Часть 1: скалярное произведение и метрика

Существуют как минимум две конкурирующие теории о форме Земли, первая из которых утверждает, что земля плоская, а вторая, что поверхность земли напоминает сферу (не учитывая перепады высот из-за гор и т.п. географических объектов). Лично я не придерживаюсь никакой из этих теорий, хотя в этом посте будем считать что верна вторая, исключительно ради наглядности.

В этой части разберем сферу: введем параметризацию этой поверхности, индуцируем на ней метрику, поймем что такое прямые на поверхности и как они выглядят на сфере.

Параметризация сферы

Сферу радиуса и центром в начале координат в трехмерном пространстве можно записать как множество решений уравнения или в параметрической форме, т.е. как зависимость вектора от параметров (без , потому что радиус фиксированый): . При подстановке этих выражений в неявное уравнение сферы получится тождество (проверьте!), а значит эти два вида задания поверхности эквивалентны.

Параметрическая форма часто удобнее - в ней есть интерпретация параметров - это угол поворота точки вдоль меридиана, где 0 указывает на северный полюс, а на южный, это угол поворота точки вдоль экватора. На картинке обозначет точку на сфере.

Некоторые кривые на сфере очень просто задать в параметрической форме: например, любой меридиан получается фиксированием угла , а параметр меняется от до . Экватор тоже легко задать: .

Ещё один плюс параметрического задания сферы - оно подчеркивает двумерность сферы, то есть то, что каждую точку сферы можно описать двумя числами, хотя сама сфера и лежит в трехмерном пространстве. По этой причине сферу называют двумерной и обозначают .

Метрика сферы

Индуцируем метрику из объемлющего пространства на сферу:

Используя эту метрику, можно считать длины кривых, например, длина экватора на сфере единичного радиуса:

Прямые на сфере ?

Теперь нужно сделать очень важный шаг - понять, что такое прямые в евклидовом пространстве и как это понятие перенести дальше, на поверхности. Википедия говорит:

Пряма́я — одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных (неопределяемых) понятий, их свойства и связь с другими понятиями (например, точки и плоскости) определяются аксиомами геометрии.

На евклидовой плоскости понятие прямой интуитивно - это неограниченная линия со следующим свойством: если на прямой выбрать две точки A и B и начать проводить различные кривые \gamma так, что обе точки будут лежать на них, то среди всех таких кривых прямая имеет наименьшую длину.

На поверхностях можно точно так же находить кривые, отрезки которых от точки до точки будут иметь наименьшую длину. Нестрого и неформально, таким свойством обладают геодезические - важный объект в дифференциальной геометрии. На произвольной поверхности геодезическая определяется единственным образом для каждой точки как кривая, идущая через эту точку в определенном направлении. Чтобы найти геодезическую на поверхности, нужно выписать и решить систему дифференциальных уравнений второго порядка. Формальное определение и его суть не сильно важны для нас, по этому лучше не фокусироваться на этом, а воспользоваться следующей интуицией: геодезическая на поверхности - это аналог прямой на евклидовой плоскости по свойству кратчайших расстояний. В дальнейшем я буду использовать слова “геодезическая” и “прямая” как синонимы.

Геодезические довольно сложная тема, и полноценное погружение даже в частный случай - геодезические на двумерных поверхностях - слишком сложно для этой статьи, поэтому предлагаю ознакомиться с ними в книжках или курсах по дифференциальной геометрии.

На некоторых поверхностях геодезические найти просто - на плоскости это всевозможные прямые , а на сфере это большие круги, то есть пересечения сферы с плоскостями, которые проходят через начало координат. Прямую на сфере можно написать как множество решений системы , где фиксированы и определяют конкретную плоскость, или в параметрической форме: , где фиксированы и определяют углы наклона большого круга, схоже с координатами на сфере, а изменяется от до - это параметр одномерной кривой.

Вот анимация поворота геодезической на сфере:

Параллельных прямых на сфере нет ???

После того как мы поняли, какой вид имеют прямые на сфере - можно сделать вывод как в заголовке. Прямые на сфере делятся на два, так сказать, ортогональных класса: меридианы, которые проходят через северный и южный полюса - они уже пересекаются в этих точках - и экваторо-подобные прямые. Очевидно, что экватор пересекается дважды с любым из меридианов. Параллели с глобуса не рассматриваем, потому что они хоть и не пересекаются, но не являются прямыми - геодезическими. На мой взгляд, все довольно интуитивно, вот картинка с несколькими прямыми на сфере. Обратите внимание, что они все пересеклись.

Этот факт, что прямые это большие круги, можно проиллюстрировать и на картах Земли. Их делают при помощи проекций какого-либо рода, и прямые на сфере больше не выглядят как прямые на карте. Поэтому на карте не всегда правильно мерять расстояние “по прямой” просто приложив линейку - ведь поверхность Земли искривлена.

Сфера это отличный и наглядный пример поверхности, на которой нет параллельных прямых - её очень легко представить, легко понять как выглядят на ней прямые и что они все пересекаются. Однако есть и один существенный минус - сфера представляется как поверхность в евклидовом пространстве, и хоть на ней и нет параллельных прямых, они все ещё есть в пространстве, в которое она вложена. Перед переходом к другой геометрии необходимо сделать ещё один шаг - "вынуть" сферу из объемлющего пространства. Про один из способов как это сделать напишу в следующей части.