Приведу два случая сравнения счетного и несчетного множеств (на примере рациональных и иррациональных чисел).
Множество считается счетным, если все его элементы можно пронумеровать натуральными числами. Мощность такого множества обозначается как «алеф-нуль». Множество рациональных чисел является счетным.
Если множество невозможно взаимно-однозначно соотнести с множеством натуральных чисел, то такое множество называется несчетным. Множество иррациональных чисел является несчетным.
Данные примеры наглядно демонстрируют некоторую «ограниченность» множества рациональных чисел в сравнении с множеством иррациональных.
----
Построим числовую прямую и начнем отмечать на ней все рациональные числа по очереди. Причем первому элементу присвоим длину 1/2 (в любых единицах, сколь угодно малых) на числовой прямой, второму элементу – 1/4 длины, третьему – 1/8, четвертому 1/16, и так далее. Тогда сумма длин, присвоенных каждому рациональному числу, будет равна 1 (сумма геометрической прогрессии). И это несмотря на то, что в каждом бесконечно малом промежутке числовой прямой будет бесконечное количество таких длин. Другими словами, на бесконечной числовой прямой все рациональные числа займут всего одну единицу длины. Всё остальное – иррациональные числа. Можно взять сколь угодно маленькую величину первого члена прогрессии. Тогда ее сумма и, соответственно, общая длина всех рациональных чисел на прямой, будет стремиться к нулю!
----
Заполним бесконечную плоскость бесконечным количеством не совпадающих по своему положению точек однородно таким образом, чтобы у каждой точки координаты были рациональными. Например, (1; 2), (1/3; 3/8) и т.д. Плоскость будет заполнена точками с бесконечной плотностью. Покажем, что через любую точку, свободную от заданных, можно провести прямую, которая не коснется ни одну из заданных.
Поставим точку в свободной области и проведем через нее прямую вида y = kx + c, где k – иррациональное число, а значение c такое, что x и y одновременно не принимают рациональных значений в одной точке. Данная прямая не коснется ни одну из заданных точек, так как хотя бы одна координата каждой ее точки будет иррациональной.
Таким образом, несмотря на то, что плоскость была заполнена точками бесконечно и плотно, через любую свободную точку можно провести бесконечное количество прямых, которые не коснутся ни одну из заданных точек!
Комментарии (17)
Abstraction
20.10.2025 07:54Другими словами, на бесконечной числовой прямой все рациональные числа займут всего одну единицу длины.
Не больше единицы (отрезки могут перекрываться).
Заполним бесконечную плоскость бесконечным количеством не совпадающих по своему положению точек однородно таким образом, чтобы у каждой точки координаты были рациональными. Например, (1; 2), (1/3; 3/8) и т.д. Плоскость будет заполнена точками с бесконечной плотностью.
Нет, в общем случае не будет. Контрпример: набор точек вида (n, m). Он бесконечный, точки не совпадают, их координаты рациональны. "Плотность точек", однако, при любом разумном определении будет конечной.
Что значит "однородно" - не совсем понятно: обычно под однородностью имеется в виду что-то вроде "группа симметрий множества включает в себя все параллельные переносы", но для счётного множества точек на плоскости это недостижимо.Поставим точку в свободной области и проведем через нее прямую вида y = kx + c, где k – иррациональное число. Данная прямая не коснется ни одну из заданных точек
Кто такая свободная область? Если множество точек таки всюду плотно, то свободных областей у меня нет.
Поставил точку с координатами (√2, √2+2). Провёл через неё прямую y = √2x + √2. Прямая прошла через точку ( -1, 0). Что я сделал не так?
marsel84 Автор
20.10.2025 07:54Спасибо за критические замечания! Не учел требования к коэффициенту c.
Касательно бесконечной плотности. Если в любой сколь угодно малой области будет бесконечное количество точек, плотность нельзя назвать бесконечной. Это недостаточное условие?
Abstraction
20.10.2025 07:54а значение c такое, что x и y одновременно не принимают рациональных значений в одной точке.
Неконструктивное описание. Получается: "если взять такие параметры, что прямая не проходит ни через одну рациональную точку, то она не проходит ни через одну рациональную точку". Что, э... верно, но не очень интересно (в частности, из такого определения не очевидно что
cвообще существует).Если в любой сколь угодно малой области будет бесконечное количество точек, плотность нельзя назвать бесконечной. Это недостаточное условие?
а) если это так, то у нас нет "точки в свободной области", потому что всякая область не является свободной от выбранных точек.
б) из условия " бесконечным количеством не совпадающих по своему положению точек однородно таким образом, чтобы у каждой точки координаты были рациональными " не следует что во всякой области будет бесконечно много точек, я привёл контрпример.marsel84 Автор
20.10.2025 07:54Неконструктивное описание. Получается: "если взять такие параметры, что прямая не проходит ни через одну рациональную точку, то она не проходит ни через одну рациональную точку". Что, э... верно, но не очень интересно (в частности, из такого определения не очевидно что c вообще существует).
Как бы Вы порекомендовали переформулировать? Изначально я хотел привести в качестве демонстрации бесконечности таких прямых просто множество прямых, параллельных одной из осей с иррациональным значением. Но как красиво сформулировать для случая "в любой свободной точке и с вращением вокруг нее"?
Abstraction
20.10.2025 07:54У меня довольно плохо с чувством "красиво" для таких рукомахательных объяснений, если что. Может получиться перегружено. Но, например:
Возьмём теперь точку
(x₀, y₀)и проведём через неё прямую, её уравнение естьk(x-x₀) + (y-y₀) = 0(исключим из рассмотрения вертикальные прямые).
Если x₀ и y₀ рациональны, то при любом иррациональном k это уравнение не имеет иных рациональных решений (рациональное решение(x₁, y₁)позволило бы записатьk = -(y₁-y₀)/(x₁-x₀)) - прямая с таким наклоном не пересекает вообще никаких иных рациональных точек.
Если же x₀ (y₀) иррационально, то мы всегда можем провести вертикальную (соответственно горизонтальную) прямую через эту точку:x=x₀(y=y₀), которая, очевидно, не имеет рациональных точек.
Если хочется провести именно "наклонную" прямую, то можно поступить хитрее: взятьa=x₀+y₀,b=2x₀+y₀. Посколькуx₀ = b-a,y₀= 2a-b, то по крайней мере одно из a, b иррационально. Пусть, для примера, это будетa. Возьмёмk = 1(соответственно 2 для иррациональногоb). Имеемkx+y = a, во всех рациональных точках левая часть рациональна, тогда как правая иррациональна.
wataru
20.10.2025 07:54Данная прямая не коснется ни одну из заданных точек, так как хотя бы одна координата каждой ее точки будет иррациональной.
А доказать-то это сможете? Почему так? Почему прямая y=kx+c при иррациональном k, проходящая через иррациональную точку (x,y) не может пройти через какую-то рациональную точку?
marsel84 Автор
20.10.2025 07:54А если мы избавимся от коэффициента с, сместив ноль в выбранную точку? Тогда любая прямая вида y = kx подойдет (при иррациональном k)?
wataru
20.10.2025 07:54А всегда ли можно провести прямую с иррациональным k? (sqrt(2), sqrt(2)) дает k = 1.
Но даже при иррациональном k прямая пройдет через 0 - рациональную точку. Хотя, да, это будет единственная рациональная точка на ней.
marsel84 Автор
20.10.2025 07:54Но даже при иррациональном k прямая пройдет через 0 - рациональную точку. Хотя, да, это будет единственная рациональная точка на ней.
Вот я и говорю, сместить ноль в выбранную точку
Sqwair
20.10.2025 07:54Не вкурил. А что мешает нумеровать каждое иррациональное число? Допустим жто какая-то прогрессия, так вот каждый порядковый член этой прогрессии и есть порядковый номер каждого иррационального числа.
Abstraction
20.10.2025 07:54Так можно пронумеровать некоторые иррациональные числа (например: 2, √2, ³√2, ⁴√2, ...). Но у вас не получится составить последовательность, которая включила бы в себя все иррациональные числа (обычно доказывается через т.н. "диагональный аргумент" Кантора).
Tyusha
20.10.2025 07:54Покажем, что через любую точку, свободную от заданных, можно провести прямую, которая не коснется ни одну из заданных.
Поставим точку в свободной области и проведем через нее прямую вида y = kx + c, где k – иррациональное число, а значение c такое, что x и y одновременно не принимают рациональных значений в одной точке.
Если убрать лишние слова, то ваше теорема: Если мы зададим прямую, которая не касается рациональных точек, то эта прямая не будет касаться рациональных точек.
Даже не поспоришь, ибо утверждение тождественно верное. :))
marsel84 Автор
20.10.2025 07:54Я очень ценю Ваш рациональный ум и благодарен за коментарий, не замутненный невежеством, но нам простым смертным оставьте, пожалуйста, шанс )
Tyusha
Черновик лучше скрыть, пока не напихали в панамку... Или это не черновик?