В основе этой статьи лежит материал статьи математика Джима Проппа.

Если бы новые виды чисел были как новые потребительские товары, математики имели бы полное право уволить маркетолога, который придумал названия для «комплексных» и «мнимых» чисел. Как бы звучал слоган для этих брендов? «Хотите купить число? Без проблем, хотя оно действительно трудно для понимания, и, что самое лучшее, его даже не существует!»

Математикам некого винить, кроме самих себя, поскольку один из них (Рене Декарт) наделил такие числа, как sqrt(−1), термином «мнимые», а другой (Карл-Фридрих Гаусс) — окрестил числа вроде 2+sqrt(−1), «комплексными». Сейчас эти названия кажутся немного не соответствующими смыслу понятий, скрывающихся за ними, но уже несколько столетий поздно просить всех использовать другие слова, хотя эти столетия дали нам более чёткое понимание того, для чего нужны эти относительно новые виды чисел.

В принципе, понятно, почему sqrt(−1) назвали «мнимым». Корень из -1 обозначает число x со свойством x² = −1, но ни одно приличное число так себя не ведёт. Число может быть положительным, отрицательным или нулевым. Если x положительно, x² тоже будет положительным. Если x отрицательно, x² всё равно будет положительным, поскольку отрицательное число, умноженное на отрицательное число, является положительным числом. А если x равен нулю, x² также будет равен нулю. Ни в одном из трёх допустимых случаев x² не является отрицательным, поэтому x² не может быть равным −1. Это в некотором роде невыполнимое уравнение. И можно было бы подумать, что это положит конец вопросу…

За исключением того, что пятьсот лет назад математики, к своему удивлению, узнали, что выражения, включающие квадратные корни отрицательных чисел, могут участвовать в промежуточных этапах вычислений. Поэтому они неохотно пригласили квадратные корни отрицательных чисел в математический мир, но, правда, с чёрного хода.

Один из «большой тройки» писателей-фантастов, Айзек Азимов, в книге (Adding a Dimension) описывает свою встречу с профессором социологии, когда он был студентом в 1930-х годах. Профессор разделил человечество на две группы — «реалистов» и «мистиков», и утверждал, что математики принадлежат к последним, потому что «они верят в числа, которые не реальны». Когда молодой Азимов попросил его объяснить это, профессор привёл пример квадратного корня из -1. Азимов возразил, что мнимые числа так же реальны, как и любые другие, на что профессор ответил просьбой, чтобы тот передал ему квадратный корень из минус одного куска мела. Интересно представить, что ответил бы профессор, если бы Азимов спросил у него, в какую категорию людей профессор поместил бы инженеров-электриков в такой классификации человечества? Например, Чарльза Штейнмеца? 

Любой профессор, преподававший в американском колледже в 1930-х годах, знал Чарльза Протеуса Штейнмеца, хотя он не так широко известен, как Эдисон и Тесла. «Волшебник из Скенектади» был такой же крупной фигурой в процессе электрификации США. Возможно, он повлиял на этот процесс даже сильнее, чем Эдисон, который упрямо настаивал на постоянном токе, пока Штейнмец, Тесла и их союзники не доказали превосходство переменного тока. Это эпическое противостояние неплохо показано в фильме «Война токов». Наверняка профессор назвал бы Штейнмеца реалистом, поскольку он работал с «реальными» вещами. «Правда? — мог бы ответить Азимов. — Тогда почему он был евангелистом квадратного корня из -1?»

Волшебник из Скенектади

Штейнмец во многом был противоположностью Эдисона, и не только из-за их разных представлений о том, как должна передаваться энергия на большие расстояния. Эдисон был внушительного роста, Штейнмец был карликом. Эдисон платил своим помощникам мизерную зарплату, Штейнмец однажды отказался принять прибавку к жалованию, потому что считал, что его помощникам платят недостаточно. У Эдисона было трое биологических детей, у Штейнмеца их никогда не было, потому что он был полон решимости не передавать свои гены, решив вместо этого усыновить молодого коллегу и стать любящим дедушкой для его детей. Но, как и Эдисон, Штейнмец был трудоголиком, чей успех в решении технологических проблем отчасти объяснялся тем, что он посвятил им всю свою жизнь.

Будучи молодым человеком, Карл Штейнмец вступил в братство, которое дало ему прозвище «Протей» в честь одного из греческих божеств. Позже его членство в социалистической студенческой группе привело к проблемам с властями, и он был вынужден бежать из страны. Как инвалида, очень плохо владеющего английским языком, его чуть не выгнали на остров Эллис, пока за него не вступился друг. Карл стал Чарльзом и принял своё прежнее прозвище в качестве второго имени. Работая у друга, Рудольфа Айкемейера, он оставался в его компании даже после того, как его достижения привлекли внимание более крупных компаний. В конце концов General Electric предложила ему солидную прибавку к зарплате, но он отказался. В результате GE разрешила эту тупиковую ситуацию, купив компанию Айкемейера.

Конец XIX века был эпохой технологических перспектив, большая часть которых была связана с преобразующим потенциалом электричества. Главной проблемой электрификации была логистика. Как я уже упоминал, Эдисон отдавал предпочтение прямолинейному подходу перемещения электронов по проводам из точки А в точку Б, но многие другие учёные и изобретатели оправданно настаивали на переменном токе, обладающем множеством технологических преимуществ. Однако переменный ток сложнее математически моделировать из-за его «динамических» свойств.

Представьте себе самую простую электрическую цепь постоянного тока. Батарея, лампочка и два провода, соединяющие их. Три важных величины, описывающие процессы в этой цепи, — это напряжение, ток и сопротивление, и до тех пор, пока лампочка не перегорит, эти величины в общем-то постоянны. Если изобразить ток и напряжение как функции времени, можно увидеть достаточно скучные горизонтальные линии. Более того, существует простое уравнение, связывающее эти три величины, и это закон Ома. Но в цепях переменного тока напряжение и ток изменяются со временем, и между ними нет простой линейной зависимости. Простота закона Ома практически исчезает, и в некотором роде появляется фазовый сдвиг.

В действии его подобие можно увидеть, если понаблюдать за ребёнком на качелях. Здесь главное следить за положением и скоростью, или, точнее, за отклонением от вертикальной и угловой скорости. Если наблюдать сбоку, то можно засечь момент, когда ребёнок находится в максимальном отклонении, скорость его «снаряда» в этот момент равна нулю. Когда он находится в самой нижней точке траектории, где отклонение от вертикали равно нулю, движение направлено в противоположную сторону, а скорость максимальна. И так далее. Момент максимального отклонения отстаёт от момента максимальной скорости на четверть цикла (или опережает, в зависимости от системы отсчёта).

Если нанести на график в каждый момент времени точку, x координата которой является отклонением качелей (положительная, когда качели находятся справа, отрицательная, когда качели находятся слева), а y — угловой скоростью качелей (положительная, когда качели движутся вправо, отрицательная, когда качели движутся влево), то движущаяся точка описывала бы окружность, как показано на рисунке ниже. В физическом пространстве эта окружность не существует (она существует в воображаемом «фазовом пространстве», в котором вертикальная ось соответствует скорости качелей, а не их положению.

Математика кругового движения обычно описывается с помощью тригонометрических функций, и действительно, можно описать ток и напряжение в цепях переменного тока с помощью синусов и косинусов, но формулы могут быть довольно запутанными. Штейнмец понял, что некоторая, казалось бы, чистая математика, которую он изучал в студенческие годы, могла бы сделать формулы намного проще.

Воображариум профессора Эйлера

Математики играли с мнимыми и комплексными числами задолго до того, как их игры получили какое-либо применение в реальном мире. Одним из математиков, который играл активнее всех, был Леонард Эйлер, который в 1777 году ввел символ «i» для обозначения квадратного корня из минус единицы. Эйлер действовал, исходя из предположения, что каким бы ни было «i», оно должно удовлетворять обычным правилам алгебры. Так, например, если 2i умножить на 3i получится:

(2i)×(3i) = (2)×(i)×(3)×(i) = (2)×(3)×(i)×(i) = (2×3)×(i×i) = (6)×(−1) = −6,

а умножение 1+i на 1+i должно быть таким:

(1+i)×(1+i) = 1×1 + 1×i + i×1 + i×i = 1 + i + i + −1 = i + i = 2i

Позже математики Жан-Робер Арган, Каспар Вессель и Карл-Фридрих Гаусс независимо друг от друга придумали визуальный способ представления комплексных чисел. Горизонтальная ось для действительных чисел, а вертикальная — для мнимых, которые встречаются в точке, называемой началом координат. Комплексное число a+bi изображается точкой, которая находится на a единиц правее начала координат и на b единиц выше начала координат, как показано для комплексных чисел 2+i, 3+i и 5+5i. Кстати, обратите внимание, что начало координат также представляет собой комплексное число 0+0i, которое одновременно является и действительным, и мнимым.

Самое замечательное в определении умножения комплексных чисел — это геометрия, которая скрывается внутри него (именно тот вид геометрии изменения формы, который был нужен Штейнмецу). Предположим, что определённое комплексное число a+bi, отличное от 0+0i, представлено определённой точкой P на плоскости, как описано выше. Пусть O обозначает начало координат, а N — точку на горизонтальной оси, которая соответствует комплексному числу 1+0i, то есть действительному числу 1. Мы определяем «величину» комплексного числа a+bi как длину отрезка OP, а «фазу» или «угол» комплексного числа a+bi как меру угла NOP. Например, когда a = b = 1, треугольник NOP является равнобедренным прямоугольным треугольником с катетами длиной в единицу, поэтому величина 1+i равна sqrt(2), а фаза 1+i равна 45°.

Забавно то, что если мы определим умножение комплексных чисел так, как нас заставляют делать обычные правила алгебры, то величины умножаются, а углы складываются.

Умножение комплексного числа на −1 приводит к тому, что величина остается неизменной, а соответствующая точка поворачивается на полпути вокруг начала координат. На самом деле правило умножения комплексных чисел даёт новый способ понять правило для определения знака произведения двух действительных чисел. Положительные числа имеют фазу 0 градусов, а отрицательные — 180. Таким образом, правило для произведения действительных чисел, воплощённое в таблице ниже, по сути, то же самое, что и правило сложения углов, кратных 180 градусам, как это изложено в таблице ещё ниже.

Аналогичным образом, умножение любого комплексного числа на i приводит к повороту соответствующей точки на четверть пути вокруг начала координат против часовой стрелки (существует интригующая часть кинестетической педагогики, как способ неформального знакомства учеников средней школы с комплексными числами, подробней можно ознакомиться здесь).

Штейнмец понял, что математика умножения на i была очень чётким способом представления физики сдвига фазы на 90 градусов. Он не мог использовать букву i, потому что инженеры-электрики уже использовали эту литеру для обозначения тока, поэтому Штейнмец решил использовать вместо этого j. По сей день многие инженеры-электрики используют j вместо i для обозначения квадратного корня из −1. Как и большинство историй, которые проливают свет на одного «пионера», эта история многое упускает. Штейнмец не был первым и единственным, кто предложил использовать комплексные числа для понимания электрических цепей с переменным током. Несколько человек независимо друг от друга примерно в одно и то же время придумали эту идею, но Штейнмец был одним из главных сторонников этого метода и в своих работах он убедительно продемонстрировал его достоинства.

Ошибка вышеупомянутого профессора социологии отчасти заключалась в том, что он думал, что математика подразумевает чисто статические величины. Действительные числа имеют величину и знак, аналогично этому, комплексные числа обладают величиной и фазой. Вот почему некоторые математики иногда называют комплексные числа фазированными. Гаусс назвал числа вроде 2+3i «комплексными» из-за того, что они состоят из действительной и мнимой частей. Эта терминология подчеркивает аддитивную сторону комплексных чисел. Действительные числа — это фазированные числа, фаза которых равна либо 0 (для положительных), либо 180 градусам (для отрицательных). Аналогично, мнимые числа — это фазированные числа, фаза которых равна либо 90, либо 270 градусам.

Хочу подчеркнуть, что Штейнмец экспериментально не открывал до некоторых пор неизвестную мнимую составляющую тока. Он просто показал, что математический формализм электротехники становится проще, если представить, что ток, который мы измеряем, является всего лишь тенью действительной величины.

Поскольку сложные токи и напряжения в некотором роде являются лишь полезными фикциями, возможно, социолог был прав, назвав этот способ мышления о мире «мистическим». А если так, то Штейнмец был чрезвычайно необычным и полезным «мистиком».

На некоторое время отступим от заслуг Штейнмеца и вернёмся к старому доброму Эйлеру. Лучшее, что он сделал с числом i — его элегантная формула (о её частном случае я уже упоминал в одной из моих предыдущих статей, да и помимо моего упоминания на Хабре есть несколько топиков об этом феноменальном уравнении, например, этот):

Удивительным это уравнение делает то, что его левая и правая части происходят из разных миров. Левая часть — экспоненциальная функция (если оставить в стороне подозрительное обстоятельство, что показатель степени является мнимым числом), и, следовательно, указывает на такие явления, как сложные проценты, рост населения, радиоактивный распад и первоначальное распространение новых патогенов (именно применение показательных функций к банковскому делу в первую очередь и привело Бернулли к открытию основания натурального логарифма). Между тем, правая часть (снова игнорируя i) содержит две функции, синус и косинус, придуманные тысячи лет назад для картографии, навигации и астрономии. Казалось бы, начисление процентов имеет мало общего с движением небесных тел, однако формула Эйлера тесно связала их, показав, что они являются двумя различными аспектами одного и того же математического явления. Тот факт, что сложение и умножение комплексных чисел имеют геометрическую интерпретацию в терминах таких знакомых операций, как масштабирование, вращение и сдвиг, во многом объясняет, как комплексные числа оказываются полезными во многих неожиданных контекстах.

Одно незначительное, но полезное следствие монументального открытия Эйлера заключается в том, что не нужно запоминать множество тригонометрических формул, как только разберёшься между связью миров показательных и тригонометрических функций.

Более глубокие приложения комплексных чисел появились в математике XIX века, особенно в работах Римана по теории чисел, что побудило французского математика Поля Пенлеве написать: «Между двумя истинами действительной области самый простой и кратчайший путь довольно часто проходит через комплексную область» (эту поговорку популяризировал Жак Адамар в своей книге «Исследование психологии процесса изобретения в области математики», хотя он и не признавал авторство Пенлеве).

Появление комплексных чисел привело к рождению интересных концептов во многих разделах математики, в некотором смысле оно также и «похоронило» не мало. Раньше математика была полна уравнений, решения которых казались невозможными, но которые приводили к новым видам чисел.

Нужно решить 2x = 1? Придумали дроби.

x+2=1? Придумали отрицательные числа.

x² = 2? На помощь идут иррациональные числа.

x² = −1? Вот они родимые мнимые.

На первый взгляд кажется, что мы могли бы играть в эту игру вечно, записывая невозможные уравнения, а затем придумывая новые числа, чтобы сделать невозможное возможным. Но теперь это не требуется. Если взять любой полином с одним неизвестным числом x, то он всегда будет иметь решение в системе комплексных чисел. Так что можно сказать, что с появлением комплексных чисел дисциплина алгебры после многих столетий скитаний и лишений наконец-то нашла свой истинный дом.

Итак, а причём тут профессор социологии и его молодой студент Азимов?

Бинарное разделение людей на «мистиков» и «реалистов» в чём-то действительно имеет место быть. Сначала использование комплексных чисел ограничивалось разделами физики, изучавшими волновые явления. Если надо понять, как работает свет в классической оптике, нужно думать о фотоне как о своего рода самоподдерживающейся петле обратной связи между электрическими и магнитными колебаниями, распространяющимися в пространстве. Чтобы понять это хитрое движение, понадобится «странная» математика, предлагаемая комплексными числами. Потом в первой половине прошлого века произошла квантовая революция. Физики пришли к пониманию того, что элементарные частицы (и в некоторой степени объекты, состоящие из этих частиц, включая даже макроскопические, такие как куски того самого мела судьбы) имеют волновой аспект, и что некоторые явления можно понять, только если относиться к комплексным числам не просто как к полезной фикции, а как к части фундамента реальности. Элементарная частица, рассматриваемая как волна, обладает фазой, и возможно экспериментально измерить, как фазы частиц изменяются при их взаимодействии. Вероятности не просто складываются, иногда они деструктивно отменяют друг друга. Квантовая физика заложила фазу в свою структуру на самых малых масштабах. Не только свет ведет себя странно, квантовая физика утверждает, что вся эта вселенная — странная, поэтому нам нужна такая же странная математика, чтобы её описать.

Фримен Дайсон в своей статье писал: «Шрёдингер начал с идеи объединения механики с оптикой. Сто лет назад Гамильтон объединил классическую механику с лучевой оптикой, используя ту же математику для описания оптических лучей и классических траекторий частиц. Идея Шрёдингера состояла в том, чтобы распространить это объединение на волновую оптику и волновую механику. Волновая оптика уже существовала, но волновой механики не было. Шрёдингеру пришлось изобрести её, чтобы завершить это объединение. Отталкиваясь от волновой оптики как модели, он записал дифференциальное уравнение для механической частицы, но уравнение не имело смысла. Оно выглядело как уравнение теплопроводности в сплошной среде. Теплопроводность не имеет видимого отношения к механике частиц. Казалось, что идея Шрёдингера никуда не ведёт, однако когда он подставил в уравнение квадратный корень из -1, внезапно оно обрело смысл и стало волновым уравнением. К своему удовольствию, Шрёдингер обнаружил, что уравнение имеет решения, соответствующие квантованным орбитам в модели атома Бора. Оказывается, уравнение Шрёдингера правильно описывает всё, что мы знаем о поведении атомов. Оно является основой всей химии и большей части физики. И этот квадратный корень из -1 даёт нам понять, что природа работает с комплексными, а не с действительными числами. Это открытие стало полной неожиданностью как для Шрёдингера, так и для всех остальных».

Есть ещё один смысл, в котором профессор социологии был в некотором роде прав, хотя и отстал на несколько столетий. Комплексные числа действительно возникли из подхода к математике, который отвергал физический мир и даже здравый смысл. Джероламо Кардано, выводя комплексные корни «невозможного» уравнения x²−10x+40=0, заявил, что его собственный анализ «столь же тонок, сколь и бесполезен».

Рафаэль Бомбелли, опираясь на работу Кардано, сделал комплексные числа более респектабельными, дав чёткие и последовательные правила работы с ними, но он никогда не пытался объяснить, что, собственно, такое комплексные числа. Работа Бомбелли была не просто первым текстом, объясняющим правила, управляющие комплексными числами. Это также была первая более-менее внятная европейская трактовка правил для работы с отрицательными числами. Конечно, китайские и индийские математики уже знали об отрицательных числах и как с ними работать, но насколько мне известно, они не пробовали извлекать квадратные корни из них. В работе Бомбелли скрывалась крамольная идея, что если задаются чёткие и последовательные правила для работы с вымышленными величинами, то можно изучать эти вымышленные величины на их собственных условиях как элементы воображаемой числовой системы, забив на то, что эти величины на самом деле означают. Это отдаёт своего рода «мистицизмом», в котором математики создают новые числовые системы, просто указывая правила работы, не беспокоясь о том, соответствуют ли они чему-либо в реальном мире.

В истории с мелом после просьбы профессора о передаче квадратного корня из -1 куска мела, молодой Азимов сообщает, что сделает это, если профессор сначала даст ему половину куска мела. Когда профессор разламывает кусок мела на две части и даёт одну Азимову, требуя исполнения своей части договора. Азимов говорит, что ему дали кусок мела меньше половины. Тут профессор возмутился, что «половина куска мела» означает половину стандартного куска мела, а Азимов спросил профессора, как он может быть уверен, что это именно половина, а не, скажем, 0,48 или 0,52 стандартного куска мела?

Из концовки этого рассказа я делаю такой вывод: разница между «конкретным» числом, например, половиной, и «абстрактным» числом, например, квадратным корнем из -1, заключается в разнице по степени, а не по природе. Вымышленный аспект половины становится очевидным, когда мы замечаем, что попытка профессора вручить Азимову половину куска мела зависит как от общественного соглашения о том, что такое стандартный кусок мела, так и от него же о том, какая допустимая погрешность. Последнее немного размыто: где мы проводим границу между делением чего-либо пополам и делением на две неравные части? Если подумать, я уверен, что между разными кусками мела, которые выпускаются на фабрике по производству мела, есть измеримые различия. Контроль качества не требует, чтобы различия были неразличимы. Поэтому определение «стандартного» куска мела тоже немного размыто. Конечно, здесь есть к чему придраться, и обычный спор в значительной степени требует соблюдения какого-то негласного соглашения. Даже, казалось бы, простая математическая концепция, такая как половина, является взаимодействием между вселенной (системой) и людьми (наблюдателем), также, как квадратный корень из -1. Если короче: действительные числа более мнимы, а мнимые числа более реальны, чем представляет себе большинство людей.

НЛО прилетело и оставило здесь промокод для читателей нашего блога:
-15% на заказ любого VDS (кроме тарифа Прогрев) — HABRFIRSTVDS