Парадокс двух детей Вы встретили на прогулке соседей с сыном. Известно, что у них двое детей. Какова вероятность, что второй — тоже мальчик?
Казалось бы, детская задачка, где нужно просто “вспомнить формулу”, но всё не так однозначно. Если задать этот вопрос прохожему, он, скорее всего, скажет ½. Преподаватель математики, возможно, ответит ⅓. Кто из них прав?
В каком-то смысле, правы оба. Просто каждый представляют себе свой способ, как была получена информация о ребёнке. На самом деле это и есть условие задачи. Только скрытое.
Вопреки распространенному мнению, теория вероятностей не говорит, возможна ли та или иная ситуация. Прежде чем что-то считать, придется подготовить фундамент — идеализировать наблюдение, понять, что именно мы считаем случайным и построить модель эксперимента. Без этого никакие формулы не помогут.
Парадоксы, о которых пойдет речь, — не логические ошибки. Это ситуации, в которых само понятие вероятности начинает колебаться. Они не ломают теорию, но обнажают, где она требует особенной осторожности. Именно в таких местах теория вероятностей становится особенно странной — и особенно интересной.
В этой статье — три таких истории. В первой один и тот же факт даёт разные вероятности, если по-разному устроено наблюдение. Во второй один и тот же объект может быть “случайным” множеством способов. А в третьей невозможно придумать, как сделать задачу математически строгой.
По дороге мы обсудим, что такое вероятностная модель, геометрическая вероятность и математическое ожидание. А в конце поговорим о том, почему в теории вероятностей у одной задачи могут быть несколько ответов и как с этим жить. А еще, вас ждет красивая задача — бонус для тех, кто дочитает статью до конца.
А пока — вернёмся к соседям с мальчиком. Разберемся, почему эта задачка не так проста, как кажется на первый взгляд.
Задача с двумя ответами
В 1959 году знаменитый американский популяризатор науки Мартин Гарднер опубликовал в Scientific American две почти одинаковые задачи
У мистера Джонса двое детей, старшая — девочка. Какова вероятность, что оба ребенка — девочки?
У мистера Смита двое детей. Известно, что хотя бы один из них — мальчик. Какова вероятность, что оба — мальчики?
Первая задача совсем простая. Если старший ребенок — девочка, то младший либо мальчик либо девочка. Значит, вероятность двух девочек ½.
Для второй задачи Гарднер рассуждал так: всего возможных пар четыре — мальчик/мальчик, мальчик/девочка, девочка/мальчик и девочка/девочка. Мы знаем, что в семье есть мальчик, так что остается три варианта, из которых подходит только один. Значит, вероятность ⅓.
Красота в том, что два почти одинаковых вопроса дают разные ответы. Их легко перепутать — и именно поэтому ошибиться. Еще больше удивления вызывает ответ в следующей задаче (в решении может помочь формула Байеса)
Упражнение Известно, что у мистера Смита двое детей. Один из них — мальчик, родившийся в понедельник. Какова вероятность, что и второй — мальчик?
После публикации в редакцию пришло сотни писем, в которых читатели объясняли, почему ответ на второй вопрос ½. Позже Гарднер признал: задача действительно неоднозначная. Один и тот же текст может описывать разные способы получения информации — и приводить к разным ответам.
Чтобы разобраться, что происходит в этой задаче, нужно сделать то, без чего не работает теория вероятностей: построить модель.
Вероятность нельзя приписывать единичному событию. Сколько шансов, что мистер Смит — отец двух мальчиков? Вопрос не имеет смысла, пока мы не представим себе эксперимент, который можно повторять. Например: мы выбираем случайную семью из большого города и смотрим, кто в ней родился. Будем запускать этот эксперимент снова и снова и смотреть, в какой доле случаев оба ребёнка оказываются мальчиками. После большого числа экспериментов эта доля примерно равна одному и тому же числу, которое мы и называем вероятностью.
Сформулируем второй вопрос математически. В городе живут семьи с двумя детьми. С какой вероятностью в случайно выбранной семье с сыном оба ребенка — мальчики?
Но как выбрать такую семью? Можно перебирать их, пока не найдём ту, где есть мальчик, и выбрать ее — тогда рассуждение Гарднера верно и двое мальчиков будет в каждом третьем случае. А можно перебирать детей, пока не встретим мальчика, и выбрать его семью — у него есть брат ровно в половине случаев, так что ответ ½!
Разные ответы возникают не из-за формулировки, а из-за того, как устроен эксперимент. Мы вроде бы задаём один и тот же вопрос — но имеем в виду разные процедуры. В этом и кроется парадокс.
Чтобы получше прочувствовать эту мысль, разберем такую задачу
Задача В поход идут пятеро детей: Андрей, Борис, Вася, Глеб и Даша. Все друг с другом знакомы, кроме пар Андрей–Вася и Борис–Глеб. С какой вероятностью случайно выбранная пара знакомых окажется разнополой?
Пар друзей всего восемь. Четыре из них — два мальчика, четыре — мальчик и Даша. Значит, если просто выбирать случайную пару, шанс — 1/2
А теперь выберем ребенка, а потом его друга. Если это Даша пара точно разнополая. Если мальчик — с вероятностью 1/3. Получается: 1/5 + 4/5 × 1/3 = 7/15.
И здесь, и в предыдущем парадоксе мы сталкиваемся с одним и тем же вопросом: как выбрать случайное ребро в графе? (Вершины нашего графа — дети, рёбра — пары родственников или друзей) Можно выбрать ребро напрямую, а можно — сначала вершину, а потом одно из ребер, которые из нее выходят. Каждая из этих моделей по своему естественна, но они дают разные ответы.
Самая случайная хорда
Для понимания следующего парадокса придется вспомнить школьную геометрию.
Парадокс Бертрана В окружности проведена хорда. Какова вероятность что она длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в окружность?
Тут, кажется, все понятно: это задача на аккуратный расчет. Но как только начинаешь уточнять, что именно значит “случайно проведенная хорда”, оказывается, что ответ зависит от этого. Есть целых три красивых решения — и все с разными результатами.
Этот парадокс впервые описал в 1889 году французский математик Жозеф Бертран в книге «Исчисление вероятностей». Но сама идея — гораздо старше. Она восходит к модели геометрической вероятности, предложенной другим французом — Жоржем-Луи Бюффоном — еще в XVIII веке.
Представьте: в мишень случайно падает точка. Какова вероятность, что она окажется в выделенной области? Считается, что вероятность пропорциональна площади. Это мы и будем использовать, разбирая три разных способа выбрать случайную хорду.
Способ 1. Случайная точка на окружности
Соединим две случайные точки на окружности. Из-за симметрии всё равно, откуда начинать — один конец можно зафиксировать, а второй выбрать случайно. Впишем в круг правильный треугольник с вершиной в фиксированной точке. Он делит окружность на три равные дуги. Хорда окажется длиннее стороны треугольника, если ее второй конец попадает на среднюю дугу. Значит, вероятность — 1/3.
Способ 2. Случайная точка на радиусе
Зафиксируем радиус круга. Выбираем на нём случайную точку и проводим хорду перпендикулярно радиусу. Впишем в круг правильный треугольник так, чтобы одна из его сторон была параллельна хорде. Сторона вписанного треугольника делит радиус пополам: если точка ближе к центру, хорда длиннее стороны. Это происходит в 1/2 случаев.
Способ 3. Случайная точка внутри круга
Выберем случайную точку в круге. Проведем радиус к точке и через неё — хорду, перпендикулярную радиусу. Она будет длиннее стороны треугольника, если и только если точка лежит внутри круга, вписанного в треугольник. Радиус вписанной окружности — в два раза меньше радиуса описанной. Значит, площадь — в четыре раза меньше. Отсюда вероятность — 1/4.
Упражнение Докажите все геометрические факты, которые мы использовали в этих вычислениях.
Вот и весь парадокс. Мы задали простой вопрос и получили три разных ответа — не потому что кто-то ошибся, а потому что “случайный выбор” может означать совсем разные вещи. Каждая из моделей кажется естественной, но каждая описывает свой эксперимент. А значит — свою вероятность.
Невероятная игра
Следующий парадокс популяризовал всё тот же Мартин Гарднер — тот самый, который опубликовал парадокс двух детей.
Парадокс кошельков Два игрока вскрывают кошельки, и тот, у кого денег меньше, отдаёт всё второму. Честная ли это игра?
Для начала нужно понять, что вообще означает “честная игра”. Допустим, вы играете сто раз. В каждом раунде вы либо теряете деньги, либо получаете. Посмотрим, насколько вы в плюсе (или в минусе) в сумме и поделим это число на сто. Получится средний выигрыш за игру.
При большом числе повторений этот средний результат будет стремиться к какому-то постоянному значению — его называют математическим ожиданием выигрыша. Если оно положительное — игра выгодна вам, если отрицательное — невыгодна. Если математическое ожидание равно нулю — честная.
Чтобы вычислить математическое ожидание, нужно усреднить результат по всем возможным ситуациям. Обозначим сумму в вашем кошельке через X, в кошельке соперника — Y. Тогда результат эксперимента — это пара случайных чисел (X, Y), а ваш выигрыш — либо −X, либо Y.
Усреднение можно организовать по-разному — например, сначала зафиксировать X и рассматривать все игры, в которых в вашем кошельке была именно эта сумма. Пусть X = 1000. В половине случаев соперник богаче: вы теряете 1000. В другой половине — беднее, и вы выигрываете какую-то сумму Y, которая меньше 1000. В среднем вы теряете. Значит, игра — невыгодная.
Но можно рассуждать наоборот: зафиксировать сумму в кошельке противника. Пусть Y = 500. Тогда в половине случаев у вас больше — вы выигрываете 500. В другой половине — проигрываете сумму, которая меньше 500. В среднем вы выигрываете. Значит, игра — выгодная.
А ещё можно сказать проще: игра симметрична. Правила одинаковы для обоих, значит, математическое ожидание должно быть ноль, то есть игра честная.
В чем же ошибка? Как вы уже наверняка догадались, в том, что мы понимаем под случайным числом. Все рассуждения, которые мы только что привели, предполагают такое странное свойство: при любом X вероятности “получить меньше X” и “получить больше X” — равны. Это звучит разумно — но такой модели не существует.
У генератора случайных чисел вероятность “получить меньше X” растёт с увеличением X от 0 до 1. Эта называется функцией распределения вероятности. У равномерного распределения на отрезке она растет линейно. У нормального — по функции Лапласса. А у генератора с нашими свойствами она всё время должна равняться ½. Значит, всё наше рассуждение опирается на несуществующую модель.
А если задать генератор честно — с конкретным, существующим распределением — окажется, что игра может быть и выгодной, и проигрышной. Но парадокса уже не будет.
Теперь, когда мы разобрались с парадоксом двух кошельков, подумайте, где сбой в другом знаменитом парадоксе — про два конверта.
Упражнение. Ведущий выбирает случайное натуральное число X и кладёт X рублей в один конверт, а в другой — 2X. Вы случайным образом получаете один из конвертов. Вы можете забрать эти деньги или поменять конверт. Докажите, что обмен увеличивает математическое ожидание выигрыша. Что здесь не так?
Как правильно?
Парадоксы в математике не возникают “вопреки” — их ищут специально. Они появляются в тот момент, когда старые объяснения вдруг перестают работать. Это значит, что пора заново разобраться и понять, о чём вообще идёт речь.
Все три задачи, о которых мы говорили, устроены одинаково: формулировка вроде ясна, но решений несколько, и каждое даёт свой ответ. И это не спор о формулах, а разговор о том, что вероятность — не свойство события, а часть модели. Она зависит от того, как именно устроен эксперимент.
Если вы сейчас чувствуете легкую растерянность — это совершенно нормальная реакция. Допустим моделей может быть несколько — но как понять, какая из них правильная? На этот вопрос сама теория вероятностей не отвечает. Она помогает считать вероятности — когда модель уже задана. Но в жизни всё наоборот: модель мы подбираем под ситуацию, и не всегда ясно, какая подходит лучше.
Здесь на сцену выходит статистика. Мы рассматриваем несколько моделей, считаем для каждой ее вероятностные характеристики, а потом сравниваем их с тем, что видим в реальных данных. Если модель предсказывает, что событие почти невозможно, а оно происходит часто — с моделью что-то не так. Есть разные методы, но идея одна: мы не ищем истину, мы проверяем гипотезу. Какая из моделей лучше согласуется с реальностью — та и считается рабочей.
Если вы дочитали до этого места и чувствуете, что доверие к вероятностной интуиции пошатнулось — это хорошо. Теперь она не будет подсказывать вам неправильный ответ — прежде чем вы успели сформулировать правильный вопрос.
Ну и напоследок, в качестве бонуса, еще один парадокс
Упражнение Выберите ответ на этот вопрос случайно. Какова вероятность того, что вы выберете правильный ответ? а) 25% (б) 50% (в) 0% (г) 25%
Автор текста Иван Яковлев. Картинки Полины Романовой
Больше материалов в канале Кроссворд Тьюринга
Комментарии (210)
Andy_U
23.05.2025 16:42Что такое - "правильный" ответ?
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42В этой задаче "правильный" ответ — это такой, который совпадает с реальной вероятностью того, что вы его случайно выберете. То есть, вы выбираете один из четырёх вариантов наугад, и если вероятность выпадения этого варианта совпадает с тем значением, которое он сам утверждает — значит, это "правильный" ответ
Andy_U
23.05.2025 16:42вы выбираете один из четырёх вариантов наугад, и если вероятность выпадения этого варианта совпадает с тем значением, которое он сам утверждает — значит, это "правильный" ответ
Доп.вопрос. Вероятность выбора 25% - 1/4 или 1/2?
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42Вероятность 25% — одна вторая, поскольку если случайно выбирать ответ, мы будем попадать на него в половине случаев
Andy_U
23.05.2025 16:42Спасибо, тогда ни один из четырех ответов не является правильным. Но только это никакой не парадокс в теории вероятностей, как и в ситуации с предыдущими примерами.
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42Хорошо, но если ни один из ответов не является правильным, то какая вероятность попасть в правильный ответ, выбрав его случайно?
Andy_U
23.05.2025 16:42Нулевая, но это "другой" ноль. Не тот, что в условии задачи.
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42Если вероятность ноль, то на вопрос правильный ответ на вопрос "Какова вероятность того, что вы выберете правильный ответ?" определенно в)
В этом и есть парадокс — утверждение "среди вариантов ответа есть правильный" по сути означает свое отрицание (как утверждение "это утверждение ложно") и любое предположение о его истинности приводит к противоречию
Andy_U
23.05.2025 16:42Только это не парадокс в теории вероятностей. И даже не в мат.логике. Он просто словесный и ненаучный. Как тот вопрос: а может ли всемогущий бог создать такой тяжелый камень, что сам поднять не сможет? Или бога нет, или вопрошающего, которого бог испепелит во гневе :)
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42Вы, по сути, правы — это не парадокс в теории вероятностей в строгом смысле. Это, конечно, шутка в конце статьи, а не формальный объект исследования. И да, по духу он действительно ближе к «камню, который Бог не может поднять»
Но именно так и работают парадоксы самореференции: они не ложны и не истинны, а подсвечивают ограничения языка, которым мы пользуемся. Это скорее повод задуматься о границах формального мышления.
Все тоже самое можно сказать про парадокс лжеца. С точки зрения математики он важен, потому что подчеркивает, что не любому утверждению можно присвоить значение истинности, хотя обычно математики это нежно подразумевают (например используя рассуждения от противного).
Jedy
23.05.2025 16:42в этой задаче не может быть правильного ответа т.к. сам факт нашего выбора изменяет правильный ответ делая выбранный нами неправильным
Andy_U
23.05.2025 16:42Если вероятность выпадания каждого из 25% 1/4, то правильных ответов 2, но выбрать можно 1. Это как понимать? Если 1/2, то нет правильного ответа
Jedy
23.05.2025 16:42Вариант 0% (в) приводит к парадоксу: если он верен, то вероятность его выбора — 25%, что делает его неверным.
Таким образом, возникает логическая петля, где ни один ответ не является непротиворечивым. Однако вариант 0% косвенно указывает на невозможность корректного выбора, что делает его условно правильным в рамках парадокса.
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42Действительно, вариант 0% приводит к парадоксу! А остальные?
Jedy
23.05.2025 16:42Единственный вывод из этой задачи — не играть в такие игры.
Это похоже на то, как наперсточник при нашем выборе незаметно перекидывает шарик в другой наперсток
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42Да, это версия парадокса Лжеца, или парадокс самореференции. Это утверждение, которое ссылается на свою истинность — и так возникает парадокс
GospodinKolhoznik
23.05.2025 16:42У вас в опросе альтернативно сформулированный парадоксе лжеца:
Я лгу?
(a) Да
(b) Нет
Jedy
23.05.2025 16:42У мистера Джонса двое детей, старшая — девочка. Какова вероятность, что оба ребенка — девочки?
У мистера Смита двое детей. Известно, что хотя бы один из них — мальчик. Какова вероятность, что оба — мальчики?
Оба вопроса одинаковые. То, что девочка старшая, вообще никак не влияет, и эта информация должна быть отброшена. Обе задачи полностью эквивалентны.
Решение второй задачи некорректно.
В постановке вопроса ничего не говорится о порядке, следовательно, пары мальчик/девочка, девочка/мальчик должны приниматься как эквивалентные.По сути, у нас три возможных пары, а не 4, как он утверждает:
- мальчик/мальчик,
- мальчик/девочка - девочка/мальчик,
- девочка/девочка.И правильный ответ 1/2, т. к. мы не должны рассматривать мальчик/девочка и девочка/мальчик как разные сущности. Поэтому я не согласен с Мартином Гарднером и ответом 1/3, не вижу тут никакой красоты. Вижу только неправильное решение.
Jedy
23.05.2025 16:42черт.... , вспомнил про парадокс Монти Холла и признаю, что я неправ, вероятность действительно 1/3
Задача становится понятнее если её переформулировать:
Один раз выпала решка (неизвестно при каком броске, может первый, а может второй). Результат другого броска я не знаю. Какая вероятность что у меня выпало две решки?
РР
РО
ОРРезультат 1/3
aelaa
23.05.2025 16:42Да нет, все верно с 1/2. В задачах в посте заведомо известно что один из детей - мальчик.
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42Да, но и в комментарии заведомо известно, что выпала решка. Аналогия прямая — в нашем воображаемом городе пол ребенка определяется броском монетки, если выпал орел рождается девочка, решка — мальчик.
aelaa
23.05.2025 16:42После выпавшей одной решки вероятность - 1/2. Пространство вариантов заведомо не включает в себя двух орлов
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42Да, но остается три варианта — две решки, орел+решка и решка+орел. Мы же не знаем что решка выпала первой! Если бы знали попали в условие задачи, где известно, что старшая — девочка, там действительно 1/2
aelaa
23.05.2025 16:42Мы по условию заведомо знаем что она выпала. Первой или второй - в данном случае как раз неважно, мы каким-то образом уже узнали что решка там есть, можно ее считать первой, раз эта часть результата известна
aelaa
23.05.2025 16:42Переосознал задачу. Вопрос "можем ли бы изолировать наблюдение про одну решку от результата". Если можем - тогда 1/3.
Но с детьми она все еще не накладывается. Мы произвольно ввели дополнительную категорию для упорядочивания, условие задачи не должно меняться. Тогда бы в обеих задачах должно быть 1/3, потому что категория никак не связана с полом
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42Разница в задачах не в поле, а в том, что в первой задаче известно, что дочь — старшая. Тогда для младшего ребенка реально только два варианта
vanxant
23.05.2025 16:42В любом случае для второго ребёнка возможно два равновероятных варианта. Всё остальное это про перемудрили
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42Все так, но оказывается что они не равновероятны. Представьте (или сгенерируйте на компьютере) выборку из 1000 семей с двумя детьми, отсейте те, в которых нету мальчика, и посчитайте долю семей с двумя мальчиками. Ответ будет не одна вторая!
Advisory
23.05.2025 16:42Ответ будет сильно зависеть от того как генерировать.
Если сначала генерировать имитацию первого ребенка, а потом к полученной выборке сгенерировать второго (не меняя первую), то результат будет один. И он будет сильно отличаться от того, который получится если генерировать одновременно пару значений (родилась двойня).
vanxant
23.05.2025 16:42Там ниже в комментах с таблицами очень убедительно показывается что 1/3.
Но всё равно это хрень.
Пол ребёнка не зависит от пола других детей (очень редкий вариант с однояйцевыми близнецами не рассматриваем).
И как вы там не крутите условия наблюдения, соотношение 50/50 никуда не денется.
AlexMih
23.05.2025 16:42Пол ребёнка не зависит от пола других детей
Да, но исходная выборка может быть несимметрична. Ведь и вероятность встретить прохожего - мужчину или женщину - тоже не зависит от ранее встреченных прохожих и равна 50%. Но если задача начинается "Мы встретили соседей с мальчиком", эти примерно то же, что "Навстречу шла рота солдат"...
Ustas-ak
23.05.2025 16:42А какая разница кто старший? Если один мальчик, то второй может быть либо мальчик либо девочка. Откуда берётся третий вариант?
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42Да, но в такой постановке у этих вариантов разная вероятность, потому что разнополая пара детей может появиться в семье двумя способами (сначала родился мальчик, потом девочка, либо наоборот), а два мальчика только одним. Если учитывать порядок, то все эти три случая равновероятны
Pontific
23.05.2025 16:42Что если ввести понятия старший/младший (или первый/второй). И может быть два равновероятных случая: в качестве сына упоминался старший либо младший ребёнок.
50%, что предъявили старшего. Тогда из 4 исходных комбинаций подходят 2: мальчик/мальчик, мальчик/девочка.
50%, что предъявили младшего. Тогда из 4 исходных комбинаций так же подходят 2: мальчик/мальчик, девочка/мальчик.
(50%*50%) + (50%*50%) = 50%.
Иначе говоря, если девочка/мальчик и мальчик/девочка считаются по какой-то причине разными случаями, то и мальчик/мальчик должны рассматриваться как два случая. Нам могли как бы упомянуть первого, а могли — второго (младшего).
Pontific
23.05.2025 16:42Понял свою ошибку: нам предъявляют не конкретного ребёнка (старшего или младшего), а того, который обладает нужным полом. Тогда, действительно, очень похоже на 1/3.
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42Все именно так. И в этом неоднозначность условия — непонятно, как именно нам его предъявляют, от этого зависит ответ
RomeoGolf
23.05.2025 16:42А если добавить в условие, что дело происходит в Примисисипье, а папу зовут Сигизмунд Христофорович Крестовоздвиженский, то вероятность мальчика (как, впрочем, и девочки) стремительно уносится к нулю.
Легким движением руки мы перенеслись из математики в софистику. Дополнительные уточнения условия, которые не имеют отношения к вопросу, как бы изменяют вопрос. То есть, раз уж мы упомянули про второго ребенка, да еще и старшего, то мы КАК БЫ спрашиваем вероятность разнополой пары определенной очередности. Ну, так давайте это и спрашивать! Но нет - вопрос был про вероятность второго мальчика. И там реально пофигу, сколько у него еще братьев, какого цвета кепочка и есть ли у папы феррари.
SquareRootOfZero
23.05.2025 16:42Замоделировал численно
from random import choice, shuffle GIRL, BOY = 0, 1 # исходы для обеих задач # (дети в парах по убыванию старшинства) def outcome1(): # для первой задачи: # первый - девочка, второй - ? return [GIRL, choice([GIRL, BOY])] def outcome2(): # для второй задачи: # один - мальчик, другой - ?, порядок случайный tmp = [BOY, choice([GIRL, BOY])] shuffle(tmp) # перемешиваем, следуя букве условия (но что это меняет?) return tmp # проверка исхода на "оба - девочки" и "оба - мальчики" def both_girls(outcome): return sum(outcome) == 0 def both_boys(outcome): return sum(outcome) == 2 N = 1000000 # миллион случайных исходов outcomes1 = [outcome1() for _ in range(N)] girls_only = [1 for outcome in outcomes1 if both_girls(outcome)] probability1 = len(girls_only) / N outcomes2 = [outcome2() for _ in range(N)] boys_only = [1 for outcome in outcomes2 if both_boys(outcome)] probability2 = len(boys_only) / N print(f"Задача №1: {probability1}") print(f"Задача №2: {probability2}")Вывод:
Задача №1: 0.499951 Задача №2: 0.50002Ну, понятно, чуть туда, чуть сюда, закон больших чисел, ответ для обеих задач стремится к 0.5. Если действительно для второй задачи ответ должен быть 0.33333..., то, значит, с определением функции
outcome2я просчитался, но где? Вроде, всё сделал самым наитупейшим образом, строго "в лоб", следуя букве условия вопреки здравому смыслу.d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42Проблема в том, что
outcome2()не выбирает случайную семью с двумя детьми, а принудительно вставляет одного мальчика, к которому добавляется случайный второй ребёнок.В результате вы моделируете не «все семьи с хотя бы одним мальчиком», а только те, где к одному мальчику добавили его сиблинга случайного пола. Это как раз второй метод сбора статистики, о котором я говорю в тексте, и он дает ответ 1/2.
Сравните с https://habr.com/ru/articles/912270/comments/#comment_28346778
SquareRootOfZero
23.05.2025 16:42Правильно будет сперва сгенерировать популяцию случайных пар детей, потом выбрать из неё для первой задачи те пары, где старшая - девочка, для второй - где есть хотя бы один мальчик и, приняв размер выборки для каждой задачи за 1, уже оттуда выбрать подмножество, удовлетворяющее второму критерию? Я, честно говоря, всё ещё не вижу разницы...
Но компьютер видит
from random import choice GIRL, BOY = 0, 1 def outcome0(): # случайная пара детей return (choice([GIRL, BOY]), choice([GIRL, BOY])) # проверка исхода на "оба - девочки" и "оба - мальчики" def both_girls(outcome): return sum(outcome) == 0 def both_boys(outcome): return sum(outcome) == 2 N = 1000000 # миллион случайных исходов population = [outcome0() for _ in range(N)] outcomes1 = [outcome for outcome in population if outcome[0] == GIRL] girls_only = [1 for outcome in outcomes1 if both_girls(outcome)] probability1 = len(girls_only) / len(outcomes1) outcomes2 = [outcome for outcome in population if BOY in outcome] boys_only = [1 for outcome in outcomes2 if both_boys(outcome)] probability2 = len(boys_only) / len(outcomes2) print(f"Задача №1: {probability1}") print(f"Задача №2: {probability2}")Вывод:
Задача №1: 0.5007268254500726 Задача №2: 0.3322241975783202Однако. Несколько лет назад я так же замоделировал "парадокс Монти-Холла", там было всё прямее и проще, понимание приходит ещё до запуска программы, где-то на этапе формализации исходов. Тут как-то более хитровыделанно...
SquareRootOfZero
23.05.2025 16:42В общем, понятно: дело в том, что в данном случае, по-сути, производятся две последовательных выборки, и первая перекашивает результат второй. В исходной популяции у нас поровну случаев "М, М", "Д, Д", "М, Д", "Д, М".
В первую выборку для первой задачи идут "Д, Д" и "Д, М", из них выбираются случаи "Д, Д", их половина.
В первую выборку для второй задачи идут "М, М", "М, Д" и "Д, М", из них выбираются случаи "М, М", их треть.
Какая-то мутнота присутствует в формулировке задачи, раз приходится делать предположения, выходящие за рамки этой формулировки. Пояснения выше, что "становится понятнее, если бросать монеты" меня что-то, наоборот, запутали.d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42первая перекашивает результат второй
Эту часть совсем не понимаю, с остальным согласен. Что вы имеете ввиду?
SquareRootOfZero
23.05.2025 16:42Что, на первый взгляд, и там половина, и там половина, ну вот какая разница. Но во втором случае выбираем из большего набора, и половина, сама не меняясь в количественном выражении, становится третью.
paluke
23.05.2025 16:42Можно конечно пары мальчик/девочка и девочка/мальчик считать эквивалентными, но только тогда варианты не будут равновероятными.
malkovsky
23.05.2025 16:42Я бы добавил добавил "парадокс двух конвертов". Этот парадокс принципиально отличается от тех, что в статье
Underskyer1
23.05.2025 16:42Неконструктивная математика вообще антинаучна. Само по себе утверждение, что мы "МОЖЕМ выбрать элемент из множества", бесполезно, не имеет практической (статистической!) ценности. Важно предоставить алгоритм выбора элемента. Это позволяет избежать парадоксов.
В задаче про 4 мальчика и девочку, если сперва выбрать мальчика, то эта модель будет противоречить условию задачи, в котором выбирается сразу пара знакомых детей. Это совершенно разные алгоритмы.
Модели в задаче с конвертами некорректны. При фиксированном Х нет никаких оснований считать, что любой У равновероятно окажется с одной из сторон. Но опять же, условия задачи неконструктивны без процедуры выбора числа, а значит, неполны и некорректны. Также как и последняя задача, безосновательно утверждающая существование правильного ответа на неё.
Математики считают неконструвность чем-то полезным, а соответствующие парадоксы - интересным. Беда не в том, что они обманывают сами себя, но они обманывают окружающих!
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42Спасибо за подробный комментарий! В каком-то смысле, вы формулируете главную мысль всей статьи — что без модели считать нечего. А модели могут быть устроены по-разному, и если не договориться заранее, можно получить сразу несколько «правильных» ответов.
Иногда кажется, что вся теория вероятностей — это попытка сделать вид, что мы знаем, откуда берётся случайность. Мы придумываем правила выбора, только чтобы поверить, что за ними скрывается нечто объективное. Но возможно ли построить теорию вероятностей, не договорившись, что именно мы выбираем и как?
В каком моменте, по-вашему, модель перестаёт быть инструментом — и становится самообманом?
Underskyer1
23.05.2025 16:42В большинстве приведённых примеров проблема не в том, что "неоднозначный выбор модели среди равнозначных приведёт к разным правильным результатам", а в том, что модели, приводящие к "парадоксальным" результатам, необоснованны и попросту некорректны.
В данной публикации акцент сделан на неоднозначность выбора моделей (хотя само это понятие не достаточно раскрыто). Но не говориться о первопричинах такого рода проблем, а они известны уже больше века.
Обман происходит тогда, когда гипотеза истинности утверждения подменяется убеждённостью. При этом незаметно вытягивается из рукава "очевидное" свидетельство истинности - в данных примерах, некорректные "модели". Самый фундаментальный пример такой гипотезы - это неконструктивная (антинаучная!) аксиома выбора, к которой фактически и сводятся все задачи из публикации.
Практическую ценность имеет лишь конструктивная математика, где доказательством истинности следствия ответа из начальный условий является (конструктивный!) алгоритм получения этого ответа. Т.е. когда говорят "какова вероятность выбора нужной хорды?", то уже предполагается существование конкретного способа выбора хорды. Но тогда с конструктивных позиций в условии должен присутствовать какой-то алгоритм выбора. Иначе и вопрос получается беспредметный.
Думаю, что причина подобных обманов кроется в упомянутых вами платонистских взглядах на математику, мол, "царица наук" имеет самостоятельную объективную ценность... Отсюда и берутся все эти восхищающие математиков "сферические задачи в вакууме", оторванные от реальности и потому полные парадоксов. В задачах реального мира просто не бывает подобных неоднозначностей приводящих множеству противоречивых "правильных" результатов - в реальном контексте всегда присутствуют уточнения, снимающие неоднозначности. В приведённых же задачах контекста определённо недостаточно.
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42Но аксиома выбора тут никак не участвует, если работать в теории множеств без нее, все утверждения в тексте останутся верны. Я же не говорил про парадокс Банаха-царского — специально, по тем же причинам, о которых вы пишите. У меня была очень практическая цель — объяснить что перед тем, как решать задачу, надо ее корректно сформулировать, а не использовать слово "случайность" как будто оно все объясняет
Underskyer1
23.05.2025 16:42Аксиома выбора тут везде неявно присутствует, так как во всех задачах подразумевается существование алгоритма выбора случайного значения. Вот только слепое знание о таком "существовании" неконструктивно - оно просто бесполезно, если не предоставлен сам алгоритм.
Всё верно, правильно сформулированная задача - это уже 80% от её решения. Я же хочу обратить внимание на причину возникновения таких "парадоксов". Она заключается не в ложной "всёобъясняющей случайности", а в том, что заложенная в приведённых задачах аксиома выбора предполагает существование алгоритма выбора, но по факту не предоставляет его, обманывает!
И опять же, эти все задачи - чисто "математические", оторванные от реальности, придуманные математиками только ради демонстрации таких вот "забавных", но абсолютно бесполезных парадоксов.
dmproger
23.05.2025 16:42какая забавная задачка для конструктивной математики:
на карте 100 городов поочерёдно соединены друг с другом прямыми линиями, образуя одну итоговую, проходящую через каждый город один раз. какова вероятность, что это самый короткий маршрут, по которому птица могла бы облететь все эти города?
заглянуть в будущее для понимания математических признаков самого короткого маршрута у такого количества городов, дабы предложить однозначность решения задачки и настаивать на нем не получится в данном случае, верно?
Underskyer1
23.05.2025 16:42Будущее не изветно, вы верно догадались))
Чтобы решить эту задачу вовсе не нужно искать самый признаки самого короткого маршрута - здча не требует этого. Достаточно понимать, что вероятность существования более одного кратчайшего маршрута равна 0 (или же надо в условии указать параметры сравнения маршрутов). Т.е. есть только один такой маршрут из всех возможных. Эта единственность доказывается вполне себе конструктивно. А из предположения (некорректного в реальности! но задача предполагает именно это) что все маршруты равновероятны следует ответ: 1/100!
nin-jin
23.05.2025 16:42Когда говорят про случайный выбор, имеют ввиду, что каждый вариант равновероятен. Число вариантов от алгоритма их перебора не зависит. Есть просто некорректные алгоритмы дающие по сути неравномерное распределение на интересующем нас множестве вариантов. Например, в случае с детьми, мы говорим либо о случайной выборке среди неупорядоченных пар полов (ММ, МД, ДД) и получаем 1/2 для ММ после отсечения ДД, либо упорядоченных (ММ,МД,ДМ,ДД) и получаем 1/3. Вообще, говорить про конструктивность в применении к недетерминированной операции - несколько странно.
Underskyer1
23.05.2025 16:42"Недетерминированной операция" - это и есть признак неконструтивности. Это равносильно задаче "У меня есть функция - вычисли её". При этом сама функция не предоставляется. "Конструктивность" - это когда о существовании чего-то можно говорить, лишь когда предоставлено "свидетельство" этого существования. В данных примерах - та самая операция выбора. Т.е. ещё раз, проблема большинства этих задач - в неконструктивности условий.
Что же до второй задачи про мальчиков/девочек, то утверждение о равновероятности неупорядоченных пар некорректно - оно не соответствует реальности. Т.е. выбранная "модель", приводящая к ответу 1/2, ошибочна.
nin-jin
23.05.2025 16:42Теория вероятностей принципиально не конструктивна, что не делает её бесполезной.
Выбор множества равновероятных событий - не вопрос реальности, а вопрос нашего выбора. Собственно, используя разные алгоритмы выборки мы и обеспечиваем выбранную нами сложную "модель" из более простых.
Underskyer1
23.05.2025 16:42Не стану утверждать про неконструктивность теории вероятности,. Математическая статистика лежит в основе научного метода вообще. Получаемые результаты перепроверяемы алгоритмически. Поэтому признаков неконструктивности не наблюдаю.
Если мы выбираем априорные вероятности (и модель в целом) в отрыве от реальности, значит результат, полученный в такой модели, также не будет иметь отношения к реальности.
Математика - исполнительная служанка, полезная лишь тогда, когда она решает задачи из реального мира, а не копается в выдуманных моделях.
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42Я не выбираю вероятности априорно, а привожу примеры, когда разные жизненные ситуации могут приводить к разным вероятностям. Если на это не обращать внимания и неаккуратно использовать слово "случайность", можно ошибиться — об этом и статья.
Если мы выбираем априорные вероятности (и модель в целом) в отрыве от реальности, значит результат, полученный в такой модели, также не будет иметь отношения к реальности.
Математика - исполнительная служанка, полезная лишь тогда, когда она решает задачи из реального мира, а не копается в выдуманных моделях.
Про это как раз последний раздел моего текста
Underskyer1
23.05.2025 16:42Мне показалось, что nin-jin утверждает, при решении задачи мы вольны свободно выбирать модель. Поэтому я и написал, что имеют значение лишь модели, согласующиеся с условиями задачи и реальностью.
Да и по статье серьёзных претензий нет)) Спасибо, кстати, полезный материал, и многие считают также! Просто в комментариях решил дополнить про важность причин появления подобных парадоксов и "обманов".
Leather_bag
23.05.2025 16:42Подобные т.н. парадоксы не более, чем софистика, подкреплённая вычислениями для придания важности. Использование логических уловок не имеет ничего общего с математикой. Такое вот имхо
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42А что тогда имеет отношение к математике? Где для вас проходит граница между «софистикой» и «настоящей» задачей?
Leather_bag
23.05.2025 16:42Наличие или отсутствие субъективной интепретации
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42Да, ровно это я и хотел подчеркнуть: математика начинается после того, как выбрана модель. А вот сам выбор — вещь субъективная. Решение, что считать случайным, что — известным, и как устроено наблюдение, — не выводится из теории, а задаётся извне. И именно на этом этапе рождаются все неоднозначности, о которых идет речь.
d1-d5 Автор
23.05.2025 16:42На самом деле субъективность в математике — это очень интересный вопрос и тема для отельного поста. Хотя я, как и многие, придерживаюсь платонистских взглядов — то есть предполагаю, что математика представляет собой некую объективную часть воображаемой, недоступной нам напрямую реальности, которую мы можем исследовать и открывать. Математика на Земле такая же, как математика на Луне.
Но с другой стороны, я вижу что в том, как математика живёт и развивается, огромную роль играют представления о красоте, приложениях, моде, популяризации, способности связать одно с другим, объяснить, почему эта математика интересна.
Большую часть современной математики занимает не только доказательство утверждений, но и развитие ее языка. Мы вводим определения, уточняем понятия, создаём термины. И в итоге те утверждения, с которыми работает математика, невозможно сформулировать иначе, чем на языке, который придумали конкретные люди — наши современники.
Если из истории выкинуть какого-то одного математика, осыплется всё вокруг него — терминология, конструкции, связи. Теоремы, которые сегодня считаются центральными, окажутся в этой альтернативной вселенной просто недоступны — или, как минимум, не будут выглядеть красивыми, ясными, достойными внимания. Они не станут тем, чем они стали — кирпичиками для следующего шага.
Но это конечно отступление в сторону)
Jijiki
23.05.2025 16:42не помню точно експеримент с частицей, с какой вероятностью фотон на решетке волна а с какой частица или сразу оба состояния, можно ли частицы распутать, еще смотрел какой-то видос на ютубе там обсуждалось что-то про частицы двойники. можно ли по 1 частице найти её копию тут же, это вероятность или константы?
linux-over
23.05.2025 16:42Для второй задачи Гарднер рассуждал так: всего возможных пар четыре — мальчик/мальчик, мальчик/девочка, девочка/мальчик и девочка/девочка. Мы знаем, что в семье есть мальчик, так что остается три варианта, из которых подходит только один. Значит, вероятность ⅓.
но здесь разве верно?
что я вижу.
если мы говорим, что "в семье есть мальчик, то остаётся три варианта"
очевидно, предполагается что мальчик/мальчик, мальчик/девочка и девочка/мальчик?
но раз порядок не определён, то мальчик/девочка и девочка/мальчик = это один и тот же вариант. Мальчик у нас уже есть, потому оба варианта отбрасываем, как не подходящие (они УЖЕ выпали)
и остаётся выбирать из двух: мальчик-мальчик либо девочка-девочка
но последний выпасть не может (по причине что мальчик уже выпал) и следовательно последний тоже отбрасываем и выходит что вероятность мальчика у нас 100%.
этот абсурд показывает, что выбирать вероятность, учитывая уже выпавший вариант, некорректно
соответственно нужно вернуться к классическому: каждый опыт выбирает одного (а не двух), следовательно в результате опыта у нас 1/2 и точка.
Кстати та же байда с первой девочкой.
linux-over
23.05.2025 16:42или с другого бока заходим
известно, что рождение ребёнка всегда имеет вероятность 1/2. Так можно говорить о ВСЯКОМ неизвестном ребёнке.
-- какой пол у случайного ребёнка?
-- или мальчик или девочка
-- Если в семье двое детей, один из них мальчик, то кто второй?
-- или мальчик или девочка!
вероятность 1/2. И НЕ ВАЖНО как мы узнали. Так же не важно, если нам уточнят, что ребёнок родился первым, в понедельник, в четверг и так далее.
рассматривать множества ММ МД ДМ ДД против простого множества Д или М запрещает нам бритва Оккама.
CBET_TbMbI
Так выбрать случайно или ответить на вопрос? Давай тогда 2 голосования. В одном я тыкну случайно, в другом скажу, что в первом вопросе я могу оказаться прав с 25% вероятностью.
d1-d5 Автор
Это один и тот же вопрос — в этом и вся соль :)
CBET_TbMbI
Как он может быть одним и тем же. 2 разные фразы, 2 разных задания.
navferty
Давайте немного переформулируем вопрос:
CBET_TbMbI
Вот это уже понятней.
d1-d5 Автор
Да, так почетче
ifap
Заданный критерий правильности - случайность, соответственно любое подлинно рандомное тыканье будет правильным "ответом", вне зависимости от легенды этого варианта.
d1-d5 Автор
Все ответы не могут быть правильными, они же друг другу противоречат. Не может же одновременно число быть равно 0% и 25%?
ifap
Так-то и ответы не должны противоречить вопросу (какого цвета яблоко? а) большое б) круглое в) гнилое), но противоречат же.
d1-d5 Автор
Попробуйте ответить на вопрос "есть ли правильный ответ среди предложенных?" Это же четко сформулированный вопрос с возможными ответами да или нет, правильно?
ifap
А вот это уже совсем другой вопрос ;-) Теперь вернемся к изначальному вопросу, вернее заданию и вопросу. Задание: выберите случайный вариант ответа. Вопрос: выберите правильный вариант ответа. При этом возможны 2 условно-верных варианта ответа: 1 – 100% (выберите случайный вариант ответа), 2 – неизвестно (выберите правильный вариант ответа при отсутствии собственно вопроса). ИЧСХ, обоих этих вариантов нет среди возможных.
Вы, вероятно, имели в виду, что правильный вариант ответа – 50%, потому что правильным ответом (на неизвестный вопрос) может быть только один вариант, а в ответах 2 одинаковых варианта, но это никак не следует из вопроса, поскольку он не сформулирован, следовательно, правильный ответ неизвестен (как неизвестно и сколько вариантов ответа могут быть правильными). Кроме того, не из чего не следует, что ответ 25% – это правильный вариант ответа (это лишь одинаковый вариант).
d1-d5 Автор
Если вы попробуйте ответить на мой вопрос и переберете случаи (правильного ответа нет/правильный ответ а)/правильный ответ б)/правильный ответ в)/правильный ответ г)) вы поймете ва чем парадокс)
ifap
Неправильно, возможен еще вариант "неизвестно", к которому я и склоняюсь по вышеописанным причинам.
Arioch
А это зависит от критерия правильности. От смысла слова "правильный".
В же сами сказали, что правильный - в рамках вашей задачи - означает "выбранный случайно". С "величиной" ответа это никак не связано, поэтому и противоречия нет.
Не та процедура, не та модель :-)
d1-d5 Автор
Да, но на вопрос "есть ли правильный ответ среди предложенных?" можно попробовать ответить, даже не зная критерий.
Предположим что его там нет. Если его нету, то вероятность случайно его выбрать 0%, правильно? Значит, такой ответ все-таки есть — противоречие!
Дальше надо представить, что правильный ответ все-таки есть, и так же работать случаи
DinyaS7719
В задании не говорится, что я должен выбрать именно правильный ответ. Ответ я выбрал. Случайно. Задание выполнено. Вероятность 100.
d1-d5 Автор
Но вопрос — с какой вероятностью выбранный ответ правильный. Если 100% то получается все ответы правильные? Но они друг другу противоречат(
lokkiuni
Если критерий «правильности» >0 и <2, например - то все три ответа правильных
Хотя кажется в условиях всё же есть «защита» от такого хака
d1-d5 Автор
Не понимаю как варианты а) б) и в) могут быть одновременно правильными? Вероятность это какое-то конкретное число, оно не может быть равно одновременно 0, 1/2 и 1/4
Ravius
Может.
KbRadar
А есть ли правильный вреди ответов?
d1-d5 Автор
Это правильный вопрос! Предположите, что ответ положительный или отрицательный, и в каждом из случаев прийдете к определенному выводу. Не хочу портить удовольствие и подсказывать)