Доброго дня всем любителям математики! В этой статье я собрал наиболее интересные, на мой взгляд, логические задачи, каждая из которых получила широкую известность в мире. Их часто публикуют, но иногда с некоторыми неточностями в их формулировках и решениях.

Привожу задачи сразу с решениями. Если вам известны другие классные задачки подобного рода, просьба поделиться ими в комментарии.

Угадайте число от 1 до 9, задав загадавшему его человеку два вопроса. Он может отвечать только «да», «нет» и «не знаю».

Решение:

Первый вопрос:

Я загадал число от 4 до 7. Оно больше, чем Ваше? Ответ «да» – загадано число от 1 до 3. Ответ «не знаю» – от 4 до 6. Ответ «нет» – от 7 до 9

Если ответ «да», тогда второй вопрос:

Я загадал число от 2 до 3. Оно больше, чем Ваше? Ответ «да» – 1. Ответ «не знаю» – 2. Ответ «нет» – 3.

Если ответ «не знаю», тогда второй вопрос:

Я загадал число от 5 до 6. Оно больше, чем Ваше? Ответ «да» – 4. Ответ «не знаю» – 5. Ответ «нет» – 6.

Если ответ «нет», тогда второй вопрос:

Я загадал число от 8 до 9. Оно больше, чем Ваше? Ответ «да» – 7. Ответ «не знаю» – 8. Ответ «нет» – 9.

Бабушка решила заняться фермерским хозяйством - выращивать и продавать помидоры. Она насобирала 100 кг томатов, погрузила их на тележку и выставила с утра перед домом.

Помидоры, которые вырастила бабушка, на 99% состоят из воды, но на солнце часть воды испаряется сквозь кожуру. День выдался жарким, и к вечеру воды в помидорах стало уже 98%. Сколько теперь весят бабушкины помидоры?

Рассчитаем состав помидоров с утра. В них было 99% воды. Это значит, что в них было 99 килограммов воды и 1 килограмм клетчатки. Эта клетчатка с утра занимала 1%:

100% - 99% = 1%.

По условию задачи, этот килограмм клетчатки не может испариться или исчезнуть, его вес всегда одинаковый. Испаряется только вода.

Теперь считаем состав помидоров вечером: воды было уже 98%. Это значит, что количество воды уменьшилось, но вся клетчатка осталась на месте: как был килограмм с утра, так и остался. Но изменилось процентное соотношение клетчатки к воде: сейчас тот же самый килограмм клетчатки занимает 2% общего веса.

2% помидоров весит 1 килограмм, а значит 100% весят 50 килограмм.

Есть две комнаты с низкими потолками. В первой висит три лампы накаливания, а в другой установлено три переключателя. Можно сколько угодно раз щёлкать переключатели, но в комнату с лампочками разрешено перейти только один раз.

Как узнать, к какому переключателю подсоединена каждая из лампочек?

В условии сказано, что комнаты с низкими потолками, а перед нами лампы накаливания - то есть они нагреваются. Нам достаточно включить любую из них на некоторое время, затем выключить её и включить любую другую. После этого переходим в комнату с лампочками. Выключенная тёплая соединена с первым переключателем. Горящая лампочка связана со вторым. Та лампочка, которая не горит, соединена с выключателем, который мы не трогали.

Cултан помещает узника в темницу с двумя дверями - «дверь свободы» и «дверь рабства». Выход из темницы находится под охраной слуги султана.  Этот слуга либо говорит правду, либо лжет. Узник имеет право задать слуге один и только один вопрос. Может ли он с уверенностью определить «дверь свободы», заранее не зная, лжет ли слуга или говорит правду?

Узник задал следующий вопрос: «Верно ли следующее утверждение: если эта дверь - «дверь свободы», то ваш ответ на мой вопрос будет ложью, а если нет, то истиной?»

В поезде три пассажира поделились друг с другом своим обедом. У первого из них было пять блюд, у второго - три; третий же не имел ничего, и он дал двум своим попутчикам восемь франков. Как должны распределить между собой эти восемь франков два первых пассажира, если стоимость каждого из восьми блюд одинакова?

Поскольку третий пассажир заплатил за обед 8 франков, то, если счесть его плату справедливой, обед надо будет оценить в 24 франка, а, значит, каждое блюдо - в 3 франка.

В таком случае первый пассажир внес еды на 15 франков, а второй – на 9 франков. Значит, первому пассажиру следует взять 7 франков, а второму – 1 франк.

Площадь озера, покрываемая одной кувшинкой, каждый день увеличивается вдвое. Через месяц покрытой оказывается вся поверхность озера. За сколько времени покроют все озеро две растущие кувшинки?

На второй день кувшинка принимает размер двух кувшинок. Поэтому две кувшинки покроют озеро за месяц минус один день.

Трое путешественников прибыли на постоялый двор, где решили заночевать. Свободной оказалась лишь одна комната с тремя кроватями, за которую хозяин запросил 30 франков. Поэтому каждый путешественник заплатил по 10 франков.

Позднее, подсчитывая выручку, хозяин вспомнил, что за комнату следовало взять не 30, а только 25 франков. Он послал мальчика отнести пять монет по одному франку путешественникам. Но мальчик по ходу дела взял свои чаевые и вручил каждому путешественнику по одному франку, оставив себе два франка.

Итак, каждый путешественник заплатил за ночлег по 9 франков, а два франка мальчик оставил себе. Но трижды девять плюс два – это 29. Куда же делся один франк?

Форма, в которую облечено условие задачи, выбрана так, чтобы запутать читателя; на самом же деле никакой проблемы тут нет. 30 франков, которые заплатили путешественники, распределились следующим образом: 25 франков осталось у хозяина, 2 франка забрал себе мальчик и 3 франка вернулось к путешественникам.

В один стакан налито вино, а в другой – такое же количество воды.  Из стакана с вином берут чайную ложку вина и переливают ее в стакан с водой. Затем, как следует перемешав содержимое стакана с водой, берут чайную ложку смеси и переливают ее обратно в стакан с вином. Чего при этом оказывается больше – вина в воде или воды в вине?

Если количество жидкостей в стаканах после переливаний осталось одинаковым и было обменено одинаковое количество жидкости, то и распределение воды и вина разным быть не может.

На улице однажды встретились два бывших одноклассника, и между ними состоялся такой диалог.

– Привет!

– Привет!

– Как дела?

– Хорошо. Растут две дочери, дошкольницы ещё.

– А сколько им лет?

– Ну‑у‑у… Произведение их возрастов равно числу голубей у нас под ногами.

– (посчитав голубей под ногами) Этой информации мне недостаточно!

– Старшая похожа на мать.

– Вот теперь я знаю ответ на свой вопрос!

Поскольку ответ стал ясен после получения дополнительной информации, значит, до того существовала неоднозначность, несмотря на то, что второй одноклассник знал, чему равно произведение возрастов дочерей первого одноклассника (мог пересчитать голубей).

Рассмотрим все варианты, при которых появляется неоднозначность после первого ответа:

• Второй одноклассник увидел 6 голубей, и тогда дочерям 1 и 6 или 2 и 3 года. Но тогда дополнительная информация о том, что одна из дочерей старше, не приводит к нахождению единственного подходящего варианта и второму однокласснику пришлось бы задать дополнительный вопрос.

• Второй одноклассник увидел 4 голубя, и тогда дочерям 2 и 2 (они близняшки) или 1 и 4 года. И вот тут информация о том, что одна из дочерей старше, приводит к единственному возможному варианту – 1 и 4 года.

Любое другое количество голубей нельзя получить произведением двух чисел меньше или равных семи двумя равными способами, а значит другие варианты произведения не привели бы к неоднозначности. Соответственно, единственный подходящий вариант – 1 и 4 года.

Ян и Мария полюбили друг друга, общаясь только через интернет. Ян хочет отправить Марии обручальное кольцо по почте – чтобы сделать предложение. Но вот беда: возлюбленные живут в стране Клептопии, где любая посылка, передаваемая по почте, обязательно будет украдена – если только её не заключить в ящик с навесным замком.

У Яна и Марии много замков, но отправить друг другу ключи они не могут – ведь ключи тоже будут украдены. Но им все-таки удалось решить данную проблему и Мария надела отправленное Яном по почте обручальное кольцо. Что они сделали?

Ян отправляет Марии кольцо в запертом на замок ящике. Мария, получив посылку, вешает собственный замок.

Затем коробка снова отправляется Яну. Тот открывает свой замок собственным ключом и вновь адресует посылку с единственным оставшимся запертым замком Марии. А у девушки есть к нему ключ.

В тёмной комнате стоит стол, на котором лежат 50 монет. Вы их не видите, не можете пощупать (чтобы изучить рельеф монеты), но можете перемещать и переворачивать. И главное, точно знаете: 40 монет изначально лежат орлом вверх, а 10 – решкой.

Ваша задача – разделить деньги на две группы (не обязательно равные), в каждой из которых должно быть одинаковое количество монет решкой вверх.

Разделите монеты на две группы: в одной 40, в другой 10. Теперь переверните все деньги из второй группы.

Перед вами стоит три банки с рисом, гречкой и их смесью. Названия на каждой банке перепутаны. Вам можно достать только одно зерно. Как определить, в какой банке находится рис?

Нужно достать зерно из банки с подписью «Смесь». Все названия точно ложные, поэтому эта банка либо с рисом, либо с гречкой. Остальные банки определяются методом исключения.

Врач выписал вам рецепт: принимать «Антиболин» и «Выздоровин» по одной таблетке утром и вечером. При этом нельзя выпить две таблетки одного вида утром, а другие две – вечером. Вы достали четыре таблетки на день, но они перемешались и выглядят одинаково. Как выпить таблетки по указанию врача?

Разделить таблетки пополам и выпить половинки утром и вечером.