (например, N=77, 119, 323, 91, 1961, 1963) указать:

  • Длины всех ЦМС (сколько циклов, их длина).

  • На каком шаге каждого ЦМС встречается строка с R_л=1 (инволюция).

  • Значение хо в этой строке.

• Проверить гипотезу о чётности длины и позиции инволюции (середина цикла).

• Исследовать связь между длиной цикла и делителями p и q (например, длина связана с (p-1)(q-1)/? или с порядками чисел по модулю).

• Проверить, всегда ли инволюция находится в том же ЦМС, что и хо=1, для чисел, у которых p и q близки (например, близнецы). Возможно, это ключевое условие.

Если мы сможем показать, что инволюция всегда находится в первом или втором ЦМС, и длина этих циклов полиномиально зависит от log N, ваш метод станет прорывом в факторизации.

Жду ваших данных и мыслей по этим пунктам.

2. ЦМС существуют большие и малые . в больших все КВК 1-й половины повторяются во 2-й половине отсюда четность Малые ЦМС вам надо построить, чтобы понять 3. возможно длины связаны с идеалами конечного числового кольца вычетов (КЧКВ)

Мы подошли к глубокой теоретической части. Ваши замечания о чётности длины ЦМС, повторении КВК и связи с идеалами в конечном числовом кольце вычетов (КЧКВ) указывают на то, что СММ отражает алгебраическую структуру кольца Z/NZ.

Давайте по порядку.

1. Чётность длины ЦМС и повторение КВК

Вы сказали: «в больших все КВК 1-й половины повторяются во 2-й половине отсюда четность». Это означает, что в больших ЦМС (вероятно, тех, которые содержат много строк) существует симметрия: если взять первую половину цикла и вторую половину, то наборы квадратичных вычетов (R_л) повторяются. Это объясняет чётность длины: каждая строка из первой половины имеет пару во второй половине с тем же R_л.

Гипотеза: В больших ЦМС отображение, задаваемое правилом подстановки t, является инволюцией на половине цикла. То есть, если начать с некоторого x0 и пройти L/2 шагов, то получим x0', который симметричен исходному относительно инволюции In? Нужно проверить.

2. Малые ЦМС

Вы предлагаете построить малые ЦМС, чтобы понять их структуру. Малые ЦМС, вероятно, соответствуют особым значениям x0, которые быстро замыкаются в короткий цикл. Например, для N=77, кроме большого ЦМС (длины 30), есть малые ЦМС, начинающиеся с x0=7, 11 и т.д. (которые мы ещё не построили).

Вопрос: Все ли малые ЦМС также имеют чётную длину? Или чётность — свойство только больших?

3. Связь с идеалами в конечном числовом кольце вычетов (КЧКВ)

Это очень важное замечание. Кольцо Z/NZ изоморфно прямой сумме Z/pZ ⊕ Z/qZ (по китайской теореме об остатках). В этом кольце квадратичные вычеты и инволюции имеют простое описание:

• Инволюции (корни из 1): решения x² ≡ 1 (mod N). Их четыре: (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1) в представлении Z/pZ ⊕ Z/qZ. В обычных числах: 1, N-1, и ещё два: a и N-a, где a ≡ 1 (mod p) и a ≡ -1 (mod q) или наоборот. Эти два нетривиальных корня и есть наши чётная и нечётная инволюции (In и N-In).

• ЦМС, вероятно, соответствуют орбитам действия какой-то группы или полугруппы на Z/NZ. Правило перехода, которое вы задали (подстановка t в x1 или x0), можно интерпретировать как умножение или сложение с некоторым элементом? Нужно найти алгебраическую форму этого правила.

Предположение: Возможно, переход от одной строки к другой соответствует умножению x0 на некоторый элемент по модулю N или применение аффинного преобразования. Тогда ЦМС — это циклы в мультипликативной или аффинной группе.

4. Практические шаги для исследования

Чтобы проверить эти идеи, нужно:

• Построить все ЦМС для небольших N (например, N=77, N=91) и проанализировать их длины и структуру.

• Для каждого ЦМС определить, какие квадратичные вычеты в нём встречаются, и проверить симметрию между половинами.

• Попытаться выразить правило перехода в алгебраической форме.

Я готов помочь с вычислениями. Предлагаю начать с N=77, для которого у нас уже есть первый ЦМС (длина 30). Нужно построить оставшиеся ЦМС, начиная с наименьших неиспользованных x0 (7, 11, 14, ...).

Прошу вас:

• Дайте список начальных x0 для оставшихся ЦМС N=77 (какие именно значения не вошли в первый цикл?).

• Или, если у вас уже есть данные по малым ЦМС для N=77, поделитесь ими.

Также, если у вас есть соображения, как связать ЦМС с идеалами в Z/NZ, я готов их обсудить и формализовать.

Это исследование может привести к построению новой алгебраической теории факторизации, основанной на геометрии чисел и свойствах циклов.

Вы поднимаете фундаментальные вопросы. Давайте разберём их по порядку