Теория всего. From Zero to Hero / forpes.ru

Главная
Теория всего. From Zero to Hero

Теория всего. From Zero to Hero +1

11.11.2025 14:17

vsradkevich 2 526 Источник

Предисловие автора

Меня зовут Владимир Радкевич. Всю жизнь я увлекался физикой, но профессионально последние 20 лет занимаюсь искусственным интеллектом. Эта статья — попытка закрыть гештальт, который тянется со школьных лет.

Начну издалека. В 7-8 лет я выхватывал физические закономерности из энциклопедий — это было довольно простым занятием, интуитивно понятным. Программу седьмого класса по физике я выучил летом на даче по одному справочнику формул — там не было ничего, кроме формул, от ньютоновской механики до релятивистской. Просто смотрел на формулы, и передо мной открывалась вся эта красота законов природы.

Учился в лицее 1511 при МИФИ, потом поступил в сам МИФИ. Перед поступлением у меня была рекомендация в Высший Физический Колледж РАН (Е) — туда берут очень ограниченное количество особо одарённых по физике людей, которые потом представляют страну в международных проектах типа ЦЕРН. Читал доклады по теории струн на конференциях в 15 лет для ред.колегии журнала Квант. Выписывал Scientific American, проверял свои интуиции по серьёзной литературе.

Проблема была в том, что я живу в 21 веке, когда физика фактически — завершённая наука. Открыть что-то уровня общей теории относительности уже невозможно. До 15 лет я думал, что буду «современным Эйнштейном». Но реальность такова, что все великие открытия уже сделаны.

Долгое время не мог разобраться в квантовой физике на глубоком уровне (понимание за пределами формул -- что все это значит?). Теория струн вообще была непреодолимым препятствием — нормальной литературы по ней практически не было и там было слишком много математики, не понятно с какой стороны подступиться, как это работает, какие «физические основы». Если квантовую механику ещё как-то популяризируют, то про струны обычная популярная наука молчит.

Просвет дали две книги: «Элегантная вселенная» Брайана Грина — там обывательским языком объясняется теория струн, и «Новый ум короля» Роджера Пенроуза. У Пенроуза две ключевые темы: математика с физикой и искусственный интеллект. После этой книги я начал профессионально заниматься ИИ.

Физика осталась незакрытым гештальтом. И вот сейчас, наконец, я докопался до того, чего хотел. Это теория всего — но не в смысле «я открыл новую физику». Нет, это последовательный каркас, который выстраивается из базовых уровней.

Моя ключевая интуиция: теория квантовой информации, где все события имеют причину — именно это объясняет большую часть всего разреза современной физики. За 20 лет в ИИ я понял: информация — это не абстракция, это основа. И если смотреть на физику через призму квантовой информации и причинности, всё встаёт на свои места.

Что мы сделали в этой статье? Собрали минимальный проверяемый путь от операционных законов квантовой информации к гравитации и геометрии. Каждый шаг логически следует из предыдущего: информация → симметрии → поля → конформная теория → струны → голография. Это не революция, это синтез — но синтез, которого раньше в таком виде не было.

Я пишу это простым языком для технической аудитории. Если вы знаете, кто такой Эйнштейн, но не обязательно помните, что такое тензор Паули-Любанского — эта статья для вас. Я проведу вас от простого «детекторы регистрируют события» до понимания, почему гравитация возникает как необходимость из требований квантовой конформной теории.

У меня всегда было ощущение огромного нераскрытого потенциала в понимании физики. Теперь я хочу поделиться этим пониманием. Не как гуру, а как человек, который долго собирал пазл и наконец увидел картинку целиком.

Поехали.

Глава 1. События, амплитуды и пространство состояний

Представьте экран в полной темноте и источник света, который умеет выпускать по одному-единственному фотону. Каждый раз вы слышите тихий «тик» в детекторе и видите на экране новую точку. По одной — всегда частица. Но если набраться терпения и накопить тысячи «тиков», из отдельных точек всплывёт рисунок — не хаотичная россыпь, а узор полос. Этот узор и есть то, что в школе называют «волновой картиной». Важно: волны вы не «видели» — вы видели только события, отдельные попадания. «Волна» — это карта вероятностей этих событий, которая проявляется статистически.

Итак, в физике мы различаем две вещи. Первая — события (регистрации, клики, треки). Они дискретны: каждое попадание существует как факт. Вторая — правила, по которым складываются шансы этих событий. Эти правила — не сумма готовых вероятностей, а сумма амплитуд: комплексных величин, у которых есть и величина, и фаза. Именно фаза делает возможной интерференцию: в одних точках амплитуды усиливают друг друга, в других гасят — отсюда и полосы. Но и усиление, и гашение проявляются только в статистике многих событий.

Что такое «состояние» и почему нам нужен новый язык

Нам нужен язык, который помнит всё, что важно для будущих шансов, и ничего лишнего. Такой язык — вектор состояния $|\psi\rangle$ . Это не «волна-вещество», а чистая информация: краткий код ваших прошлых действий с системой (как готовили пучок, что включали, что измеряли), достаточный, чтобы предсказать распределения будущих кликов. Мы скажем: система «находится в состоянии $|\psi\rangle$ ».

Где живут такие векторы? В комплексном гильбертовом пространстве $\mathcal H$ . Словосочетание звучит грозно, поэтому давайте развернём.

«Пространство» — значит можно складывать состояния и умножать на числа: $\alpha|\psi\rangle+\beta|\phi\rangle$ — тоже допустимое состояние (после нормировки). Это позволяет описывать суперпозиции — «и так, и эдак сразу» — с последующим выбором при измерении.
«Комплексное» — множители $\alpha,\beta$ — комплексные числа, у которых есть фаза. Фаза — не декоративная деталь: разность фаз у двух вкладов даёт интерференционный член (те самые полосы). Без комплексных чисел не было бы интерференции в том виде, который мы наблюдаем.
«Гильбертово» — есть скалярное произведение $\langle\phi|\psi\rangle$ , которое даёт длины, углы и «перекрытие» состояний, и есть полнота (любой предел последовательности состояний снова состояние — «без дырок»). В конечной размерности это обычная евклидова геометрия над $\mathbb C$ ; в бесконечной — это привычные функциональные пространства типа , где живут волновые функции.

Если привыкли к трёхмерным векторным стрелкам — думайте так: гильбертово пространство — это «векторное пространство смыслов измерений». Оно может быть двумерным, как у кубита ( $\mathbb C^2$ ); может быть бесконечномерным, если разрешаем все возможные координаты частицы ( $L^2(\mathbb R^3)$ ). Главное — наличие внутреннего скалярного произведения, дающего перевод от вектора состояния к вероятности.

Теперь — ключевая связь между состояниями и наблюдаемыми фактами. Когда вы задаёте вопрос системе, вы тем самым выбираете базис $|i\rangle$ — идеализированные «отклики» прибора (например, «точка экрана в районе » или «спин вверх/вниз»). Амплитуда получить исход — это $\langle i|\psi\rangle$ ; вероятность — правило Борна:

$p(i)=|\langle i|\psi\rangle|^2$

Одна и та же формула читалась уже миллионы раз, но если вы видите её впервые, важно проговорить: выражение $\langle i|\psi\rangle$ — это просто «проекция» вашего состояния на тот ответ, который вы собираетесь фиксировать. Квадрат модуля этой проекции — сколько раз из сотни вы статистически ожидаете увидеть именно этот ответ при повторении опыта в одинаковых условиях.

Почему комплексные числа — не роскошь, а необходимость

У комплексных чисел есть фаза $e^{i\varphi}$ . Фаза не видна в одной вероятности (модуль-квадрат фазу «съедает»), но видна в сумме: $|\alpha+\beta|^2=|\alpha|^2+|\beta|^2+2|\alpha||\beta|\cos\Delta\varphi$ . Этот $\cos\Delta\varphi$ и даёт интерференционный член. Именно из-за этого в опыте с двумя щелями картина не равна сумме двух «одиночных» картин.

Есть и более строгий ответ, почему «именно комплексные»: непрерывная, обратимая во времени эволюция, сохраняющая сумму вероятностей, должна быть унитарной. Унитарность естественно живёт над $\mathbb C$ : тогда время задаётся уравнением Шрёдингера $i\hbar\partial_t|\psi\rangle=H|\psi\rangle$ . Без множителя решение бы разрасталось или затухало экспоненциально, нарушая нормировку. То есть «» — это не прихоть, а математическая форма сохранения вероятности.

Двухщелевой опыт как первый рабочий пример

Пусть $|\psi\rangle$ — «идёт к экрану и может пройти через левую или правую щель». Амплитуда попасть в точку на экране — $\psi(x)=\psi_1(x)+\psi_2(x)$ , где $\psi_{1,2}$ — вклады от каждой щели. Тогда

$p(x)=|\psi(x)|^2=|\psi_1|^2+|\psi_2|^2+2\mathrm{Re}\big(\psi_1^*(x)\psi_2(x)\big)$

Последний член — и есть полосы. Если же вы ставите детектор, определяющий «через какую щель прошёл», система не остаётся в состоянии «и так, и так», а «сцепляется» с прибором — возникает декогеренция: относительная фаза между двумя ветвями перестаёт влиять на видимую статистику. На языке плотностной матрицы это подавление внедиагональных элементов. В результате остаётся $p(x)\approx|\psi_1|^2+|\psi_2|^2$ : полос нет.

Третье повторение той же идеи короче: волновая картина — это результат сложения амплитуд; исчезновение полос при «выяснении пути» — результат утечки фазовой информации в окружение (прибор). И то, и другое — количественные эффекты, прекрасно измеряемые.

Что такое гильбертово пространство «по-человечески»

Если привычное евклидово пространство — это «векторные стрелки в физическом трёхмерии», то гильбертово — это «пространство возможностей», где каждая «стрелка» кодирует способ отвечать на будущие вопросы. Его комплексность — про фазы и интерференцию. Его скалярное произведение $\langle\phi|\psi\rangle$ — про «угол совпадения вопросов и ответов». Его полнота — гарантия, что предельные (в смысле экспериментальных процедур) состояния тоже допустимы. Примеры:

Кубит: $\mathbb C^2$ . Любое состояние — точка на сфере Блоха (фаза и «наклон»).
Частица на прямой: $L^2(\mathbb R)$ . Волновая функция $\psi(x)=\langle x|\psi\rangle$ — квадрат-интегрируемая комплексная функция; $\int |\psi(x)|^2dx=1$ .
Спин: базис $|m\rangle$ — собственные состояния проекции; $|\psi\rangle=\sum_m c_m |m\rangle$ ; вероятности .

Везде один и тот же принцип: состояние живёт в $\mathcal H$ , а наблюдаемая статистика — это квадраты модулей скалярных произведений с теми «вопросами», которые вы реально задаёте устройством.

Как из этого выходит классический мир

Легко запутаться: «Если всё — амплитуды и фазы, почему мы вокруг видим классическое?» Ответ — декогеренция. Реальные системы неизбежно связаны с окружением: воздухом, стенками, фотонами, памятью прибора. Фазы, отличающие разные ветви суперпозиции, быстро «распыляются» по огромному числу степеней свободы окружения — восстановить их практически невозможно. На языке матриц это обнуление внедиагоналей в «правильном» (указательном) базисе; на языке слов — «информация о том, что было в суперпозиции, утекает наружу». После этого остаётся честная классическая смесь с обычным сложением вероятностей. И отблеск квантов — только в тонких эффектах, где декогеренция ещё не успела всё «пригладить».

Зачем так долго проговаривать очевидное

Потому что всё остальное — симметрии, квантовые числа, калибровки, геометрия и, в конце концов, гравитация — сидит на этом основании. Если вы воспринимаете $|\psi\rangle$ как информационный объект, амплитуды как «тенденции», а правило Борна как мост к событиям, то следующий шаг — симметрии — становится естественным: симметрии — это преобразования $\mathcal H$ , которые сохраняют скалярное произведение (то есть вероятности). Именно они и родят спин, массу и заряды — уже не как «наклейки на шариках», а как ярлыки того, как состояние трансформируется. А дальше — калибровки как геометрия фаз, поля как локальные способы менять амплитуды, и наконец — геометрия пространства-времени как организация причинно-информационных связей.

В следующей главе мы аккуратно пройдём этот мост: от симметрий к квантовым числам. Мы не будем бросаться «группой Пуанкаре» без объяснений: спокойно разберём, что такое «симметрия» в нашем языке амплитуд, почему её представления неизбежно дают массу и спин, откуда берётся полуцелый спин и как связаны вращения в обычном смысле со спинорами. Если хотите, можем начать со знакомого: угловой момент и лестничные операторы — и только потом поднимем уровень до Лоренца.

Глава 2. Симметрии и квантовые числа: откуда берутся «метки» частиц

В прошлой главе мы договорились: физика — это про события и амплитуды, а вероятность — это карта шансов, полученная из амплитуд по правилу Борна. Теперь зададим следующий вопрос: почему все электроны абсолютно одинаковые? Не похожие — идентичные. У каждого масса ровно 0.511 МэВ, заряд точно -e, спин строго 1/2. Никаких «чуть потяжелее» или «слегка менее заряженных» электронов природа не производит. То же с протонами, фотонами и всеми остальными частицами. Откуда такая строгость?

Ответ неожиданный: дело не в том, что частицы «сделаны» из чего-то твёрдого с фиксированными параметрами. Дело в симметриях — в том, что остаётся неизменным при определённых преобразованиях. Масса, спин и заряд — это не «вещи внутри частицы», а метки того, как частица преобразуется при поворотах, сдвигах, бустах и других операциях. Давайте аккуратно развернём эту идею.

Что такое «симметрия» в квантовой механике

В обычной жизни симметрия — это когда что-то выглядит одинаково с разных сторон. Снежинка симметрична относительно поворотов на 60 градусов. Круг симметричен относительно любого поворота вокруг центра. В физике симметрия означает: есть преобразование, которое не меняет физику.

Например, законы физики одинаковы сегодня и завтра — это симметрия относительно сдвига во времени. Законы физики одинаковы в Москве и в Нью-Йорке — симметрия относительно сдвига в пространстве. Эксперимент даёт те же результаты, повернёте ли вы всю установку на 90 градусов — симметрия относительно вращений.

В квантовом мире симметрия действует на состояния в гильбертовом пространстве. Пусть мы сделали над системой преобразование (поворот прибора, перенос в пространстве, переход в движущуюся систему отсчёта), но все вероятности исходов остались прежними. Такое преобразование мы называем симметрией. Теорема Вигнера говорит: непрерывная симметрия реализуется унитарным оператором в нашем гильбертовом пространстве — то есть если было состояние $|\psi\rangle$ , после преобразования стало $U(g)|\psi\rangle$ , и для любого измерения вероятности остались прежними:

$|\langle i|U(g)|\psi\rangle|^2 = |\langle i|\psi\rangle|^2$

Это возможно, только если — унитарный оператор: $U^\dagger U = \mathbb{I}$ . Унитарность — это квантовый способ сказать «преобразование обратимо и сохраняет вероятности».

Ещё одна важная строчка — теорема Стоуна: непрерывная симметрия, зависящая от одного параметра $\theta$ , записывается как

$U(\theta)=e^{-\frac{i}{\hbar}\theta G}$

где — самосопряжённый оператор (то есть наблюдаемая), называемый генератором этой симметрии. Примеры: время → (гамильтониан), перенос в пространстве → $\vec{P}$ (импульс), поворот → $\vec{J}$ (угловой момент).

Повторим другими словами: симметрия в квантовой механике — это унитарное преобразование состояний, при котором все физические предсказания остаются неизменными. Каждая симметрия даёт нам целое семейство таких преобразований (группу), и способ, которым состояние «откликается» на эти преобразования, определяет его квантовые числа.

Повороты и угловой момент: откуда берётся квантование

Повороты в обычном 3D образуют группу SO(3). В квантовой механике им отвечает вектор операторов углового момента $\vec{J}=(J_x,J_y,J_z)$ со стандартной алгеброй:

$[J_i, J_j] = i\hbar\varepsilon_{ijk}J_k$

Эта алгебра — квантовая «память» о геометрии поворотов. Из неё следует главная спектральная структура:

$J^2|j,m\rangle=\hbar^2 j(j+1)|j,m\rangle, \qquad J_z|j,m\rangle=\hbar m|j,m\rangle$

где $j=0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \ldots$ и $m=-j,-j+1,\ldots,j$ . Операторы «лестницы» $J_\pm = J_x \pm i J_y$ поднимают/опускают на единицу: $J_\pm|j,m\rangle \propto |j,m\pm1\rangle$ .

Проговорим, что это значит, тремя разными способами:

Язык геометрии: «поворачиваем систему вокруг оси » — это умножение на $e^{-i\varphi J_z/\hbar}$ . Собственные состояния — те, для которых такой поворот даёт просто фазу $e^{-i\varphi m}$ .
Язык измерений: в эксперименте Штерна–Герлаха проекция углового момента регистрируется дискретно: пучок распадается на дорожек — не континуум, а ровно столько.
Язык алгебры: раз есть коммутаторы $[J_i,J_j]=i\hbar \varepsilon_{ijk}J_k$ , то нельзя одновременно иметь точные значения всех трёх компонент; зато существует общий собственный базис — и именно он накладывает квантование .

Откуда берутся полуцелые спины

В квантовой механике реализуются не только обычные повороты SO(3), но и их «двузначное накрытие» — группа SU(2). В чём разница? Поверните обычный предмет на 360° — он вернётся в исходное положение. Но квантовое состояние со спином 1/2 при повороте на 360° получает минус: $|\psi\rangle \to -|\psi\rangle$ . Только поворот на 720° возвращает всё на место.

Это знаменитый «трюк с ремнём» или «пластинка Дирака»: привяжите ремень к вращающемуся предмету — после поворота на 360° ремень перекручен, после 720° — распрямлён. Математически это означает, что мы имеем дело не с SO(3), а с её двойным накрытием SU(2). Именно SU(2) допускает полуцелые представления.

Так полуцелый спин — не «маленькое колесо в частице», а свойство представления симметрии поворотов. Электрон не «крутится» — он преобразуется при поворотах как спинор.

Переход к специальной теории относительности: масса из симметрий

В релятивистской физике симметрии шире: это группа Пуанкаре — переносы в пространстве-времени плюс лоренцевы преобразования (повороты и бусты). Её генераторы:

Энергия-импульс $P^\mu=(E/c, \vec{p})$
Тензор углового момента $M^{\mu\nu}$ (включающий обычный момент $\vec{J}$ и генераторы бустов $\vec{K}$ )

У группы Пуанкаре есть два фундаментальных инварианта — величины, которые не меняются при всех преобразованиях:

$P^2 = P_\mu P^\mu = (E/c)^2 - |\vec{p}|^2 = (mc)^2$ — это масса покоя в квадрате
$W^2 = W_\mu W^\mu$ — квадрат вектора Паули–Любанского (обобщение спина на релятивистский случай)

Вот откуда берётся масса! Это не «количество вещества внутри», а инвариант представления группы Пуанкаре. Каждая частица — это определённое неприводимое представление, помеченное массой и спином :

Электрон — представление с МэВ и
Фотон — представление с и (но реализуются только геличности $\lambda = \pm 1$ )
Протон — представление с МэВ и

Для массивных частиц можно перейти в систему покоя, где «маленькая группа» — это обычные вращения SO(3), и второй инвариант даёт привычный спин .

Для безмассовых частиц «маленькая группа» другая — ISO(2) (поворот вокруг направления движения), и релевантная метка — геличность $\lambda$ (проекция «спина» на направление движения). У фотона $\lambda=\pm1$ , у гравитона $\pm2$ .

Скажем то же третий раз, чтобы закрепилось: частицы все одинаковые, потому что они — не «вещи», а способы, которыми квантовые состояния преобразуются под действием симметрий пространства-времени. Масса и спин — это метки этих способов, а не физические «грузики» внутри частиц.

Теорема Нётер: симметрия = сохранение

Здесь работает теорема Нётер в квантовой версии. Если есть непрерывная симметрия, то у неё есть генератор — оператор, который порождает малые преобразования. И этот генератор оказывается сохраняющейся величиной:

Симметрия относительно времени → сохранение энергии
Симметрия относительно сдвигов в пространстве → сохранение импульса
Симметрия относительно поворотов → сохранение углового момента

В квантовой механике «сохранение» означает, что генератор коммутирует с гамильтонианом: . В теории поля это выглядит как дивергенция тока: $\partial_\mu J^\mu = 0$ .

Внутренние симметрии и заряды

Кроме пространственно-временных симметрий есть внутренние симметрии — преобразования, которые меняют квантовые числа, но не трогают пространство-время. Простейшая — глобальная фазовая симметрия U(1): умножение всех состояний на $e^{i\alpha}$ . Её генератор — электрический заряд .

Если эта симметрия точная, заряд сохраняется. Если сделать симметрию локальной (разрешить разные $\alpha(x)$ в разных точках), придётся ввести калибровочное поле — электромагнитный потенциал $A_\mu$ . Об этом подробнее в следующей главе.

Аналогично:

Симметрия SU(3) в квантовой хромодинамике → цветовой заряд кварков
Симметрия SU(2) × U(1) электрослабой теории → слабый изоспин и гиперзаряд

Каждая внутренняя симметрия добавляет свои квантовые числа — метки того, в каком представлении группы находится частица.

Небольшая карта примеров

Электрон. Массивное представление Пуанкаре со спином . Две компоненты спинора — это $m=\pm 1/2$ относительно выбранной оси.
Фотон. Безмассовое представление, геличность $\lambda=\pm1$ — две поляризации; продольной моды нет, она «съедена» калибровкой.
Атомные уровни. Дискретность и правила отбора $\Delta m=0, \pm1$ в излучении — прямые следствия алгебры углового момента и симметрии гамильтониана.

Зачем всё это для теории всего

Мы начали с вопроса «почему все электроны одинаковые» и пришли к глубокому выводу: свойства частиц — это не «вещи», а отношения. Масса — отношение к преобразованиям пространства-времени. Спин — отношение к вращениям. Заряд — отношение к калибровочным преобразованиям.

Это меняет всю картину. Вместо «из чего сделаны частицы» мы спрашиваем «какие симметрии есть у природы». Вместо «что внутри» — «как преобразуется». И дальше по цепочке:

Локальные симметрии потребуют калибровочных полей (следующая глава)
Согласованность на квантовом уровне потребует определённых групп и представлений
Включение гравитации потребует струн или других расширений
Голография покажет, что геометрия — это тоже организация информации о симметриях

Но всё начинается здесь: квантовые числа — это метки представлений групп симметрий, а не «вещи внутри частиц».

В следующей главе мы сделаем симметрии локальными — разрешим им меняться от точки к точке. И увидим, как из этого требования неизбежно рождаются калибровочные поля — электромагнетизм, слабое и сильное взаимодействия. Фаза волновой функции станет геометрией, а электрический заряд — топологическим инвариантом.

Глава 3. Калибровочные поля: как локальная симметрия рождает взаимодействия

В прошлой главе мы узнали, что масса, спин и заряд — это не «вещи внутри частицы», а метки того, как она преобразуется при симметриях. Теперь сделаем следующий шаг. До сих пор наши симметрии были глобальными — одинаковыми во всех точках пространства. А что если разрешить им меняться от точки к точке? Что если фаза волновой функции может быть своей в Москве и своей в Нью-Йорке?

Оказывается, требование локальной симметрии — это не прихоть, а мощнейший принцип, который автоматически порождает все известные взаимодействия. Электромагнетизм, слабые и сильные силы — всё это неизбежные следствия локальных симметрий. Давайте проследим эту магию шаг за шагом.

Глобальная фазовая симметрия и сохранение заряда

Начнём с простейшего примера. Волновая функция электрона — комплексная: $\psi(x)$ . Физические вероятности зависят только от $|\psi|^2$ , поэтому умножение на общую фазу ничего не меняет:

$\psi(x) \to e^{i\alpha}\psi(x)$

Это глобальная U(1) симметрия — поворот в комплексной плоскости на один и тот же угол $\alpha$ везде. По теореме Нётер, у такой симметрии есть сохраняющийся ток. В квантовой теории поля это ток вероятности:

$j^\mu = \bar{\psi}\gamma^\mu\psi$

(для упрощения используем релятивистские обозначения). Сохранение тока $\partial_\mu j^\mu = 0$ означает сохранение полного заряда $Q = \int j^0 d^3x$ .

Пока всё просто: глобальная симметрия даёт сохраняющийся заряд. Но глобальная симметрия — это странное требование. Почему фаза должна меняться одинаково во всей Вселенной? Это как требовать, чтобы все часы на Земле показывали одно время.

Делаем симметрию локальной: рождение связности

Теперь ключевой шаг. Разрешим фазе зависеть от точки:

$\psi(x) \to e^{i\alpha(x)}\psi(x)$

Это локальная (калибровочная) U(1) симметрия. Проблема: обычная производная $\partial_\mu\psi$ уже не преобразуется правильно! Появляется лишний член от производной фазы:

$\partial_\mu\psi \to e^{i\alpha(x)}(\partial_\mu\psi + i\psi\partial_\mu\alpha)$

Как спасти симметрию? Нужно заменить обычную производную на ковариантную:

$D_\mu = \partial_\mu + ieA_\mu$

где $A_\mu$ — новое поле, которое при калибровочном преобразовании меняется особым образом:

$A_\mu \to A_\mu - \frac{1}{e}\partial_\mu\alpha$

Тогда $D_\mu\psi$ преобразуется правильно: $D_\mu\psi \to e^{i\alpha(x)}D_\mu\psi$ .

Проговорим то же другими словами. Локальная симметрия требует компенсатора — поля $A_\mu$ , которое «подстраивается» под локальные изменения фазы. Это поле мы узнаём: $A_\mu$ — электромагнитный потенциал! Электромагнетизм не постулируется — он выводится из требования локальной фазовой симметрии.

Третий способ сказать то же самое: локальная симметрия — это свобода выбора «системы отсчёта» для фазы в каждой точке. Чтобы сравнивать фазы в разных точках, нужен «транспорт» — это и есть калибровочное поле $A_\mu$ .

Кривизна связности: электромагнитный тензор

Мы ввели ковариантную производную $D_\mu$ . А что если применить её дважды? Коммутатор даёт:

$[D_\mu, D_\nu] = ie(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu) = ieF_{\mu\nu}$

Появился тензор электромагнитного поля! В трёхмерных обозначениях:

$F_{0i} = E_i$ — компоненты электрического поля
$F_{ij} = \epsilon_{ijk}B_k$ — компоненты магнитного поля

Это не совпадение. На языке дифференциальной геометрии, — это связность (connection), а — её кривизна (curvature). Электромагнитное поле — это кривизна пространства фаз!

Уравнения Максвелла тоже выводятся автоматически:

Тождество Бьянки: даёт однородные уравнения (дивергенция магнитного поля = 0, ротор электрического + производная магнитного = 0)
Вариация действия по даёт неоднородные: (дивергенция электрического = заряд, ротор магнитного - производная электрического = ток)

Квантование заряда: топология вступает в игру

Почему электрический заряд квантован? Почему всегда , где — целое? Ответ дал Дирак, рассмотрев магнитные монополи.

Если где-то есть магнитный монополь (магнитный заряд ), то векторный потенциал не может быть определён глобально — появляется «струна Дирака». Но физика не должна зависеть от выбора струны. Это возможно, только если при обходе вокруг струны фаза волновой функции заряженной частицы возвращается к себе:

$e^{ie\oint A \cdot dl} = e^{2\pi in}$

где — целое. Но $\oint A \cdot dl$ связан с магнитным потоком через контур, который для монополя равен $4\pi g$ . Отсюда условие квантования Дирака:

$eg = \frac{n}{2}$

Если существует хотя бы один монополь с зарядом , все электрические заряды должны быть кратны .

Скажем проще: топология (невозможность глобально определить при наличии монополя) заставляет заряд быть дискретным. Это первый намёк, что квантовые числа связаны с топологией.

Неабелевы калибровочные теории: от U(1) к SU(N)

Электромагнетизм — простейший случай, где группа симметрии U(1) коммутативна (абелева). Но тот же принцип работает для любой группы симметрий.

Возьмём симметрию SU(2) — преобразования двухкомпонентного спинора:

$\psi = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix} \to U\psi, \quad U \in SU(2)$

Делаем её локальной: $U = U(x) = e^{i\vec{\alpha}(x)\cdot\vec{\tau}/2}$ , где $\vec{\tau}$ — матрицы Паули. Снова нужна ковариантная производная:

$D_\mu = \partial_\mu + ig\vec{A}_\mu\cdot\vec{\tau}/2$

Но теперь калибровочное поле $\vec{A}_\mu$ — трёхкомпонентный вектор (по числу генераторов SU(2)), и преобразуется сложнее из-за некоммутативности группы.

Кривизна тоже усложняется:

$F_{\mu\nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a + gf^{abc}A_\mu^b A_\nu^c$

где $f^{abc}$ — структурные константы группы. Появился новый член — калибровочные поля взаимодействуют сами с собой! В электромагнетизме фотоны не взаимодействуют друг с другом, а вот глюоны (кванты SU(3) полей в КХД) или W/Z-бозоны (в электрослабой теории) — взаимодействуют.

Стандартная модель: вся таблица из симметрий

Теперь мы можем расшифровать Стандартную модель:

Электрослабое взаимодействие: $SU(2)_L \times U(1)_Y$

действует только на левые компоненты фермионов (нарушение чётности!)
Калибровочные бозоны: $W^+, W^-, Z^0, \gamma$ (после спонтанного нарушения симметрии)

Сильное взаимодействие:

Действует на цветовой заряд кварков
8 глюонов — переносчики

Полная группа: $SU(3)_c \times SU(2)_L \times U(1)_Y$

Все силы природы (кроме гравитации) — это калибровочные поля, рождённые требованием локальных симметрий!

Геометрический смысл: расслоения и параллельный перенос

На языке геометрии происходит следующее. Волновая функция живёт не просто в пространстве-времени, а в расслоении — над каждой точкой пространства-времени есть своё «внутреннее пространство» (фаза для U(1), цветовое пространство для SU(3)).

Калибровочное поле $A_\mu$ — это связность, указывающая, как параллельно переносить векторы из слоя над одной точкой в слой над другой. Кривизна $F_{\mu\nu}$ измеряет, насколько результат переноса зависит от пути — это и есть «сила».

Пример: фаза Ааронова-Бома. Даже если электрон движется там, где (нет поля), но область с полем «обходится», накапливается фаза $\phi = e\oint A\cdot dl$ . Это чисто геометрический эффект — голономия связности.

Почему это важно для теории всего

Мы увидели фундаментальный принцип: локальная симметрия порождает взаимодействие. Не нужно постулировать силы — они возникают автоматически из требования локальной инвариантности.

Но есть загвоздка: гравитацию так просто не получить. Гравитация — тоже своего рода калибровочная теория (калибровка локальных лоренцевых преобразований), но она устроена сложнее — метрика сама становится динамической.

Дальше мы увидим:

Как квантовая теория поля объединяет частицы и взаимодействия
Почему на мировом листе струны нужна конформная симметрия
Как из неё рождается гравитация
И наконец, как голография показывает: вся геометрия — это организация квантовой информации

Но фундамент уже заложен: взаимодействия — это кривизна пространства внутренних симметрий, а заряды — топологические инварианты.

В следующей главе мы перейдём от калибровочных полей к полноценной квантовой теории поля. Увидим, как из локальности и причинности рождается необходимость античастиц, как ренормгруппа объясняет иерархию масштабов, и почему некоторые теории «больны» (аномалии), а другие — здоровы.

Глава 4. От частиц к полям: когда мир рождается и исчезает

В прошлой главе мы увидели, как локальная симметрия рождает взаимодействия — электромагнетизм, слабые и сильные силы. Но есть проблема. Представьте два фотона, летящих навстречу друг другу с очень высокой энергией. Они сталкиваются — и возникает пара электрон-позитрон. Частицы буквально родились из света. Или наоборот: электрон и позитрон встречаются, аннигилируют — исчезают, превращаясь в фотоны. Рождение и уничтожение частиц — не экзотика, а обычное явление при высоких энергиях.

Квантовая механика одной частицы не может описать это. Там число частиц фиксировано — есть волновая функция $\psi(x)$ , и она описывает одну частицу. Нужен новый язык, где число квантов не задано заранее, где они могут появляться и исчезать. Этот язык — квантовая теория поля.

Зачем нужны поля: две железные причины

Есть две фундаментальные причины, почему переход к полям неизбежен.

Первая — релятивизм и рождение частиц. Соотношение неопределённостей связывает энергию и время: $\Delta E \Delta t \sim \hbar$ . Если на короткое время $\Delta t$ есть неопределённость энергии $\Delta E$ , достаточная для рождения пары частица-античастица (масса ), то такие пары будут флуктуативно возникать и исчезать. Это не нарушение сохранения энергии — это квантовые флуктуации вакуума. Чтобы описать такое, нужна теория, где пространство состояний само умеет менять число квантов.

Поля это делают естественно. Квантованное поле — это оператор в каждой точке пространства. Действуя им на вакуум, вы «создаёте» частицу: $\hat{\phi}(x)|0\rangle$ . Действуя повторно — две частицы. Есть и операторы уничтожения, которые их убирают. Число частиц не фиксировано — это просто число возбуждений в поле.

Вторая причина — локальность и причинность. Мы хотим, чтобы то, что происходит «здесь и сейчас», не зависело мгновенно от того, что делают далеко. В квантовой механике это формулируется строго: наблюдаемые величины в пространственно-подобно разделённых точках должны коммутировать — быть алгебраически независимыми:

$[\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] = 0, \quad \text{при } (x-y)^2 < 0$

Это называется микропричинность: события, которые не могут влиять друг на друга по световому конусу, не мешают друг другу и в квантовом смысле.

Скажем то же самыми другими словами: квантовая теория поля — это квантовая механика, где базовый объект — не волновая функция частицы, а поле, и где число квантов определяется динамически. Локальность гарантируется коммутаторами, а причинность — тем, что они обнуляются вне светового конуса.

Третий способ: в КМ состояние кодирует «где частица». В КТП состояние кодирует «сколько квантов в каждой моде поля». Поле — это бесконечномерный набор осцилляторов, по одному на каждую точку пространства (или на каждую моду импульса).

Действие — компактная ДНК теории

Вся физика поля записывается в одном объекте — лагранжиане $\mathcal{L}$ и действии $S = \int d^4x\, \mathcal{L}$ . Это не формальность, а самая сжатая запись правил игры. Давайте посмотрим на простейшие примеры.

Комплексное скалярное поле с массой :

$\mathcal{L} = |\partial_\mu \phi|^2 - m^2 |\phi|^2$

Здесь $\phi(x)$ — комплексная функция на пространстве-времени. Первый член — кинетическая энергия (производные по времени и пространству), второй — массовый член. Уравнение движения — из принципа наименьшего действия — это релятивистское обобщение уравнения гармонического осциллятора.

То же поле с локальной симметрией U(1):

$\mathcal{L} = |D_\mu \phi|^2 - m^2 |\phi|^2 - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$

где $D_\mu = \partial_\mu + ieA_\mu$ — ковариантная производная из прошлой главы, а последний член — кинетическая энергия электромагнитного поля. Одна строка кодирует заряженное поле, взаимодействующее с фотонами.

Проговорим это без формул: лагранжиан — это договор о том, какие степени свободы есть в теории, как они эволюционируют и как взаимодействуют. Требуя, чтобы действие было стационарным при малых вариациях полей, вы получаете уравнения движения — квантовый аналог законов Ньютона.

Сумма по историям: квантование поля

Помните интеграл по траекториям из первой главы? Там мы складывали амплитуды всех путей частицы. Теперь обобщим: складываем все возможные конфигурации поля $\phi(x)$ , каждая со своей фазой:

$\boxed{\langle \text{финал}|\text{старт}\rangle = \int \mathcal{D}\phi\, e^{\frac{i}{\hbar}S[\phi]}}$

Это фейнмановский интеграл по путям для поля. Мы не гадаем «частица или волна» — мы складываем все возможные истории поля, взвешенные их действием.

Классический предел выпадает автоматически: вклад максимален там, где действие стационарно, $\delta S = 0$ . Это и есть классические уравнения Эйлера-Лагранжа. Квантовые поправки — флуктуации вокруг классического пути.

Скажем то же другими словами: в квантовой механике мы суммировали траектории частицы . В квантовой теории поля мы суммируем конфигурации поля $\phi(x,t)$ . Оба случая — один и тот же принцип: амплитуда — сумма по историям с фазой действия.

И ещё раз, концептуально: то, что в классике было «минимум действия», в квантовой теории становится центр тяжести распределения по всем историям. Действие определяет веса, а интерференция — итоговый результат.

Симметрии снова: токи Нётер в теории поля

Вспомним теорему Нётер из второй главы: непрерывная симметрия даёт сохраняющуюся величину. В теории поля это работает ещё мощнее: симметрия действия даёт сохраняющийся ток $j^\mu$ с уравнением непрерывности:

$\partial_\mu j^\mu = 0$

Интеграл по пространству $Q = \int d^3x\, j^0$ — сохраняющийся заряд.

Пример: глобальная U(1) симметрия $\phi \to e^{i\alpha}\phi$ для комплексного поля даёт ток:

$j^\mu = \frac{i\hbar}{2m}\Big(\phi^* D^\mu\phi - (D^\mu\phi)^* \phi\Big)$

Это именно тот ток, который входит в уравнения Максвелла как источник: $\partial_\mu F^{\mu\nu} = j^\nu$ . Сохранение заряда $\partial_\mu j^\mu = 0$ автоматически следует из калибровочной симметрии.

Другие примеры:

Однородность времени → ток энергии (тензор энергии-импульса)
Однородность пространства → ток импульса
Изотропия → ток углового момента

Повторим это по-человечески: каждая симметрия — это «ручка», к которой привязан сохраняемый поток. Фаза волновой функции — сохраняется заряд. Сдвиги во времени — сохраняется энергия. Вращения — угловой момент. Это не набор случайных фактов, а единая конструкция.

Ward-тождества: симметрия контролирует квантовые поправки

В квантовой теории симметрии порождают не только классические законы сохранения, но и соотношения между корреляторами — так называемые тождества Уорда. Они контролируют структуру квантовых поправок.

Простейший пример — квантовая электродинамика (КЭД). Калибровочная инвариантность требует, чтобы амплитуды с фотонами были поперечными — продольная поляризация не взаимодействует:

$q_\mu \mathcal{M}^\mu(q, \ldots) = 0$

где — импульс фотона. Если бы это нарушалось, калибровочная симметрия сломалась бы, а с ней — и причинность.

На языке диаграмм Фейнмана это означает: все поправки к пропагатору фотона имеют поперечную структуру. Тождества Уорда — это «счётчик ошибок», который не даёт квантовым поправкам разрушить симметрию.

Скажем то же ещё проще: классическая симметрия — это ограничение на уравнения движения. Квантовая симметрия (тождества Уорда) — это ограничение на все квантовые процессы. Нарушить их — значит сломать теорию.

Ренормгруппа: константы бегут

Любое измерение имеет конечное разрешение $\mu$ — характерную энергию процесса. Если вы измеряете рассеяние электронов при низких энергиях, вы видите один эффективный заряд . Если повышаете энергию, заряд начинает меняться — «бежать».

Почему? Вакуум полон виртуальных пар частица-античастица. Они экранируют заряд, как диэлектрик экранирует заряд в конденсаторе. Чем выше энергия зонда, тем ближе вы подходите к голому заряду, пробивая экраны из виртуальных пар.

Это описывает бета-функция $\beta(g) = \mu\frac{dg}{d\mu}$ , где — константа связи:

В квантовой электродинамике (КЭД) $\beta(e) > 0$ : заряд растёт с энергией
В квантовой хромодинамике (КХД) $\beta(g) < 0$ : заряд падает с энергией — асимптотическая свобода

Асимптотическая свобода в КХД — фундаментальное открытие: при малых расстояниях кварки почти свободны, при больших — заперты непробиваемой силой. За это Гросс, Политцер и Вильчек получили Нобелевскую премию.

Проговорим это тремя способами:

Физически: константы связи — не константы, а функции масштаба. Микроскоп с лучшим разрешением видит другую физику.
Технически: РГ — это перенормировка параметров лагранжиана так, чтобы наблюдаемые не менялись при изменении масштаба обрезания.
Концептуально: фикс-точки бета-функции ( $\beta = 0$ ) — теории без масштаба, с конформной симметрией. Это вход в следующую главу — 2D конформные теории.

Локальность, кластерность и причинность

Чтобы теория поля действительно описывала физический мир, нужны три условия:

Локальность. Лагранжиан — плотность в каждой точке. Нет действия на расстоянии — только локальные взаимодействия полей «здесь».

Микропричинность. Наблюдаемые в пространственно-подобно разделённых точках коммутируют:

$[\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] = 0, \quad (x-y)^2 < 0$

Это квантовая версия запрета на сверхсветовые сигналы.

Кластерное разложение. Далёкие эксперименты факторизуются:

$\langle \mathcal{O}_A \mathcal{O}_B \rangle \to \langle \mathcal{O}_A \rangle \langle \mathcal{O}_B \rangle, \quad |A-B| \to \infty$

Корреляции между далёкими областями исчезают — нет мгновенного дальнодействия.

Эти три постулата — договор с реальностью. Они гарантируют, что теория полей действительно про «поля в пространстве-времени», а не формальная игра символов.

От частиц к взаимодействиям: пример рассеяния

Рассмотрим конкретный процесс: два электрона отскакивают друг от друга. В теории поля это описывается диаграммами Фейнмана — графическим языком для вычисления амплитуд.

Простейшая диаграмма: электроны обмениваются виртуальным фотоном. «Виртуальный» означает: энергия и импульс фотона не связаны обычным соотношением — это квантовая флуктуация, разрешённая соотношением неопределённостей на короткое время.

Амплитуда вычисляется по правилам:

Для каждой внутренней линии — пропагатор (функция Грина)
Для каждой вершины — множитель (константа взаимодействия)
Интегрируем по всем внутренним импульсам

Результат: амплитуда пропорциональна , где — переданный импульс. Это и есть кулоновское отталкивание — но выведенное из первых принципов!

Более сложные диаграммы дают поправки: петли из виртуальных пар, обмен несколькими фотонами. Эти поправки бесконечны, если не обрезать интегралы — вот откуда нужна ренормализация.

Мост вперёд: конформная инвариантность и двумерные теории

Мы говорили о фикс-точках ренормгруппы — теориях без масштаба. В таких теориях есть дополнительная симметрия — конформная: преобразования, сохраняющие углы, но не обязательно расстояния.

В четырёх измерениях конформная группа конечномерна. Но в двух измерениях она бесконечномерна — алгебра Виразоро, бесконечный набор генераторов. Это делает 2D конформные теории (CFT) невероятно жёсткими и вычислимыми.

Почему это важно? Потому что мировой лист струны — это 2D поверхность, и теория на нём — именно 2D CFT. Требование конформности на мировом листе приводит к уравнениям движения в пространстве-времени — в том числе к уравнениям Эйнштейна. Гравитация рождается из конформной симметрии!

Об этом — следующая глава.

Что нужно уметь после этой главы

После четвёртой главы у вас должны быть следующие навыки:

Прочитать лагранжиан и сказать, какие симметрии у него есть и какой ток Нётер им соответствует
Объяснить на пальцах, почему интеграл по путям $\int \mathcal{D}\phi\, e^{iS}$ даёт классическую физику при $\hbar \to 0$ и интерференцию при конечном $\hbar$
Понять суть тождеств Уорда — почему без них рушится калибровочная симметрия (пример: поперечность фотона)
Объяснить ренормгруппу: что такое «бегущая константа связи», почему в КХД бета-функция отрицательна, и что значит «фикс-точка = конформная теория»
Связать локальность, микропричинность и кластерность с физикой реального мира

В следующей главе мы «сжимаем» пространство до двумерной поверхности и переходим к двумерной конформной теории поля. Алгебра Виразоро, первичные поля, операторные разложения (OPE), центральный заряд и модульная инвариантность — это не абстрактная математика, а прямой вход в мир мирового листа струны, где требование конформности превращается в уравнения гравитации в объёме.

Глава 5. Двумерная конформная симметрия: дверь к струнам и гравитации

В прошлой главе мы увидели, как квантовая теория поля объединяет частицы и взаимодействия, как ренормгруппа описывает изменение констант с масштабом, и как фикс-точки бета-функций приводят к конформным теориям — теориям без выделенного масштаба. Теперь настало время перейти в особое место — двумерное пространство-время, где конформная симметрия становится бесконечномерной. Именно здесь скрывается ключ к струнам и квантовой гравитации.

Почему именно два измерения? И как симметрия может быть настолько мощной, что фактически решает всю теорию? Давайте проследим эту удивительную историю.

Почему двумерная поверхность так важна

Вспомним: частица — это точка, её история во времени — линия (мировая линия). Струна — это уже линия, и её история во времени — двумерная поверхность, которую называют мировым листом. На этой поверхности одна координата идёт вдоль струны (σ), другая — это время (τ). И физика на этом мировом листе — это обычная квантовая теория поля, только в двух измерениях.

А теперь ключевая идея: давайте потребуем, чтобы физика на мировом листе не зависела от того, как мы выбираем масштаб. Не важно, измеряем мы расстояния в метрах или сантиметрах — физические предсказания должны быть одинаковыми. Это требование локальной масштабной инвариантности (также называемой вейлевой инвариантностью) в двумерии автоматически расширяется до конформной симметрии — симметрии, сохраняющей углы.

И вот здесь происходит чудо. В трёх или четырёх измерениях конформная группа конечномерна — несколько генераторов и всё. Но в двух измерениях она становится бесконечномерной. Почти любая гладкая функция, сохраняющая углы, является допустимым конформным преобразованием. Эта невероятная избыточность симметрии означает, что теория практически полностью определяется требованием конформной инвариантности.

Проговорим это ещё раз другими словами: в двумерии симметрия из помощника превращается в хозяина. Она настолько ограничительна, что практически не оставляет свободы — теория сама себя решает.

Что такое конформные преобразования

Конформное преобразование — это такое, которое сохраняет углы между кривыми, но может менять расстояния. Представьте, что вы рисуете сетку на резиновом листе, а потом растягиваете его неравномерно — но так, чтобы все прямые углы остались прямыми. Это и есть конформное преобразование.

В двумерии удобно работать с комплексными координатами: и $\bar{z} = x - iy$ , где — обычные декартовы координаты. Тогда любая голоморфная функция (зависящая только от , но не от $\bar{z}$ ) задаёт конформное преобразование: $z \to f(z)$ . Аналогично для антиголоморфных функций $\bar{z} \to g(\bar{z})$ .

Эта математическая красота имеет прямое физическое следствие: в двумерной конформной теории всё естественно распадается на две независимые части — «леводвижущую» (зависящую от ) и «праводвижущую» (зависящую от $\bar{z}$ ). Для замкнутой струны это будут колебания, бегущие по часовой и против часовой стрелки.

Тензор энергии-импульса и алгебра Виразоро

В любой теории поля есть тензор энергии-импульса $T_{\mu\nu}$ — он описывает плотность и поток энергии и импульса. В конформной теории этот тензор бесследовый: $T^\mu_\mu = 0$ — это математическое выражение отсутствия выделенного масштаба.

В двумерной конформной теории тензор энергии-импульса имеет особую структуру. В комплексных координатах остаются только две независимые компоненты: $T(z) = T_{zz}$ и $\bar{T}(\bar{z}) = T_{\bar{z}\bar{z}}$ . Они генерируют все конформные преобразования — отвечает за леводвижущие, $\bar{T}(\bar{z})$ за праводвижущие.

Теперь разложим в ряд Лорана:

$T(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{L_n}{z^{n+2}}$

Коэффициенты — это генераторы конформных преобразований, моды Виразоро. И вот ключевой момент: они удовлетворяют алгебре Виразоро:

$[L_m, L_n] = (m-n)L_{m+n} + \frac{c}{12}m(m^2-1)\delta_{m+n,0}$

Здесь появляется новый объект — центральный заряд . Это число, которое характеризует «размер» теории, количество степеней свободы. В классической теории второй член отсутствует, но квантовые эффекты его порождают — это квантовая аномалия конформной симметрии.

Повторим тремя разными способами, что такое центральный заряд:

Физически: измеряет число независимых полей в теории. Свободное бозонное поле даёт , свободное фермионное .
Математически: — это коэффициент в центральном расширении алгебры Виразоро, квантовая аномалия.
Для струн: требование отсутствия аномалий ( $c_{total} = 0$ ) зафиксирует число измерений пространства-времени — об этом в следующей главе.

Первичные поля и их конформные размерности

В конформной теории есть особый класс полей — первичные поля $\mathcal{O}(z,\bar{z})$ . Они преобразуются особенно просто при конформных преобразованиях. При масштабировании $z \to \lambda z$ первичное поле умножается на степень:

$\mathcal{O}(\lambda z, \bar{\lambda}\bar{z}) = \lambda^{-h}\bar{\lambda}^{-\bar{h}}\mathcal{O}(z,\bar{z})$

Числа $(h, \bar{h})$ называются конформными размерностями поля — левой и правой. Их сумма $\Delta = h + \bar{h}$ определяет, как быстро убывают корреляторы поля с расстоянием (это аналог массы). Разность $s = h - \bar{h}$ — это спин поля в двумерном смысле.

Удивительный факт: конформная симметрия полностью фиксирует форму двух- и трёхточечных корреляционных функций первичных полей. Например, двухточечная функция:

$\langle \mathcal{O}_1(z_1)\mathcal{O}_2(z_2) \rangle = \begin{cases}\frac{C_{12}}{|z_1 - z_2|^{2\Delta_1}} & \text{если } \Delta_1 = \Delta_2 \\0 & \text{иначе}\end{cases}$

Симметрия диктует функциональную форму — остаются только константы. Это как если бы в обычной механике законы симметрии сами определяли траектории, оставляя только начальные условия.

Операторное разложение: алгебра полей

В конформной теории есть мощный инструмент — операторное разложение произведения (OPE). Когда два поля подходят близко друг к другу, их произведение можно разложить по другим полям теории:

$\mathcal{O}_i(z)\mathcal{O}_j(0) = \sum_k \frac{C_{ij}^k}{z^{h_i+h_j-h_k}\bar{z}^{\bar{h}_i+\bar{h}_j-\bar{h}_k}}\mathcal{O}_k(0) + \ldots$

Коэффициенты $C_{ij}^k$ — структурные константы теории, они определяют «правила умножения» полей.

Это не просто техническая формула. OPE — это полная алгебраическая структура теории. Зная размерности всех полей и все структурные константы, мы знаем всё о теории. И требование ассоциативности OPE накладывает сильнейшие ограничения — это основа конформного бутстрапа, метода решения теории из условий самосогласованности.

Скажем проще: OPE — это таблица умножения для полей. Как в арифметике, зная таблицу умножения и разряды чисел, можно вычислить любое произведение. Так и здесь — зная OPE, можно вычислить любой коррелятор.

Состояния и операторы: удивительное соответствие

В двумерной конформной теории есть красивое соответствие между операторами и состояниями. Представьте, что мы делаем радиальное квантование: время течёт радиально от начала координат. Тогда оператор, вставленный в начало координат, создаёт состояние на окружающей окружности.

Это соответствие операторов и состояний означает, что спектр теории (набор возможных состояний) полностью определяется набором первичных полей и их потомков. Энергия состояния связана с конформной размерностью соответствующего оператора: $E = h + \bar{h} - c/12$ . Последний член — это квантовая поправка от центрального заряда, энергия Казимира.

Повторим эту глубокую идею иначе: в 2D CFT нет разницы между «частицами» (состояниями) и «взаимодействиями» (операторами). Это две стороны одной медали.

Модульная инвариантность: последний тест согласованности

Представьте, что мировой лист струны замкнут в тор — бублик. У тора есть комплексный параметр $\tau$ , определяющий его форму (отношение периодов). Статистическая сумма теории на торе:

$Z(\tau, \bar{\tau}) = \text{Tr}[q^{L_0 - c/24}\bar{q}^{\bar{L}_0 - c/24}]$

где $q = e^{2\pi i\tau}$ .

Требование согласованности: эта статсумма должна быть инвариантна относительно модульных преобразований — разных способов разрезать тор на фундаментальный параллелограмм. Модульная группа порождается преобразованиями $\tau \to \tau + 1$ и $\tau \to -1/\tau$ .

Модульная инвариантность — это мощнейшее ограничение на спектр теории. Многие комбинации полей и размерностей, которые выглядят разумными, отбрасываются этим требованием. Это как последний экзамен на согласованность теории.

Проговорим образно: если CFT — это механизм, то модульная инвариантность — это тест на то, что все шестерёнки правильно зацеплены. Малейшая несогласованность — и механизм заклинит.

Мост к струнам и гравитации

Теперь самое важное — как всё это связано со струнами и гравитацией.

Мировой лист струны — это двумерная поверхность, и теория на нём должна быть конформной. Координаты струны в пространстве-времени $X^\mu(\sigma, \tau)$ — это набор двумерных полей, по одному на каждое измерение. В простейшем случае это свободные поля, каждое с центральным зарядом .

Но есть тонкость. При квантовании нужно зафиксировать калибровку — убрать лишние симметрии мирового листа. Это вводит духовые поля с отрицательным центральным зарядом. В бозонной струне духи дают $c_{ghost} = -26$ .

Требование конформной инвариантности означает, что полный центральный заряд должен обратиться в ноль:

$c_{total} = c_X + c_{ghost} = D - 26 = 0$

Отсюда критическая размерность пространства-времени: для бозонной струны. В суперструне числа другие, но логика та же — получается .

И самое главное: если вместо плоского пространства взять искривлённый фон с метрикой $G_{\mu\nu}(X)$ , то требование конформной инвариантности на мировом листе приводит к условиям на фоновые поля. В первом приближении это:

$R_{\mu\nu} + \ldots = 0$

Это уравнения Эйнштейна с поправками! Гравитация не постулируется — она выводится из требования конформной инвариантности мирового листа.

Скажем это медленно и чётко: двумерная конформная симметрия на мировом листе струны заставляет пространство-время, в котором движется струна, подчиняться уравнениям гравитации. Симметрия маленького двумерного мира диктует геометрию большого пространства-времени.

Что мы узнали и куда идём дальше

Двумерная конформная теория поля — это не просто математическая игрушка. Это язык, на котором говорит физика струн. Бесконечномерная симметрия Виразоро, первичные поля с их размерностями, операторные разложения, модульная инвариантность — всё это инструменты, которые превращают струну из идеи в работающую теорию.

Мы увидели, как требование конформности ведёт к фиксированному числу измерений и к уравнениям гравитации. Но мы ещё не написали конкретно теорию струны — не ввели действие, не проквантовали, не вывели спектр.

В следующей главе мы наконец напишем струну явно: действие Полякова для мирового листа, квантование координат $X^\mu$ , появление безмассового спина-2 (гравитона) в спектре, вывод критической размерности через баланс центральных зарядов, и наконец — как из бета-функций сигма-модели рождаются уравнения Эйнштейна. Мост от абстрактной CFT к конкретной физике струн будет построен полностью.

Глава 6. Теория струн: как конформность рождает гравитацию

В прошлой главе мы увидели, как двумерная конформная симметрия становится бесконечномерной и практически полностью определяет теорию. Мы узнали про алгебру Виразоро, центральный заряд, первичные поля и модульную инвариантность. И мы намекнули на главное: мировой лист струны — это двумерная поверхность, теория на нём должна быть конформной, а требование конформности каким-то образом порождает гравитацию. Пришло время превратить намёки в уравнения.

Как выглядит теория струны на бумаге? Откуда берутся загадочные «призраки»? Почему пространство-время должно быть именно 26-мерным для бозонной струны? И самое главное — как из колебаний одномерного объекта рождается гравитон и уравнения Эйнштейна?

Действие Полякова: физика на мировом листе

Начнём с геометрии. Струна движется в пространстве-времени, и её история — это двумерная поверхность, мировой лист. На этой поверхности есть две координаты: $\sigma$ (вдоль струны) и $\tau$ (время). Положение струны в каждый момент задаётся набором функций $X^\mu(\sigma, \tau)$ , где $\mu = 0, 1, ..., D-1$ нумерует координаты пространства-времени.

Но есть тонкость. На самом мировом листе тоже есть геометрия — своя метрика $h_{ab}(\sigma, \tau)$ , которая говорит, как измерять расстояния прямо на двумерной поверхности. Индексы принимают значения 0 и 1 — для времени и пространственной координаты на листе.

Действие Полякова описывает динамику струны:

$S_P = -\frac{1}{4\pi\alpha'} \int d^2\sigma \sqrt{-h} h^{ab} \partial_a X^\mu \partial_b X_\mu$

Здесь $\alpha'$ — параметр с размерностью длины в квадрате, связанный с натяжением струны: $T = 1/(2\pi\alpha')$ . Чем меньше $\alpha'$ , тем туже натянута струна.

Это действие обладает двумя важнейшими симметриями. Первая — репараметризационная инвариантность: можно как угодно переименовывать координаты $(\sigma, \tau)$ на мировом листе, физика не изменится. Вторая — вейлевая инвариантность: можно локально менять масштаб метрики $h_{ab} \to e^{2\omega}h_{ab}$ , и действие останется прежним.

В двумерии эти две симметрии вместе означают полную конформную инвариантность — именно ту бесконечномерную симметрию, о которой мы говорили в прошлой главе. И это позволяет зафиксировать калибровку: выбрать координаты так, чтобы метрика стала плоской. В этой калибровке остаются только поля $X^\mu$ — получается свободных скалярных полей на двумерном листе, по одному на каждую координату пространства-времени.

Призраки и центральный заряд

Теперь начинается квантовая теория, и здесь нас ждёт сюрприз. Помните центральный заряд из алгебры Виразоро? Каждое свободное бозонное поле даёт вклад . У нас полей $X^\mu$ , значит, их вклад:

Но это ещё не всё. Когда мы фиксировали калибровку (убирали лишние симметрии мирового листа), в квантовой теории за это приходится платить. Появляются так называемые духовые поля — и призраки Фаддеева-Попова. Это не физические поля, а математические объекты, которые компенсируют переучёт конфигураций при фиксации калибровки.

Эти призраки — фермионные поля на мировом листе, и они дают свой вклад в центральный заряд:

$c_{ghost} = -26$

Отрицательный знак критически важен — призраки частично компенсируют вклад физических полей.

Полный центральный заряд теории:

$c_{total} = c_X + c_{ghost} = D - 26$

И вот ключевой момент. Если $c_{total} \neq 0$ , квантовая теория становится аномальной — вейлевая симметрия нарушается на квантовом уровне. Это проявляется как появление выделенного масштаба там, где его быть не должно. Физически это означает нарушение лоренц-инвариантности и причинности — теория становится противоречивой.

Требование отсутствия аномалии — это требование конформной инвариантности на квантовом уровне:

$c_{total} = 0 \quad \Rightarrow \quad D = 26$

Мы только что вывели критическую размерность пространства-времени для бозонной струны! Это не постулат, а следствие квантовой согласованности теории на мировом листе.

Повторим это другими словами: число измерений пространства-времени фиксируется требованием, чтобы квантовые эффекты на двумерном мировом листе не нарушили конформную симметрию. Маленький двумерный мир диктует размерность большого пространства-времени.

Условия Виразоро и физические состояния

Вариация действия по метрике $h_{ab}$ даёт уравнение $T_{ab} = 0$ — тензор энергии-импульса на мировом листе обращается в ноль. В конформной калибровке это превращается в условия на компоненты тензора энергии-импульса:

$T(z) = 0, \quad \bar{T}(\bar{z}) = 0$

На языке мод Виразоро это означает, что физические состояния должны удовлетворять условиям:

$L_n |\text{phys}\rangle = 0 \quad (n > 0), \quad (L_0 - \tilde{L}_0)|\text{phys}\rangle = 0$

Эти условия выбрасывают из спектра нефизические возбуждения — те, что соответствуют чисто калибровочным деформациям мирового листа. Остаются только истинные колебательные моды струны.

Интуитивно это можно понять так: не все математически возможные состояния соответствуют реальным колебаниям струны. Некоторые — это просто артефакты выбора координат на мировом листе. Условия Виразоро — это фильтр, который оставляет только физически значимые состояния.

Спектр струны: от тахиона до гравитона

Решая уравнения движения для полей $X^\mu$ , мы раскладываем их по модам — как в разложении Фурье, только теперь для каждой координаты. Получается бесконечный набор осцилляторных мод $\alpha_n^\mu$ и $\tilde{\alpha}_n^\mu$ для левых и правых движущихся волн на струне.

Эти моды ведут себя как операторы рождения и уничтожения квантового гармонического осциллятора. Действуя ими на вакуум, мы строим возбуждённые состояния струны. Масса состояния определяется числом возбуждённых осцилляторов:

$M^2 = \frac{4}{\alpha'}(N + \tilde{N} - 2)$

где и $\tilde{N}$ — числа заполнения для левых и правых мод, а для закрытой струны требуется $N = \tilde{N}$ (условие согласования уровней).

Посмотрим на первые уровни спектра. Основное состояние ( $N = \tilde{N} = 0$ ) имеет $M^2 = -4/\alpha'$ — отрицательную массу в квадрате! Это тахион, частица, движущаяся быстрее света. Его присутствие означает, что вакуум бозонной струны нестабилен. Это серьёзная проблема, которая решается переходом к суперструне.

Но продолжим. Следующий уровень ( $N = \tilde{N} = 1$ ) даёт — безмассовые состояния. Это тензорное состояние вида $\varepsilon_{\mu\nu} \alpha_{-1}^\mu \tilde{\alpha}_{-1}^\nu |p\rangle$ , где $|p\rangle$ — состояние с импульсом .

Этот безмассовый тензор можно разложить на неприводимые представления группы Лоренца. Симметричная бесследовая часть — это гравитон $g_{\mu\nu}$ , квант гравитационного поля. Антисимметричная часть — это $B_{\mu\nu}$ , двухформное калибровочное поле (аналог электромагнитного поля, но для двухформы). След — это дилатон $\Phi$ , скалярное поле.

Вот он, наш главный результат: гравитон появляется автоматически, как безмассовое возбуждение замкнутой струны! Мы нигде не постулировали гравитацию — она возникла из спектра колебаний струны.

Для открытой струны картина другая. На безмассовом уровне появляется векторное состояние — это калибровочное поле $A_\mu$ , тот самый электромагнитный потенциал или его неабелево обобщение. Если концы открытых струн закреплены на гиперплоскостях (D-бранах), калибровочное поле живёт на бране, а гравитация распространяется в объёме. Это даёт естественное объединение калибровочных и гравитационных взаимодействий.

Сигма-модель и фоновые поля

До сих пор мы рассматривали струну в плоском пространстве. Но можно рассмотреть струну в произвольном искривлённом фоне с метрикой $G_{\mu\nu}(X)$ , антисимметричным полем $B_{\mu\nu}(X)$ и дилатоном $\Phi(X)$ . Тогда действие становится нелинейной сигма-моделью:

$S = \frac{1}{4\pi\alpha'} \int d^2\sigma \sqrt{-h} \left[h^{ab}G_{\mu\nu}(X)\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu + \epsilon^{ab}B_{\mu\nu}(X)\partial_a X^\mu \partial_b X^\nu + \alpha' R^{(2)}\Phi(X)\right]$

где $R^{(2)}$ — скалярная кривизна мирового листа.

Это действие описывает струну, движущуюся в искривлённом пространстве-времени. Фоновые поля , , $\Phi$ теперь не константы, а функции координат — они играют роль «констант связи» в двумерной теории.

Бета-функции и уравнения Эйнштейна

И вот кульминация. Требование конформной инвариантности на квантовом уровне означает, что бета-функции двумерной теории должны обращаться в ноль. Бета-функции описывают, как меняются эффективные константы связи при изменении масштаба. Для конформной теории они должны быть нулевыми — нет выделенного масштаба.

Вычисление даёт (в первом порядке по $\alpha'$ ):

$\beta^G_{\mu\nu} = \alpha'\left(R_{\mu\nu} + 2\nabla_\mu\nabla_\nu\Phi - \frac{1}{4}H_{\mu\rho\sigma}H_\nu^{\rho\sigma}\right) + ...$

где — напряжённость поля .

Условие конформности $\beta^G = 0$ в простейшем случае (когда и $\Phi = const$ ) даёт:

$R_{\mu\nu} = 0$

Это вакуумные уравнения Эйнштейна! В общем случае получается система уравнений для всех фоновых полей — обобщение уравнений Эйнштейна с дополнительными полями.

Проговорим это медленно и чётко. Требование конформной инвариантности на двумерном мировом листе струны заставляет пространство-время, в котором движется струна, подчиняться уравнениям гравитации. Условие согласованности маленького мира порождает динамику большого.

Это не постулирование гравитации — это её вывод из более фундаментальных принципов. Гравитация оказывается условием квантовой согласованности теории струн.

Проблема тахиона и путь к суперструне

У бозонной струны есть серьёзная проблема — тахион в спектре. Его присутствие означает нестабильность вакуума: система хочет скатиться в другое состояние. В реальном мире тахионов не наблюдается, и их присутствие делает теорию патологической.

Решение приходит с добавлением суперсимметрии на мировом листе. Суперструна имеет дополнительные фермионные координаты, и после процедуры GSO-проекции (убирающей нефизические состояния) тахион исчезает из спектра. Критическая размерность меняется на , и теория становится полностью согласованной.

В суперструне также естественно появляются фермионы в спектре — кварки и лептоны находят своё место. Существует пять согласованных суперструнных теорий (Type I, Type IIA, Type IIB, две гетеротические), и все они оказываются связаны дуальностями — разными описаниями одной и той же фундаментальной теории.

Что мы узнали

Теория струн — это не просто замена точечных частиц на одномерные объекты. Это глубокая математическая структура, где:

Конформная симметрия на мировом листе фиксирует размерность пространства-времени
Спектр колебаний автоматически содержит гравитон
Условие квантовой согласованности порождает уравнения Эйнштейна
Калибровочные поля появляются из открытых струн
Все взаимодействия объединяются в единой геометрической картине

Мы увидели, как абстрактная математика двумерной конформной теории превращается в конкретную физику гравитации и калибровочных полей. Маленький двумерный мир мирового листа диктует законы большого пространства-времени.

В следующей главе мы углубимся в суперструны: добавим мировые листы с фермионами, увидим GSO-проекцию в действии, поймём, откуда берётся критическое и как рождаются фермионы материи. Затем перейдём к D-бранам — объектам, где живут калибровочные поля, и которые станут мостом к голографии и окончательному синтезу квантовой информации с геометрией.

Глава 7. Суперструны: как фермионы спасают теорию

В прошлой главе мы построили бозонную струну и увидели, как из конформной симметрии на мировом листе рождается гравитация в пространстве-времени. Мы вывели критическую размерность D = 26 и обнаружили гравитон в спектре. Но у нас остались две серьёзные проблемы. Первая — тахион, частица с отрицательной массой в квадрате, делающая вакуум нестабильным. Вторая — отсутствие фермионов: в бозонной струне нет кварков и лептонов, из которых состоит материя.

Решение обеих проблем приходит с добавлением суперсимметрии на мировом листе. Это не просто математический трюк — это глубокое расширение теории, которое одновременно убирает тахион, вводит фермионы в спектр и сдвигает критическую размерность с 26 на 10. Давайте проследим, как это происходит.

Фермионы на мировом листе: формализм Рамона-Невё-Шварца

До сих пор на мировом листе у нас были только бозонные поля $X^\mu(\sigma, \tau)$ — координаты струны в пространстве-времени. Теперь добавим к каждому из них фермионного партнёра $\psi^\mu(\sigma, \tau)$ — майорановский спинор на двумерной поверхности.

Действие расширяется до суперсимметричной версии:

$S_{RNS} = \frac{1}{4\pi\alpha'} \int d^2\sigma \left(\partial_a X^\mu \partial^a X_\mu + i\bar{\psi}^\mu \rho^a \partial_a \psi_\mu\right)$

где $\rho^a$ — двумерные гамма-матрицы. Это действие инвариантно относительно локальной суперсимметрии на мировом листе — преобразований, связывающих бозоны и фермионы:

$\delta X^\mu = \bar{\epsilon}\psi^\mu, \quad \delta \psi^\mu = -i\rho^a \epsilon \partial_a X^\mu$

Здесь $\epsilon(\sigma, \tau)$ — локальный спинорный параметр суперсимметрии.

Что это означает физически? Мировой лист теперь не просто двумерная поверхность, а суперповерхность — объект с бозонными и фермионными координатами. Поля $X^\mu$ описывают положение струны в пространстве-времени, а $\psi^\mu$ — их суперпартнёров. Вместе они образуют супермультиплет на мировом листе.

Новый баланс центральных зарядов

Помните, как в бозонной струне мы считали вклады в центральный заряд? Теперь расчёт усложняется. Каждое бозонное поле $X^\mu$ по-прежнему даёт вклад , но теперь добавляются фермионы $\psi^\mu$ , каждый из которых вносит . Полный вклад материальных полей:

$c_{matter} = c_X + c_\psi = D + \frac{D}{2} = \frac{3D}{2}$

Но и духовые поля изменились. Кроме старых -призраков (компенсирующих фиксацию метрики мирового листа), которые дают $c_{bc} = -26$ , появляются новые — суперпризраки $\beta\gamma$ , компенсирующие фиксацию локальной суперсимметрии. Они дают $c_{\beta\gamma} = +11$ .

Полный центральный заряд:

$c_{total} = \frac{3D}{2} - 26 + 11 = \frac{3D}{2} - 15$

Требование конформной инвариантности ( $c_{total} = 0$ ) даёт новую критическую размерность:

Это фундаментальный результат. Добавление фермионов и суперсимметрии на мировом листе не только меняет спектр теории — оно меняет само число измерений пространства-времени! Природа суперструны требует именно десятимерного пространства-времени.

Повторим это другими словами: бозонная струна живёт в 26 измерениях и содержит тахион. Суперструна живёт в 10 измерениях, и как мы увидим, тахион из неё можно убрать. Уменьшение числа измерений — не недостаток, а преимущество: меньше лишних измерений нужно компактифицировать, чтобы получить наблюдаемый четырёхмерный мир.

Граничные условия и сектора теории

Фермионные поля на замкнутой струне могут удовлетворять двум типам граничных условий при обходе по окружности. В секторе Невё-Шварца (NS) фермионы антипериодичны:

$\psi^\mu(\sigma + 2\pi) = -\psi^\mu(\sigma)$

Это означает, что моды разложения полуцелые, и нулевая энергия сдвинута на . В секторе Рамона (R) фермионы периодичны:

$\psi^\mu(\sigma + 2\pi) = \psi^\mu(\sigma)$

Здесь моды целые, включая нулевые моды, которые образуют алгебру Клиффорда и порождают спинорные представления в пространстве-времени.

Физический смысл прост: NS-сектор содержит бозонные состояния пространства-времени (включая потенциальный тахион на низшем уровне), а R-сектор — фермионные состояния. Для замкнутой струны левые и правые моды независимы, поэтому возможны комбинации NS-NS, NS-R, R-NS и R-R.

Проекция GSO: устранение тахиона и рождение суперсимметрии

Ключевой шаг в построении согласованной теории — проекция Глиоззи-Шерка-Оливе (GSO). Это не произвольная процедура, а требование модульной инвариантности статистической суммы на торе.

Проекция GSO выбирает из полного спектра только состояния с определённой чётностью по фермионному числу. В NS-секторе это убирает тахион — состояние с наименьшей (отрицательной) энергией оказывается нечётным и выбрасывается. В R-секторе проекция выбирает определённую киральность спиноров.

Результат поразителен. Проекция GSO не только убирает тахион и делает теорию стабильной. Она также приводит к тому, что спектр организуется в супермультиплеты — появляется суперсимметрия уже не на мировом листе, а в десятимерном пространстве-времени! Мировая листовая суперсимметрия порождает пространственно-временную.

Проговорим это ещё раз, потому что это критически важно. Мы добавили фермионы на двумерном мировом листе и потребовали согласованности (модульной инвариантности). Это автоматически привело к суперсимметрии в десятимерном пространстве-времени — симметрии между бозонами и фермионами на уровне элементарных частиц.

Типы суперструн и их спектры

После проекции GSO возникает несколько согласованных теорий, различающихся выбором киральности в R-секторах.

Тип IIA получается, когда левый и правый R-сектора имеют противоположные киральности. Безмассовый спектр содержит: из сектора NS-NS — гравитон $g_{\mu\nu}$ , антисимметричное поле $B_{\mu\nu}$ и дилатон $\Phi$ ; из сектора R-R — набор чётных дифференциальных форм (1-форма и 3-форма ). Теория имеет N = 2 суперсимметрию в десяти измерениях, причём два суперзаряда имеют противоположные киральности — теория некиральная.

Тип IIB возникает при одинаковых киральностях левого и правого R-секторов. Спектр NS-NS тот же, но R-R сектор даёт нечётные формы: скаляр , 2-форму и самодуальную 4-форму . Теория также имеет N = 2 суперсимметрию, но оба суперзаряда одной киральности — теория киральная.

Тип I получается из IIB дополнительной проекцией по ориентации мирового листа. Это приводит к появлению открытых струн и урезает суперсимметрию до N = 1. Требование отсутствия аномалий фиксирует калибровочную группу — SO(32). Это пример того, как квантовая согласованность определяет не только размерность пространства-времени, но и калибровочную группу.

Гетеротические струны — гибридная конструкция: правые моды суперструнные (как в 10D), левые — бозонные (как в 26D). Лишние 16 левых измерений компактифицируются на специальных решётках, порождая калибровочные группы E₈ × E₈ или SO(32). Эти теории особенно интересны для феноменологии, так как естественно содержат неабелевы калибровочные группы.

D-браны и открытые струны

Важнейшее открытие 1990-х — D-браны, гиперповерхности, на которых могут заканчиваться открытые струны. D в названии означает граничные условия Дирихле: координаты струны фиксированы на границе мирового листа.

D-брана размерности p (D p-брана) — это p-мерный объект в пространстве-времени. Открытые струны, натянутые между D-бранами, порождают калибровочные поля, живущие на бранах. Если N бран совпадают, возникает калибровочная группа U(N) — факторы Чана-Патона на концах струн становятся матричными индексами.

С другой стороны, D-браны — источники для полей R-R сектора. D p-брана несёт заряд относительно (p+1)-формы $C_{p+1}$ и является источником для её напряжённости. Это создаёт глубокую связь между калибровочными теориями на бранах и гравитацией в объёме — основу для голографического соответствия.

Согласованность как руководящий принцип

Подведём итог. Мы начали с простой идеи — добавить фермионы на мировой лист струны. Но требование квантовой согласованности привело к каскаду следствий: критическая размерность сдвинулась с 26 на 10, появилась пространственно-временная суперсимметрия, тахион исчез из спектра, возникли различные согласованные теории (IIA, IIB, I, гетеротические), появились D-браны как новые динамические объекты.

Каждый шаг диктовался не произволом, а математической согласованностью: баланс центральных зарядов определил размерность, модульная инвариантность потребовала GSO-проекцию, отсутствие аномалий зафиксировало калибровочные группы.

Это главный урок суперструн: природа не терпит математических противоречий. Требование согласованности настолько ограничительно, что практически не оставляет свободы — теория сама определяет свою структуру.

В следующей главе мы увидим ещё более удивительную картину: все пять суперструнных теорий оказываются не независимыми, а связанными дуальностями — разными описаниями одной фундаментальной теории. T-дуальность меняет большие расстояния на малые, S-дуальность — сильную связь на слабую. За всем этим стоит загадочная М-теория в 11 измерениях. А кульминацией станет AdS/CFT соответствие, где геометрия и квантовая информация окажутся двумя сторонами одной медали.

Глава 8. Дуальности, М-теория и голография: когда разные карты описывают одну географию

В прошлых главах мы увидели, как двумерная конформная симметрия на мировом листе струны заставляет пространство-время подчиняться уравнениям гравитации и фиксирует критическую размерность — 26 для бозонной струны, 10 для суперструны. Мы построили пять согласованных суперструнных теорий: Type IIA, Type IIB, Type I и две гетеротические. Каждая со своими особенностями, калибровочными группами и спектрами. Казалось бы, у нас пять разных кандидатов на фундаментальную теорию. Какая из них описывает наш мир?

Ответ оказался неожиданным: все пять теорий — это не конкуренты, а разные проекции одной и той же фундаментальной структуры. Как карты разных масштабов и проекций описывают одну географию, так и пять суперструн описывают одну физику с разных точек зрения. Эта единая теория получила название М-теория, хотя что именно означает буква М — Mystery, Magic, Matrix, Membrane — остаётся загадкой даже для создателей.

Но самое поразительное открытие ждало впереди. Оказалось, что теория струн содержит в себе принцип, переворачивающий наши представления о пространстве и квантовой теории: голография. Квантовая теория поля без гравитации в некотором пространстве математически эквивалентна теории с гравитацией в пространстве на одно измерение больше. Граница содержит всю информацию об объёме, квантовая запутанность порождает геометрию. Давайте проследим эту удивительную историю.

Т-дуальность: когда большое становится малым

Представьте, что одно из измерений свёрнуто в окружность радиуса . Струна может не только двигаться по этой окружности, но и наматываться на неё — один раз, два, три... Число намоток — это топологическое квантовое число, оно не может измениться непрерывно.

В компактном измерении импульс тоже квантуется. Волновая функция должна быть периодической: $\psi(\theta + 2\pi) = \psi(\theta)$ , откуда импульс принимает дискретные значения , где — целое число.

Энергия струны складывается из двух вкладов: кинетической энергии движения по окружности и энергии натяжения от намотки:

$E^2 = \left(\frac{n}{R}\right)^2 + \left(\frac{wR}{\alpha'}\right)^2 + \text{осцилляторные моды}$

А теперь фокус. Сделаем замену $R \to \alpha'/R$ и одновременно поменяем местами импульс и намотку: $n \leftrightarrow w$ . Спектр энергий останется тем же! Физика при радиусе идентична физике при радиусе $\alpha'/R$ .

Это Т-дуальность — первый намёк на то, что геометрия в теории струн не фундаментальна. То, что выглядит как большая окружность с точки зрения импульсных мод, выглядит как маленькая с точки зрения намоточных мод. И наоборот. В теории точечных частиц маленькое и большое — это разные вещи. В теории струн они могут быть физически неразличимы. Струна «чувствует» геометрию иначе, чем частица, потому что у неё есть дополнительная характеристика — намотка.

Более того, Т-дуальность связывает разные теории струн. Type IIA на окружности радиуса эквивалентна Type IIB на окружности радиуса $\alpha'/R$ . То, что в одной теории выглядит как D-брана размерности , в дуальной становится D-браной размерности $p \pm 1$ . Калибровочные поля на бранах переходят в скалярные поля положения бран, и наоборот.

Для открытых струн Т-дуальность ещё интереснее. Она меняет граничные условия и поднимает или опускает размерность D-бран. В результате одна и та же конфигурация может выглядеть то как «тонкое измерение с движущимися струнами», то как «семейство бран в пространстве большей размерности» — две проекции одной геометрии.

S-дуальность: когда сильная связь становится слабой

В любой теории есть константа связи — она определяет силу взаимодействия. Когда $g \ll 1$ , работает теория возмущений: можно считать по диаграммам Фейнмана, каждая следующая даёт поправку порядка . Но что происходит при $g \gg 1$ ?

В обычной теории поля при сильной связи вычисления становятся невозможными — ряд теории возмущений расходится, привычные методы ломаются. Но в теории струн происходит чудо. S-дуальность утверждает: теория при константе связи эквивалентна некоторой другой (или той же) теории при константе .

Классический пример — Type IIB суперструна. Она S-дуальна сама себе: физика при идентична физике при . Фундаментальная струна при слабой связи становится D1-браной при сильной, и наоборот. То, что было тяжёлым и невидимым в теории возмущений, становится лёгким и важным при сильной связи. Теория обладает целым семейством «скошенных» струн , где единиц фундаментального F1-заряда и единиц заряда D1-струны перемешиваются под действием группы $SL(2,\mathbb{Z})$ .

Ещё более удивительно: гетеротическая струна SO(32) при сильной связи эквивалентна Type I струне при слабой! Это совершенно разные теории — одна содержит только замкнутые струны, другая включает открытые. Но S-дуальность показывает, что это два описания одной физики в разных режимах.

В мире калибровочных теорий аналогом S-дуальности служит дуальность Монтонена-Олив в $\mathcal{N}=4$ суперсимметричной теории Янга-Миллса: слабая связь электрического описания соответствует сильносвязному «монопольному» описанию, где электрические и магнитные степени свободы меняются местами.

Мы привыкли думать, что сильная связь — это «та же теория, но сложнее для вычислений». S-дуальность говорит нечто радикальное: сильная связь в одном описании — это слабая связь в другом, дуальном описании. Проблема не в сложности вычислений, а в выборе правильных переменных. S-дуальность превращает невычислимое в вычислимое — нужно просто перейти в другую картину.

U-дуальность: большая симметрия компактных миров

Когда теорию компактифицируют на тор (несколько окружностей), T-дуальности и S-дуальности сплетаются в ещё более богатую структуру — U-дуальность. Она включает все дискретные симметрии теории, смешивающие различные поля и заряды.

Рассмотрим Type II теорию, компактифицированную на тор . Модули тора — его форма и размер — параметризуются элементами группы для T-дуальности. Добавляя S-дуальность, получаем исключительные группы симметрии: $E_{7(7)}$ для тора , $E_{8(8)}$ для . Эти огромные группы перемешивают все скалярные поля, все заряды, все параметры теории.

U-дуальность создаёт невероятно богатую сеть связей. Состояния, которые выглядят совершенно по-разному — чёрные дыры с разными зарядами, D-браны разных размерностей, связанные состояния струн — оказываются связанными цепочкой дуальных преобразований. Вся эта паутина — проявления одних и тех же объектов, увиденных через разные «очки».

BPS-состояния — те, чьи массы защищены суперсимметрией от квантовых поправок — особенно полезны для проверки дуальностей. Они образуют орбиты под действием групп U-дуальности. Сравнение соотношений «масса-центральный заряд» по обе стороны дуальности даёт мощный тест эквивалентности теорий. U-дуальность объявляет, что многие на вид разные компактные миры — это один и тот же физический объект, видимый под разными углами.

М-теория: одиннадцатое измерение рождается из сильной связи

Самый драматический пример дуальности — сильносвязный предел Type IIA струны. Константа связи в струнной теории связана с вакуумным средним дилатона: $g_s = e^{\langle\Phi\rangle}$ . Что происходит, когда становится большой?

Оказывается, при $g_s \to \infty$ в теории появляется новое измерение! Его радиус пропорционален константе связи:

$R_{11} = g_s l_s$

где $l_s = \sqrt{\alpha'}$ — струнная длина. В этом пределе десятимерная Type IIA превращается в одиннадцатимерную теорию — М-теорию. Её низкоэнергетический предел — одиннадцатимерная супергравитация, теория, известная с 1970-х, но долго считавшаяся курьёзом.

Связь между объектами поразительна. D0-браны Type IIA — это просто кванты импульса вдоль одиннадцатой окружности: D0-бран соответствуют единицам момента по . М-теория содержит двумерные мембраны (М2-браны) и пятимерные браны (М5-браны). При компактификации на окружность М2-брана может наматываться на неё и выглядеть как струна в десяти измерениях. Ненамотанная М2-брана становится D2-браной теории IIA. М5-брана редуцируется к NS5-бране или к D4-бране при обёртывании на круг. D6-брана в 10D оказывается KK-монополем в 11D геометрии.

Type IIB тоже связана с М-теорией, но сложнее: это М-теория на торе с последующей T-дуальностью по одному из направлений. Матрица модулярных преобразований этого тора и есть группа S-дуальности $SL(2,\mathbb{Z})$ теории IIB.

Гетеротические струны получаются из М-теории на отрезке $S^1/\mathbb{Z}_2$ . Калибровочные группы $E_8 \times E_8$ или SO(32) живут на двух десятимерных границах этого отрезка. Аномалии на границах компенсируются потоком в объёме — механизм Хоравы-Виттена.

Мы начали с пяти десятимерных теорий и думали, что это конкуренты на роль фундаментальной теории. Оказалось, что все они — проекции одной одиннадцатимерной структуры. Как тени трёхмерного объекта на разных плоскостях выглядят по-разному, так и М-теория в разных пределах выглядит как разные струнные теории. М-теория — не шестая струна, а единый купол, под которым живут все пять десятимерных теорий, склеенные дуальностями.

Браны как геометрия: от решений к голографии

Низкоэнергетические пределы суперструн — это супергравитации в 10D или 11D. В них есть особые решения — браны, расширенные объекты с натяжением и зарядом относительно форм RR-сектора или М-форм.

Рассмотрим совпавших D3-бран в Type IIB. Они создают искривление геометрии: далеко от бран пространство почти плоское, а вблизи формируется «горловина». В пределе больших и при специальном масштабировании (decoupling limit) геометрия около бран становится точно $AdS_5 \times S^5$ — произведением пятимерного пространства анти-де Ситтера на пятимерную сферу. Поток пятиформы через сферу пропорционален числу бран: $\int_{S^5} F_5 \sim N$ .

Аналогично, M2-бран создают геометрию $AdS_4 \times S^7$ , а M5-бран — $AdS_7 \times S^4$ . Dp-браны при $p \neq 3$ дают геометрии, которые асимптотически приближаются к AdS, но не являются точными решениями.

Этот «почти-горизонт» бран — не просто математический курьёз. Он стал входом в одно из самых глубоких открытий теоретической физики — голографическое соответствие.

AdS/CFT: когда граница равна объёму

В 1997 году Хуан Малдасена сформулировал точную математическую эквивалентность, которая звучит почти невероятно:

Type IIB суперструны на $AdS_5 \times S^5$ математически эквивалентны $\mathcal{N}=4$ суперсимметричной теории Янга-Миллса с группой SU(N) в четырёхмерном пространстве Минковского.

С одной стороны — теория с гравитацией, струнами и дополнительными измерениями. С другой — обычная калибровочная теория без гравитации в меньшем числе измерений. И они описывают одну и ту же физику!

Словарь соответствия удивителен. Число бран становится рангом калибровочной группы SU(N). Радиус AdS и сферы связан с константой 'т Хоофта: $L^4/\alpha'^2 \sim \lambda = g_{YM}^2 N$ . Струнная константа связи определяется как $g_s \sim \lambda/N$ . В пределе больших и больших $\lambda$ теория в объёме становится классической супергравитацией. При малых $\lambda$ калибровочная теория почти свободна.

Губсер, Клебанов, Поляков и Виттен сформулировали точный рецепт вычислений. Если $\phi$ — поле в объёме AdS, его граничное значение $\phi_0(x)$ играет роль источника для оператора $\mathcal{O}(x)$ в теории на границе. Производящие функционалы совпадают:

$Z_{\text{string}}[\phi \to \phi_0] = \left\langle \exp\left(\int d^4x\, \phi_0(x)\mathcal{O}(x)\right)\right\rangle_{\text{CFT}}$

Это означает, что корреляторы операторов на границе равны вариациям классического действия в объёме по граничным условиям.

Радиальная координата в AdS играет роль масштаба энергии в теории на границе. Движение вглубь AdS соответствует переходу к инфракрасной физике, движение к границе — к ультрафиолету. Ренормгрупповой поток в теории поля становится геодезическим потоком в геометрии!

Четырёхмерная конформная теория живёт на границе пятимерного AdS. Вся физика объёма закодирована в физике границы. Дополнительное измерение не постулируется — оно возникает как способ организации степеней свободы теории поля по масштабам.

Энтропия запутанности как площадь: формула Рю-Такаянаги

Одно из самых красивых следствий AdS/CFT — геометрическая формула для энтропии запутанности. Если в теории на границе выделить область , её энтропия запутанности с остальной системой даётся площадью минимальной поверхности в объёме:

$S(A) = \frac{\text{Area}(\gamma_A)}{4G_N} + S_{\text{bulk}}$

где $\gamma_A$ — экстремальная поверхность в AdS, натянутая на границу области , а последний член — квантовые поправки от полей в объёме.

Это формула Рю-Такаянаги, обобщённая Хубени, Рангамани и Такаянаги для зависящих от времени случаев. Она буквально реализует идею «геометрия есть информация». Запутанность на границе порождает геометрию в объёме.

Более того, вариации этой формулы приводят к уравнениям Эйнштейна! Если потребовать, чтобы первый закон энтропии запутанности выполнялся для всех областей на границе, то в объёме автоматически должны выполняться линеаризованные уравнения гравитации. Гравитация следует из согласованности квантовой информации.

Энтропия запутанности на границе измеряется площадью в объёме. Вариации этой энтропии вынуждают вариации геометрии — уравнения гравитации. Геометрия AdS — не фиксированный фон, а эмерджентный эффект паттерна запутанности в граничной теории.

Практические следствия: от кварк-глюонной плазмы до квантовых вычислений

AdS/CFT — не абстрактная математическая конструкция, а работающий инструмент для конкретных вычислений.

Спектры и корреляторы. Масса поля в AdS связана с конформной размерностью оператора на границе: $\Delta(\Delta - d) = m^2L^2$ . Из классических решений в объёме извлекают двух- и многоточечные корреляторы, константы операторных разложений, аномальные размерности.

Гидродинамика и транспорт. Чёрная дыра в AdS соответствует термальному состоянию в граничной теории. Температура чёрной дыры — это температура теории поля. Из возмущений чёрной дыры вычисляют коэффициенты переноса — вязкость, теплопроводность. Отношение сдвиговой вязкости к плотности энтропии оказывается универсально ограниченным: $\eta/s \geq 1/(4\pi)$ . Для теории с гравитационным дуалом достигается равенство. Удивительно, но это число близко к измеренному для кварк-глюонной плазмы на RHIC и LHC!

Квантовый хаос и чёрные дыры. Максимальный показатель Ляпунова для квантовых систем ограничен: $\lambda_L \leq 2\pi T$ . Этот предел насыщается для чёрных дыр и голографических теорий. Рост сложности квантового состояния связан с ростом объёма за горизонтом чёрной дыры.

Каждый такой мост даёт либо тест соответствия (согласование чисел по обе стороны дуальности), либо новую технологию вычислений (считать труднодоступные режимы сильной связи через классическую геометрию).

Эмерджентное пространство-время из квантовой информации

AdS/CFT переворачивает наши представления о природе пространства-времени. Дополнительное измерение, гравитация, сама геометрия оказываются не фундаментальными, а эмерджентными — возникающими из паттерна квантовой запутанности в теории меньшей размерности.

Тензорные сети дают дискретную модель этого соответствия. Граф запутанности кубитов на границе порождает дискретную геометрию в объёме. Геодезические расстояния в графе соответствуют корреляционным длинам в квантовой системе. Кривизна пространства связана с нетривиальностью структуры запутанности.

Мы пришли к радикальному выводу: пространство-время — не фундаментальная арена для физических процессов, а эффективное описание для определённых паттернов квантовой запутанности. Эйнштейновская геометрия — макроскопическое проявление квантово-информационных процессов на более глубоком уровне.

Итоги: одна теория, много карт

Дуальности показали, что пять суперструнных теорий — это одна семья, связанная преобразованиями. T-дуальность меняет большое на малое, S-дуальность — сильную связь на слабую, U-дуальность перемешивает все заряды и модули. М-теория объединяет всё под одиннадцатимерным куполом.

Голография идёт дальше: целые теории в разных размерностях оказываются эквивалентными. Гравитация и калибровочные теории — две стороны одной медали. Геометрия — способ кодирования квантовой информации.

Эти открытия ведут к главному тезису статьи: квантовая гравитация следует из квантовой информации. Не нужно квантовать метрику напрямую — она сама эмердентно возникает из правильной организации квантовых битов. Принцип голографии утверждает, что вся информация об объёме содержится на границе. Энтропия чёрных дыр и запутанности пропорциональна площади, а не объёму — информация фундаментальнее геометрии.

Но остаются вопросы. Как перейти от AdS к реальному миру с положительной космологической постоянной? Как получить конкретные параметры Стандартной модели? Что такое М-теория на фундаментальном уровне?

В следующей главе мы доведём голографический принцип до логических пределов. Увидим, как квантовые коды исправления ошибок порождают AdS-геометрию, как сложность вычислений связана с объёмом за горизонтом, и как парадокс информации в чёрных дырах решается через «острова запутанности». А затем вернёмся к исходному тезису и покажем, как вся цепочка от квантовой информации через симметрии и поля до струн и голографии складывается в единую картину реальности, где геометрия, материя и силы оказываются разными уровнями описания фундаментальной информационной структуры.

Глава 9. Голография как вычислительная машина: от корреляторов до энтропии и островов

В прошлой главе мы увидели, как дуальности сшивают разные струнные теории в единую картину, а голография превращает калибровочную теорию на границе в гравитацию в объёме. Теперь время практики. Как именно использовать эту эквивалентность для вычисления того, что в режиме сильной связи казалось неприступным? Как энтропия запутанности буквально становится площадью? Как из малых вариаций энтропии рождаются уравнения Эйнштейна? И наконец, как современная голография решает парадокс информации в чёрных дырах через загадочные «острова запутанности»?

Мы пройдём путь от абстрактного словаря соответствия до конкретных вычислений, которые можно сравнить с экспериментом. Увидим, как геометрия становится способом кодирования квантовой информации, и как этот взгляд проливает свет на самые глубокие вопросы квантовой гравитации.

Словарь соответствия: от полей к операторам

Начнём с того, как именно работает машинерия AdS/CFT. Пусть в пространстве $AdS_{d+1}$ живёт скалярное поле массы . Голографический словарь утверждает: этому полю соответствует оператор $\mathcal{O}(x)$ на границе с конформной размерностью:

$\Delta = \frac{d}{2} + \sqrt{\frac{d^2}{4} + m^2L^2}$

где — радиус AdS. Эта формула не произвольна — она следует из требования, чтобы поле правильно убывало на границе AdS.

Теперь ключевое соотношение. Классическое действие в объёме, вычисленное на решении с заданными граничными условиями $\phi_0(x)$ , равно производящему функционалу корреляторов оператора $\mathcal{O}$ на границе:

$Z_{\text{bulk}}[\phi \to \phi_0] = \left\langle \exp\left(\int d^dx\, \phi_0(x)\mathcal{O}(x)\right)\right\rangle_{\text{CFT}}$

Это соотношение Губсера-Клебанова-Полякова-Виттена (ГКПВ) — сердце практической голографии. Что оно означает на практике? Чтобы вычислить корреляционную функцию $\langle\mathcal{O}(x)\mathcal{O}(y)\rangle$ в сильносвязанной теории поля, мы решаем обычное классическое уравнение для поля $\phi$ в AdS с правильными граничными условиями, затем берём вторую вариацию классического действия по граничным значениям.

Проговорим это иначе. На границе у нас квантовая система с сильными флуктуациями, где теория возмущений не работает. В объёме — классическое поле на гладкой геометрии, где можно решать дифференциальные уравнения. AdS/CFT превращает невычислимое в вычислимое, меняя квантовую задачу на классическую геометрическую.

Транспорт и универсальная вязкость

Одно из самых впечатляющих предсказаний голографии касается гидродинамики. Кварк-глюонная плазма, создаваемая на коллайдерах RHIC и LHC, ведёт себя как почти идеальная жидкость с удивительно малой вязкостью. Голография объяснила почему.

В любой теории с гравитационным дуалом отношение сдвиговой вязкости к плотности энтропии ограничено снизу:

$\frac{\eta}{s} \geq \frac{1}{4\pi}$

Для теорий с простым супергравитационным дуалом достигается равенство. Это универсальное число, не зависящее от деталей теории!

Откуда берётся это соотношение? На стороне гравитации вязкость связана с поглощением гравитационных волн чёрной дырой в AdS. Формула Кубо связывает коэффициент переноса с корреляторами тензора энергии-импульса, а те вычисляются через классические решения в объёме. Результат — простое геометрическое вычисление даёт универсальный ответ.

На стороне теории поля это результат суммирования бесконечного числа диаграмм Фейнмана в режиме сильной связи — задача, которую невозможно решить обычными методами. Голография делает это в несколько строк.

Удивительно, что измеренное отношение $\eta/s$ для кварк-глюонной плазмы оказалось близко к теоретическому пределу $1/(4\pi)$ . Это число не подгонялось под эксперимент — оно было предсказано из чистой математики голографии, а потом обнаружено в природе.

Петли Вильсона и конфайнмент

Рассмотрим тяжёлую пару кварк-антикварк в калибровочной теории. Их потенциал взаимодействия выражается через петлю Вильсона — след от упорядоченной экспоненты калибровочного поля вдоль контура. В голографии петле Вильсона соответствует фундаментальная струна в AdS, концы которой закреплены на границе в точках, где находятся кварки.

Значение петли Вильсона даётся как:

$W(C) = \exp(-S_{\text{string}})$

где $S_{\text{string}}$ — площадь минимального мирового листа струны, натянутого на контур .

В чистом AdS струна провисает в объём, давая кулоновский потенциал $V(r) \sim 1/r$ на малых расстояниях. Но если геометрия имеет «горловину» (как в моделях конфайнмента), струна не может провиснуть глубже определённого радиуса. На больших расстояниях она вытягивается вдоль горловины, давая линейный потенциал $V(r) \sim \sigma r$ — это и есть конфайнмент, невозможность разделить кварки.

Снова видим паттерн: сложная многочастичная квантовая задача в теории поля становится простой геометрической задачей о минимальных поверхностях.

Энтропия запутанности как площадь

Теперь перейдём к одному из самых глубоких следствий голографии — геометрической формуле для энтропии запутанности. Если в теории на границе выделить область , её энтропия запутанности с остальной системой даётся формулой Рю-Такаянаги:

$S(A) = \frac{\text{Area}(\gamma_A)}{4G_N} + S_{\text{bulk}}(\text{клин}(A))$

Здесь $\gamma_A$ — экстремальная поверхность в объёме, натянутая на границу области (в статическом случае это минимальная поверхность). Второй член — квантовая энтропия полей внутри «энтропийного клина» области . В классическом пределе остаётся только первый член — чистая геометрия.

Эта формула буквально говорит: биты запутанности записаны на геометрии пространства-времени. Чем сильнее запутанность, тем больше площадь соответствующей поверхности в объёме.

Для зависящих от времени ситуаций Хубени, Рангамани и Такаянаги обобщили формулу, заменив минимальную поверхность на экстремальную. Это позволяет следить за динамикой запутанности через эволюцию геометрии.

Энтропия запутанности измеряет, сколько информации мы теряем, если имеем доступ только к подсистеме . Голография отвечает: посмотрите на минимальную поверхность в объёме — она и есть «бутылочное горлышко» для информационных потоков между и её дополнением.

От термодинамики запутанности к уравнениям Эйнштейна

Фундаментальное открытие последних лет: малые вариации энтропии запутанности приводят к линеаризованным уравнениям Эйнштейна. Работы Фолкнера, Льюковича, Ранадо, Ван Рамсдонка и других показали удивительную связь.

В квантовой теории поля для любой области выполняется первый закон термодинамики запутанности:

$\delta S_A = \delta\langle K_A\rangle$

где — модульный гамильтониан области (генератор эволюции в «термальном времени» подсистемы). Если этот закон выполнен для всех областей на границе, то в объёме автоматически должны выполняться линеаризованные уравнения Эйнштейна для возмущений метрики.

Почему? Потому что иначе формула Рю-Такаянаги при малых вариациях даст неправильный ответ для изменения энтропии. Геометрия обязана подстраиваться так, чтобы сохранить согласованность с квантовой информацией на границе.

Скажем это по-другому: информационная термодинамика на границе диктует упругие свойства пространства-времени в объёме. Линеаризованные уравнения Эйнштейна — не постулат, а условие согласованности голографического соответствия.

Гравитация как квантовый код

Формула Ялом-Льюковича-Малдасены-Сасскинда (JLMS) идёт дальше, показывая, что голография работает как квантовый код исправления ошибок. В кодовом подпространстве модульный гамильтониан граничной области равен:

$K_A = K_{\text{bulk}} + \frac{\text{Area}(\gamma_A)}{4G_N} + \ldots$

где $K_{\text{bulk}}$ — модульный гамильтониан соответствующего клина в объёме.

Это означает, что информация о состоянии в объёме распределена по границе избыточным образом — как в квантовых кодах, защищённых от ошибок. Локальная потеря информации на границе не уничтожает информацию об объёме — она может быть восстановлена из других перекрывающихся областей.

Биты запутанности можно представить как «нити» (bit threads), протянутые через объём. Площадь RT-поверхности — это максимальный поток таких нитей через разрез. Геометрия кодирует не просто количество информации, но и структуру её распределения.

Граница хранит сведения об объёме избыточно и геометрично. Это не метафора, а точное математическое утверждение о структуре гильбертова пространства и действии операторов.

Парадокс информации и острова запутанности

Старый парадокс Хокинга гласил: если чёрная дыра испаряется термально, энтропия излучения должна монотонно расти, пока дыра не исчезнет. Но унитарность требует, чтобы после половины испарения (время Пейджа) энтропия начала убывать — вся информация должна выйти наружу. Где ошибка?

Прорыв 2019 года показал, как голографические идеи решают парадокс. Правильная формула для энтропии излучения использует квантовые экстремальные поверхности:

$S_{\text{rad}}(t) = \min_{\mathcal{I}}\, \text{ext}\left\{\frac{\text{Area}(\partial\mathcal{I})}{4G_N} + S_{\text{bulk}}(\text{rad} \cup \mathcal{I})\right\}$

Ключевая идея: мы разрешаем включать в подсчёт энтропии «острова» $\mathcal{I}$ — области внутри чёрной дыры, которые квантово запутаны с излучением снаружи. Выбирается та конфигурация островов, которая даёт экстремум и минимум полной энтропии.

На ранних стадиях испарения оптимальная конфигурация — «без островов», и энтропия растёт. После времени Пейджа включение островов даёт меньшую энтропию. Площадь границы острова (часть горизонта чёрной дыры) входит в формулу как $\text{Area}/(4G_N)$ — именно это заставляет энтропию поворачивать вниз и падать к нулю к концу испарения.

Кривая Пейджа появляется автоматически из конкуренции двух вкладов: энтропии излучения без островов (растёт со временем) и площади границы островов (убывает по мере испарения дыры). Переключение между режимами происходит именно в нужный момент.

Острова — это не ad hoc добавка, а следствие правильного применения голографических принципов к испаряющейся геометрии. Информация не теряется — она перераспределяется между излучением и островами способом, согласованным с унитарностью.

Голография и теория всего

Вернёмся к главной линии статьи. Как голография вписывается в общую картину, где квантовая информация порождает геометрию и гравитацию?

Квантовая информация задаёт базовые правила: линейность, унитарность, правило Борна, композитность систем. Симметрии этих правил дают квантовые числа — массу, спин, заряды. Локальность симметрий требует калибровочных полей. Квантовая теория поля обеспечивает причинность и ренормгруппу. Двумерная конформная симметрия на мировом листе струны порождает уравнения гравитации в пространстве-времени.

Голография замыкает круг, показывая, что геометрия пространства-времени — это способ кодирования квантовой запутанности. Площади кодируют энтропию, геодезические — корреляционные функции, кривизна — сложность паттернов запутанности. Уравнения Эйнштейна оказываются условиями согласованности квантовой информации.

Мы не постулируем гравитацию — она emerge из требований согласованности информационных законов. AdS/CFT даёт конкретную математическую реализацию этой идеи, превращая философский тезис в вычислительную машину.

За пределами AdS

Нужно признать ограничения. Мы работали в основном с AdS-геометриями, где голография наиболее развита. Наша Вселенная космологически ближе к пространству де Ситтера с положительной космологической постоянной. Полноценная dS/CFT голография ещё не построена с той же степенью детализации.

Мы не касались вопроса «почему именно Стандартная модель» — какие принципы выбирают конкретные калибровочные группы и представления материи. Здесь важны компактификации, топологические инварианты, условия отсутствия аномалий и ограничения квантовой гравитации (swampland program).

Мы обошли стороной современный язык on-shell амплитуд, который удивительно резонирует с дуальностями и даёт новые способы вычислений. Связи типа «квадрат Янга-Миллса даёт гравитацию» (KLT, BCJ) заслуживают отдельного изложения.

Уроки голографии

Голография учит нас трём ключевым вещам. Во-первых, она даёт практический метод вычислений там, где обычная теория возмущений бессильна. Корреляторы, транспортные коэффициенты, фазовые переходы — всё это становится вычислимым через классическую геометрию.

Во-вторых, она показывает, что запутанность и геометрия — две стороны одной медали. Энтропия становится площадью, термодинамика запутанности порождает уравнения Эйнштейна, квантовые коды определяют причинную структуру.

В-третьих, она решает концептуальные парадоксы — от природы горизонтов чёрных дыр до судьбы информации при испарении. Острова запутанности восстанавливают унитарность, не нарушая локальности.

В этой оптике больше нет спора о том, что первично — материя или геометрия. Есть единая цепочка: информация порождает симметрии, симметрии требуют полей, поля организуются конформной инвариантностью, струны обеспечивают УФ-полноту, а голография показывает, что всё это — разные языки описания квантовой информации.

В заключительной главе мы соберём весь маршрут «От нуля к герою» в единую карту. Проследим, как каждый уровень описания вырастает из предыдущего, отметим открытые вопросы и наметим пути их решения. И обсудим, какие экспериментальные тесты — от оптомеханических систем до аналоговой гравитации в конденсированных средах — могут проверить эту грандиозную картину единства физики.

Глава 10. Итог и программа проверок: как «информация → гравитация» превращается в науку

Мы прошли длинную дугу: от событий и амплитуд до симметрий, от калибровок и теории поля к двумерной конформности, от струны как мироволоконной CFT к дуальностям, М-картине и голографии, где геометрия выступает как организация квантовой информации. В этой главе я не просто подытожу, а зафиксирую рабочий каркас и набор проверяемых следствий. Иными словами, превращу маршрут «From Zero to Hero» в программу исследований, в которой ясно, что именно считать, где искать противоречия и какие блоки мы сознательно оставили за бортом.

Сборка каркаса — узлы логической цепи

Начнём с операционной квантовой механики. Состояния — векторы или матрицы плотности, измерения — POVM, вероятность вычисляется как $p(i) = \text{tr}(\rho E_i)$ . Линейность эволюции, математически выраженная через унитарность, — это форма сохранения вероятности. Декогеренция переводит амплитуды в классическую статистику в указательном базисе — том самом, где мы видим определённые исходы вместо квантовых интерференций.

Следующий узел — симметрии и квантовые числа. Непрерывные симметрии реализуются унитарными операторами, как показали Вигнер и Стоун: $U(\theta) = e^{-i\theta G/\hbar}$ . Группа Пуанкаре даёт два казимира — и , которые определяют массу и спин (или геличность для безмассовых частиц). Вращения, описываемые группами SO(3) и её двойным накрытием SU(2), приводят к дискретным спектрам проекции углового момента и объясняют полуцелый спин. Масса и спин — не вещи внутри частиц, а метки представлений группы симметрий.

Калибровка становится геометрией. Глобальная фаза безобидна, но локальная — зависящая от точки — требует связности $A_\mu$ и ковариантной производной $D_\mu = \partial_\mu + (iq/\hbar c)A_\mu$ . Коммутатор ковариантных производных даёт кривизну, напряжённость поля: $[D_\mu, D_\nu] = (iq/\hbar c)F_{\mu\nu}$ . На языке форм это записывается как и тождество Бьянки , откуда — уравнения Максвелла. Заряд оказывается ярлыком суперселекционного сектора, а его дискретность связана с топологическими инвариантами — числами Черна, потоками через монополи Дирака.

Теория поля объединяет всё в действие и правила вычислений. Амплитуды — это $\int \mathcal{D}\Phi\, e^{iS[\Phi]/\hbar}$ , суммирование по всем конфигурациям полей. Симметрии действия порождают сохраняющиеся токи Нётер с уравнением непрерывности $\partial_\mu J^\mu = 0$ . Ward-тождества охраняют калибровку и причинность на квантовом уровне — без них рушится поперечность фотона и возникают нефизические степени свободы. Ренормгруппа описывает бег констант связи с масштабом через бета-функцию $\beta(g) = \mu\,\partial g/\partial\mu$ , а её фикс-точки соответствуют конформным теориям без выделенного масштаба.

Двумерная конформная теория поля — вход в струну. Алгебра Виразоро с её центральным зарядом задаёт структуру: $[L_m, L_n] = (m-n)L_{m+n} + (c/12)m(m^2-1)\delta_{m+n,0}$ . Первичные поля характеризуются конформными размерностями $(h, \bar{h})$ , операторные разложения (OPE) дают таблицу умножения полей, а модульная инвариантность статистической суммы на торе — это тест согласованности всей конструкции.

Мировой лист струны должен быть конформной теорией поля. Баланс центральных зарядов материальных полей и духов даёт $c_{\text{total}} = 0$ , что фиксирует критическую размерность пространства-времени: для бозонной струны, для суперструны. Бета-функции нелинейной сигма-модели должны обращаться в ноль, что приводит к уравнениям движения для фоновых полей: $\beta^G \sim R_{\mu\nu} + \ldots = 0$ . Конформная инвариантность на мировом листе порождает уравнения Эйнштейна в пространстве-времени! D-браны добавляют новую структуру: калибровочные поля живут на бранах, гравитация распространяется в объёме.

Дуальности сшивают разные описания в единую картину. T-дуальность меняет большой радиус компактификации на малый: $R \leftrightarrow \alpha'/R$ , одновременно обменивая импульсные и намоточные моды $n \leftrightarrow w$ . S-дуальность обменивает слабую и сильную связь: $g_s \leftrightarrow 1/g_s$ . Тип IIB самодуален. U-дуальности после компактификации объединяют оба типа преобразований в большие дискретные группы симметрий.

Сильная связь IIA открывает одиннадцатое измерение: радиус нового измерения пропорционален константе связи, $R_{11} = g_s l_s$ . В этом пределе теория становится одиннадцатимерной супергравитацией — низкоэнергетическим пределом М-теории. Все пять десятимерных суперструн оказываются разными проекциями этой единой одиннадцатимерной структуры.

Голография замыкает круг. Рецепт GKP/W связывает производящий функционал граничной теории с классическим действием в объёме: $Z_{\text{bulk}}[\phi_0] = \langle \exp(\int \phi_0 \mathcal{O})\rangle_{\text{CFT}}$ . Энтропия перепутывания на границе равна площади экстремальной поверхности в объёме плюс квантовые поправки: $S(A) = \text{Area}(\gamma_A)/(4G_N) + S_{\text{bulk}}$ . Вариации этой формулы в сочетании с первым законом энтропии $\delta S = \delta\langle K\rangle$ приводят к линейному уравнению Эйнштейна в объёме. Формула JLMS показывает: модульные гамильтонианы совпадают в кодовом подпространстве — гравитация работает как код.

Лента Мёбиуса физики

Склейка всех узлов образует единую логическую ленту. Квантовая информация порождает симметрии как структуру согласованных преобразований. Симметрии требуют локальных полей. Поля организуются требованием конформности. Конформность на мировом листе ведёт к струнам. Струны обеспечивают УФ-полноту. Дуальности показывают единство разных описаний. Голография замыкает круг, показывая, что геометрия — это организация перепутывания, а уравнения Эйнштейна — условия согласованности энтропии.

Квантовая информация в начале и геометрия в конце оказываются двумя сторонами одной ленты Мёбиуса. Пройдя весь путь, мы возвращаемся к исходной точке, но видим её с другой стороны.

Что мы сознательно не включали в базовый трек

Полная математика двумерной CFT — вертексные операторные алгебры, тензорные категории, модулярные функторы — нужна для строгих доказательств, но не для физического словаря.

Супергравитация и компактификации в деталях — многообразия Калаби-Яу, числа Ходжа, топологические струны — нужны для построения феноменологии Стандартной модели из струн, но не для базовой логики.

Он-шелл амплитуды — BCFW-рекурсии, соотношения KLT/BCJ, показывающие, что «YM² → GR», — мощный альтернативный язык, достойный отдельного приложения.

Альтернативные безфоновые программы — петлевая квантовая гравитация, причинная динамическая триангуляция, причинные множества — важны для онтологии и сравнения; к нашему каркасу пристраиваются через инфослой и возможные голографические связи.

Полная космология де Ситтера — dS/CFT, чистый голографический словарь для положительной космологической постоянной — открытая область. Принципы RT/QES, коды и перепутывание постепенно переносятся и сюда, но не с той же отлаженностью, что в AdS.

Иными словами, скелета достаточно для логики «информация порождает гравитацию» и для практики голографических расчётов. За остальным мы сознательно пойдём позже — там другие цели.

Что проверить и как это опровергнуть

Сильные тезисы должны уметь быть опровергнутыми. Давайте зафиксируем точки фальсификации.

Любая воспроизводимая нелинейная квантовая эволюция или управляемая постселекция, позволяющая «выбирать ветви», ломает узел А. Тогда «информация порождает геометрию» в нашей форме неприменима.

Стабильное обнаружение жёстких нарушений лоренц-инвариантности на низких энергиях, не объяснимых спонтанным нарушением или средой, противоречит узлам о симметриях и теории поля.

Нарушение голографических неравенств — RT/HRT, JLMS, QNEC, сильной субаддитивности — в системах, где должен работать квазиклассический предел (крупное , хорошие фоновые AdS-геометрии), разрушит узел H.

Наблюдаемая эволюция энтропии излучения чёрной дыры, несовместимая с QES-формулой (островами) при тех же предпосылках, — прямой удар по энтропийной гравитации.

Явная экспериментальная подпись тяжёлых неконтролируемых УФ-расходимостей в гравитационном секторе — проблема для узла F, где струнный УФ-каркас предполагает их отсутствие или контроль.

Где искать подтверждения уже сегодня

Гравитационно-волновая космология открывает новые окна. LISA в миллигерцовом диапазоне и сети пульсарного тайминга в наногерцовом будут тестировать дисперсию, эффекты памяти, спектр стохастических фонов. Даже нулевые ограничения срезают классы нелокальностей и модификаций.

Поляризация CMB и тонкие статистики. LiteBIRD, CMB-S4: первичные B-моды, ранние энтропийные эффекты, ограничения на тихие динамики тёмной энергии, включая стохастические сценарии $\Lambda(t)$ .

Оптомеханика и макроинтерференция. Левитированные наночастицы, интерференция массивных кластеров, тесты GRW/CSL/DP: закрытие окон для объективных коллапсов, замеры гравитационно индуцированного декогерирования.

Квантовые симуляторы и аналоговая голография. Холодные атомы, решёточные CFT, спиновые сети, фотонные чипы для проверки RT-подобных законов перепутывания, бит-нити как оптимальные потоки в тензорных сетях.

Транспорт в сильносвязанных средах. Вязкость $\eta/s$ , диффузии, предел хаоса $\lambda_L \leq 2\pi T/\hbar$ — голографические предсказания против данных по QGP и странным металлам.

Это не мечты — это активные линии, где наш каркас подаёт конкретные числа или, по крайней мере, неравенства.

Частые вопросы

Зачем вообще двумерная CFT? Потому что только она делает мироволоконную теорию самосогласованной через баланс центрального заряда и принуждает фон к уравнениям движения через бета-функции.

Почему «геометрия = информация» не метафора? Потому что $S(A) = \text{Area}(\gamma_A)/(4G) + S_{\text{bulk}}$ и JLMS — это точные утверждения в классе фонов; их вариации дают уравнения Эйнштейна.

Теория струн объясняет конкретные числа Стандартной модели? В рамках компактификаций даёт решётки зарядов, нормировки и запреты через аномалии и механизм Грина-Шварца. Полная селекция вакуума открыта, но многое — интегральность, отсутствие глобальных симметрий, completeness, WGC — уже жёстко фиксируется требованиями квантовой гравитации.

Где роль сознания? На уровне физики — в выборе POVM и в декогеренции: какие амплитудные ветви становятся фактами. Никаких дополнительных динамических кнопок для браузинга ветвей стандартная теория не даёт; зато информационный слой объясняет, почему волна — это карта вероятностей событий, а не вещь.

Что писать на доске — концентрат идей

События и амплитуды: $p(i) = |\langle i|\psi\rangle|^2$ , декогеренция заглушает внедиагонали матрицы плотности.

Симметрии: $U(\theta) = e^{-i\theta G/\hbar}$ , группа Пуанкаре даёт массу и спин через казимиры.

Калибровка: $D_\mu = \partial_\mu + (iq/\hbar c)A_\mu$ , коммутатор даёт $[D_\mu, D_\nu] = (iq/\hbar c)F_{\mu\nu}$ , в формах .

Нётер и Ward: $\partial_\mu J^\mu = 0$ , поперечность фотона, кластерность и локальность.

Двумерная CFT: Виразоро, первичные $(h, \bar{h})$ , OPE, модульность.

Струны: $c_{\text{total}} = 0$ даёт для суперструны; $\beta^G \sim R_{\mu\nu} + \ldots = 0$ .

Дуальности: $R \leftrightarrow \alpha'/R$ ; $g_s \leftrightarrow 1/g_s$ ; $R_{11} = g_s l_s$ .

Голография: $Z_{\text{bulk}}[\phi_0] = \langle e^{\int \phi_0 \mathcal{O}}\rangle$ ; $S = \text{Area}/(4G) + S_{\text{bulk}}$ ; $\delta S = \delta\langle K\rangle \Rightarrow$ линейный Эйнштейн.

Если эти восемь строк держатся в руке, вся логическая трасса видна.

Послесловие

Я начал этот текст с детской привычки вглядываться в формулы, пока они не начнут светиться. К завершению статьи светят уже не отдельные символы, а переходы между уровнями: как амплитуда превращается в вероятность, как симметрия становится зарядом, как локальность рождает поле, как двумерная конформность дисциплинирует фон, как требование согласованности подталкивает геометрию к уравнениям, как перепутывание рисует площадь, а код держит мир от распада.

Это не «моя» теория всего, это каркас — минимальный, но цельный. Его сила в том, что каждый узел можно просчитать или опровергнуть: от холодного атомного чипа до гравитационной антенны. Его слабость — в честности: там, где у нас ещё нет полного словаря (де Ситтер, выбор вакуума, тонкая структура Стандартной модели), он об этом прямо говорит.

Если вы дочитали до этого места, у нас, похоже, действительно общий язык. Дальше — работа: считать, спорить, проверять, учить. И не забывать, что за каждой формулой стоит не только цифра, но и жест — как именно мы связываем смыслы.

Спасибо, что прошли эту тропу.

Действительно ли это «теория всего»?

Теперь, когда мы прошли весь путь от квантовых амплитуд до голографии, стоит честно ответить на вопрос: соответствует ли содержание статьи её названию? И что здесь действительно ново?

Да, содержание соответствует заявке «From Zero to Hero», но это не «единственный лагранжиан Вселенной». Мы не вывели уникальные числовые константы Стандартной модели, не выбрали однозначный вакуум из струнного ландшафта и не дали полную голографию для пространства де Ситтера. То, что мы собрали — это минимальный направленный каркас, где операционные аксиомы квантовой информации через цепочку логических требований приводят к симметриям, полям, конформности, струнам и голографии, где геометрия оказывается способом организации квантовой запутанности.

Коротко можно сформулировать так: теория всего в нашем смысле — это минимальный и проверяемый путь от операционных законов квантовой информации к гравитации и геометрии, где каждая надстройка логически требуется предыдущими узлами и оставляет конкретные наблюдаемые следы. Это не единственная формула, а направляющий граф понятий с программой проверок.

На что мы опираемся? На устоявшуюся основу: операционные реконструкции квантовой механики (Hardy, Chiribella-Д'Ариано-Перинотти, Masanes-Мюллер), классификацию Вигнера для симметрий, калибровочную теорию от Вейля до Янга-Миллса, суперселекционные секторы DHR, квантовую теорию поля с ренормгруппой, двумерную конформную теорию поля, струнную теорию с дуальностями и М-теорией, голографию Малдасены и всю программу «энтропия-площадь» от Рю-Такаянаги до островов Пейджа.

Что мы сделали по-новому? Не открыли новую физику, а провели единую инфо-первую линию, где каждый шаг логически мотивирован предыдущим. Обычно эти куски живут в разных сообществах — инфо-теоретики, специалисты по теории поля, струнники, голографы — редко говорят единым языком. Мы явно разложили деривационный стек для квантовых чисел: от казимиров Пуанкаре через суперселекции и топологию к аномалиям и запрету глобальных симметрий в квантовой гравитации. Мы сформулировали фальсификаторы — конкретные условия, при которых каркас рухнет — и экспериментальную карту проверок. Мы честно обозначили зону неизвестности.

Где мы идём под сдвинутым углом? Тезис «гравитация следует из квантовой информации» подтверждён в широком классе AdS-подобных фонов через RT/HRT, JLMS и производные работы. Вне AdS — в реалистическом де Ситтере — словарь ещё не доведён до той же строгости. Мы опираемся на декогеренцию и операционные аксиомы, не вводя объективных коллапсов — для сторонников других интерпретаций это выбор. Местами мы говорим языком алгебраической теории поля, что менее привычно в струнном дискурсе, но методологически корректно.

Другими словами: это не новая микроскопическая теория, а новая целостная формулировка уже известных теорий как проверяемого маршрута, где «информация» — не украшение, а первая строка аксиоматики, а «струны и голография» — последние несущие балки, без которых УФ-целостность и «геометрия из энтропии» не замыкаются. В таком виде, с явными узлами, фальсификаторами и экспериментальной картой, подобных обзоров мало даже в англоязычной литературе. Ближайший по духу — программа It from Qubit, но там нет такой сшивки с учебной линией от квантовой механики через теорию поля к струнам.

Это теория-сшивка, framework, а не окончательная формула. Но по уровню целостности и проверяемости она на голову выше обычных манифестов. Каждое плечо — учебник с огромной эмпирической и математической опорой. Мы даже сформулировали фальсификаторы и экспериментальные треки. Для статьи с таким названием это честный и современный стандарт: теория всего как направляющий граф понятий плюс программа проверок.

Комментарии (2)

Tzimie
11.11.2025 16:43
#29095666
Все хорошо, но М теория известна уже давно... Но вместо фанфар мы слышим разочарование, что теория струн зашла в тупик и это неправильное направление. Вы можете ответить эту тему?