В III веке до н. э. Аполлоний из Перги задался задачей: сколько окружностей можно построить так, чтобы каждая из них касалась трёх данных окружностей ровно в одной точке. Оказалось, что таких окружностей восемь, но доказать это удалось лишь спустя почти 1800 лет.

Подобные задачи — найти количество объектов, удовлетворяющих определённым геометрическим условиям, — особенно любили древнегреческие математики. Интерес к ним не угасал и в последующие века. Например, сколько прямых можно провести на кубической поверхности? (Ответ: 27.) А сколько квадрик — на поверхности пятой степени? (609 250).

«Это удивительно трудные, но при этом простые для формулировки вопросы», — отмечает математик Шелдон Кац из Университета Иллинойса в Урбане-Шампейне.

Со временем математика усложнялась, и объекты подсчёта становились всё более абстрактными. Так постепенно оформилась отдельная область — перечислительная геометрия.

Однако к середине XX века интерес к ней угас: геометры переключились на общие абстрактные структуры и более фундаментальные истины. Лишь краткий всплеск интереса произошёл в 1990-е годы, но затем перечислительная геометрия снова оказалась в тени.

Шелдона Каца заинтриговала связь между вопросами перечислительной геометрии и теорией струн.

Похоже, ситуация начинает меняться. Небольшая группа математиков нашла способ применить теорию, созданную несколько десятилетий назад, к задачам перечислительной геометрии. Теперь они предлагают решения не только для классических вопросов, но и для их вариаций в бесконечном множестве необычных систем счисления.

«Сделать это один раз — впечатляет, — отметил Рави Вакил из Стэнфорда. — Но если удаётся повторять снова и снова, это уже настоящая теория».

Эти новые подходы вдохнули жизнь в перечислительную геометрию и связали её с другими областями — алгеброй, топологией и теорией чисел, придав ей неожиданную глубину и привлекательность. Благодаря этому математики получили возможность по-новому исследовать разнообразные системы счисления, выходящие далеко за рамки привычных.

При этом новые результаты ставят не меньше вопросов, чем дают ответов. Теория действительно выдаёт искомые числа, но вместе с ними приносит дополнительные данные, смысл которых ещё предстоит понять.

Эта таинственность и открывающиеся перспективы вдохновили новое поколение исследователей, которое теперь переносит искусство подсчёта в XXI век.

Обратный отсчёт

В основе перечислительной геометрии всегда лежит одна идея — подсчёт объектов в пространстве, удовлетворяющих определённым условиям. Но даже самые простые задачи быстро превращаются в непростые головоломки.

Представьте: на листе бумаги изображены два круга, расположенные на некотором расстоянии друг от друга. Вопрос: сколько прямых можно провести так, чтобы каждая из них касалась обоих кругов ровно в одной точке? Оказывается, таких прямых четыре.

Вы можете раздвинуть круги подальше друг от друга или, например, уменьшить один из них вдвое — и количество касательных линий останется прежним, равным четырём. Но стоит сдвинуть один круг так, чтобы он пересёкся с другим, как в диаграмме Венна, и число решений сразу сокращается до двух. А если поместить меньший круг целиком внутрь большего, то подходящих прямых не останется вовсе: невозможно провести линию, которая касалась бы обоих кругов ровно один раз.

Подобные несоответствия создают серьёзные трудности. В примере с кругами нужно было рассмотреть всего три варианта расположения, но в более сложных задачах число возможных конфигураций настолько велико, что разобрать их все просто невозможно. Иногда удаётся найти решение для одного случая, но остаётся непонятным, как оно изменится при изменении условий.

Обычно математики записывают геометрические ограничения задачи как систему уравнений и затем подсчитывают, сколько решений удовлетворяют им одновременно. Проблема в том, что хотя количество решений может меняться от конфигурации к конфигурации, сами уравнения никак не подсказывают, что наступил момент перехода и ответ изменится.

Есть важное исключение: если рассматривать задачу в терминах комплексных чисел. Каждое комплексное число имеет две части — действительную (обычное число) и мнимую (число, умноженное на i, квадратный корень из −1).

Возвращаясь к примеру с окружностями и касательными: если спросить, сколько комплексных решений имеет система уравнений, то ответ всегда будет одинаков — четыре, независимо от того, как именно расположены круги.

К 1900 году математики разработали методы, позволяющие решать задачи перечислительной геометрии именно в комплексной области. Это стало большим шагом: отпала необходимость разбирать все варианты по отдельности. Какое бы число решений они ни получили, оно считалось правильным для любой конфигурации фигур.

Древнегреческий математик Аполлоний из Перги задал вопрос: сколько окружностей можно провести, чтобы они касались трёх данных окружностей. Почти два тысячелетия математикам понадобилось, чтобы доказать, что ответ равен восьми.

Однако эти методы теряли свою эффективность, когда нужно было, например, посчитать количество действительных решений уравнений в задачах перечислительной геометрии или число целых решений. Стоило математикам попытаться сформулировать такие задачи не в комплексных числах, а в другой системе счисления, они снова сталкивались с противоречиями. В этих системах не существовало универсального подхода для систематического решения перечислительных задач.

При этом именно необычные и изменчивые результаты, которые появлялись при ограничении рассмотрения целыми или действительными числами, превратили перечислительные задачи в удобный инструмент для изучения разных систем счисления. Это позволяло глубже понять различия между ними и математическими объектами, которые в них существуют. Учёные были уверены: если разработать методы, пригодные для таких условий, это приведёт к открытию новых, более фундаментальных областей математики.

Одним из тех, кто разделял эту точку зрения, был великий математик Давид Гильберт. В свой список важнейших нерешённых задач XX века он включил и задачу о том, как сделать методы перечислительной геометрии более точными и надёжными.

В 1960–1970-е годы Александр Гротендик и его ученики предложили новые абстрактные инструменты, которые помогли продвинуть решение задачи Гильберта и стали основой современной алгебраической геометрии. Но эти идеи оказались настолько сложными, что большинство математиков постепенно отошли от перечислительной геометрии.

Как отмечал Кац, при попытках применять методы к другим системам счисления они «упирались в стену». В итоге перечислительная геометрия не стала ключевой областью, о которой мечтал Гильберт, — внимание учёных переключилось на другие направления.

К 1980-м перечислительная геометрия воспринималась как второстепенная область. Кац вспоминал, что в начале своей преподавательской карьеры его даже отговаривали заниматься ею: это не считалось перспективным для профессора.

Однако вскоре интерес к теме возродился благодаря развитию теории струн. Многие задачи этой физической теории сводились к подсчёту кривых определённого типа, описывающих движение струн — одномерных объектов в 10-мерном пространстве, которые считались фундаментальными элементами Вселенной. По словам Каца, в тот период перечислительная геометрия вновь оказалась «в моде».

Тем не менее это увлечение оказалось недолгим. Как только физики нашли нужные ответы, они пошли дальше, а математики так и не создали универсальной структуры для работы с перечислительными задачами в разных системах счисления. Другие области казались проще и плодотворнее.

Так продолжалось до тех пор, пока математики Кирстен Викельгрен и Джесси Касс не показали, что именно перечислительная геометрия может дать тот самый глубокий взгляд на математику, на который надеялся Гильберт.

Общий взгляд

Касс и Викельгрен познакомились в конце 2000-х годов и вскоре начали активно сотрудничать. Они были во многом противоположны друг другу. Викельгрен отличалась спокойной, сдержанной манерой общения и размеренным темпом. Когда я просил её подтвердить правильность моих слов, она обычно ненадолго задумывалась, а потом твёрдо говорила: «Да, пожалуйста», что означало: «Верно, вы всё правильно поняли». Касс же, напротив, был энергичным и эмоциональным: он легко загорался идеями и говорил очень быстро.

Кирстен Викельгрен использует сложный набор математических методов для изучения фундаментальной природы чисел.

Несмотря на разные характеры, Касс и Викельгрен отлично работали вместе и разделяли множество интересов, в том числе увлечение применением геометрии за её пределами.

В 2015 году Касс проезжал через Атланту, где жила Викельгрен, и решил обсудить с ней новую идею: вернуться к перечислительным задачам в системах счисления с ограниченным числом цифр — теме, к которой он давно не обращался. Он пришёл с набором разрозненных мыслей и старых заметок, считая, что они могут подойти. «Я понял, что это проект из разряда „невозможных“, — вспоминал Касс. — Она очень вежливо сказала мне, что все мои рассуждения — ерунда». Но когда речь зашла о результате 1977 года, в его голове вдруг «что-то щёлкнуло».

В той работе математики Гарольд Левин и Дэвид Эйзенбуд представили доказательство, в котором использовались подсчёты. В результате они вышли на особый тип выражений — квадратичные формы. Это многочлены, где сумма степеней каждого члена равна 2, например, x^2+y^2 или z^2-x^2+3yz.

Учёные заметили, что ключ к задаче скрыт прямо в этих формах: ответ можно было найти через их сигнатуру — разницу между числом положительных и отрицательных членов. Так, у формы z^2 − x^2 + 3yz два положительных слагаемых (z^2 и 3yz) и одно отрицательное (x^2), значит, её сигнатура равна 2−1=1.

Для Викельгрен это стало настоящим озарением. За десятилетия после публикации Левина и Эйзенбуда математики разработали новую область — мотивную теорию гомотопий. В ней решения уравнений рассматривались как особые пространства, а связи между ними описывались с помощью квадратичных форм.

Джесси Касс, занимаясь тем, что он сам называет «неким проектом в облаках», помог возродить интерес к одному из старейших математических вопросов.

После разговора с Кассом Викельгрен сразу понял, что Эйзенбуд и Левин фактически вышли на одну из таких идейных формулировок. Они, сами того не подозревая, работали в рамках мотивной теории гомотопий, и именно это дало им нужный ответ. Хотя напрямую их исследования не касались перечислительной геометрии, близость задач — ведь речь там тоже идёт о подсчётах — подсказала Кассу и Викельгрену новое направление. Они задумались: возможно, их собственные задачи подсчёта тоже можно решить с помощью аппарата мотивационной теории гомотопий. А так как эта теория применима в любой системе счисления, она может пролить свет и на проблемы перечислительной геометрии в тех областях, где до сих пор не удавалось добиться прогресса.

Более глубокий взгляд

Обычно в перечислительной геометрии нужно найти, сколько существует решений у данной системы уравнений. Касс и Викельгрен не стали решать сами уравнения напрямую — в большинстве систем счисления, кроме комплексных чисел, этот подход почти никогда не работает. Вместо этого они переформулировали задачу: стали рассматривать не сами уравнения, а пространства, которые эти уравнения задают, и функции, показывающие, как такие пространства связаны между собой.

Благодаря такой переформулировке они смогли применить к задаче мотивную теорию гомотопий. Это дало им возможность вычислить определённую квадратичную форму. Дальше оставалось понять, какую информацию об исходной задаче несёт эта квадратичная форма.

Работая в комплексных числах, они обнаружили интересную вещь: чтобы узнать число решений исходной задачи, достаточно просто посчитать количество различных переменных, входящих в полученную квадратичную форму. Это число и совпадало с ответом на задачу. Правда, в случае комплексных чисел для них это не было чем-то новым — у математиков уже давно есть хорошие методы для получения таких результатов.

Поэтому они обратились к другим системам счисления. С действительными числами ситуация оказалась сложнее. После вычисления квадратичной формы нужно было рассматривать её сигнатуру. Но сигнатура не давала точного числа решений, а только нижнюю границу. То есть для любой задачи перечислительной геометрии в действительных числах их метод позволял определить минимальное количество решений — полезную отправную точку.

Особенно интересные результаты появились в более необычных системах. Например, в арифметике по модулю 7 (где все вычисления выполняются «по кругу», так что 7≡0(mod7), и, например, 7+1≡1), они переписали квадратичную форму в виде матрицы и вычислили её определитель. Этот определитель не давал общего количества решений, но позволял определить, в каких пропорциях решения обладают определёнными геометрическими свойствами.

В 2017 году Касс и Викельгрен применили этот подход к одной из самых знаменитых теорем перечислительной геометрии — утверждению, что кубическая поверхность может содержать не более 27 прямых. Их метод подтвердил: для комплексных чисел решений действительно 27. Он также воспроизвёл известную нижнюю границу для действительных чисел и, кроме того, дал новую числовую информацию для каждой конечной системы счисления. Всё это оказалось объединено в одном универсальном подходе.

Теорема Кэли — Сальмона.гласит, что на гладкой кубической поверхности — искривлённой фигуре, определяемой уравнением, в котором наибольший показатель степени равен 3, — всегда можно провести 27 прямых линий.

Это был один из первых случаев, когда математикам удалось получить содержательные результаты для задач перечислительной геометрии не только в действительных или комплексных числах, но и в других системах. Более того, хотя конкретные ответы зависели и от выбранной системы счисления, и от конфигурации фигур в ней, впервые появилась единая теория, способная объединить все эти разные ситуации.

«Речь идёт не только о действительных или комплексных числах, — отметил Викельгрен. — Это лишь частные случаи результата, который применим к любой системе счисления».

И это стало лишь отправной точкой.

Новое начало

С тех пор Викельгрен, Касс и их коллеги переосмыслили множество других перечислительных задач, используя мотивационную теорию гомотопий, и вывели соответствующие квадратичные формы для различных систем чисел.

«Геометрические построения традиционно давали целые числа в качестве ответов, — говорит Марк Левин, математик из Университета Дуйсбург–Эссен, который независимо развивал схожие идеи. — Теперь же можно задать задачу и получить в ответ квадратичную форму».

С момента выхода первой работы Касса и Викельгрена математики значительно продвинулись в понимании того, какую информацию могут содержать эти формы. Но остаются и трудности: не всегда ясно, что именно нужно искать. «Мы до конца не понимаем, какие сведения квадратичная форма нам даёт», — признаётся Левин. Многое ещё предстоит интерпретировать.

«Сегодня, — отмечает Аравинд Асок из Университета Южной Калифорнии, — извлечение информации о перечислительных задачах из квадратичных форм превратилось в целую индустрию». Он добавляет, что это при этом остаётся достаточно конкретным и доступным подходом, который привлекает молодых исследователей: «Интересно то, что студенты могут довольно быстро уловить суть».

Для современной абстрактной математики такая конкретность необычна. «Математика становится всё более абстрактной, и иногда я сама уже не до конца понимаю, о чём говорю, — признаётся Сабрина Паули, первая аспирантка Викельгрена, ныне профессор Технического университета Дармштадта. — Но эта новая область позволяет снова вернуться с высот абстракции на землю».

Недавно Викельгрен, Касс, Левин и их соавторы применили свой метод и к задачам перечисления в теории струн — но в новых числовых системах и условиях.

Во всех этих исследованиях математики нашли свежий способ описывать то, как точки, прямые, окружности и гораздо более сложные объекты ведут себя в различных числовых контекстах. Новая версия перечислительной геометрии, развиваемая Кассом и Викельгреном, позволяет заглянуть в саму структуру чисел. «Мне трудно не задумываться о том, сколько рациональных кривых можно нарисовать на листе бумаги, — говорит Викельгрен. — Это часть самой математической реальности этого листа».

• Всё это и много другое — ТГ «Математика не для всех»

• Взгляд на философию со стороны разочарованного технаря ТГ "Философия не для всех"