«Пока законы математики остаются определёнными, они не имеют ничего общего с реальностью; как только у них появляется нечто общее с реальностью, они перестают быть определёнными» (Альберт Эйнштейн)

«Чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим» (Бертран Рассел)

«Математика… — это совокупность всех возможных самосогласованных структур, причем логических структур гораздо больше, чем физических принципов» (Митио Каку)

«Хотя истины логики и чистой математики объективны и независимы от любых случайных фактов или законов природы, наше знание этих истин полностью зависит от нашего знания законов физики» (Дэвид Дойч)

«Под рассуждением я понимаю вычисления» (Томас Гоббс)

«Никоим образом не может быть, чтобы аксиомы, установленные рассуждением, имели силу для открытия новых дел, ибо тонкость природы во много раз превосходит тонкость рассуждений» (Фрэнсис Бэкон)

«Глубоко в подсознании людей укоренилась поистине извращенная потребность в разумно устроенной, логичной и упорядоченной Вселенной. Но дело в том, что реальная Вселенная всегда, пусть на один шаг, опережает логику» (Фрэнк Герберт)

Многие интеллектуалы склонны называть математику «царицей наук» и преподносить её теоремы как абсолютную истину, полученную чисто логическим дедуктивным выводом безотносительно физической реальности, не опираясь на эмпирические данные. Якобы математические объекты существуют вне пространства-времени, в разуме Бога или в платоновском мире идей, а мы лишь открываем вечные истины: числа и арифметические операции, геометрические фигуры, аксиомы и теоремы, а также правила вывода и доказательства истинности или ложности любых математических утверждений. Говорят, наше сознание имеет прямой доступ к этому миру математических абстракций посредством интуиции – не иначе, как божественного откровения или снисхождения самой истины, открывающейся только тем, кто её достоин. Не зря же многие выдающиеся математики утверждали, что открытия приходят им в голову как мгновенный инсайт. Так, всем известна история индийского гения Сринивасы Рамануджана – «человека, который познал бесконечность». Не имея специального образования и прожив всего 32 года, он оставил после себя более 3000 теорем и уравнений, доказательства которых нашёптывала ему во сне богиня Намагири. А венгерский математик Пал Эрдёш верил в существование нематериальной книги, в которой Бог записал все самые красивые математические доказательства, и когда ему показывали такое доказательство, он восклицал: «О, это из Книги!»

А кто станет отрицать «непостижую эффективность математики в естественных науках»? В одноимённой статье 1960 г. физик Юджин Вигнер назвал её «чудесным даром, который мы не понимаем и не заслуживаем» и сравнил ещё с двумя чудесами: существованием законов природы и способностью человеческого мышления раскрывать их, а также связать воедино и без противоречий тысячи аргументов. Даже Альберт Эйнштейн говорил: «Вечная тайна мира заключается в его постижимости. Тот факт, что он постижим, уже является чудом». Трудно не согласиться и с Галилео Галилеем, что «книга природы написана на языке математики». Сегодня не только философы-идеалисты, но и многие физики следуют этому принципу, полагая, что критерий истинности физической теории – её математическая красота и элегантность. Кто-то идёт ещё дальше и утверждает, что математика – не просто модель, описание, метафора реальности, а сама реальность, ведь Вселенная, согласно квантовой механике, является чисто математическим объектом – универсальной волновой функцией.

В предыдущих статьях я уже разбирал две такие теории – математическую вселенную Макса Тегмарка и рекурсивно-самовычисляющую вселенную Стивена Вольфрама. В частности, Тегмарк постулирует, что все структуры, которые существуют математически, существуют также и физически, и мы сами есть ни что иное, как математические структуры. Но в данном видео я собираюсь обосновать прямо противоположную и достаточно крамольную идею, что всё наше математическое знание производно от физического знания, а не наоборот. Знание не имеет гарантий, его невозможно получить одной логикой или интуицией. Знание экспериментально, подвержено ошибкам и не является абсолютной истиной, так как мы изучаем математику на опыте, взаимодействуя с физическими объектами. Поэтому математика ничем не лучше и не «точнее» естественных наук. За такую ересь инквизиторы уже могут приговорить меня к сожжению на костре, но пока этого не произошло, позвольте объяснить и обосновать свою позицию.

Объективный идеализм Платона

Все философские учения, постулирующие существование независимой от воли и разума субъекта нематериальной реальности, объединяют под общим названием «объективный идеализм». В отличие от субъективного идеализма и солипсизма, которые мы ставили под сомнение в соответствующих статьях, объективный идеализм не отрицает объективную реальность как таковую, но называет наблюдаемые феномены всего лишь её блеклым отражением, тенью или проекцией. А истинной реальностью в объективном идеализме считается некое духовное начало, Бог, мировой разум, мировая душа или мир идей. Этот идеальный мир содержит в себе вечные и неизменные математические истины, законы логики, всевозможные абстракции и нематериальные прообразы всех вещей, а также человеческие души, которые воплощаются в телесной форме, чтобы получать чувственный опыт и следовать своему высшему предназначению. Мы не будем сейчас опровергать существование эфемерных эйдосов, универсалий и таких сущностей, как гегелевский абсолютный дух, но сосредоточимся на самом ядре объективного идеализма – математическом платонизме, постулирующем независимое от нашего языка и мышления существование абстрактных математических объектов.

Традиция наделять математическое знание особым статусом и ставить его выше знания эмпирического сложилась в Древней Греции ещё во времена философов-досократиков. Так, Пифагор считал, что «все вещи есть числа», а закономерности в природе есть выражение математических отношений между числами. Члены его секты занимались нумерологией, верили в гармонию сфер, поклонялась целым числам и не могли принять тот факт, что отношение диагонали квадрата к его стороне является иррациональным числом – первооткрывателя этой ереси Гиппаса нашли утонувшим при невыясненных обстоятельствах. Два века спустя Платон тоже называл истинной реальностью натуральные числа и математические операции, а вместе с ними абстрактные формы или эйдосы – прообразы всех вещей. Например, пять платоновых тел – правильных многогранников – проявляются в мире чувств как элементы четырёх стихий. Эйдосы существуют в неком идеальном мире, а воспринимаемые нами физические объекты – всего лишь их «тени», несовершенные копии. Наглядной иллюстрацией отношения идеального к материальному является пещера Платона, где узники видят только тени на стене и не знают, как выглядят настоящие предметы, которые проносят у них за спиной. Аналогично, все круглые вещи, которые мы видим, есть отражения формы идеального круга, но они не совершенно круглые, не совершенно плоские, имеют конечную толщину и т.д. Поэтому наши мнимые ощущения ничего не стоят и только вводят в заблуждение. Но мы обладаем врождённым интуитивным знанием идеального мира, где пребывают наши души в промежутке между телесными воплощениями (Платон верил в реинкарнацию), и можем «вспомнить» истинную реальность, забытую под влиянием чувственного опыта, при помощи логических рассуждений.

Под влиянием платонизма находились как средневековая христианская схоластика, так и вся европейская идеалистическая философия нового времени, и даже рационалистическая наука XX века. Вот лишь несколько цитат выдающихся мыслителей разных эпох:

«Предметы и слова суть тени бессмертных творческих идей, исходящих от Божественного Разума» (Джордано Бруно)

«В чистой математике мы созерцаем абсолютные истины, которые существовали в Божественном Разуме до того, как утренние звезды запели вместе, и которые продолжат существовать там, когда последняя из их сияющего воинства упадёт с небес» (Эдвард Эверетт)

«Когда человек «видит» математическую истину, его сознание прорывается в этот мир идей и вступает с ним в прямой контакт... Когда математики общаются, это становится возможным благодаря тому, что у каждого из них есть прямой путь к истине» (Роджер Пенроуз)

«Единственная понятная теория вселенной — это теория объективного идеализма, согласно которой материя — это изношенный разум, а застарелые привычки становятся физическими законами» (Чарльз Пирс)

«Я полагаю, что математика является главным источником веры в вечную и точную истину, как и в сверхчувственный интеллигибельный мир. Геометрия имеет дело с точными окружностями, но ни один чувственный объект не является точно круглым; и как бы мы тщательно ни применяли наш циркуль, окружности всегда будут до некоторой степени несовершенными и неправильными. Это наталкивает на предположение, что всякое точное размышление имеет дело с идеалом, противостоящим чувственным объектам. Естественно сделать ещё один шаг вперед и доказывать, что мысль благороднее чувства, а объекты мысли более реальны, чем объекты чувственного восприятия. Мистические доктрины по поводу соотношения времени и вечности также получают поддержку от чистой математики, ибо математические объекты, например, числа (если они вообще реальны), являются вечными и вневременными. А подобные вечные объекты могут в свою очередь быть истолкованы как мысли Бога. Отсюда платоновская доктрина, согласно которой Бог является геометром, а также представление сэра Джеймса Джинса о том, что Бог предается арифметическим занятиям. Со времени Пифагора, а особенно Платона, рационалистическая религия, являющаяся противоположностью религии откровения, находилась под полным влиянием математики и математического метода» (Бертран Рассел)

«Если мы хотим сравнить результаты современной физики частиц с идеями любого из старых философов, то философия Платона представляется наиболее адекватной: частицы современной физики являются представителями групп симметрии, и в этом отношении они напоминают симметричные фигуры платоновской философии» (Вернер Гейзенберг)

Платоновский идеализм всё ещё имеет много сторонников, особенно в религиозных и эзотерических кругах. Так, по результатам опроса 2020 г., проведенного журналом PhilPapers, 38% философов проголосовали за платонизм, 42% - за номинализм (остальные выбрали «другое»), но среди философов математики это соотношение составило 53% против 25%. Даже среди учёных, строго следующих научному методу, до сих пор распространено убеждение, что математическое знание происходит из особого источника, называемого математической интуицией, и обладает абсолютной определённостью. Не похоже ли это платоновские «воспоминания» об идеальном?

В статьях «Физика сверхъестественного» и «Реализм против Теории Пыли» мы уже опровергали существование информационного поля, хроник Акаши, универсальной библиотеки, космического интернета и других подобных источников высшего знания. Что же можно сказать в ответ объективным идеалистам, утверждающим, что в основе научных теорий лежат абстрактные, нематериальные, но объективно реальные и познаваемые закономерности: законы физики, математика и логика? Они ведь универсальны, объективны и фундаментальны по отношению к физической реальности, а сами относятся к сфере идеального. Математические истины контрфактически независимы: если бы не было никаких разумных существ или если бы их язык, мышление или практика были бы другими, математика всё равно работала бы, поэтому она не может быть всего лишь языком или конструктом человеческого ума. Так может, нам пора отказаться от материалистической парадигмы и снова признать правоту Платона и его последователей? Неужели духовное начало скрывается там, где его меньше всего ожидают найти – в самом математическом аппарате современной науки?

Кризис оснований математики и попытки его разрешения

В представлении гуманитария математика – это наука о числах и геометрических фигурах. Но в большинстве работ по математике вы не найдёте ни того, ни другого – сплошные буквы и непонятные знаки математической логики. Теоремы высшей математики настолько абстрактны, что порой трудно объяснить на естественном языке, о чём они.

Никола Бурбаки определяет математику как «науку об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание той или иной математической теории».

А Эрнест Нагель и Джеймс Ньюман в книге "Теорема Гёделя" пишут следующее:

«...математика есть попросту наука, изучающая получение логических следствий из некоторых заданных аксиом, или постулатов. Фактически стало общепризнанным то обстоятельство, что математические выводы и заключения не имеют никакого другого смысла, помимо того в некотором роде специального смысла, который связан с терминами или выражениями, входящими в постулаты. Таким образом, математика оказалась даже еще значительно более абстрактной и формальной наукой, чем это было принято считать: более абстрактной — поскольку математические предложения в принципе могут быть истолкованы скорее как утверждения о чем угодно, а не как утверждения, относящиеся к некоторым фиксированным множествам предметов и неотъемлемым свойствам этих предметов; более формальной — поскольку правильность математических доказательств гарантируется чисто формальной структурой некоторых предложений, а отнюдь не содержанием этих предложений»

Общепринятый аксиоматический метод состоит в том, что за основу берётся несколько самоочевидных аксиом (постулатов), которые принимаются без доказательств, и из них при помощи логических правил вывода (силлогизмов) выводятся теоремы. Математическое утверждение считается истинным, если оно чётко сформулировано в виде теоремы и доказано с помощью последовательности силлогизмов (правил вывода), посылками которых являются аксиомы или уже доказанные теоремы. Вся эта формальная система из аксиом, теорем, доказательств и алгоритмов должна быть однозначной и непротиворечивой. Проблема в том, что мы не можем на собственном опыте убедиться в существовании математических объектов (чисел, фигур, множеств, функций). Ничто вне или внутри математики не доказывает и не объясняет необходимости её выводов. Почему же мы безоговорочно принимаем математические теоремы и считаем их необходимо истинными? Что является достаточным основанием для математики, чтобы считать её наукой или даже метанаукой?

С античности и до начала научной революции XVII века первоисточниками математики считались «Органон» Аристотеля и «Начала» Евклида. Аристотель заложил основы формальной логики и теории доказательств, утверждая, что все обоснованные доказательства можно выразить в виде силлогизмов. У Евклида геометрия и теория чисел были сформулированы как единая аксиоматическая система, в которой из исходных предположений (постулатов или аксиом) с помощью выделенного набора логических средств выводились следствия о свойствах первичных понятий (точка, прямая, число и т. д.) и конструируемых из них объектов (геометрические фигуры). Но в евклидовой геометрии оставалась спорной пятая аксиома (через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную первой), не самоочевидная и невыводимая из остальных четырёх. На это не сильно обращали внимание, пока в XIX в. Гаусс и Лобачевский не показали, что пятый постулат можно заменить на противоположный, и получить непротиворечивую неевклидову геометрию, в которой параллельные прямые пересекаются или расходятся.

Изобретение в конце XVII века Ньютоном и Лейбницем интегрального и дифференциального исчисления с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами заложило основу математического анализа, основным инструментом которого стали функции – отношения зависимости одной переменной величины от другой. В 1806 г. Андре-Мари Ампер предположил, что любая непрерывная функция должна быть дифференцируемой (регулярной и монотонной) всюду, за исключением некоторых отдельных значений аргумента, поскольку у любой непрерывной кривой можно найти градиент для любого конечного числа точек. Однако в 1872 г. была открыта функция Вейерштрасса, которая непрерывна, но нигде не дифференцируема. Она поставила под сомнение всё, что математики думали о математическом анализе прежде: Анри Пуанкаре назвал её «оскорблением здравого смысла», Шарль Эрмит – «безобразным злом», а Эмиль Пикар сказал, что если бы Ньютон знал о таких функциях, то не создал бы математический анализ. Тем не менее, функция Вейерштрасса впоследствии получила применение в описании ломаных траекторий броуновских частиц и привела к открытию фракталов. Доказательство Вейерштрасса показало, что математический анализ больше не может полагаться на геометрическую интуицию, как это делали его создатели. Всё это заставило математиков искать основания глубже – не в числах и геометрических фигурах, а в более простых и абстрактных объектах. Такими элементарными идеализированными объектами, из которых можно построить все остальные объекты, стали множества.

Теория множеств работала очень хорошо, пока не выяснилось, что она противоречива и содержит всевозможные парадоксы. Первый парадокс обнаружил сам Кантор в 1895 г., когда решил рассмотреть множество всех множеств. Если оно содержит абсолютно все множества, то среди них будет и множество всех его подмножеств, которое по теореме Кантора должно быть больше самого множества всех множеств. Затем в 1901 г. Бертран Рассел рассмотрел множество всех множеств, которые не содержат сами себя, и задал вопрос: будет ли это множество содержать само себя? Как положительный, так и отрицательный ответ ведут к противоречию, которое назвали парадоксом Рассела или парадоксом брадобрея (Брадобрей бреет всех жителей деревни, которые не бреются сами. Бреет ли он сам себя?). Впрочем, неформально он был известен и ранее как парадокс лжеца (Критянин сказал: «все критяне лжецы»). Кантор предложил разделить все множества на противоречивые и непротиворечивые, исключив первые из теории. Рассел предложил называть кардинальные и ординальные числа не множествами, а собственными классами, и в 1908 г. ранжировал все множества в своей теории типов. Другие математики стали вводить дополнительные аксиомы, запрещающие построение противоречивых множеств. Так на смену «наивной» теории множеств Кантора пришла усовершенствованная теория множеств Цермело-Френкеля (ZF), которая используется по умолчанию до сих пор с небольшим дополнением в виде аксиомы выбора (ZFC).

Аксиома выбора утверждает: для любого семейства непустых множеств существует множество, которое содержит по одному элементу из каждого множества семейства. Для конечного семейства конечных множеств эта аксиома не требуется, но в случае с бесконечным несчётным множеством не существует способа выбрать определённый его элемент. То есть аксиома не предъявляет конкретной функции выбора, а лишь утверждает её существование – любое бесконечное множество можно вполне упорядочить и перебрать элемент за элементом. Кроме того, как иногда шутят, аксиома выбора говорит, что у вас есть выбор, принимать аксиому выбора или нет. Как заметил Бертран Рассел, «Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы; под конец же вообще перестаешь понимать, что же она означает». Например, из аксиомы выбора следует парадокс Банаха-Тарского: можно разрезать шар на конечное число кусков и собрать из этих кусков два точно таких же шара. Причём для разбиения шара аксиома выбора используется континуум раз.

Ещё одной неразрешимой проблемой была гипотеза континуума, стоявшая под номером 1 в списке из 23-х важнейших задач столетия, представленном в 1900 г. Давидом Гильбертом на Всемирной конференции математиков в Париже. Континуум-гипотеза, выдвинутая в 1877 г. Георгом Кантором, предполагала, что любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Иначе говоря, между счётным множеством и континуумом нет других множеств промежуточной мощности. Оказалось, что эта гипотеза независима от системы Цермело-Френкеля. В 1940 г. Курт Гёдель доказал, что она не может быть опровергнута, а в 1963 г. Пол Коэн доказал, что она не может быть доказана. То есть существуют разные математики: в одной континуум-гипотеза верна, а в других между счётной бесконечностью и континуумом можно поместить любое конечное число бесконечных множеств промежуточной мощности.

Обнаруженные к началу XX века противоречия в теории Кантора спровоцировали кризис оснований математики, усугублённый тем, что большинство полученных к тому времени математических доказательств не соответствовали стандартам определённости и строгости и не могли быть выражены в виде чистой последовательности силлогизмов. В попытках разрешения этого кризиса возникли три направления в философии математики: интуиционизм, логицизм и формализм. Все три школы пытались свести математику к теоремам о свойствах натуральных чисел и обосновать непротиворечивость арифметики Пеано. Впоследствии возникли и другие направления философии математики, включая психологизм, фикционализм, артистизм и социальный конструктивизм, которые мы не будем рассматривать из-за их очевидного антиреализма: только гуманитарии, далёкие от практической науки, могут всерьёз верить, что математика является чистой выдумкой, фикцией, всеобщей договорённостью, формой искусства или развлечением.

Интуиционизм (программа Брауэра)

Как можно догадаться из названия, сторонники этого подхода ставили интуицию превыше логики и признавали существующими только те объекты, которые мы можем сконструировать посредством умственной деятельности. Иначе говоря, математический объект существует, если известно, как его построить за конечное число шагов. Поэтому существование актуальной бесконечности для интуиционистов самоочевидно ложно. Вместе с ней пришлось выбросить или переписать значительную часть математики. По мнению интуиционистов, натуральные числа – не более чем ментальные конструкции, интуитивно очевидные в силу особенности нашего восприятия времени и не существующие независимо от ума. Как говорил основатель школы, голландский математик Лейтзен Эгберт Ян Брауэр, «Математика – свободное творчество, независимое от опыта; она создаётся из единственной априорной интуиции, которую можно назвать «постоянством в изменении», или «единством в множественности»». Его ученик Аренд Гейтинг разработал особую интуиционистскую логику, отрицающую закон исключённого третьего и доказательства от противного для бесконечных множеств. Ведь по мнению интуиционистов, логика – часть математики, и её правила можно ограничивать. Дальнейшим развитием данного подхода стала конструктивная математика.

Конструктивизм (программа Маркова)

Конструктивисты считают реальными лишь те математические сущности, которые могут быть сконструированы явно – например, вычислены на бумаге или на компьютере. Только вопросы, касающиеся поведения конечных алгоритмов, имеют смысл и должны исследоваться в математике. Но конструктивисты используют две математические абстракции: абстракцию отождествления (когда говорят о двух в том или ином смысле одинаковых объектах как об одном и том же объекте) и абстракцию потенциальной осуществимости (когда при конструировании отвлекаются от практических ограничений в пространстве, времени и материале, допуская потенциальную бесконечность). Крайней формой конструктивизма является финитизм, отрицающий существование математических объектов, которые нельзя построить из натуральных чисел за конечное число шагов. Например, все натуральные числа принимаются как существующие, а множество всех натуральных чисел не считается существующим как математический объект – бесконечности нет места ни во Вселенной, ни в человеческом мышлении. А крайней формой финитизма является ультрафинитизм, отрицающий даже конечные величины, которые невозможно построить с помощью имеющихся физических ресурсов.

Логицизм (программа Фреге-Рассела-Уайтхеда)

В середине XIX века были сформулированы законы де Моргана и алгебра логики Джорджа Буля, позволявшая выразить логику Аристотеля в виде формул и алгебраических операций, а в 1870-х гг. Чарльз Сандерс Пирс и Готтлоб Фреге расширили исчисление высказываний, введя квантификаторы для построения логики предикатов. На фоне активного развития математической логики возникла идея, что вся математика сводится к логике и является её частью, а значит, все математические утверждения являются необходимыми логическими истинами. Как говорил Готлоб Фреге, «арифметика есть лишь дальнейшее развитие логики, а каждое арифметическое предложение есть логический закон, хотя и производный». Теоремы математики могут быть выведены из логических аксиом посредством чисто логической дедукции, а концепции математики могут быть выведены из логических концепций посредством явных определений. Натуральные числа – логические абстракции, а не физические объекты или их свойства.

Фреге указал на три желаемых свойства логической теории: непротиворечивость (невозможность доказательства противоречивых утверждений), полнота (любое утверждение либо доказуемо, либо опровержимо; то есть его отрицание доказуемо) и разрешимость (существует процедура принятия решения для проверки каждого утверждения). Отсюда возникла идея вывести всю математику из формальной логики, приняв за основу минимальное количество аксиом. Естественно, такая система должна была быть непротиворечивой, полной и не содержать парадоксов. Результатом программы Фреге стал монументальный трёхтомный труд Бертрана Рассела и Альфреда Уайтхеда Principia Mathematica (1910-1913). Его авторам удалось избежать импредикативных определений и парадокса Рассела с помощью теории типов, в которой невозможно было сформулировать понятие множества всех множеств. Однако построенная ими формальная система оказалась слишком громоздкой (доказательство того, что 1+1=2, заняло 379 страниц) и включала дополнительные постулаты, невыводимые из логики: аксиому бесконечности (существует бесконечное число объектов) и аксиому сводимости (для каждого множества существует равнообъёмное ему множество первого порядка).

Формализм (программа Гильберта)

Дальше всех в деле аксиоматизации математики зашёл Давид Гильберт, который пытался доказать полноту и непротиворечивость финитной арифметики средствами самой арифметики, «исключив при этом из неё всю метафизику». «Я преследую важную цель: именно я хотел бы разделаться с вопросами обоснования математики как таковыми, превратив каждое математическое высказывание в строго выводимую формулу». «Все высказывания, которые составляют вместе математику, превращаются в формулы, так что сама математика превращается в совокупность формул». В такой формальной системе, состоящей из множества аксиом, правил вывода и алфавита формального языка для их записи, любое утверждение либо истинно, либо ложно, и третьего не дано. Теорема истинна, если её можно вывести из аксиом, применяя правила вывода (формальное доказательство). Математические утверждения – это утверждения не о числах, множествах, фигурах и т.п., а о последствиях определённых правил манипуляции строками. То есть по сути математика – это просто механическая игра символами, не имеющими смысла. Гильберт считал, что любая теорема о конечных математических объектах, которая может быть получена с использованием идеальных бесконечных объектов, может быть получена и без них конечным числом операций, поэтому допущение бесконечных математических объектов не вызовет проблем относительно конечных объектов.

В списке проблем Гильберта, которые, как он надеялся, математики смогут решить в XX веке, под номером 2 стояла задача «раз и навсегда установить определённость математических методов», найдя набор правил вывода, достаточный для всех обоснованных доказательств, и затем доказать состоятельность этих правил в соответствии с их собственными нормами. Гильберт хотел сформулировать строгую теорию доказательства, при условии, что доказательства в этой теории должны быть конечными, т.е. в них должен использоваться фиксированный и конечный набор правил вывода, они должны начинаться с конечного числа конечно выраженных аксиом и содержать лишь конечное число конечных элементарных шагов. Теоретически эти правила делали бы доказуемым любое истинное математическое утверждение и недоказуемым любое ложное утверждение. В таком случае машина, способная выучить правила вывода, смогла бы оценивать математические высказывания лучше, чем самый одарённый математик, и делать математические открытия, даже не понимая значения символов и того, что она доказывает – просто проверяя все возможные строки букв, чисел и математических символов, пока одна из них не пройдёт проверку на то, является ли она доказательством какой-нибудь недоказанной гипотезы. Это была бы плохая новость не только для математиков, но и для учёных вообще, поскольку она бы устранила необходимость понимания математических идей и сделала бы возможным существование абсолютных истин, защищённых от критики. К счастью, Гильберт был неправ.

Теоремы Гёделя о неполноте

В 1931 г. 25-летний австрийский математик Курт Гёдель в статье «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и связанных с ней системах I» доказал, что 2-я задача Гильберта не имеет решения – невозможно доказать все теоремы формальной системы арифметики с помощью синтаксических правил вывода, применённых к аксиомам. Он воспользовался расширением диагонального доказательства Кантора: начал с рассмотрения любого согласованного набора правил вывода; предложил способ их нумерации; затем показал, как составить утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью этих правил; и в завершение доказал, что это высказывание истинно. Оказалось, что для любого самосогласованного набора правил вывода существуют обоснованные доказательства, которые эти правила не определяют как обоснованные. Более того, любой набор правил вывода, способный правильно обосновать доказательства обычной арифметики, никогда не сможет обосновать доказательство своей собственной согласованности.

Гёдель сформулировал две теоремы о неполноте: «слабую» и «сильную». Обе касаются пределов доказуемости в формальных аксиоматических теориях математической логики. Речь идёт о теориях, «достаточно мощных», чтобы содержать как подсистему элементарную арифметику, которая сама по себе достаточно богата, чтобы выразить универсальность, отрицание и самоотнесение.

Первая теорема Гёделя о неполноте: «любая достаточно мощная непротиворечивая формальная система аксиом, теоремы которой могут быть перечислены эффективной процедурой (алгоритмом), содержит утверждения, которые истинны, но недоказуемы внутри системы». Любая формальная система, содержащая элементарную арифметику, фундаментально неполна, т.е. в ней нельзя доказать все истинные утверждения. Если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула, на которой арифметика и построена.

Вторая теорема Гёделя о неполноте: «любая достаточно мощная непротиворечивая система аксиом не может доказать свою собственную непротиворечивость». Логическая полнота или неполнота системы тоже не может быть доказана в рамках этой системы – для её доказательства или опровержения требуется усилить систему дополнительными аксиомами. Чтобы доказать, что аксиоматическая система математики непротиворечива, нужно предположить непротиворечивость системы, которая сильнее, чем система, непротиворечивость которой доказывается. Любая система, достаточно мощная, чтобы доказать непротиворечивость арифметики, по крайней мере так же мощна, как сама арифметика.

Ключевую роль в теоремах Гёделя играют понятия непротиворечивости и полноты. Непротиворечивость («всё, что производит система, истинно») означает, что каждая теорема, будучи интерпретирована, оказывается истинной (в каком-либо из возможных миров). В непротиворечивой системе доказуемы только истинные теоремы – в ней нельзя доказать ни одно ложное утверждение. Полнота («все истинные утверждения производятся данной системой») означает, что все утверждения, которые истинны (в каком-либо из возможных миров) и выразимы в виде правильно сформированных строчек системы, являются теоремами. Из теорем Гёделя следует, что формальная система может быть либо непротиворечивой и неполной, либо полной и противоречивой. То есть нужно выбирать одно из двух:

1. Неполнота: любая формальная система, включающая в себя арифметику, является неполной, т.е. включает строки, которые выражают истинные утверждения теории чисел, не являясь при этом теоремами. Иначе говоря, в теории чисел имеются истинные утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть внутри самой системы. Примеры таких утверждений мы уже приводили: это пятая аксиома евклидовой геометрии, континуум-гипотеза и аксиома выбора в теории множеств Цермело-Френкеля. Ещё один пример такого высказывания – «Дионис Диметор не может доказать истинность или ложность этого утверждения». Если бы я мог доказать его истинность или ложность, я бы вступил в противоречие сам с собой, поэтому для меня оно недоказуемо. Но для вас утверждение самоочевидно истинно, поскольку вы анализируете его извне системы. Когда предложение не зависит от теории, у теории будут модели, в которых предложение истинно, и модели, в которых предложение ложно – это следствие менее известной теоремы Гёделя о полноте.

2. Противоречивость: если система полна и недоказуемых внутри неё утверждений не имеется, значит, её аксиоматика противоречива, и в системе неизбежно будут присутствовать утверждения, которые можно одновременно и доказать, и опровергнуть. Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A. Если можно доказать истинность утверждения «предположение А недоказуемо», то можно доказать истинность утверждения «предположение А доказуемо». Но из A и не-A вместе взятых следует B, которое можно интерпретировать любым предложением, то есть из одного-единственного противоречия следует буквально всё, что угодно, и вся система становится противоречивой. Одно-единственное формально-логическое противоречие очень быстро «заражает» всю систему и разрушает её – в теории, в которой появляется парадокс, доказуемо любое, как истинное, так и ложное предложение. Поэтому математики стремятся выявлять источники подобных противоречий и находить способы их устранения.

С помощью диагонального метода Кантора Гёдель показал, что практически все математические истины не имеют доказательства – они недоказуемы. Из этого следовало, что практически все математические высказывания неразрешимы: ни для их истинности, ни для их ложности доказательства нет. Каждое из них либо верно, либо ложно, но с помощью физических объектов, таких как мозг или компьютер, это никак невозможно выяснить. Показательно, что все неразрешимые высказывания прямо или косвенно относятся к бесконечным множествам. Но лишь об очень немногих вопросах известно, что они неразрешимы, хотя на самом деле таковыми является большинство. Существует много недоказанных математических предположений, и некоторые из них вполне могут оказаться неразрешимыми. Но есть ещё одно определение неразрешимости, принятое в теории вычислений. Оно относится к проблемам принятия решений, которые представляют собой счётные бесконечные списки вопросов, каждый из которых требует ответа «да» или «нет». Такая проблема называется неразрешимой, если не существует вычислимой функции, которая правильно отвечает на каждый вопрос в списке.

Проблема алгоритмической разрешимости и задача остановки

В 1928 г. Давид Гильберт поставил перед математиками ещё одну задачу, известную как проблема разрешимости (нем. Entscheidungsproblem): найти алгоритм, который принимал бы в качестве входных данных описание формального языка и математического утверждения, и, после конечного числа шагов, останавливался бы и выдавал один из двух ответов: «истина» или «ложь», в зависимости от того, истинно утверждение или ложно. То есть алгоритм давал бы однозначный ответ да/нет на любой заданный вопрос, отделяя истинные математические утверждения от ложных. Для решения задачи разрешимости требовалось формализовать понятия алгоритма и эффективно вычислимой функции. В середине 1930-х гг. было предложено сразу несколько вычислительных моделей: лямбда-исчисление Алонзо Чёрча, машина Тьюринга, машина Поста и общие рекурсивные функции Стивена Клини. Впоследствии оказалось, что все они эквивалентны по своим возможностям, т.е. имеют одинаковый репертуар вычислимых функций – являются тьюринг-полными. Так появилась теория алгоритмов, которая послужила механизмом и основой для любой математики и для любых вычислений возможных в принципе.

С доисторических времён для представления некоторых математических сущностей и операций использовались такие объекты, как пальцы, счётные палочки, линейка, циркуль и счёты. Затем операции элементарной арифметики (сложение и умножение) были делегированы более сложным механическим машинам, разработанным Блезом Паскалем и Готфридом Лейбницем – калькуляторам. В XX веке пришло время формализовать логическую концепцию вычислимости и автоматизировать всё, что может быть описано алгоритмом. В 1936 г. 23-летний аспирант Чёрча в Принстоне Алан Тьюринг опубликовал статью «О вычислимых числах в приложении к проблеме разрешимости», в которой ввёл понятие абстрактной вычислительной машины (той самой машины Тьюринга) и доказал теорему о неразрешимости задачи остановки, заложив теоретическую основу компьютерных наук. Тьюринг первым предложил модель машины, способной выполнить любую конечную, эффективную процедуру (алгоритм). На тот момент была известна только одна подобная машина – компьютер, или «человек, снабжённый бумагой, карандашом и ластиком и подчинённый строгой дисциплине». Ключевая идея Тьюринга заключалась в том, что результат вычисления не зависит от конкретной физической реализации компьютера, поэтому вся работа человеческого компьютера может быть имитирована логической машиной, каждая операция которой представляет собой «некоторое изменение физической системы, состоящей из компьютера и его ленты».

Машина Тьюринга — абстрактный исполнитель, состоящий из бесконечной разделённой на ячейки бумажной ленты и головки записи-чтения, которая двигается вдоль ленты, считывая и перезаписывая символ в текущей клетке в соответствии с таблицей правил. Для каждого текущего символа и каждого состояния головки у неё есть инструкция, какой символ записать и в какую сторону сдвинуться. Такая таблица правил является примитивным языком программирования. Машина может перейти в конечное состояние остановки, в котором она принимает или отклоняет ввод, или попасть в бесконечный цикл и продолжать читать ленту вечно. Алгоритм – это последовательность однозначных инструкций (программа) на каком-либо языке программирования, которая за конечное число шагов переводит входные данные в результат (да/нет) и завершает свою работу. Если на каких-то начальных данных программа зацикливается, то алгоритма она не описывает. Тьюринг показал, что функция вычислима, если для неё существует алгоритм, который может быть определён машиной Тьюринга. Каждое корректное доказательство можно преобразовать в вычисление, которое получает вывод, начиная с исходных допущений, а каждое правильно выполненное вычисление доказывает, что выходные данные – это результат выполнения заданных операций над входными данными.

Алан Тьюринг доказал свою теорему всё тем же диагональным методом, который Курт Гёдель применял в доказательстве теорем о неполноте, а Георг Кантор – в доказательстве того, что существуют бесконечно большие множества, превышающие бесконечность натуральных чисел. Анализируя список всех возможных машин, работающих на основе описаний всех возможных машин, Тьюринг пришёл к выводу, что практически все математические функции, которые логически могут существовать, нельзя вычислить никакой программой. Они невычислимы, потому что множество всех функций – несчётно бесконечно, а множество программ – лишь счётно бесконечно. Поскольку алгоритм вычисления должен состоять из конечного числа шагов, т.е. из конечной последовательности символов какого-либо алфавита, множество таких последовательностей можно посчитать, и оно бесконечно меньше множества всех логически возможных математических структур. Невычислимых функций несоизмеримо больше, чем вычислимых.

Доказательство существования невычислимых функций в классе машин Тьюринга было аналогично результату Гёделя о неполноте элементарной арифметики, поскольку машина Тьюринга формализует понятие вычисления и, следовательно, содержит элементарную арифметику. Класс машин Тьюринга достаточно богат, чтобы выразить универсальность, отрицание и самореференцию – функции, ссылающиеся сами на себя. Рекурсивные функции – это элементарные арифметические функции, работающие с натуральными числами: сложение, вычитание, умножение и деление, а также все другие функции, которые могут быть определены через них. Любая достаточно мощная формальная система содержит арифметику в качестве подсистемы и может быть представлена в виде элементарных арифметических функций. Такая система способна рассуждать о своих собственных функциях и доказательствах, но поскольку она непротиворечива, она по необходимости является неполной. Впоследствии Стивен Клини показал, что существование полной и непротиворечивой эффективной системы арифметики означало бы разрешимость проблемы остановки, т.е. существование алгоритма, который всегда мог бы проверить истинность или ложность арифметического высказывания.

Самым важным достижением теории алгоритмов стала концепция универсальной машины Тьюринга – математическая модель цифрового программируемого компьютера общего назначения. Как мы уже говорили ранее, Алонзо Чёрч и Алан Тьюринг установили эквивалентность между интуитивным понятием алгоритмической вычислимости и строго формализованными понятиями частично рекурсивной функции, λ-исчислимой функции и функции, вычислимой на машине Тьюринга. Согласно тезису Чёрча-Тьюринга, любая задача, для которой существует алгоритм решения, может быть решена с помощью машины Тьюринга. Нет необходимости строить специальный компьютер для каждой задачи и придумывать для него теорию алгоритмов. Любой алгоритм, который поддаётся формальному описанию, может быть записан как программа для машины Тьюринга. Если компьютер способен симулировать машину Тьюринга – он потенциально способен решить любую разрешимую задачу. Это свойство называется тьюринг-полнотой. Универсальная машина Тьюринга воплощает в себе понятие универсальных вычислений: любое вычисление, которое может быть выполнено на конкретной машине Тьюринга, также может быть выполнено на любой другой универсальной машине Тьюринга.

О вычислительной универсальности догадывалась ещё Ада Лавлейс, написавшая первую программу для первого в мире компьютера – аналитической машины Чарльза Бэббиджа.

«[Аналитическая] машина есть материальное выражение любой неопределённой функции любой степени общности и сложности». «[Она] могла бы воздействовать на другие вещи, помимо чисел, если бы были найдены объекты, чьи взаимные фундаментальные отношения могли бы быть выражены с помощью отношений абстрактной науки операций, и которые также должны были бы поддаваться адаптации к действию операционной нотации и механизма машины… Предположим, например, что фундаментальные отношения тональных звуков в науке гармонии и музыкальной композиции поддаются такому выражению и адаптации, машина могла бы сочинять сложные и научные музыкальные произведения любой степени сложности или объёма»

А вот что пишет Дэвид Гелернтер в книге "Муза в Машине":

«Идея виртуальной машины глубока и удивительна. Она стоит в ряду самых значительных понятий в истории технологии... В чём же значение этой идеи? Большинство машин есть то, что они есть. Тостер – это тостер. Его возможности определены способом, которым он был сконструирован. Отличие компьютера от всех остальных машин фундаментально. Компьютер – это машина, которая может имитировать другие машины: его характеристики и функциональность определяются не тем способом, которым он создан, а характеристиками той машины, которую он в данный момент представляет – то есть, той программой, которую он выполняет»

Возможность создавать машины, имитирующие другие машины, обусловлена рекурсивно-самореферентной природой вычислительных систем. Универсальная машина Тьюринга принадлежит классу машин Тьюринга и говорит на языке входных данных машин Тьюринга, но при этом может выполнить любую задачу, выполнимую специализированными машинами Тьюринга. Здесь можно провести параллель с попытками философов мысленно выйти за границы нашего мира и посмотреть на него извне, находясь внутри этого мира и пользуясь языком этого мира. Философская рефлексия – это рассуждение о своих рассуждениях, когда система не просто обрабатывает данные, но и обрабатывает собственные правила обработки. Рефлексия является признаком тьюринг-полноты – полный по Тьюрингу язык программирования позволяет создавать свои конструкции своими же средствами, на таком языке можно написать его компилятор. Вполне возможно, что и самосознание – это просто рефлексивная программа, переписывающая свой исходный код. Как пишет Дуглас Хофштадтер в книге «Я – странная петля», «мы – самовоспринимающие, самоизобретающие, запертые в себе миражи, которые являются маленькими чудесами самореференции».

Если мышление есть набор алгоритмов, запущенных на нейронном «железе», то человеческий мозг эквивалентен по вычислительному репертуару машине Тьюринга. Если задача может быть решена с помощью машины Тьюринга, то она может быть решена с помощью любого компьютера, с любыми вычислительными ресурсами, на любом, сколь угодно сложном языке программирования. Но тезис Чёрча-Тьюринга исключает возможность существования языка программирования или машины, позволяющей решать гипервычислительные задачи, которые невозможно решить с помощью машины Тьюринга или с помощью одного из существующих языков и универсальных компьютеров. Впрочем, не все тьюринг-полные вычислительные системы одинаково полезны – они могут различаться скоростью работы. Обобщением теории вычислений стала теория сложности, классифицирующая вычислимые функции по вычислительной сложности – степени роста необходимого количества операций для их выполнения при увеличении входных данных. Она показывает, что задач, решить которые невозможно за разумное время, всегда больше, чем тех, которые могут быть решены за разумное время. Соответственно задач, реально решаемых на компьютерах, гораздо меньше, чем всех теоретически вычислимых задач.

Деконструкция платонизма

После Гёделя и Тьюринга математики смирились с невозможностью свести их науку к единому набору аксиом и правил вывода. Вместо этого было создано множество разных логик и множество разных математик. Противоречия логики первого порядка разрешаются логикой второго порядка, противоречия которой разрешаются логикой третьего порядка, и т.д. Неполнота стандартной теории множеств ZFC дополняется альтернативными аксиоматиками фон Неймана-Бернейса-Гёделя и Тарского-Гротендика, а также более общими метатеориями: теорией моделей, теорией категорий, теорией алгоритмов, металогикой и метаматематикой (теорией доказательств). Но нагромождение иерархии мета-мета-метатеорий ведёт не к выходу из кризиса, а к бесконечному регрессу. Можно стать на сторону номиналистов и сказать, что выбор формальной системы произволен и естественно приводит к несовместимым результатам, а искать за формулами универсальную истину бессмысленно. Платонисты возразят: как же тогда объяснить, почему разные теории множеств (ZFC, NBG и NF), основанные на разных принципах, приходят к одинаковым выводам о недостижимых мощностях и прочих свойствах несчётных множеств? На мой взгляд, ошибаются и те, и другие, но прежде чем предложить альтернативу, давайте разберём все аргументы «за» и «против» платонизма.

В защиту платонизма часто приводится аргумент о незаменимости, выдвинутый Уиллардом Куайном и Хилари Патнэмом: математика необходима для всех эмпирических наук, и, если мы хотим верить в реальность явлений, описываемых науками, мы должны также верить в реальность тех сущностей, которые требуются для этого описания. Если физике необходимо говорить об электронах, чтобы объяснить, почему лампочки излучают свет, то электроны должны существовать. Поскольку физике необходимо говорить о числах, предлагая любые свои объяснения, то числа должны существовать. Но на самом деле Куайн и Патнэм называли свой подход математическим натурализмом и считали математические сущности не более, чем лучшими объяснениями наблюдаемых фактов, наряду с объектами, вводимыми научными теориями. Они рассматривали математику как часть единого научного знания, подверженную эмпирической проверке и пересмотру в свете законов физики.

А как же быть с «непостижимой эффективностью математики» в описании реальности и с тем фактом, что без математики эта реальность в принципе останется непознаваемой? Действительно, математика незаменима в теоретической физике и других естественных науках, но это никак не доказывает существования платоновского мира идей и априорного знания. Математика обладает огромной предсказательной силой, потому что она строго формализована, в отличие от естественных языков. Но формальная модель подбирается под концептуальную и не может полностью её заменить. Статусом физического существования наделяются объекты и свойства концептуальных моделей, а не формальных. Например, волновая функция – не реальный физический объект, а способ его описания в рамках волновой механики Шрёдингера, которой эквивалентны альтернативные формулировки квантовой механики: матричное представление Гейзенберга и интеграл по траекториям Фейнмана. Как однажды заметил Ашер Перес, «Простая и очевидная истина заключается в том, что квантовые явления не происходят в гильбертовом пространстве. Они происходят в лаборатории». С ним согласен и Ли Смолин: «Сам факт, что движение происходит во времени, тогда как математическое представление вне времени, означает, что они не одно и то же».

Подмена физической реальности математической моделью похожа на подмену территории её картой в известном сравнении Альфреда Коржибски: «Карта — это не территория, которую она представляет, но, если она верна, она имеет структуру, похожую на территорию, что объясняет её полезность». Не понимая этого, можно прийти к абсурдным выводам: например, философ Бруно Латур назвал анахронизмом предположение, что фараон Рамзес II умер от туберкулёза, потому что туберкулез не был «создан» до XIX века. Есть философы, которые и правда верят, что мы создаём законы физики, химии или биологии, а не открываем их. Но это неразумное объяснение в духе последнего четвергизма и гипотезы пяти минут, согласно которой весь мир с его мнимой историей и с вашими ложными воспоминаниями мог быть сотворён пять минут назад. Почему такие объяснения нельзя считать разумными, я уже объяснял в статье «Бесконечные обезьяны, больцмановские мозги и другие чудеса статистической механики» - они согласуются с любым фактическим положением вещей.

Есть примеры того, как математики разрабатывали абстрактную теорию, а потом она удивительным образом подходила для описания физических объектов. Конические сечения в форме эллипсов изучались Аполлонием за 2000 лет до того, как Иоганн Кеплер открыл эллиптические орбиты планет, неевклидова геометрия была открыта Лобачевским за полвека до её применения в общей теории относительности Эйнштейна, а комплексные числа были предложены за несколько веков до того, как получили применение в квантовой механике. Позитрон, нейтрино, кварки, бозон Хиггса и многие другие частицы были предсказаны математически и лишь спустя годы обнаружены экспериментально. В связи с этим иногда говорят: какой бы новый аппарат не придумали бы математики, он непременно найдëт применение в физике. С другой стороны, есть множество примеров того, как физики вводили новые способы описания процессов вроде обобщённых функций, ранее неизвестных математикам. Чистая математика позволяет только разрабатывать абстрактные модели вроде теории струн, но без экспериментальных данных они остаются бесполезными. Как правило, сначала выдвигается физическая гипотеза, а потом уже она подкрепляется математическими расчётами и проверяется экспериментально.

Можно подумать, что единственная причина идеального совпадения наших теоретических предсказаний и фактических результатов наблюдений и экспериментов – это математичность как нашего описания, так и самой реальности. Но даже если принять гипотезу математической Вселенной Макса Тегмарка, согласно которой любые математические объекты, которые могут существовать, действительно существуют, эта Вселенная совсем не похожа на мир идей Платона. Традиционный платонизм утверждает существование одного метафизически привилегированного набора универсальных математических истин, а математический натурализм допускает множество таких наборов, несовместимых между собой. Например, поскольку гипотеза континуума независима от стандартной аксиоматики теории множеств, она не может быть определённо истинной или определённо ложной. Иначе говоря, есть миры, где гипотеза истинна, и есть миры, где она ложна.

В 2015 г. итальянский физик-теоретик Карло Ровелли опубликовал в European Journal for Philosophy of Science статью под названием «Камень Микеланджело: аргумент против платонизма в математике». Ровелли утверждает, что если содержимое математического мира слишком велико, то оно неинтересно, потому что ценность заключается в выборе, а не в тотальности, а если оно меньше и интересно, то оно не является независимым от нас. Обе альтернативы бросают вызов математическому платонизму.

Ровелли определяет математический платонизм как «мнение о том, что математическая реальность существует сама по себе, независимо от нашей собственной интеллектуальной деятельности», и перечисляет возможное содержание платонического мира (М): «определенно, M включает все прекрасные математические объекты, которые математики изучали до сих пор. Это его основное назначение. Он включает действительные числа, группы Ли, простые числа и так далее. Он включает бесконечности Кантора с доказательством того, что они «больше», чем целые числа, в смысле, определенном Кантором, и оба возможных расширения арифметики: одно, где есть бесконечности больше целых чисел и меньше действительных, и другое, где их нет. Он содержит игры теории игр и топос теории топосов. Он содержит много всего». Также он содержит все математические объекты, которые математики ещё не открыли – ансамбль всех непротиворечивых наборов аксиом. «Но что-то начинает беспокоить. Результирующее M большое, чрезвычайно большое: оно содержит слишком много мусора. Подавляющее большинство согласованных наборов аксиом совершенно нерелевантно».

Далее Ровелли приводит аналогию с «камнем Микеланджело»:

«В эпоху итальянского Возрождения Микеланджело Буонарроти, один из величайших художников всех времен, сказал, что хороший скульптор не создаёт статую: он просто «вынимает» её из каменного блока, где статуя уже была спрятана. Статуя уже там, в своём каменном блоке. Художники должны просто выставить её напоказ, вырезая лишний камень. Художник не «создаёт» статую: он «находит» её».

Проблема в том, что существует бесконечное количество таких «статуй», спрятанных внутри каменного блока, и только художник произвольно выбирает среди них подмножество, которое станет законченной статуей. То же самое можно сказать о множестве всех возможных книг, которое было описано Хорхе Луисом Борхесом в рассказе «Вавилонская библиотека». В статье «Реализм против теории Пыли» я уже писал, что Вавилонская библиотека среди прочего содержит все возможные математические аксиомы и теоремы – почти как идеальный мир Платона. Если считать эту библиотеку реально существующей где-то в мультивселенной, получается, что мы не придумываем, а открываем записанные там математические истины. Однако алгоритм, который позволял бы найти эти истины среди множества бессмысленных текстов, будет размером с саму Библиотеку, если не больше, поэтому единственный способ что-либо узнать – прочитать все книги. Физически это невозможно, а если бы и было возможно, в Библиотеке есть как истинные, так и ложные утверждения, а также их опровержения и опровержения опровержений. А эффективной процедуры определения, что истинно, а что ложно, в природе не существует. Ровелли приходит к тому же выводу:

«Как и камень Микеланджело, библиотека Борхеса лишена всякого интереса: она не имеет содержания, потому что ценность заключается в выборе, а не в совокупности альтернатив».

Почему бы тогда и математику не рассматривать таким же образом, как подмножество всех возможных миров по Дэвиду Льюису:

«То, что мы называем математикой, является бесконечно малым подмножеством огромного мира, определённого выше: именно крошечное подмножество представляет для нас интерес. Математика занимается изучением «интересных» структур. Итак, проблема сводится к значению слова «интересный»?»

По мнению Ровелли, выбор того, что представляет собой интересную теорему, является весьма субъективным делом – как выбор интересной книги из библиотеки Борхеса или резьба статуи по методу Микеланджело.

«Что делает определённые наборы аксиом, определяющих определённые математические объекты, и определённые теоремы интересными? Существуют различные возможные ответы на этот вопрос, но все они явно или неявно ссылаются на особенности нас самих, нашего разума, нашей условной среды или физической структуры, которой случайно обладает наш мир […] Натуральные числа кажутся действительно очень естественными. Есть доказательства того, что мозг изначально запрограммирован на то, чтобы уметь считать и выполнять элементарную арифметику с небольшими числами. Почему так? Потому что наш мир, по-видимому, естественным образом организован в терминах вещей, которые можно посчитать. Но является ли это особенностью реальности в целом, любого возможного мира или это просто особенность этого маленького уголка вселенной, в котором мы живем и который воспринимаем?»

Для ответа на этот вопрос Ровелли предлагает вообразить форму разума, развившуюся на Юпитере или подобном ему газовом гиганте. Планета не имеет твёрдой поверхности, но это не исключает образование сложных структур, химический состав и состояние движения которых могут непрерывно меняться от точки к точке и время от времени, подчиняясь нелинейным уравнениям. «Математика, необходимая этому текучему интеллекту, предположительно, будет включать в себя какую-то геометрию, действительные числа, теорию поля, дифференциальные уравнения…», но в жидкой среде нечего считать, поэтому гипотетические юпитериане вряд ли изобретут натуральные числа, пока не откроют для себя квантовую механику. «Понятие «одной вещи» или «одного объекта», сами понятия единицы и идентичности полезны для нас, живущих в среде, где случайно есть камни, газели, деревья и друзья, которых можно посчитать. Текучий интеллект, рассеянный по планете, подобной Юпитеру, мог бы развивать математику, даже не задумываясь о натуральных числах. Они не представляли бы для него интереса».

А можно ли представить вселенную, в которой математики нет вообще или она попросту не работает? Александр Виленкин в книге «Мир множества миров» приводит пример вселенных, в которых математика неэффективна. Это может быть вакуум с планковской плотностью энергии ρ∼10⁹⁴ г/см3, в котором квантовые флуктуации кривизны пространства-времени должны быть порядка самой кривизны: «…в такой вселенной эталон длины (к примеру, линейка) будет изгибаться, скручиваться и растягиваться хаотическим и непредсказуемым образом гораздо быстрее, чем можно было бы с его помощью измерить длину, часы будут разрушаться настолько быстро, что с их помощью нельзя будет измерять время, вся информация о прошлом будут разрушаться, так что невозможно будет вспомнить ничего из произошедшего, на основе этого сделать предсказание о будущем и сравнить его с экспериментальными данными». Также Виленкин пишет, что типичная замкнутая вселенная, возникающая в «квантовой пене» скалярного поля, имеет планковские размеры, планковскую плотность энергии и продолжительность жизни порядка планковского времени. В подобной вселенной может существовать лишь несколько элементарных частиц, но не может оказаться ни одного наблюдателя, способного построить измерительные приборы, зафиксировать происходящие события и описать их при помощи математики. «В результате, в рамках концепции Мультимира можно представить себе все возможные вселенные со всеми возможными законами физики и математики. Жить же мы можем лишь в тех из них, в которых математика достаточно эффективна».

Но достаточно ли она эффективна в нашей вселенной? В 2013 г. профессор электротехники и электроники Дерек Эббот из Университета Аделаиды написал статью под названием «Обоснованная неэффективность математики», парируя известную фразу Юджина Вигнера. По мнению учёного, математика – не более чем продукт человеческого воображения, который мы подгоняем под описание реальности. Идеальные математические формы не существуют в физической вселенной, они являются ментальным конструктом – просто приближением к действительности, имеющим свои слабости и недостатки и ломающимся в какой-то момент. По-настоящему эффективная математика должна давать компактное идеализированное представление избыточного и шумного физического мира:

«Аналитические математические выражения — это один из способов сделать компактные описания нашим наблюдениям […] Как люди, мы ищем подобные «сжатия», которые предоставляет нам математика, потому что нам не хватает силы ума. Математика эффективна, когда она обеспечивает простое компактное выражение, которое мы можем регулярно применять во многих ситуациях. Она неэффективна, когда не может предоставить эту элегантную компактность. Именно компактность делает её полезной и практичной, если только мы можем добиться этой компактности без необходимости серьёзно жертвовать точностью».

Эббот утверждает, что существует больше ситуаций, в которых математика неэффективна (некомпактна), нежели эффективна (компактна). Во-первых, математика только создаёт иллюзию эффективности, когда мы сосредотачиваем внимание на успешных примерах. То есть имеет место своего рода «ошибка выжившего», поскольку мы выбираем задачи, к которым можем применить математический подход, и не обращаем внимание на миллионы неудачных математических моделей. Во-вторых, на разных масштабах применяются разные математические модели, как это видно на примере с постоянно уменьшающимися транзисторами. В-третьих, наши описания во времени редко выходят за рамки длины человеческой жизни. В-четвёртых, счёт в натуральных числах имеет физические пределы – если количество предметов станет слишком большим, они из-за гравитационного притяжения коллапсируют в чёрную дыру. Даже действительные числа могут оказаться фикцией, поскольку наблюдаемая вселенная способна хранить не более 10¹²² бит информации. Наконец, Эббот повторяет аргумент Ровелли о юпитерианском разуме: если бы мы были газообразными и жили в облаках, мы едва ли смогли придумать правила подсчёта дискретных объектов.

Так значит, нам придётся стать конструктивистами или вовсе признать математику человеческой выдумкой? Предлагаю не спешить с выводами и рассмотреть ещё один подход к философии математики.

Математический эмпиризм и вычислительный физикализм

На первый взгляд математические утверждения кажутся нефальсифицируемыми и потому ненаучными. Разве может выражение 2+2=4 оказаться ошибочным? Даже если мы проведём физический эксперимент, в котором столкновение двух пар частиц даст на выходе не четыре, а пять частиц, или из четырёх исходных молекул химической реакции получим на выходе пять, это не будет опровержением арифметики Пеано – скорее мы сделаем вывод, она неприменима к данным экспериментам. Однако всегда остаётся ничтожная вероятность того, что 2+2 действительно равно 5. Ведь проверка доказательства проводится в физической реальности и допускает возможность ошибки. Человек, проводя рассуждения в уме, мог совершить ошибку, а работа компьютера могла быть нарушена воздействием на ячейку памяти элементарной частицы, прилетевшей из космоса. Систематическое повторение подобных ошибок маловероятно, но в принципе возможно, поэтому даже многие тысячи повторений проверки доказательства не гарантируют, что оно действительно истинно. Это кажется педантизмом, доведённым до абсурда, но принцип фаллибилизма требует принимать в расчёт самые невероятные сценарии, поскольку никакое знание не застраховано от ошибок.

Сам автор критерия фальсифицируемости Карл Поппер считал математику аналитической наукой – набором условных соглашений и логических правил, «исключённых из мира эмпирики», доказательства которых следуют из принятых аксиом и определений. Однако Поппер не выделял математику среди других естественных наук: «большинство математических теорий, подобно теориям физики и биологии, являются гипотетико-дедуктивными: чистая математика, таким образом, оказывается гораздо ближе к естественным наукам, гипотезы которых являются предположениями, чем это казалось даже недавно». Попперу также принадлежит концепция трёх миров: 1) Мир физических объектов и состояний; 2) Мир психических и ментальных состояний; 3) Мир объективного знания. Последний включает в себя научные гипотезы, литературные произведения и другие независящие от субъективного восприятия объекты. Идеи Поппера продолжил его ученик Имре Лакатос в книге «Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы», сравнив математическое доказательство с экспериментом: как любая эмпирическая наука, математика развивается методом проб и ошибок, испытывая гипотезы на прочность, опровергая, пересматривая, уточняя их.

Ещё дальше в развитии этой идеи зашёл британский физик Дэвид Дойч, посвятивший основаниям математики отдельные главы в книгах «Структура реальности» и «Начало бесконечности». Он утверждает, что понятие доказательства сводится к физическому процессу трансформации материальных носителей (мозг, бумага, компьютер), а возможность построения и проверки доказательства детерминирована законами физики. При этом Дойч не отрицает реальности математических абстракций. Они явно нефизичны и нематериальны, но без них не получится сформулировать ни одну физическую теорию. Натуральные числа, симметрия, вращение, континуум, множества, бесконечность, геометрические фигуры – всё это абстрактные, неосязаемые объекты с идеальными свойствами. Их существование невозможно подтвердить или опровергнуть путём наблюдения и эксперимента, но в каком-то смысле они «дают ответную реакцию», проявляя себя неожиданным, сложным и автономным образом в ходе математического доказательства. Значит, они проходят критерий реальности доктора Джонсона, о котором я писал в статье «Реализм против солипсизма». Поэтому Дэвид Дойч считает, что абстрактные математические категории объективно существуют и являются частью структуры реальности.

«Красота, правильное и неправильное, свойство простоты чисел, бесконечные множества — всё это существует объективно, но не физически. Что это значит? Безусловно, всё перечисленное может влиять на нас […], но очевидно, не в том же смысле, как влияют физические объекты. Вы не споткнётесь о них на улице. В то же время это различие меньше, чем предполагает наш более склонный к эмпиризму здравый смысл. Прежде всего находиться под влиянием физического объекта — значит, что из-за него каким-то образом произошло изменение, через законы физики (или, эквивалентно, законы физики вызвали изменение через этот объект). Но причинно-следственная связь и законы физики сами по себе не являются физическими объектами. Это абстракции, и мы узнаём о них, как и обо всех других абстракциях, когда они появляются в лучших из наших разумных объяснений».

Согласно Дойчу, предмет математики – логически необходимые истины о математических категориях, но эти истины невозможно знать определённо. Ни математические теоремы, ни процесс доказательства ещё не означают абсолютной определённости, ведь обоснованность их конкретной формы зависит от истинности наших знаний о поведении объектов, с помощью которых мы осуществляем это доказательство. Никто не может гарантировать, что в доказательстве, которое считалось обоснованным, однажды не обнаружат ошибку, ранее незамеченную из-за необоснованных допущений о физическом или абстрактном мире. Идея о том, что математика даёт определённости – это миф. По мнению Дойча, математическое доказательство является разновидностью вычисления, моделирующего свойства какой-то абстрактной категории и в результате устанавливающего, что абстрактная категория обладает данным свойством. А любое вычисление – это физический процесс, в котором воплощаются свойства какой-либо абстрактной сущности.

Как пишет Дойч, «Верно математическое высказывание или нет, действительно не зависит от физики. Математическая истина – вещь абсолютно необходимая и трансцендентная, но все знания создаются в ходе физических процессов, а их объём и ограничения обусловлены законами природы». Доказательство – это физический процесс, в котором такие объекты, как компьютер или мозг, физически моделируют или воплощают абстрактные сущности, как, например, числа или уравнения, и симулируют их свойства. Является ли математическое утверждение доказуемым или нет, зависит от законов физики, определяющих, какие абстрактные сущности и отношения моделируются физическими объектами. Аналогично является ли структура простой или сложной, зависит от того, каковы законы физики. «Корректность любого математического доказательства полностью зависит от правильности наших представлений относительно законов, определяющих поведение некоторых физических объектов, таких как компьютеры, чернила и бумага или мозг. Теория доказательств – это естественная наука, а конкретно информатика» – заключает Дойч. Кроме того, «любой физический эксперимент можно рассматривать как вычисление, и любое вычисление – как физический эксперимент. В обоих видах доказательства физическими категориями (…) манипулируют в соответствии с правилами. В обоих видах доказательства физические категории представляют интересующие нас абстрактные категории. И в обоих случаях надежность доказательства зависит от истинности теории о том, что физические и абстрактные категории действительно имеют соответствующие свойства».

Определённость знания о совершенном круге или любом другом математической объекте полностью зависит от гипотезы о сходстве этого идеального круга с любым его изображением или материальной проекцией, а такая гипотеза эквивалентна научной теории, которую невозможно знать определённо. Кроме того, познать идеальный круг проще, чем любое его физическое воплощение. Да, мы не можем увидеть или потрогать геометрические фигуры, законы физики и множество всех натуральных чисел. Но ничто не мешает запрограммировать совершенный круг в генераторе виртуальной реальности и тем самым сделать его доступным для наших чувств. А вот относительно реальных физических кругов, да и вообще любых объектов, мы никогда не можем быть абсолютно уверены, что знаем их природу: ни одна теория не является определённой раз и навсегда, и нет никакой гарантии, что мы не найдём лучшее объяснение. Выходит, Платон всё перепутал. Он считал земные круги приближениями истинных математических кругов, а современный физик скорее назовёт математический круг плохим приближением истинной формы планетарных орбит, атомов и других физических объектов. Любые абстракции – не более, чем средства понимания реальных или виртуальных физических категорий.

Веру в априорное знание математических истин и абсолютный характер этих истин Дэвид Дойч называет основным заблуждением математиков:

«…распространённое заблуждение о статусе вычислений в математике […] заключается в том, что набор вычислимых функций (или набор квантово-вычислительных задач) имеет некий априори привилегированный статус в математике. Но это не так. Единственное, что придает привилегированность этому набору операций, это то, что он реализуется в вычислительно универсальных законах физики. Только благодаря нашим знаниям физики мы знаем о различии между вычислимым и невычислимым или между простым и сложным».

«…с математической точки зрения в неразрешимых вопросах, невычислимых функциях, недоказуемых теоремах нет ничего особенного. Они различаются только с точки зрения физики. Из разных физических законов будут вытекать разные бесконечные и разные вычислимые понятия, и разные истины, как математические, так и научные, окажутся при них познаваемыми. Лишь законы физики определяют, какие абстрактные сущности и отношения моделируются с помощью физических объектов, вроде мозга математика, компьютеров и листов бумаги».

Модель доказательства Гёделя как конечной последовательности символов, взятых из конечного набора, была моделью внутри арифметики целых чисел, не имеющей ничего общего с вычислениями. Затем Алан Тьюринг придумал модель бумажной вычислительной машины (машины Тьюринга), и предположил, что она может стать основой абстрактной теории вычисления, независимой от лежащей в её основе физики. Как однажды выразился Ричард Фейнман, «он считал, что он понял бумагу». Но Тьюринг ничего не знал о квантовых вычислениях, поэтому его модель универсального компьютера оставалась неполной. Модель машины Тьюринга не учитывает возможность того, что на бумаге могут быть написаны различные символы в различных вселенных, и что различные состояния бумажной ленты могут интерферировать друг с другом. Естественно, для этого нужна особая квантовая бумага, загруженная в квантовую машину Тьюринга. Тезис Чёрча-Тьюринга был не более, чем эвристической гипотезой, пока в 1985 г. не был доказан Дэвидом Дойчем с небольшой поправкой, что универсальная машина Тьюринга – это не бумажная машина Тьюринга и не машина с латунными шестеренками Бэббиджа, а универсальный квантовый компьютер.

Согласно тезису Чёрча-Тьюринга-Дойча, каждая конечная доступная пониманию физическая система может быть полностью симулирована с помощью универсальной машины для вычисления моделей, действующей конечными методами. Другими словами, любой физический процесс, если он конечен и дискретен, может быть вычислен и симулирован физическим устройством – универсальной машиной Тьюринга. Универсальная машина Тьюринга, эквивалентная человеку с карандашом, ластиком и бумагой, может вычислить «всё, что естественным образом можно было бы считать вычислимым», т.е. вычислимым физическими объектами. Её можно запрограммировать для выполнения любых вычислений, которые может выполнить любой другой физический объект, и при условии надлежащего обслуживания, подачи энергии и дополнительной памяти, универсальная машина Тьюринга может имитировать поведение и реакции любого другого физически возможного объекта или процесса. Таким образом, следует различать вычислительную универсальность как способность машины вычислить бесконечно малую долю всех математических объектов и отношений (те, которые мы называем вычислимыми) и физическую универсальность как способность машины смоделировать все возможные движения всех возможных физических объектов. Моделирование на квантовом компьютере – самое точное воспроизведение физической системы из всех доступных.

В принципе мы можем построить настоящую машину Тьюринга с произвольно длинной лентой и запустить на ней любую компьютерную программу, но никто не станет этого делать, потому что такая машина будет очень медленной и громоздкой. Доступные сейчас компьютеры гораздо быстрее и надёжнее, но откуда мы знаем, что они генерируют те же выходные данные, что и соответствующая абстрактная машина Тьюринга? Никто не тестировал компьютер, следуя всем возможным логическим шагам или выполняя всю арифметику, которую он может выполнить. Мы доверяем своим компьютерам не потому, что можем сами повторить вручную выполняемые ими логические операции, а потому что принимаем как должное законы физики, управляющие вычислительным процессом, который переводит машину из начального состояния (вход) в конечное состояние (выход).

В статье «Квантовая теория, принцип Чёрча-Тьюринга и универсальный квантовый компьютер» Дэвид Дойч пишет:

«Причина, по которой мы считаем возможным построить, скажем, электронные калькуляторы, и действительно, почему мы можем выполнять устную арифметику, не может быть найдена в математике или логике. Причина в том, что законы физики «случайно» допускают существование физических моделей для операций арифметики, таких как сложение, вычитание и умножение. Если бы они этого не делали, эти знакомые операции были бы невычислимыми функциями. Мы всё ещё можем знать о них и ссылаться на них в математических доказательствах (которые, предположительно, будут называться «неконструктивными»), но мы не можем их выполнить. […] Причина, по которой мы уверены, что машины, которые мы называем калькуляторами, действительно вычисляют арифметические функции, которые они, как они утверждают, вычисляют, заключается не в том, что мы можем «проверить» их ответы, поскольку это в конечном итоге бесполезный процесс сравнения одной машины с другой: Quis custodiet ipsos custodes? (Кто наблюдает за самими наблюдателями?) Настоящая причина в том, что мы верим в подробную физическую теорию, которая использовалась при их проектировании. Эта теория, включая ее утверждение о том, что абстрактные функции арифметики реализуются в Природе, является эмпирической»

Законы классической физики придают особый статус таким операциям, как "не", "и", "или" (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция), проводимым над отдельными битами информации (двоичными знаками или логическими значениями истина /ложь). В квантовой физике разрешён иной набор логических операций, осуществляемых над элементарными носителями – кубитами, тогда как бит представляется весьма сложным объектом. Но сам набор вычислимых функций в квантовых вычислениях точно такой же, как и в классических вычислениях. Квантовое превосходство сводится к лазейке в классическом понятии «простой» или «элементарной» операции. Будет ли вычисление долгим или быстрым, потребуется ли него много или мало элементарных операций — всё это полностью определяется законами физики. Если бы законы физики были другими, другим был бы и репертуар универсального компьютера, что могло бы сказаться и на множестве математических истин, которые мы тогда смогли бы доказать, и на операциях, доступных для использования в доказательстве. Более того, в нашей вселенной почти наверняка действуют более фундаментальные законы, чем известные нам, а значит, они будут допускать новые виды вычислений и давать доступ к новым математическим структурам.

Принцип Чёрча-Тьюринга-Дойча предполагает разрешимость и вычислимость тех проблем, которые имеют отношение к физике нашего мира и представляют практический интерес. И наоборот - принципиально неразрешимые задачи также принципиально неинтересны, хотя они составляют абсолютное большинство математических вопросов. Недоказанная математическая гипотеза может оказаться интересной, как проблема «P ≠ NP» в теории алгоритмов: существует ли класс математических вопросов, ответы на которые нельзя эффективным способом вычислить, но можно быстро (за полиномиальное время) проверить с помощью универсального компьютера, будь они откуда-то получены. Практически все специалисты уверены, что это предположение верно, хотя его доказательство и неизвестно: существуют достаточно разумные объяснения того, почему следует ожидать, что это утверждение истинно, а объяснений в пользу противоположного исхода нет. Мы можем заблуждаться относительно того, что интересно, а что нет, но проблема того, почему интересные проблемы разрешимы, сама по себе разрешима. Всегда можно открыть новые законы физики, которые, согласно принципу соответствия Бора, не будут противоречить предсказаниям старых, но будут допускать новые виды вычислений. Такое уже было при переходе от классической физики к квантовой, и может случится при переходе к квантовой гравитации. Например, будет предложена модель квантово-гравитационного компьютера, в котором кубиты запутываются посредством гравитации, или что-то в этом роде. Построить такой компьютер будет гораздо сложнее, чем просто квантовый, и для него всё равно останется несчётная бесконечность неразрешимых задач, поскольку репертуар разрешимых задач любого компьютера эквивалентен репертуару универсальной машины Тьюринга.

Тот факт, что репертуар целочисленных функций квантового компьютера такой же, как у классической машины Тьюринга, является убедительным доказательством принципа Чёрча-Тьюринга-Дойча и невозможности сверхтьюринговых вычислений в нашей вселенной. Квантовый компьютер даёт преимущество в скорости и требует меньше вычислительных ресурсов (времени и памяти) для определённых задач, которые трудноразрешимы классическим компьютером. И наоборот, классический компьютер эффективен в решении тривиальных задач, которые на квантовом компьютере решать очень трудно. Но что в принципе выполнимо, а что нет, не зависит от используемой модели вычислений, а зависит только от физики нашего мира. Если будут открыты новые законы физики, допускающие гипервычисления, эти вычисления войдут в репертуар универсальной машины Тьюринга. Если же будет подтверждён факт гипервычисления, необъяснимого с точки зрения известных физических теорий, он послужит опровержением этих теорий. При отсутствии разумного объяснения он также может свидетельствовать в пользу существования Бога и других сверхъестественных сил, поскольку получение знания из ничего неалгоритмическим способом неотличимо от божественного чуда.

Вывод

Таким образом, математика является не точной, а естественной наукой, и не может претендовать на знание абсолютной истины. Научное знание не может быть обосновано априори, оно создаётся выдвижением гипотез и экспериментальной проверкой. Математика является формальным языком, на котором удобно давать проверяемые предсказания, но стоящая за этими предсказаниями физика не может быть сведена к одной математике. Теоремы Гёделя говорят нам о том, что у нас никогда не будет непреложного метода определения истинности математического высказывания, как не существует и непреложного метода определения истинности научной теории. Как в математике, так и в физике создание нового знания остаётся творческим процессом, в основе которого лежит эволюция идей методом вариации и отбора. Например, чтобы доказать свои теоремы о неполноте, Гёделю пришлось изобрести новый метод доказательства (расширить диагональный метод Кантора). И все последующие доказательства будут делаться с помощью новых аргументов и новых способов объяснения, которые зависят от нашего понимания абстрактных категорий. Объяснение играет в математике такую же важную роль, как и в естественных науках. Оно является целью изучения, а доказательства и наблюдения – это всего лишь средства проверки наших объяснений.

Теория доказательства не является разделом математики или логики – это вычислительная наука, включающая классическую и квантовую теории алгоритмов – теории о том, как использовать физические объекты для представления абстрактных объектов. Доказательство – вычисление, которое при наличии теории о том, как работает компьютер, на котором оно выполняется, устанавливает истинность некоего абстрактного утверждения. Компьютер – это способ воплощения абстрактных объектов и их взаимосвязей в физических объектах и их движениях. Согласно тезису Чёрча-Тьюринга, всё, что мы считаем эффективно вычислимым, включая алгоритмы вывода теорем, воспроизводимо на универсальной машине Тьюринга.

Возможно, математические абстракции вроде чисел, множеств, групп и категорий являются объективно реальными в каком-то из физических или виртуальных миров, но для нас они открываются только посредством вычисления, осуществляемого физическими объектами - пальцами, счётами, калькулятором, компьютером или человеческим мозгом. С помощью этих физических объектов мы можем моделировать абстрактные объекты, но не все, а лишь определённое их подмножество. Как пишет Дэвид Дойч,

«…структура физической реальности даёт нам окно в мир абстракций. Это очень узкое окно, оно предоставляет только ограниченный диапазон перспектив. Некоторые из структур, которые мы видим из него, например, натуральные числа или правила вывода классической логики, кажутся такими же важными или «фундаментальными» для абстрактного мира, какими глубокие законы природы являются для физического мира. Но эта видимость может ввести в заблуждение. Поскольку действительно мы видим только то, что некоторые абстрактные структуры фундаментальны по отношению к нашему пониманию абстракций, у нас нет никакой причины считать, что эти структуры объективно важны в абстрактном мире. Просто некоторые абстрактные категории ближе, чем другие, и их проще увидеть из нашего окна».

Что касается сверхъестественной способности некоторых математиков получать знания напрямую из мира абстракций, то это не более, чем миф. На сегодняшний день нет ни одного надёжно задокументированного случая, когда какое-либо истинное математическое утверждение было установлено невычислительным способом и при этом оказалось бы недоступно формализации. Любая «неалгоритмическая» математическая интуиция (аналогии, визуальные образы, озарения) всегда впоследствии переводилась в формальные доказательства. Современные системы автоматизированного доказательства (Coq, Lean, Isabelle) регулярно формализуют классические интуитивные рассуждения, показывая, что за ними стоит конечный набор формальных правил. Наличие у людей математической интуиции объясняется эволюционной адаптацией к условиям окружающей среды, а не привилегированным доступом к платоновскому миру идей. На самом деле у нас есть только физическая интуиция: никогда не доказуемая, всегда неполная и содержащая ошибки.