Часть 1: скалярное произведение и метрика
Существуют как минимум две конкурирующие теории о форме Земли, первая из которых утверждает, что земля плоская, а вторая, что поверхность земли напоминает сферу (не учитывая перепады высот из-за гор и т.п. географических объектов). Лично я не придерживаюсь никакой из этих теорий, хотя в этом посте будем считать что верна вторая, исключительно ради наглядности.
В этой части разберем сферу: введем параметризацию этой поверхности, индуцируем на ней метрику, поймем что такое прямые на поверхности и как они выглядят на сфере.
Параметризация сферы
Сферу радиуса и центром в начале координат в трехмерном пространстве можно записать как множество решений уравнения или в параметрической форме, т.е. как зависимость вектора от параметров (без , потому что радиус фиксированый): . При подстановке этих выражений в неявное уравнение сферы получится тождество (проверьте!), а значит эти два вида задания поверхности эквивалентны.
Параметрическая форма часто удобнее - в ней есть интерпретация параметров - это угол поворота точки вдоль меридиана, где 0 указывает на северный полюс, а на южный, это угол поворота точки вдоль экватора. На картинке обозначет точку на сфере.
Некоторые кривые на сфере очень просто задать в параметрической форме: например, любой меридиан получается фиксированием угла , а параметр меняется от до . Экватор тоже легко задать: .
Ещё один плюс параметрического задания сферы - оно подчеркивает двумерность сферы, то есть то, что каждую точку сферы можно описать двумя числами, хотя сама сфера и лежит в трехмерном пространстве. По этой причине сферу называют двумерной и обозначают .
Метрика сферы
Индуцируем метрику из объемлющего пространства на сферу:
Используя эту метрику, можно считать длины кривых, например, длина экватора на сфере единичного радиуса:
Прямые на сфере ?
Теперь нужно сделать очень важный шаг - понять, что такое прямые в евклидовом пространстве и как это понятие перенести дальше, на поверхности. Википедия говорит:
Пряма́я — одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных (неопределяемых) понятий, их свойства и связь с другими понятиями (например, точки и плоскости) определяются аксиомами геометрии.
На евклидовой плоскости понятие прямой интуитивно - это неограниченная линия со следующим свойством: если на прямой выбрать две точки A и B и начать проводить различные кривые \gamma так, что обе точки будут лежать на них, то среди всех таких кривых прямая имеет наименьшую длину.
На поверхностях можно точно так же находить кривые, отрезки которых от точки до точки будут иметь наименьшую длину. Нестрого и неформально, таким свойством обладают геодезические - важный объект в дифференциальной геометрии. На произвольной поверхности геодезическая определяется единственным образом для каждой точки как кривая, идущая через эту точку в определенном направлении. Чтобы найти геодезическую на поверхности, нужно выписать и решить систему дифференциальных уравнений второго порядка. Формальное определение и его суть не сильно важны для нас, по этому лучше не фокусироваться на этом, а воспользоваться следующей интуицией: геодезическая на поверхности - это аналог прямой на евклидовой плоскости по свойству кратчайших расстояний. В дальнейшем я буду использовать слова “геодезическая” и “прямая” как синонимы.
Геодезические довольно сложная тема, и полноценное погружение даже в частный случай - геодезические на двумерных поверхностях - слишком сложно для этой статьи, поэтому предлагаю ознакомиться с ними в книжках или курсах по дифференциальной геометрии.
На некоторых поверхностях геодезические найти просто - на плоскости это всевозможные прямые , а на сфере это большие круги, то есть пересечения сферы с плоскостями, которые проходят через начало координат. Прямую на сфере можно написать как множество решений системы , где фиксированы и определяют конкретную плоскость, или в параметрической форме: , где фиксированы и определяют углы наклона большого круга, схоже с координатами на сфере, а изменяется от до - это параметр одномерной кривой.
Вот анимация поворота геодезической на сфере:
Параллельных прямых на сфере нет ???
После того как мы поняли, какой вид имеют прямые на сфере - можно сделать вывод как в заголовке. Прямые на сфере делятся на два, так сказать, ортогональных класса: меридианы, которые проходят через северный и южный полюса - они уже пересекаются в этих точках - и экваторо-подобные прямые. Очевидно, что экватор пересекается дважды с любым из меридианов. Параллели с глобуса не рассматриваем, потому что они хоть и не пересекаются, но не являются прямыми - геодезическими. На мой взгляд, все довольно интуитивно, вот картинка с несколькими прямыми на сфере. Обратите внимание, что они все пересеклись.
Этот факт, что прямые это большие круги, можно проиллюстрировать и на картах Земли. Их делают при помощи проекций какого-либо рода, и прямые на сфере больше не выглядят как прямые на карте. Поэтому на карте не всегда правильно мерять расстояние “по прямой” просто приложив линейку - ведь поверхность Земли искривлена.
Сфера это отличный и наглядный пример поверхности, на которой нет параллельных прямых - её очень легко представить, легко понять как выглядят на ней прямые и что они все пересекаются. Однако есть и один существенный минус - сфера представляется как поверхность в евклидовом пространстве, и хоть на ней и нет параллельных прямых, они все ещё есть в пространстве, в которое она вложена. Перед переходом к другой геометрии необходимо сделать ещё один шаг - "вынуть" сферу из объемлющего пространства. Про один из способов как это сделать напишу в следующей части.
eugenk
Статью ещё не читал, но раз уж речь о сфере, хочу сразу задать вопрос, уже давно не дающий мне покоя. Хотя вопрос скорее исторический, чем математический. То что Земля шар (хотя и приблизительно), догадывались ещё древние греки. А уж к средним векам такое представление было широко распространенным. А значит предки ну просто обязаны были создать сферическую геометрию, как геометрию реальной Земли ! Да и астрономии скорее всего без сферической геометрии никакой бы не было. А с ней и навигации и мореплавания. Так что с невыполнением 5-го постулата Евклида по-идее давным-давно должны были бы свыкнуться. Спрашивается, почему же в просвещенном 19-м веке идея неэвклидовой геометрии проходила с таким трудом, что даже Гаусс постеснялся опубликовать свои работы по ней ??? Это совершенно не укладывается у меня в голове...
evgenyspace
Геометрия на сфере уже была в древности. Понятно, что не в современном дифференциальном виде. А работа Гаусса и Лобачевского связана с другим типом неевклидовой геометрии - гиперболической
eugenk
Это понятно, но копья тогда ломались именно вокруг 5-го постулата Эвклида. Чтобы отказаться от него, не нужно никакой дифференциальной геометрии. Для гиперболической геометрии достаточно представить себе поверхность, на которой геодезические расходятся, только и всего. Работы того же Лобачевского достаточно элементарны и доступны даже интересующемуся школьнику. Это был именно какой-то мозговой блок, причем даже у лучших математиков ! Вот что мне непонятно...
CherryPieHSE Автор
Это крайне сложный шаг.
И даже если подумать "такс, а пускай есть поверхность постоянной отрицательной кривизны, где выполняется отрицание пятого постулата..." - то это будет неправильно, потому что такую поверхность невозможно вложить в евклидово пространство.
eugenk
Мысль совершенно наугад, не знаю что из этого получится, надо будет подумать подробнее. А что если представить себе сферу с чисто мнимым радиусом ??? Будет это такой поверхностью ??? Кроме того зачем ПОСТОЯННОЙ отрицательной кривизны ??? Берем хорошо известный гиперболический параболоид (седловину). Рассмотрим малый (но не очень малый !) участок его спадающего склона. Чем не такое представление ???
CherryPieHSE Автор
Это мысли в очень правильном направлении, представить гиперболоид очень полезно, про него будет написано в 4-ой части.
Однако, представить себе гиперболоид не достаточно, на нем само по себе не будет выполняться отрицание пятого постулата. Сейчас я не очень хочу описывать недостающую деталь, чтобы сильно не спойлерить содержание 4-ой части (она на пятницу запланирована).
Если рассмотреть только малый участок - то на нем (даже при "правильных" условиях) будет реализовываться только часть гиперболической плоскости.
CherryPieHSE Автор
Сошлюсь ещё на книгу Фоменко, "Классическая дифференциальная геометрия"
Тем не менее, там дальше рассматривается пример поверхности, которая реализует часть плоскости Лобачевского.
CherryPieHSE Автор
Интересный вопрос! В каком-то смысле, он даже филосовский. Потому что для изучения геометрии на сфере не нужно изменять пятый постулат, если рассматривать сферу как поверхность, вложенную в евклидово пространство. Легко себе представить обычное трехмерное пространство, в котором есть обычный шар, а сфера - его поверхность. Легко на ней мерять углы и расстояния.
В случае астрономии я думаю, что в целом она работает по обычным евклидовым законам (по крайней мере на небольших масштабах), потому что введение специального не-евклидова пространства не требуется. Астрономические объекты могут иметь форму сфер и двигаться по круговым траекториям, но вложено все это в обычное пространство.
Следующий переход - к сфере как к самостоятельному пространству, никуда не вложенному, со своей кривизной - более сложный. Исследования таких объектов - многообразий (в намного более общем случае) - начались в 19-ом веке и привели к развитию дифференциальной геометрии.
CherryPieHSE Автор
короче говоря, геометрия на сфере - все ещё евклидова, до тех пор, пока сфера лежит в евклидовом пространстве.
eugenk
Вот тут не понял... Представим себе что мы плоские (точнее сферические !) жуки, живущие на поверхности сферы. Вмещающее пространство для нас недоступно. Неужели никому из предков не могла прийти в голову такая простая мысль ! Я человек весьма посредственных математических способностей. Однако когда изучал дифференциальную геометрию, свыкся с этой идеей достаточно легко и перестал себе представлять какое-то внешнее эвклидово пространство.
CherryPieHSE Автор
Не решусь говорить за всех предков, наверняка многим приходили такие мысли. Тем не менее, это сложный и важный шаг. А формализовать это все математически в первый раз, дать определения - тем более сложная задача.