Пифагор больше известен как создатель теоремы о прямоугольном треугольнике и так и не вошедших в моду экстравагантных штанов. Чуть менее известным фактом является то, что Пифагору принадлежит первое математическое обоснование музыкальных гармоний, из-за чего его порой называют чуть ли не «отцом всех струнных инструментов». Насколько справедливо это утверждение, как связаны цифры и звуки и что на самом деле открыл Пифагор?
«Музыка — это удовольствие, которое разум испытывает, когда считает, не зная, что он считает», — говорил философ и математик Лейбниц. К XVII веку идея соотносить звук и числа уже казалась очевидной, но зародилась она на 2300 лет раньше. Первые числовые отношения в звуках музыкальных инструментов впервые обнаружил Пифагор. Или — последователи его «математического культа», также известного как пифагорейская школа.
![Как Пифагор видел мир Как Пифагор видел мир](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/da9/2cd/922/da92cd9224a4019a636ea6da2eeb7885.jpeg)
Достоверно установить, какие открытия совершил Пифагор, а что ему приписали последователи, невозможно. Записи о его жизни составлены его учениками, и по ним однозначно можно понять лишь то, что Пифагор пользовался колоссальным уважением и казался современникам мистической фигурой. Например, история славит его как человека, который помнил предыдущие жизни и умел разговаривать с животными. Да, и еще у него было золотое бедро.
Но если поставить знак равенства между Пифагором и работами его последователей, то открытие музыкальных пропорций смело можно оставить за этим собирательным образом. Поэтому, чтобы избежать лишних оговорок, давайте договоримся, что это всё же был Пифагор.
Струнные инструменты, конечно, существовали и раньше. Но лишь Пифагору впервые удалось объяснить, почему именно такие струны, натянутые именно таким образом, звучат приятно для человеческого уха. С истинным научным упорством он изучил лиру и доходчиво показал, что играемые на ней ноты неслучайны. А именно: длины струн должны относиться друг к другу как простые целые числа, а степень натяжения струн — как квадраты простых чисел!
Что именно открыл Пифагор?
Не задаваясь лишними вопросами, Пифагор начал анализировать характеристики струн и сравнивать их с субъективным чувством гармонии, которое вызывают сочетания их звуков. Сегодня мы знаем, что длина струны напрямую соотносится с частотой её вибрации, а гармоничные звуки способны распознавать даже обезьяны. Но Пифагора интересовали только факты, а также — цифры, которыми он был буквально одержим.
![Изображение трудов Пифагора, датированное концом XV века н. э. Наглядное, но в корне неверное — эти соотношения не сработают. Но уважение к Пифагору было так велико, что никто не стал проверять и спорить. Ошибку первым заметил Винченцо Галилей, отец того самого Галилео Галилея. Отец знаменитого физика и ученого был музыкантом, что ещё раз указывает на близость музыки и точных наук Изображение трудов Пифагора, датированное концом XV века н. э. Наглядное, но в корне неверное — эти соотношения не сработают. Но уважение к Пифагору было так велико, что никто не стал проверять и спорить. Ошибку первым заметил Винченцо Галилей, отец того самого Галилео Галилея. Отец знаменитого физика и ученого был музыкантом, что ещё раз указывает на близость музыки и точных наук](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/800/e72/4f5/800e724f58608a53d5247687e27031a6.png)
Представим, что у вас есть две струны, из которых вы пытаетесь извлечь гармоничные звуки. Первое отношение — самое очевидное, 1:1. Если струны одной длины и имеют одинаковое натяжение, то субъективно звучать они будут гармонично. Соотношение длины струн как 1:2 уже менее очевидно, но — магия! При должном натяжении они тоже звучат приятно для человеческого уха.
Это отношение мы называем «октавой». Например, если вы играете на пианино клавишу С из одной октавы и С из другой, они будут хорошо сочетаться именно потому, что длины струн у октав будут отличаться ровно вдвое (или в четыре раза, если перейти через октаву, и т. д.).
Другие отношения, которые открыл Пифагор, известны сегодня как квинта (длина струны относится как 3:2) и кварта (отношение 4:3). На пианино им соответствуют, например, звуки клавиш C-G и C-F. Если пианино не настроено, то нажатие на эти клавиши не создаст приятного звука — вы отдельно услышите две тональности, и они будут звучать субъективно неприятно. Это называется «диссонанс».
![Обертоны на «теле фундаментальной волны». До обертонов у Пифагора не дошли руки Обертоны на «теле фундаментальной волны». До обертонов у Пифагора не дошли руки](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/d2b/78f/5b3/d2b78f5b314b0813a332c90faa43b7dd.png)
Что происходит в это время в физическом мире? Длина струны находится в прямом отношении к частоте порождаемого ей звука, и для простоты они могут быть объединены. Удвоение длины струны приводит и к удвоению частоты колебаний, измеряемых в герцах. 100 Гц — 100 колебаний в секунду. Совмещение 100 Гц и 200 Гц (400, 800 и т. д.) создаст октаву, 600 и 400 Герц — «пятую», а 400 к 300 Герц — «четвертую».
Если с отношениями простых чисел, вызывающими гармонические колебания, еще как-то можно смириться, то когда дело доходит до натяжения струн, картина мира может пошатнуться. Дело в том, что силы натяжения относятся друг к другу как простые числа, но… возведенные в квадрат. Интуитивно понять, что субъективное чувство красоты может быть связано с квадратами чисел, совсем непросто.
Что НЕ открыл Пифагор и в чем он ошибался?
Хотя имя Пифагора и ассоциируется с открытиями и исследованиями, ученые могут справедливо называть его настырным мечтателем. Многие из его «открытий» были интерпретациями существовавших ранее методов. Он чаще выяснял, почему что-то работает, нежели придумывал что-то новое. То есть, говоря современным языком, он был «визионером», который просто игнорировал то, что не укладывалось в его картину реальности. Например, терции.
1:2, 3:2, 4:3 — это отношения простых чисел, найденные Пифагором для гармоничного звучания. Уже глядя на этот ряд, можно решить, что чего-то не хватает. Чего? Правильно, 5:4. Удивительно, но это отношение (известное нам как мажорная терция) оказалось полностью проигнорировано Пифагором.
Вероятно, дело в том, что он стремился к простоте и не хотел «раздувать» свою уютную и компактную систему за пределы числа 4. В пифагорейском строе мажорная терция определяется как результат комбинации квинт и октав, что дает отношение 81:64. И звучит оно действительно плохо.
Более простое отношение — 5:4 — было предложено еще греками, но вошло в обиход парой тысячелетий позднее. Сейчас без терции невозможно представить современную музыку, но то, что «её не было у Пифагора», привело к появлению легенды о том, что в Средневековье терция была запрещена церковью. Фактических подтверждений этому не нашлось.
Другой проблемой Пифагора была экстраполяция с базовых простых чисел на более высокие порядки. Если попытаться замкнуть круг, чтобы вернуться к исходной ноте, возникает неразрешимое противоречие. Оно становится очевидным уже если попытаться построить 12 чистых квинт:
До (C) — 1/1
Соль (G) — 3/2
Ре (D) — 9/8 (умножаем 3/2 на 3/2 и делим на октаву, то есть на 2)
Ля (A) — 27/16
Ми (E) — 81/64
Си (B) — 243/128
Фа# (F#) — 729/512
До# (C#) — 2187/2048
Соль# (G#) — 6561/4096
Ре# (D#) — 19683/16384
Ля# (A#) — 59049/32768
Фа (F) — 177147/65536
До (C) — 531441/262144
Вернувшись к До, мы обнаруживаем, что должно быть 2/1, а получилось 531441/262144. Разница небольшая (1.01364), но ощутимая для слуха. Этот зазор называется «пифагорейской коммой». Удивительно, но к возвращению терций снова приложил руку Винченцо Галилей, справедливо утверждая, что определяющим фактором в гармонии должна быть практика, а не произвольные математические соотношения.
Идеальное против практичного, или Пифагор против пианино
Главным вызовом для пифагорейских гармоний стало появление пианино и фортепиано. Из-за незначительных отклонений (той самой «коммы») найти способ играть в разных ключах казалось невозможным. Хуже всего дело обстояло с квинтами, которые можно считать вторыми по важности после октав гармониями.
При настройке инструмента «по Пифагору» в квинтах также возникал небольшой, но мучительный для хорошего слуха зазор. Из-за этого инструменты приходилось настраивать буквально для каждой новой композиции!
Чтобы решить проблему, было предложено кардинальное решение: вместо того чтобы строить шкалу из интервалов, стремясь к недостижимому математическому идеалу… октаву просто разделили на 12 равных ступеней. Этот подход называетися «равномерная темперация», и в XVII веке он произвел настоящую революцию в музыке.
Суть решения в том, что отличия от «математической» настройки пианино при таком делении были практически незаметны для человеческого уха. Да, для достижения универсальной гармонии пришлось отказаться от лабораторной стерильности пифагоровых отношений. Хотя отдельные аккорды и интервалы стали менее чистыми, общий звук инструментов стал более универсальным и пригодным для сложной музыки.
Великий Бах был настолько поражен новыми возможностями, которые открывал этот подход к настройке инструмента, что написал прелюдии и фуги для каждой мажорной и минорной тональности и сыграл их перед публикой. Искушенные зрители не могли поверить, что это возможно сделать на одном пианино, не перестраивая его перед каждой частью выступления. Изданный Бахом сборник из 24 произведений носит название «Хорошо темперированный клавир».
Формула музыки
Сегодня мы гораздо глубже понимаем, что происходит со звуковыми волнами, и можем положиться на уравнения механики, которые позволяют вычислить, как меняется частота колебаний струны. Благодаря этим уравнениям мы знаем, что частота уменьшается пропорционально длине и возрастает пропорционально квадрату натяжения.
Но главное — мы понимаем волновую природу звуковых колебаний. Волны встречаются повсеместно, и благодаря этому «музыкальная математика» оказывается применима во множестве других областей. В частности, в спектральном анализе. В музыке он применяется для разложения звука на элементы. В частности, для анализа тех самых обертонов, которые полностью проигнорировал Пифагор.
Понимание звуковых волн пригодилось физику Нильсу Бору во время исследования частиц света, испускаемых атомом водорода. Бор обнаружил простые соотношения между их частотами. Наличие похожего кейса в музыке помогло ему быстро сформулировать вывод, что электроны атома могут существовать лишь в определенных состояниях, так же, как гармоничные звуки возможны лишь на определенных пересечениях определенных частот.
К другим «вдохновленным» звуковыми волнами открытиям можно отнести и расширение вселенной, или «закон Хаббла». Оно было элегантно установлено, объяснено и доказано с помощью эффекта Доплера. Он применим как к звуковым волнам, так и к волнам света.
![Эффект Доплера — наглядно Эффект Доплера — наглядно](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/d0f/ba0/9a6/d0fba09a619989b6b2b7949cf41b14f1.png)
Суть эффекта Доплера традиционно объясняют с помощью гудящих машин. Например, за окном проезжает пожарная бригада с включенной сиреной. Когда машина приближается, частота волн увеличивается, и звук кажется выше. Удаляется — звук становится ниже. Забавно, что для проверки эффекта, вызвавшего много споров в середине XIX века, действительно применяли локомотив, на котором играли трубачи.
То же самое происходит и со светом — но если источник света приближается, то свет будет смещаться в синюю область спектра, а если удаляется — в красную. Если кто-то, даже очень быстро, будет бежать на вас с фонариком в руке, смещения вы, конечно, не заметите. Но чем ближе к скорости света, тем это становится очевидней.
С помощью этого эффекта было доказано, что вселенная расширяется — потому что смещение спектра позволило построить векторы скоростей далеких галактик. Открытие того, что более удаленные от нас галактики движутся быстрее, позволило построить карту известной Вселенной.
Почему так?
Понимание гармонии, музыки и волновых колебаний дало ответы на множество вопросов, но главный вопрос — «а почему, собственно, гармоничные сочетания звучат хорошо?» — до сих пор остается без ответа. Есть множество теорий, с разной степенью приближения пытающихся объяснить, что же происходит в головном мозге такого, что превращает математику в эмоции: строение мембран в улитке внутреннего уха, реакция нейронов на совпадение и несовпадение частот, когнитивная легкость восприятия предсказуемых звуков.
Но ни одной достаточно фундаментальной идеи, достойной масштаба обнаруженного Пифагором явления, предложено так и не было.
Редактирование обертонов — гипнотическое зрелище:
Ученым до сих пор не дает покоя способность человека воспринимать тона и гармонии. Доходит до того, что в начале этого года было опубликовано «громкое опровержение» открытия Пифагора. На проверку оно оказалось построено на опросе 4 тыс. жителей США и, почему-то, Южной Кореи, которые заявили, что «отклонение от идеального звучания им кажется более приятным». Журналисты поспешили сбросить Пифагора с корабля современной науки, не удосужившись задаться вопросом, почему именно отклонение от «пифагорова звучания» было установлено как приятное.
Конечно, приведенные в тексте наблюдения не являются всеобъемлющими. За бортом остались принцип работы духовых инструментов, которые подчиняются тем же пропорциям, ударных инструментов, математика которых куда сложнее. Лишь вскользь упомянуты обертоны, представляющие огромный интерес для создателей электронной музыки. Количество исследований, в том числе противоречивых, также оставляет большое пространство для интерпретации музыкальных озарений — как древнегреческих, так и современных.
Уместить все, что известно о физике и математике звука, в один текст, конечно, невозможно. Поэтому если вам есть что добавить к этому краткому разбору — приглашаем в комментарии.
Комментарии (17)
Wizard_of_light
13.08.2024 11:00+5главный вопрос — «а почему, собственно, гармоничные сочетания звучат хорошо?» — до сих пор остается без ответа.
Скорее всего мозг раскладывает звук во что-то типа рядов Фурье, и кратные частоты и повторяющиеся паттерны требуют минимальных усилий на обработку. Ну а дальше что-то там внутри регистрирует минимум потребления энергии, и передаёт отчёт "отличные звуки, вообще не грузят, слушайте их как можно больше".
victor_1212
13.08.2024 11:00Скорее всего мозг раскладывает звук во что-то типа рядов Фурье
чтобы это сделать желательно i/o организовать более-менее без потери спектра, на самом деле i/o работает супер сложно + имеет собственные искажения:
the eardrum (барабанная перепонка) -> malleus, incus, stapes bones -> cochlea (snail-shaped structure filled with fluid) -> basilar membrane -> hair cells sensors -> stereocilia chemicals injection -> electrical signal -> слуховой нерв -> мозг, т.е. сигнал восстанавливается по мере возможности только в мозгу, причем не вполне понятно как (даже протокол передачи не известен),
см.
Wizard_of_light
13.08.2024 11:00+1Хм, выглядит так что мозг не раскладывает звуки в ряды, а уже получает их в виде рядов. Я бы предположил, что внутри улитки возникают стоячие волны, положение которых зависит от длины волны, которые и отклоняют чувствительные волоски.
victor_1212
13.08.2024 11:00+2волны это в том числе на "basilar membrane", разумеется все компоненты имеют свои резонансные частоты (моды), и нелинейные передаточные функции, подобно тому как на сетчатке глаза только 3 вида колбочек на три частоты, все остальные цвета "додумываются", так что в ряд Фурье особенно нечего раскладывать
victor_1212
13.08.2024 11:00ps
возможно то, что воспринимается нами как реальный звук можно сравнить с одним из слоев модели deep learning, причем механизм естественного отбора уже обеспечил для нас преобразование исходной звуковой информации к наиболее полезному в реальных условиях жизни слою, который именно воспринимается нашим сознанием
,
yatanai
13.08.2024 11:00+2Предположу что это близко к истине, ибо нейроны любят активироваться синхронно, и всё что может нарушить это вызывает возмущения. Тоесть, сеть всегда стремится к некой стабильной "рабочей частоте", которую иногда всякими ритмами называют.
alcotel
13.08.2024 11:00+1силы натяжения относятся друг к другу как простые числа, но… возведенные в квадрат
частота ... возрастает пропорционально квадрату натяжения
Перемудрили немного. В одном из соотношений квадрат, в другом корень.
adeshere
13.08.2024 11:00+11:2, 3:2, 4:3 — это отношения простых чисел, найденные Пифагором для гармоничного звучания.
С удивлением узнал, что 4 - это теперь простое число :-)
А если чуть серьезнее, то основная проблема при создании гармонической музыкальной системы - это подобрать такое число нот в октаве, чтобы после деления октавы на одинаковые интервалы (геометрическая прогрессия частот), отношения частот как можно в большем числе случаев были близки к отношению небольших целых чисел. Именно такие комбинации звучат гармонично и приятно на слух.
Так вот, оказывается, что 12-нотная шкала (да, я гитарист-самоучка, и с детства усвоил, что на самом деле нот вовсе не семь, а двенадцать ;-) - одна из наилучших в этом отношении. Аналогичные многочисленные кратные отношения возникают также в 31-нотной системе. Но там интервал между соседними нотами слишком мал. А все остальные системы значительно хуже.
В численном виде это все написано в статье А.Лагуткиной и А.Никольского "МУЗЫКА СФЕР И МУЗЫКА ЛЮДЕЙ В связи со статьей Б.Л. Берри «Гелиогеофизические процессы, периоды их колебаний и прогнозы», опубликованной в журнале ГПиБ в 2011г. Одна беда - что
в Elibrary эта статья за пейволлом,
Некоторое время назад на сайте журнала лежали полные тексты, но сейчас и там свободный доступ закрыт. Я попробую найти текст выложить ссылку на него отдельным комментарием, если получится
А вообще, вся эта пифагорейская идея, неплохая сама по себе, до сих пор иногда воодушевляет довольно умных людей на совершенные глупости. Пример тому - статья Б.Л.Берри, который построил на ее основе "Гармоническую модель Вселенной" - столь же красивую, сколь и
бессодержательную с физической точки зрения
К сожалению, из открытого доступа (раньше он был на сайте журнала) они все сейчас почему-то исчезли. Но если кому-то станет интересно, пишите в комментах - я попробую найти и выложить где-нибудь...
StjarnornasFred
13.08.2024 11:00Простые числа тут (почти) не имеют значения - главное, чтобы числа были небольшими. 3:2 (ч5), 4:3 (ч4), 5:4 (б3), 5:3 (б6), 5:2 (б10), 6:5 (м3) - консонанс. Дальше уже хуже.
Nick0las
13.08.2024 11:00+1Про то, почему нот 12 была статья https://habr.com/ru/articles/471600/
adeshere
13.08.2024 11:00NikkiG, спасибо большое! Ссылка в Вашем комменте (https://habr.com/ru/articles/471600/) превосходно дополняет статью. А вот я ее пропустил.
Интересно, кстати, что согласно @nihole, следующие "хорошие" системы основаны на 17, 24, 29 и 36 нотах. Насколько я помню, у Никольского и Лагуткиной получалась 31 нота. Возможно потому, что они рассматривали много вариантов пропорций, а не одно только лишь отношение 3/2? Хотя не исключено, что это я за давностью лет что-то путаю. В памяти почему-то отложилось "очень странное" число 31 - именно в силу своей неожиданности...
А вот найти статью Никольского и Лагуткиной я пока что не смог.
В редакции ее нет
Говорят, довольно полный архив был у старого главреда ГПиБ, но пару лет назад он ушел на пенсию, и теперь недоступен :-(( Еще попробую авторам написать... но не факт, что у них она сохранилась...
adeshere
13.08.2024 11:00Вдогонку: как я выяснил, в статье Лагуткиной и Никольского 31-нотная система взялась не с потолка. Оказывается, она была предложена еще Х. Гюйгенсом См: Общество микротональной музыки Гюйгенса-Фоккера) . Между прочим, это 17 век...А настраивали они орган...
DenSigma
13.08.2024 11:00Двадцать первый век, давно уж пора не то, что для электронных фортепьяно, но даже и для механических со струнами сделать механизм, который дотягивает натяжение струн до нужных пифагорейских пропорций для каждого ключа, выставляемого нажатием кнопок.
Где-то я читал, что хорошие музыканты слышат фальшь в равномерно темперированном инструменте.
StjarnornasFred
13.08.2024 11:00Ох уж эти аудиофильские мифы и легенды! У одних тёплый ламповый звук, у других ХТК не звучит... Да нет такого, конечно.
Что до механизмов - электронные ф-но уже давно настраиваются как угодно, хоть в EDO с нужной частотой ноты ля, хоть в Пифагора, хоть в пределы.
dirhald
13.08.2024 11:00+1Не могу понять: то ли автор, ну, совсем далёк от музыки, то ли статья - просто неудачный перевод.
на пианино клавишу С из одной октавы и С из другой
звуки клавиш C-G и C-F
В русской музыкальной традиции ноты не называют латинским буквами. Разве что вы гитарист из панк-группы, и у вас Am - Dm - E.
вы отдельно услышите две тональности
Тональность - это термин из гармонии, обозначающий лад. Не имеет отношения к звучанию отдельных нот. В отличие от английского tone, обозначающего высоту звука.
Удвоение длины струны приводит и к удвоению частоты колебаний
Удвоение длины приводит к удвоению периода колебаний. Частота падает в два раза. При прочих равных.
известное нам как мажорная терция
Традиционно используется термин большая терция (б.3), в отличие от английского, где традиционно major third.
в Средневековье терция была запрещена церковью
Есть распространённое убеждение, что в Средневековье церковью был запрещен тритон (tritone). Но про терцию это как-то слишком сильно. Нигде не встречал такого заявления.
появление пианино и фортепиано
Это как "появление платьев и одежды". Фортепиано - это собирательное название для пианино и роялей.
найти способ играть в разных ключах казалось невозможным
Ключи в русской музыкальной теории - это знаки, обозначающие положение определённых нот на линейках при записи. Скрипичный (ключ соль), басовый (ключ фа), альтовый (ключ до), теноровый (ключ до) и так далее. В отличие от key в английском, где оно означает тонику или тональность. Имелась в виду возможность играть в разных тональностях.
Этот подход называетися «равномерная темперация», и в XVII веке он произвел настоящую революцию в музыке.
Не произвёл. Равномерная темперация входит в музыкальную традицию со второй половины XVIII века. До этого использовали различные другие варианты темпераций, но неравномерных. Например, "хорошую темперацию", которой посвящён цикл Баха.
Jury_78
Уверены? Или все таки:
Частота колебания струны прямо пропорциональна корню квадратному от силы натяжения струны и обратно пропорциональна длине струны.