Почему векторное произведение существует только в R^0, R^1, R^3, R^7? / forpes.ru

Главная
Почему векторное произведение существует только в R^0, R^1, R^3, R^7?

Почему векторное произведение существует только в R^0, R^1, R^3, R^7? +4

26.08.2025 15:20

Morgana0_0 23 2300 Источник

Чаще всего с векторным произведением мы знакомимся в курсе аналитической геометрии, где мы редко выходим в задачах за размерность три, поэтому может складываться впечатление, что векторное произведение обобщается на любую размерность, по аналогии со скалярным.

Вспомним, что такое векторное произведение векторов. Векторным произведением векторов и (обозначается $a \times b$ ) называется вектор, перпендикулярный обоим векторам и и численно равный по длине площади параллелограмма, натянутого на соответствующие векторы, ту же длину выражает и определитель матрицы Грама векторов что влечёт следующее тождество:

$||a \times b||^2 = || a ||^2 || b ||^2 - (a\cdot b)^2 \Leftrightarrow (a \times b) · (a \times b) + (a · b)^2 = (a · a)(b · b)$ $(\star)$

Способы вычисления:

$|a \times b| = |a||b|sin(\alpha),$ где $\alpha$ - угол между векторами и .

$(a \times b) = \begin{pmatrix} i & j & k\\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix}$ - а так мы можем узнать координаты вектора $a \times b$

Самое простое доказательство изложено в [1], его суть я изложу здесь. Основная идея состоит в построении универсального контрпримера для пространств большой размерности.

Для начала понадобятся некоторые свойства, векторного произведения. Их доказательства состоят в раскрывании скобочек и привидении подобных, так что это я опущу. Подробное доказательство изложено в [2].

$w\cdot(u \times v) = -u \cdot (w \times v)$
$u \times v = - v \times u \Rightarrow u \times u = 0$
$v \times (v \times u) = (v \cdot u)v - (v \cdot v)u$
$w \times (v \times u) = −((w \times v) \times u) + (u · v)w + (w · v)u − 2(w · u)v$

Из первых четырёх свойств также следуют:

$u \times (u \times v) = -v$
$w \times (v \times u) = -((w \times v) \times u)$

Введём несколько определений:

$S_0 = \{u_0\}, S_k = S_{k−1} \cup \{u_k\} \cup (S_{k−1} \times u_k)$ , где $u_k \perp S_{k-1}$
$S_i \times S_j = \{u \times v, \text{ где } u \in S_i \text{ и } v \in S_j\}$
$\pm S_i = S_i \cup (−S_i)$

Утверждение 1

Оказывается, что при таком построении — ортонормированное множество. Более того, что $S_k \times S_k = \pm S_k \text{ и } |S_k| = 2^{k+1}−1$ .

Утверждение 2

Если $u = (u_0 \times u_1) + (u_1 \times u_3)$ и $v = (u_1 \times u_2)− (((u_0 \times u_1)\times u_2)\times u_3)$ , то $u \times v = 0$ и $u \perp v$ .

Утверждение 3

Если $u = (u_0 \times u_1) + (u_1 \times u_3)$ и $v = (u_1 \times u_2) − (((u_0 \times u_1)\times u_2)\times u_3),$ то $(u \cdot u)(v \cdot v) \neq (u × v) · (u × v) + (u · v)^2$ .

Из утверждения 1 следует, что $n = 2^{k+1} - 1$ , а из утверждений 2 и 3, что при $k\geq3$ нарушается тождество ( $\star$ ). Дляи произведение просто равно 0. А вот, как строятся произведения в и :

Векторное произведение в также можно описать с помощью кватернионов. В общем случае, если вектор представлен в виде кватерниона ${a_1}i + {a_2}j + {a_3}k,$ то векторное произведение двух векторов это кватернион, но после умножения надо отбросить действительную часть. Действительная часть будет равна отрицательному значению скалярного произведения двух векторов. Например:

$(a, b) = -7; a \times b = (4, -1, -2)$

Аналогично для семимерного пространства, только вместо кватернионов стоит использовать октонионы.

Список использованных источников:

Peter F. Mcloughlin, “When does a cross product on exists?”, Electronic copy found at: https://www.arxiv.org/pdf/1212.3515v6
Peter F. Mcloughlin, “Basic Properties of Cross Products”, Electronic copy found at: http://www.math.csusb.edu/faculty/pmclough/BP.pdf

P.s. а ещё у меня есть тгк с другими не менее интересными заметками https://t.me/mathematuchka

Комментарии (23)

wataru
26.08.2025 15:35
#28757280
Вопрос после "Введём несколько определений:"

Sk - это же множество? Или что? Что значит $u_k \perp S_{k-1}$ ? Вектор перпендикулярен всем векторам множества? Что значит $S_{k-1} \times u_k$ ?
1. Morgana0_0 Автор
  26.08.2025 15:35
  #28757388
  Возьмём самый простой пример. Если $S_0 = \{u_0\},$ то $S_1 = \{u_0, u_1, u_0 \times u_1\},$
  $S_2 = \{u_0, u_1, u_0 \times u_1, u_2, u_2 \times u_0, u_2 \times u_1, u_2 \times (u_0 \times u_1)\}$ и т.д.
  
  $S_{k-1} \times u_k$ — каждый элемент $S_{k-1}$ векторно умножаем на И да, $u_k \perp S_{k-1}$ значит, что ортогонален любому вектору из $S_{k-1}$ .
  1. wataru
    26.08.2025 15:35
    #28757416
    Встает вопрос, а есть вообще этот самый uk, перпендикулярный всем остальным. Сколько их может быть в n-мерном пространстве? Зависит ли что-нибудь от выбора этого самого вектора?
    
    Morgana0_0 Автор
    26.08.2025 15:35
    #28757668
    Предполагая, что мы уже построили $S_{k-1}$ ортогональным, можно рассматривать его как базис-1 мерного подпространства, а потом применить процесс ортогонализации Грамма-Шмидта и построить , ортогональным подпространству натянутому на базис.
    
    От выбора векторов ничего не зависит. Главное, что, если построено, то их можно взять в качестве базиса, что даёт соответствующее ограничение на n.

10011001010010010
26.08.2025 15:35
#28757410
ну какое векторное произведение в 7-мерном пространстве?! "вектор, перпендикулярный обоим векторам и " может существовать только в 3-мерном. В 4-мерном перпендикулярна двум векторам будет целая плоскость, или матрица, а не вектор. В 7-мерном перпендикулярен будет тензор 5-го порядка. В пространствах низшей размерности аналогично. В двумерном нет вектора, перпендикулярного двум векторам.
1. 0serg
  26.08.2025 15:35
  #28758306
  Это неверное утверждение. Векторов перпендикулярных векторам a и b в пространствах выше R3 просто много. Но интересующий нас перпендикулярный вектор собственно и в R3 определен лишь с точностью до умножения до константу, которую нам приходится выбирать из каких-то дополнительных соображений. В R7 возможных перпендикулярных векторов тупо больше и правила выбора нужного вектора сложнее. А в R0 и R1 все наоборот: там единственный вектор перпендикулярный одновременно двум (a) и (b) - это нулевой вектор. Да-да, нулевой вектор по определению ортогонален всем остальным. Так что R0 и R1 прекрасно работают тоже.
1. XViivi
  26.08.2025 15:35
  #28758688
  это не так? в 4-мерном пространстве двум векторам может быть перпендикулярна плоскость — не значит ли это, что любой вектор между двумя точками этой плоскости будет перпендикулярен изначальному вектору?
  1. 10011001010010010
    26.08.2025 15:35
    #28758750
    не так то, что плоскость это не вектор. под определение, даное автором не подходит.

andy_p
26.08.2025 15:35
#28757542
В алгебре Клиффорда определено для всех размерностей.

Dhwtj
26.08.2025 15:35
#28757744
А что такое R0? И как там вообще живут вектора
1. Morgana0_0 Автор
  26.08.2025 15:35
  #28757816
  это нульмерное пространство, то есть просто точка. То есть такое векторное пространство содержит только нулевой вектор.

MasterMentor
26.08.2025 15:35
#28757866
Статья/карма/подписки: +/+/+
Реплика:

Чаще всего с векторным произведением мы знакомимся в курсе аналитической геометрии, где мы редко выходим в задачах за размерность три

Конечно. Если заниматься физикой (которая не "мета", а обычная - по которой ездят трамваи и летают ракеты), то в финале все расчёты - в каких бы размерностях они не вычислялись, - проецируются в "геометрию размерности три". Как говорится: все вопросы к т.н. "богу". :)
1. 10011001010010010
  26.08.2025 15:35
  #28757942
  многомерные пространства встречаются гораздо чаще, чем кажется. только там никому не нужно векторно перемножать вектора. А вот перемножать тензора - только успевай.
  
  а в четырёхмерном пространстве перемножаются кватернионы, чтобы решать задачи вращения в нашем любимом трёхмерном пространстве.
  1. MasterMentor
    26.08.2025 15:35
    #28758658
    "двух", "трёх", "черырёх"... итд итп "измерения" "пространства" - это абстракции. Выдумки ума человеческого. Проверка - всё равно выход в практику: в трёхмерку - то есть в пространство с минимальным чилом компонент, совпадающее с геометрией механики. Иначе говоря: междисциплинарная теория - т.н. "теория всего", всё равно должна (с сокращеним измерений) проецироваться в R3. :)
    
    10011001010010010
    26.08.2025 15:35
    #28758742
    математика - это вообще абстракция. вся. все эти абстракции придуманы для решения практических насущных задач. вы не можете пощупать кватернион или мнимое число. вы даже не можете пощупать геометрическую точку. их нет, это всё абстракции. но статья именно о них. что-ж теперь, и вектора не перемножать, раз они абстракции?

MasterMentor
26.08.2025 15:35
#28757914
... так же почитал телеграм, но не подписался. Минусы: слишком абстрактная информация. Не ясно, как

*
мне, я всегда говорю только своё ИМХО, а не дяди из тиливизора объективное мнение и дядину правду
всем этим воспользоваться в жизненной практике (я намекаю на "извлечение прибыли"). :)
1. i-netay
  26.08.2025 15:35
  #28758048
  При исследовании более практических тем типа тех же нейронок более абстрактная теория бывает полезна, а нейронки для извлечения прибыли могут пригодиться. Автора не знаю, чтобы рекомендовать подписываться, а вот "подписаться на спецкурсы кафедры алгебры мехмата" для кругозора полезно даже в применении к практическим темам. Математика не пригодится, если её не знать, а иначе вообще-то имеет шансы, даже довольно абстрактная. Так что абстракция не такой минус, минус, что сложность и порог входа высокие, и польза станет понятна нескоро, но оно того стоит.
  1. MasterMentor
    26.08.2025 15:35
    #28758128
    *
    Спасибо, совет хороший. Однако, загляните в мой профиль и ознакомьтесь со статьями (и, что не маловажно, комментариям): я несколько осведомлён в математике. Возможно, даже причастен к не самым последним государственным ВУЗам, где преподают последнюю.
    
    n0isy
    26.08.2025 15:35
    #28758348
    В таком случае, вы всю жизнь извлекаете прибыль из этих и подобных знаний, в профессиональной деятельности.
    
    MasterMentor
    26.08.2025 15:35
    #28758684
    Из этих знаний - ничего не извлекаю. Я даже не проверял математику (логика рассуждений мне показалась правдоподобной - и не более).
    
    PS Я призываю авторов, производящих абстракции, приводить мотивы их создания или аргументы зачем эти абстракции нужны людям (иначе они ничем не отличаются от других "говорящих голов" из тИлИвизоров).
    
    Имеем: "векторное произведение существует только в R^0, R^1, R^3, R^7". И что дальше? Это здесь математически доказывается?! Нет. Значит это лишь гипотеза.
    
    (Простейший вариант: по индукции распространить закономерность на пространства N+1 измерений. И я не утверждаю, что это возможно: R^0, R^1, R^3, R^7 - уж больно здесь попахивает простыми числами.)
    
    Далее: где в практике я могу применить эти знания?

OlegZH
26.08.2025 15:35
#28758098
В книге Geometrical Properties of Vectors and Covectors: an introductory survey of differentiate manifolds, tensors and forms (Joaquim M Domingos,) можно найти такой отрывок (глава 9, Wedge Product and Cross Product, стр. 67):

XViivi
26.08.2025 15:35
#28758698
Я не особо математик и могу чего-то не знать, поэтому скажу лишь свои мысли как обывателя.

Как будто векторное произведение определёно на любой мерности, просто придётся работать с тензорами, а не векторами.

Но вообще, тогда лучше впринципе определить не тензор как результат век. произведения двух векторов, а тензор как век. произведение ноля вектороа — а потом домножать вектора на этот тензор. — То есть, определить некий тензор исходя из самого пространства.

Но вообще, если не лезть в тензоры, можно просто сказать, что век. произведение в ланной мерности N определено для N - 1 векторов.

Способ считать век. произведение как детерминант матрицы, где самая верхняя строчка это единичные векторы очень легко обобщается до многомерных пространств. Я этим в школе для своих развлечений вроде как типа и пользовался.

lightln2
26.08.2025 15:35
#28758738
Спасибо, интересно. Я всегда считал, что естественное обобщение - произведение n-1 вектора в n-менром пространстве как вектор длиной площадь n-1-мерного параллелограмма и перпендикулярный им, и его можно посчитать как определитель матрицы, в которой строки - координаты векторов и базис.
Но, согласно википедии, существует много вариантов обобщений, в зависимости от того, какие свойства векторного произведения мы хотим сохранить.

Почему векторное произведение существует только в R^0, R^1, R^3, R^7? +4

Комментарии (23)

Morgana0_0 Автор

Morgana0_0 Автор

Morgana0_0 Автор