Пифагор больше известен как создатель теоремы о прямоугольном треугольнике и так и не вошедших в моду экстравагантных штанов. Чуть менее известным фактом является то, что Пифагору принадлежит первое математическое обоснование музыкальных гармоний, из-за чего его порой называют чуть ли не «отцом всех струнных инструментов». Насколько справедливо это утверждение, как связаны цифры и звуки и что на самом деле открыл Пифагор?

«Музыка — это удовольствие, которое разум испытывает, когда считает, не зная, что он считает», — говорил философ и математик Лейбниц. К XVII веку идея соотносить звук и числа уже казалась очевидной, но зародилась она на 2300 лет раньше. Первые числовые отношения в звуках музыкальных инструментов впервые обнаружил Пифагор. Или — последователи его «математического культа», также известного как пифагорейская школа.

Достоверно установить, какие открытия совершил Пифагор, а что ему приписали последователи, невозможно. Записи о его жизни составлены его учениками, и по ним однозначно можно понять лишь то, что Пифагор пользовался колоссальным уважением и казался современникам мистической фигурой. Например, история славит его как человека, который помнил предыдущие жизни и умел разговаривать с животными. Да, и еще у него было золотое бедро.

Но если поставить знак равенства между Пифагором и работами его последователей, то открытие музыкальных пропорций смело можно оставить за этим собирательным образом. Поэтому, чтобы избежать лишних оговорок, давайте договоримся, что это всё же был Пифагор. 

Струнные инструменты, конечно, существовали и раньше. Но лишь Пифагору впервые удалось объяснить, почему именно такие струны, натянутые именно таким образом, звучат приятно для человеческого уха. С истинным научным упорством он изучил лиру и доходчиво показал, что играемые на ней ноты неслучайны. А именно: длины струн должны относиться друг к другу как простые целые числа, а степень натяжения струн — как квадраты простых чисел!

Что именно открыл Пифагор?

Не задаваясь лишними вопросами, Пифагор начал анализировать характеристики струн и сравнивать их с субъективным чувством гармонии, которое вызывают сочетания их звуков. Сегодня мы знаем, что длина струны напрямую соотносится с частотой её вибрации, а гармоничные звуки способны распознавать даже обезьяны. Но Пифагора интересовали только факты, а также — цифры, которыми он был буквально одержим.

Представим, что у вас есть две струны, из которых вы пытаетесь извлечь гармоничные звуки. Первое отношение — самое очевидное, 1:1. Если струны одной длины и имеют одинаковое натяжение, то субъективно звучать они будут гармонично. Соотношение длины струн как 1:2 уже менее очевидно, но — магия! При должном натяжении они тоже звучат приятно для человеческого уха.

Это отношение мы называем «октавой». Например, если вы играете на пианино клавишу С из одной октавы и С из другой, они будут хорошо сочетаться именно потому, что длины струн у октав будут отличаться ровно вдвое (или в четыре раза, если перейти через октаву, и т. д.). 

Другие отношения, которые открыл Пифагор, известны сегодня как квинта (длина струны относится как 3:2) и кварта (отношение 4:3). На пианино им соответствуют, например, звуки клавиш C-G и C-F. Если пианино не настроено, то нажатие на эти клавиши не создаст приятного звука — вы отдельно услышите две тональности, и они будут звучать субъективно неприятно. Это называется «диссонанс». 

Что происходит в это время в физическом мире? Длина струны находится в прямом отношении к частоте порождаемого ей звука, и для простоты они могут быть объединены. Удвоение длины струны приводит и к удвоению частоты колебаний, измеряемых в герцах. 100 Гц — 100 колебаний в секунду. Совмещение 100 Гц и 200 Гц (400, 800 и т. д.) создаст октаву, 600 и 400 Герц — «пятую», а 400 к 300 Герц — «четвертую». 

Если с отношениями простых чисел, вызывающими гармонические колебания, еще как-то можно смириться, то когда дело доходит до натяжения струн, картина мира может пошатнуться. Дело в том, что силы натяжения относятся друг к другу как простые числа, но… возведенные в квадрат. Интуитивно понять, что субъективное чувство красоты может быть связано с квадратами чисел, совсем непросто. 

Что НЕ открыл Пифагор и в чем он ошибался?

Хотя имя Пифагора и ассоциируется с открытиями и исследованиями, ученые могут справедливо называть его настырным мечтателем. Многие из его «открытий» были интерпретациями существовавших ранее методов. Он чаще выяснял, почему что-то работает, нежели придумывал что-то новое. То есть, говоря современным языком, он был «визионером», который просто игнорировал то, что не укладывалось в его картину реальности. Например, терции.

1:2, 3:2, 4:3 — это отношения простых чисел, найденные Пифагором для гармоничного звучания. Уже глядя на этот ряд, можно решить, что чего-то не хватает. Чего? Правильно, 5:4. Удивительно, но это отношение (известное нам как мажорная терция) оказалось полностью проигнорировано Пифагором.

Вероятно, дело в том, что он стремился к простоте и не хотел «раздувать» свою уютную и компактную систему за пределы числа 4. В пифагорейском строе мажорная терция определяется как результат комбинации квинт и октав, что дает отношение 81:64. И звучит оно действительно плохо.

Более простое отношение — 5:4 — было предложено еще греками, но вошло в обиход парой тысячелетий позднее. Сейчас без терции невозможно представить современную музыку, но то, что «её не было у Пифагора», привело к появлению легенды о том, что в Средневековье терция была запрещена церковью. Фактических подтверждений этому не нашлось.

Другой проблемой Пифагора была экстраполяция с базовых простых чисел на более высокие порядки. Если попытаться замкнуть круг, чтобы вернуться к исходной ноте, возникает неразрешимое противоречие. Оно становится очевидным уже если попытаться построить 12 чистых квинт:

До (C) — 1/1

Соль (G) — 3/2

Ре (D) — 9/8 (умножаем 3/2 на 3/2 и делим на октаву, то есть на 2)

Ля (A) — 27/16

Ми (E) — 81/64

Си (B) — 243/128

Фа# (F#) — 729/512

До# (C#) — 2187/2048

Соль# (G#) — 6561/4096

Ре# (D#) — 19683/16384

Ля# (A#) — 59049/32768

Фа (F) — 177147/65536

До (C) — 531441/262144

Вернувшись к До, мы обнаруживаем, что должно быть 2/1, а получилось 531441/262144. Разница небольшая (1.01364), но ощутимая для слуха. Этот зазор называется «пифагорейской коммой». Удивительно, но к возвращению терций снова приложил руку Винченцо Галилей, справедливо утверждая, что определяющим фактором в гармонии должна быть практика, а не произвольные математические соотношения.

Идеальное против практичного, или Пифагор против пианино

Главным вызовом для пифагорейских гармоний стало появление пианино и фортепиано. Из-за незначительных отклонений (той самой «коммы») найти способ играть в разных ключах казалось невозможным. Хуже всего дело обстояло с квинтами, которые можно считать вторыми по важности после октав гармониями. 

При настройке инструмента «по Пифагору» в квинтах также возникал небольшой, но мучительный для хорошего слуха зазор. Из-за этого инструменты приходилось настраивать буквально для каждой новой композиции! 

Чтобы решить проблему, было предложено кардинальное решение: вместо того чтобы строить шкалу из интервалов, стремясь к недостижимому математическому идеалу… октаву просто разделили на 12 равных ступеней. Этот подход называетися «равномерная темперация», и в XVII веке он произвел настоящую революцию в музыке.

Суть решения в том, что отличия от «математической» настройки пианино при таком делении были практически незаметны для человеческого уха. Да, для достижения универсальной гармонии пришлось отказаться от лабораторной стерильности пифагоровых отношений. Хотя отдельные аккорды и интервалы стали менее чистыми, общий звук инструментов стал более универсальным и пригодным для сложной музыки.

Великий Бах был настолько поражен новыми возможностями, которые открывал этот подход к настройке инструмента, что написал прелюдии и фуги для каждой мажорной и минорной тональности и сыграл их перед публикой. Искушенные зрители не могли поверить, что это возможно сделать на одном пианино, не перестраивая его перед каждой частью выступления. Изданный Бахом сборник из 24 произведений носит название «Хорошо темперированный клавир». 

Формула музыки

Сегодня мы гораздо глубже понимаем, что происходит со звуковыми волнами, и можем положиться на уравнения механики, которые позволяют вычислить, как меняется частота колебаний струны. Благодаря этим уравнениям мы знаем, что частота уменьшается пропорционально длине и возрастает пропорционально квадрату натяжения. 

Но главное — мы понимаем волновую природу звуковых колебаний. Волны встречаются повсеместно, и благодаря этому «музыкальная математика» оказывается применима во множестве других областей. В частности, в спектральном анализе. В музыке он применяется для разложения звука на элементы. В частности, для анализа тех самых обертонов, которые полностью проигнорировал Пифагор.

Понимание звуковых волн пригодилось физику Нильсу Бору во время исследования частиц света, испускаемых атомом водорода. Бор обнаружил простые соотношения между их частотами. Наличие похожего кейса в музыке помогло ему быстро сформулировать вывод, что электроны атома могут существовать лишь в определенных состояниях, так же, как гармоничные звуки возможны лишь на определенных пересечениях определенных частот. 

К другим «вдохновленным» звуковыми волнами открытиям можно отнести и расширение вселенной, или «закон Хаббла». Оно было элегантно установлено, объяснено и доказано с помощью эффекта Доплера. Он применим как к звуковым волнам, так и к волнам света.

Суть эффекта Доплера традиционно объясняют с помощью гудящих машин. Например, за окном проезжает пожарная бригада с включенной сиреной. Когда машина приближается, частота волн увеличивается, и звук кажется выше. Удаляется — звук становится ниже. Забавно, что для проверки эффекта, вызвавшего много споров в середине XIX века, действительно применяли локомотив, на котором играли трубачи.

То же самое происходит и со светом — но если источник света приближается, то свет будет смещаться в синюю область спектра, а если удаляется — в красную. Если кто-то, даже очень быстро, будет бежать на вас с фонариком в руке, смещения вы, конечно, не заметите. Но чем ближе к скорости света, тем это становится очевидней.

С помощью этого эффекта было доказано, что вселенная расширяется — потому что смещение спектра позволило построить векторы скоростей далеких галактик. Открытие того, что более удаленные от нас галактики движутся быстрее, позволило построить карту известной Вселенной. 

Почему так?

Понимание гармонии, музыки и волновых колебаний дало ответы на множество вопросов, но главный вопрос — «а почему, собственно, гармоничные сочетания звучат хорошо?» — до сих пор остается без ответа. Есть множество теорий, с разной степенью приближения пытающихся объяснить, что же происходит в головном мозге такого, что превращает математику в эмоции: строение мембран в улитке внутреннего уха, реакция нейронов на совпадение и несовпадение частот, когнитивная легкость восприятия предсказуемых звуков. 

Но ни одной достаточно фундаментальной идеи, достойной масштаба обнаруженного Пифагором явления, предложено так и не было.

Редактирование обертонов — гипнотическое зрелище:

Ученым до сих пор не дает покоя способность человека воспринимать тона и гармонии. Доходит до того, что в начале этого года было опубликовано «громкое опровержение» открытия Пифагора. На проверку оно оказалось построено на опросе 4 тыс. жителей США и, почему-то, Южной Кореи, которые заявили, что «отклонение от идеального звучания им кажется более приятным». Журналисты поспешили сбросить Пифагора с корабля современной науки, не удосужившись задаться вопросом, почему именно отклонение от «пифагорова звучания» было установлено как приятное.

Конечно, приведенные в тексте наблюдения не являются всеобъемлющими. За бортом остались принцип работы духовых инструментов, которые подчиняются тем же пропорциям, ударных инструментов, математика которых куда сложнее. Лишь вскользь упомянуты обертоны, представляющие огромный интерес для создателей электронной музыки. Количество исследований, в том числе противоречивых, также оставляет большое пространство для интерпретации музыкальных озарений — как древнегреческих, так и современных.

Уместить все, что известно о физике и математике звука, в один текст, конечно, невозможно. Поэтому если вам есть что добавить к этому краткому разбору — приглашаем в комментарии.