Хочу привести три задачи, которые в свое время произвели на меня сильное впечатление, так как ответы на них, казалось, противоречили здравому смыслу.
Мы положили один кирпич на другой и сдвинули верхний вдоль длинной стороны на максимальное расстояние таким образом, чтобы он не упал (то есть чтобы центр тяжести верхнего кирпича не вышел за границы опоры). Затем мы взяли эти два кирпича (в таком же положении) и положили на третий, сдвинув максимально в ту же сторону, но так, чтобы конструкция оставалась в равновесии. Продолжая данный процесс, на какое максимальное расстояние мы сможем сдвинуть верхний кирпич относительно нижнего так, чтобы конструкция продолжала оставаться в равновесии?
Для удобства примем, что сила тяжести равномерно распределена по бесконечной плоской опоре, а прочность кирпичей не ограничивает высоту конструкции.
Если один кирпич положить на другой, то максимальное расстояние, на которое можно выдвинуть верхний кирпич вдоль длинной стороны будет достигнуто, когда центр тяжести верхнего кирпича (его середина) совпадет с боковой гранью нижнего. Когда дело касается двух кирпичей, то максимальный сдвиг будет достигнут, когда их общий центр тяжести совпадет с боковой гранью нижнего. И так далее.
Если суммировать длины выступающих участков кирпичей, то мы получим следующий ряд:
1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …
Это гармонический ряд, каждый член которого поделен на 2. А мы знаем, что гармонический ряд расходится. Следовательно, сдвиг верхнего кирпича относительно нижнего может быть сколь угодно большим.
Представьте, что мы опоясали земной шар верёвкой по экватору. Для чистоты эксперимента будем рассматривать Землю как идеальный шар с длиной экватора 40 000 км без перепадов рельефа.
Затем в одном из участков мы оборвали веревку, добавили 10 метров и равномерно приподняли ее над поверхностью. Вопрос – на какую высоту поднимется веревка над поверхностью Земли?
Формула длины окружности:
L = 2πR
Отсюда радиус Земли R1 составит:
R1 = L1/2π = 40000000/(2*3,14) = 6369426,75 м
Радиус окружности R2, образованной веревкой:
R2 = L2/2π = 40000010/(2*3,14) = 6369428,35 м
Таким образом прирост радиуса (и, соответственно, высота поднятия веревки) составит:
6369428,35 – 6369426,75 = 1,6 м
Покажем, что высота подъема веревки не зависит от изначальной длины окружности:
L1 = 2πR1
L2 = L1 + 10
L1 + 10 = 2πR2
L1 = 2πR2 – 10
2πR2 – 10 = 2πR1
R2 – R1 = 10/2π
Имеется резиновая веревка длиной 1 км, которая может бесконечно растягиваться. Один конец веревки прикреплен к стене, веревка натянута. На конце, прикрепленном к стене, сидит муравей.
Каждую секунду муравей проползает по веревке 1 см. Однако, после этого веревку равномерно растягивают, увеличивая ее длину на 1 км. Этот процесс повторяется.
Сможет ли муравей когда-нибудь доползти до другого конца веревки?
Так как по условию задачи мы имеем дело с равномерно растягивающейся веревкой, муравей перемещается не только когда сам ползет, но и когда растягивается веревка. Несмотря на то, что веревка растягивается значительно быстрее перемещения муравья, увеличение расстояния между вторым концом веревки и муравьем происходит с отрицательным ускорением. И рано или поздно оно начнет уменьшаться. На это потребуется время, значительно превышающее возраст Вселенной, но оно не бесконечно.
Комментарии (51)
Akina
13.10.2025 07:52Рассуждения к задаче 3 - ну вообще ни о чём. Ни к чему не обязывающий трёп. И на решение не тянет.
В первую секунду муравей прополз 1 см. Во вторую - тоже 1 см. Но верёвка растянулась до 2 км. Представим, что верёвка сжалась обратно - пройденное муравьём за вторую секунду расстояние сожмётся до 1/2 см (назовём его "нормализованным"), а общее пройденное расстояние будет 1+1/2. На третьей секунде муравей пройдёт ещё 1 см, нормализованное расстояние составит 1/3 см, а общее 1+1/2+1/3. И так далее То есть имеем по сути расходящийся ряд СУММ(1/n). Именно это и обосновывает, что когда-нибудь муравей доберётся до конца верёвки.
marsel84 Автор
13.10.2025 07:52Спасибо. Решение данной задачи находится, к сожалению, за гранью моего понимания.
petropavel
13.10.2025 07:52Вот то же самое, что выше, но, может быть, проще. В первую секунду муравей прополз 1см/1км = 0.00001 от длины верёвки. Когда верёвка растянулась — ничего не поменялось, он все равно уже оставил позади 0.00001 от длины верёвки. В вторую секунду он прополз 0.00001/2, в третью 0.00001/3, в четвертую 0.00001/4, ну и так далее. Сумма гармонического ряда расходится, множитель в 10⁻⁵ ничего принципиально не меняет.
mvuhanov
13.10.2025 07:52Первая задача решена неверно. Центр тяжести конструкции должен находиться внутри площади, занимаемой первый кирпичом. В случае когда кирпичей 2 он находится ровно над боковой гранью первого. А значит третий мы можем положить четко на 2 без увеличения сдвига. Вот и все и никакого гармонического ряда. Если бы ваши рассуждения были правдой, то можно было бы построить лестницу на Луну.
Akina
13.10.2025 07:52В случае когда кирпичей 2 он находится ровно над боковой гранью первого.
Это неверно. В указанной точке находится ЦТ только одного верхнего кирпича, а не конструкции из 2 кирпичей.
Arastas
13.10.2025 07:52Кирпичи не кладутся сверху, а подкладываются снизу.
sepulkary
13.10.2025 07:52Вы напрасно так упираете на это "снизу"; центр тяжести всей конструкции всё равно не должен выходить за боковую грань нижнего кирпича.
Arastas
13.10.2025 07:52Разница в том, что подкладывать снизу можно бексонечно, а добавлять сверху нет, так как мы ограничены самым нижним сдвигом.
smagluk
13.10.2025 07:52Хоть сколько подкладывайте снизу, но центр тяжести всей конструкции находится на боковой грани нижнего кирпича. Поэтому правильно сказал предыдущий автор- положить можно только без сдвига. Математика хороша, но от физики не уйти.
Dmi3yD
13.10.2025 07:52R2 = L2/2π = 40010/(2*3,14) = 6371,02 м
Меня несколько смущает, что вы к 40 000 км добавляете 10 метров и получаете 40 010 км?
Ответ верный 1,59 м, но ваши расчеты мне кажутся не совсем верными?
R1 = L1/2π = 40 000 000/(2*3,14) = 6 369 426,75 метров
R2 = L2/2π = 40 000 010/(2*3,14) = 6 369 428,34 метров
6 369 428,34 - 6 369 426,75 = 1,59 м
manyakRus
13.10.2025 07:52Задача 1.
Deepseek:Для n=4: D=L/2+L/4+0=3L/4.
Если продолжить, для n≥4 дальше сдвиг будет отрицательным (влево), чтобы удержать равновесие, поэтому максимальное достигается при n=4 (т.е. 4 кирпича в конструкции), и оно равно 3L/4.
Ответ:
3L/4
KEugene
13.10.2025 07:52Покажем, что высота подъема веревки не зависит от изначальной длины окружности
Но ведь в расчете присутствует радиус, через который всегда можно выразить длину окружности. То есть R2 - R1 можно также описать как A×L2 - A×L1 >> R2 - A×L1. Или о чем тут речь?
marsel84 Автор
13.10.2025 07:52Речь о том, что разница радиусов зависит только от того, сколько нарастили веревки
GidraVydra
13.10.2025 07:52Вроде как это достаточно тривиальное следствие того, что отношение длины окружности к её радиусу постоянно.
Nick0las
13.10.2025 07:52У нормисов которые не очень внимательно учили математику на эту тему есть некое заблуждение. Для меня 1 и 2 задача тривиальны а третью мы с однокурсниками разбирали курсе на 4м-5м (не в рамках занятия а просто так). Эта задача имеет онтношение к путешествию в расширяющейся вселенной.
wataru
13.10.2025 07:52У нормисов которые не очень внимательно учили математику на эту тему есть некое заблуждение
Это просто неинтуитивно. Казалось бы, земля огромная! Веревка нереально длинная. Добавили к ней чуть-чуть совсем, и результат должен чуть-чуть совсем поменяться. А результат видно невооруженным глазом.
vezyolka
13.10.2025 07:52Если приподнимать верëвку не "равномерно", а только с одной стороны (т.е. так, чтобы окружности нарощенной верëвки и Земли с одной стороны касались, а с другой расходились), т.е. сравнивать не радиусы, а диаметры, то и 1 м приращения хватит, что бы между верëвкой и земным шаром можно было проползти по пластунски. Зазор будет 31.8см
wataru
13.10.2025 07:52Ну там примерно на 3 делится и так и этак, так что от одного метра около 30см и ожидается.
x89377
13.10.2025 07:52С задачей 3 не понял решения. Упростим задачу. Верёвка 10 см и каждую секунду расширяется на 10 см.
1. Муравкй прополз 1 см, до конца веревки 9 см
2. Веревка растянулась и стала 20 см, муравей стоит на 2 см. До конца 18 см.
3. Муравей ползет ещё 1 см. то есть стоит на 3 см.
4. Верёвка становится 30 см, то есть конца 24 см.
Как он дойдёт до конца ?marsel84 Автор
13.10.2025 07:52Вы после растяжения увеличиваете путь муравья вдвое, хотя веревка в два раза не растягивается
axion-1
13.10.2025 07:52Каждая операция растяжения верёвки не меняет процент её длины которую преодолел муравей. Скорость "убегания" конца верёвки от муравья будет уменьшаться и, судя по всему, рано или поздно достигнет нуля и станет отрицательной. Расчёты надо проверить по-хорошему, но выглядит правдоподобно.
axion-1
13.10.2025 07:52В первой получается какая-то такая конструкция?
И если продолжать достраивать башню снизу, она теоретически может продолжаться насколько угодно влево (намного больше вырастая в высоту)? Кажется неинтуитивным.
vadimr
13.10.2025 07:52Это неинтуитивно, потому что на реальных кирпичах не получится. Только в исчислении бесконечно малых. А наша интуиция обобщает реальный опыт.
GidraVydra
13.10.2025 07:52насколько угодно влево (намного больше вырастая в высоту)
Перефразируйте это как "угол наклона устремится к нулю" - интуиции будет проще)
sukhe
13.10.2025 07:52Строил подобную конструкцию, только не из кирпичей, а из брусочков дженги. Сколько угодно влево я не делал - мне хватило столько, чтобы убедиться, что верхний брусок полностью вышел за край нижнего бруска. На это ушло не так уж много брусков. Точно не помню, но, возможно, как раз 7 штук, как у вас на рисунке.
Naf2000
13.10.2025 07:52Вторая задача не будет иметь вау-эффекта, если вспомнить, что новая окружность будет пропорциональна исходной в линейных размерах. Разумеется при малых приращениях относительно всего размера. То есть если вы прирастили 10 метров к длине, то радиус возрастет где-то на 10/(2*pi) метров.
kulik_alex
13.10.2025 07:52А если во второй задаче за одну точку потянуть получиться ~8км? Хочу расчёт проверить?
marsel84 Автор
13.10.2025 07:52Помню разбор подобной задачи. Один сантиметр даст высоту чуть больше 5 метров. Но там сложное решение с построениями и формулами. Не для моего формата)
vezyolka
13.10.2025 07:52Как-то не верится, что 1 см приращения в каком либо случае может дать высоту зазора больше метра
kulik_alex
13.10.2025 07:52Точно ошибся. Пересчитал и получилось 563.64 м. Нужно пересечение π*b/c=tgα-α и (1/cosα-1)*c/2/π. при b=1см будет 5.636м
vezyolka
13.10.2025 07:52И какой же здесь α? Можно, пожалуйста, подробнее? Можно отдельной статьи с чертежом. Это реально интересный результат, если всё правильно.
Melirius
13.10.2025 07:52Вот вам в коллекцию: на земле жёстко закреплён концами рельс длиной в километр. Его нагревают и его длина увеличивается на миллиметр. На сколько поднимется центральная часть рельса?
Для оценки примем, что рельс выгибается как равнобедренный треугольник, тогда нужно найти катет прямоугольного треугольника с катетом полкилометра и гипотенузой полкилометра плюс полмиллиметра. Несложный расчёт даёт больше полуметра. :)
xel
13.10.2025 07:52Эта задача ещё больше обескураживает, если объединить ее с физической: посчитать, насколько удлиняется стальной километровый рельс при типичной "ночь-день" смене температур в 15 градусов - 1.2 x 10^-5 x 1000 x 15 = 18 см. И тогда выходит почти 10 метров подъёма над землёй. Либо 8.2 м, если не приближать через равнобедренный треугольник, а посчитать сначала радиус через длины хорды и дуги
Melirius
13.10.2025 07:52Ага, поэтому между рельсами незаполненные стыки оставляют, чтоб они как змеи не выгибались.
vezyolka
13.10.2025 07:52Посчитала. Малый катет получился 71см (707мм). Действительно, было неожиданно.
А если удлинение на 2мм/км, то метр высота подъëма!
Спасибо за задачу. Ниже напишу как посчитать. Вдруг кому-то, кто забыл математику будет интересно...
vezyolka
13.10.2025 07:521) удлинение 1мм/км, 0.5мм на 500м.
Большой катет 500м = 500000мм, гипотенуза 500000.5мм; Квадрат малого катета h^2 = (500000.5мм)^2-(500000мм)^2= (500000.5мм-500000мм)(500000.5мм+500000мм) = 0.5*1000000.5(мм^2) =500000.25(мм^2); h ~= 707,1мм = 70.7см
2) удлинение 2мм/км, 1мм на 500м.
Большой катет 500м = 500000мм, гипотенуза 500001мм; Квадрат малого катета h^2 = (500001мм)^2-(500000мм)^2= (500001мм-500000мм)(500001мм+500000мм) = 1*1000001(мм^2) =1000001(мм^2); h ~= 1000мм = 1м
eimrine
Я делал этот эксперимент со стройматериалами. Получается что нижний угол кирпича оказывается точкой на которой конструкция балансирует. Если принять меры к тому чтобы конструкция не расползалась и не заваливалась набок то получится большая и тяжёлая неваляшка. Чтобы конструкция стояла не на углу, а на линии - нужно сдвигать кирпичи в сторону обычной стопки, как только стопку раздвигаешь то ещё задолго до теоретического максимума нагрузка на угол возрастает и мало какой материал не повредится.
vadimr
В реальной физике в любом случае результата достичь невозможно из-за отсутствия бесконечно малых.
marsel84 Автор
Спасибо, добавил примечание о прочности материалов)