Вернёмся к уравнению колебаний шара на пружине

В одной из первых статей цикла мы сначала вывели формулу для колебательного движения шара

$$

А затем нашли уравнение движения, для которого эта формула была решением

$$

Здесь
• d²z/dt² обозначает изменение по времени изменения по времени z(t).
• K – сила пружины, М – масса шара, z₀ — равновесное положение.
• ? = v K/M / 2?

Ключевым шагом для получения последнего уравнения частоты, выраженной через К и М был подсчёт d²z/dt² для колебательного движения шара z(t) = z₀ + A cos [ 2 ? ? t ]. Мы нашли, что

$$

Уравнение движения волн

Теперь мы хотим сделать то же самое для волн. Мы нашли формулу для формы и движения волны, колеблющейся как в пространстве, так и во времени.

$\$\$display\$\$\; Z(x,t)\; =\; Z\_0\; +\; A\; cos\; (2?\; [?\; t\; –\; x/?])\; =\; Z\_0\; +\; A\; cos\; (2?\; [t/T\; –\; x/?])\; \$\$display\$\$$

Среди решений какого уравнения движения есть такая формула? Можно представить себе ответ. Очевидно, в него входят:

1. d²Z/dt², изменение по времени изменения по времени Z(x,t).
2. d²Z/dx², изменение в пространстве изменения в пространстве Z(x,t).

Естественным образом мы можем догадаться, что уравнение должно выглядеть как-то так:

$$

Где C_t, C_x и C₀ – константы. Отмечу, что если Где C_t = 1, C_x = 0, а C₀ = -K/M, вы вернёмся к уравнению колебания шара на пружине. Какие же это константы в нашем случае?

Мы всегда можем положить C_t = 1. Если бы вы захотели, допустим, положить C_t = 5, я бы просто попросил вас разделить всё уравнение на 5, что и дало бы вам эквивалент варианта, в котором C_t = 1, просто с другими значениями остальных констант.

После этого оказывается, что значения C_x и C₀ оказываются разными в различных физических системах. Мы изучим два разных класса волн, отличающихся разными константами.

У обеих классов C_x будет отрицательным, $$ (здесь c_w обозначает скорость перемещения высокочастотных волн).

Различаться эти классы будут тем, что у первого класса, Класс 1, C₀ будет отрицательным, и будет равняться –(2 ? ?)2, а у второго, Класс 0, C₀ будет равно нулю.

Исследуем теперь свойства волн двух этих классов уравнений. Но до этого нужно провести ещё одно вычисление, которое мы уже делали ранее.

Быстрый подсчёт

Для нашей бесконечной волны

$\$\$display\$\$\; Z(x,t)\; =\; Z\_0\; +\; A\; cos\; (2?\; [?\; t\; –\; x/?])\; =\; Z\_0\; +\; A\; cos\; (2?\; [t/T\; –\; x/?])\; \$\$display\$\$$

Нам нужно будет знать d²Z/dt² и d²Z/dx². В предыдущей статье мы уже показали, что для шара на пружине, движущегося согласно z(t) = z₀ + A cos [ 2 ? ? t ], получается, что $$. Изменение по времени даёт нам множитель 2 ? ?, а изменение по времени изменения по времени даёт нам два множителя. Кроме того, тут есть общий знак минуса. Поэтому вас не удивит, что:

• $$
• $$

Каждое изменение по времени даёт нам множитель ? = 1/T (чем больше период, тем медленнее идёт изменение по времени), а каждое изменение в пространстве даёт нам множитель 1/? (чем длиннее волна, тем медленнее изменение в пространстве).

Доказательство

Для бесконечной волны у нас есть основное уравнение

$\$\$display\$\$\; Z(x,t)\; =\; Z\_0\; +\; A\; cos\; (2?\; [?\; t\; –\; x/?])\; =\; Z\_0\; +\; A\; cos\; (2?\; [t/T\; –\; x/?])\; \$\$display\$\$$

И мы хотим показать, что

$$

$$

Несколько фактов:

• Z – Z₀ = A cos (2? [? t – x/?]) (просто в основном уравнении перенесли Z₀ в левую часть)
• Поскольку Z₀ — константа, не зависящая от времени и пространства, dZ₀/dt = 0 and dZ₀/dx = 0.
• d(cos t)/dt = – sin t, и d(sin t)/dt = + cos t
• d(F[a t +b x])/dt = a d(F[a t +b x])/d(a t+ b x), где a и b – константы, а F – любая функция от (a t + b x).
• d[A f(t)]/dt = A d[f(t)]/dt, где f(t) – любая функция от t, а A — константа

Всё вместе это означает, что:

$\$\$display\$\$\; dZ/dt\; =\; d[\; A\; cos\; (2?\; [?\; t\; –\; x/?])\; ]\; /dt=\; A\; d[\; cos\; (2?\; [?\; t\; –\; x/?])\; ]\; /dt\; \backslash \backslash \; =\; A(2?\; ?)\; d[\; cos\; (2?\; [?\; t\; –\; x/?])\; ]/d(2?\; [?\; t\; –\; x/?])\; =\; -(2?\; ?)\; A\; sin\; (2?\; [?\; t\; –\; x/?])\; \$\$display\$\$$

и

$\$\$display\$\$\; d^2Z/dt^2\; =\; d[-(2?\; ?)A\; sin\; (2?\; [?\; t\; –\; x/?])]/dt\; =\; \backslash \backslash \; -(2?\; ?)A\; d[sin\; (2?\; [?\; t\; –\; x/?])]/dt\; =\; \backslash \backslash \; -(2?\; ?)^2\; A\; cos\; (2?\; [?\; t\; –\; x/?])\; =\; -(2?\; ?)^2\; (Z\; –\; Z\_0)\; \$\$display\$\$$

Поскольку основная формула для волны не изменится при замене (? t) на (-x/?), вычисление d²Z/dx² не отличается от вычисления d²Z/dt², просто вместо d/dt, дающего множитель (2? ?), у нас будет d/dx, дающий множитель (- 2?/?). Но, поскольку в ответе есть два таких множителя, мы просто заменим (2? ?) ² на (- 2?/?) ² = (+2?/?) ²; минус значения не имеет (общий минус в сложении остаётся). Как нам и требовалось доказать,

$$

Мелкий шрифт: все указанные выше производные на самом деле являются частными производными.

Класс 0: волны любой частоты и равных скоростей

В этом классе волн уравнение движения будет таким:

$$

Подключив формулу Z(x,t) для бесконечной волны и используя только что сделанные нами подсчёты, мы находим, что:

$\$\$display\$\$\; –\; (2\; ?\; ?)^2\; (Z\; –\; Z\_0)\; –\; (-c\_w^2)\; (2\; ?\; /\; ?)^2\; (Z\; –\; Z\_0)\; =\; 0\; \$\$display\$\$$

Поделим уравнение на $$, мы получим

$$

Поскольку частоты, скорости и длины волн положительные, можно извлечь корень и получить

? = c_w/?, или, если хотите, ? = c_w/? = c_w T

Из этой формулы мы узнаём, что:

• Изначально у нашей волны, так, как мы её записали, могла быть любая частота и любая длина волны. Но уравнение движения заставляет их зависеть друг от друга. Для волн класса 0 можно выбрать любую частоту, но после этого длина волны определяется через ? = c_w/?.
• Все волны класса 0, вне зависимости от частоты, перемещаются со скоростью c_w. Это следует из формулы ? = c_w T и рис. 3 предыдущей статьи. Понаблюдайте, как волна проходит один цикл колебаний за время одного периода Т. Что происходит? Волна выглядит точно так же после Т, но каждый гребень сместился туда, где был его сосед – на расстояние ?. Это значит, что гребень передвигается на расстояние ? за время Т – одна длина волны за один период колебаний – и значит, что гребни движутся со скоростью ? / T = c_w. Это верно для всех частот и их периодов, и всех длин волн!
• Как и в случае с шаром на пружине, амплитуда А этих волн может быть любой, сколь угодно большой или малой. И это так для всех частот.

Класс 1: волны с частотой больше минимальной, с разными скоростями

Для этого класса волн наше уравнение движение будет таким:

$$

Подставив формулу Z(x,t) для бесконечной волны и использовав быстрое вычисление, указанное выше, мы найдём, что

$\$\$display\$\$\; –\; (2\; ?\; ?)^2\; (Z\; –\; Z\_0)\; –\; (-cw^2)\; (2\; ?\; /\; ?)^2\; (Z\; –\; Z\_0)\; =\; –\; (2\; ?\; ?)^2\; (Z\; –\; Z\_0)\; \$\$display\$\$$

Поделив уравнение на $$, мы получим

$$

Поскольку частоты, скорости и длины волн положительные, мы можем извлечь квадратный корень и получить

$$

Напомню, что y^1/2 — это то же самое, что vy.

Эта формула сильно отличается от формулы для волн класса 0, как и последствия её применения.

Во-первых, уравнение движения говорит о наличии минимально допустимой частоты. Поскольку (cw/?) ² всегда положительно,

$\$\$display\$\$\; ?\; =\; [\; (cw\; /\; ?)^2\; +\; ?^2\; ]^\{1/2\}\; ?\; ?\; \$\$display\$\$$

Чтобы приблизиться к ? = ?, необходимо увеличивать ?. Для очень больших длин волн частота приближается к ?, но меньше её стать не может. Для волн класса 0 это было не так. У них было ? = cw / ?, так что для них, чем больше вы делаете ?, тем сильнее ? приближается к нулю. Для волн класса 1 возможно любое значение ?, большее ?.

Во-вторых, мы нашли доказательство того, что у всех волн класса 0 скорость одинакова, но он не работает для волн класса 1. Единственный вариант, в котором он может сработать, если взять ? очень сильно больше, чем ?; для этого нам нужно сделать ? очень маленьким (и, соответственно, 1/ ? очень большим). В этом случае

$\$\$display\$\$\; ?\; =\; [\; (cw\; /\; ?)^2\; +\; ?^2\; ]^\{1/2\}\; ?\; cw\; /\; ?\; \$\$display\$\$$

То есть, на очень больших частотах и малых длинах волн у волн класса 1 будет примерно такое же соотношение между частотой и длиной волны, как у волн класса 0, поэтому по тем же причинам, что и волны класса 0, такие волны будут перемещаться со скоростью, (примерно) равной cw.

Что верно для волн обоих классов, так это то, что амплитуда А может быть любой, сколь угодно малой или большой, и не зависит от частоты.


Рис. 1. Для волн класса 0 и 1 уравнение движение даёт взаимосвязь между частотой, или периодом, и длиной волны, или 1/длину волны. На каждом из графиков показана взаимосвязь этих величин в зависимости от уравнения движения. Три графика показывают одно и то же, но построены они на разных переменных. Голубые линии относятся к волнам класса 0. Красные обозначают волны класса 1, скорость которых получается такой же на очень высоких частотах и малых длинах волн, когда они совпадают с голубыми линиями. Но на минимальной частоте ? (и с максимальным периодом 1/?), обозначенных зелёным, две кривые расходятся при увеличении длин волн.

Мелкий шрифт: возможно, вы заметили, что я немножечко схитрил. Я не подсчитывал скорость волн класса 1. Дело в том, что здесь притаился очень хитрый подвох. У волн класса 0 я подсчитывал их скорость, следя за перемещениями гребней. Это работает потому, что в классе 0 волны всех частот перемещаются на одной скорости. Но у класса 1, или у любого другого, где волны разной частоты перемещаются с разной скоростью, скорость реальной волны не задаётся скоростью перемещения её гребней! Оказывается, что гребни движутся быстрее, чем cw, но скорость волны получается меньше, чем cw. Чтобы это понять, необходимо использовать весьма неочевидную логику и разницу между «групповой» и «фазовой» скоростью. Я пока обойду этот подвох; просто хотел обратить ваше внимание на его существование, чтобы вы не получили неправильное представление.

Финальные комментарии по поводу классических волн

Можно найти много знакомых примеров волн класса 0, включая звук в воздухе, воде или металле (где cw – скорость звуковых волн в материале), свет, и другие электромагнитные волны (где cw = с в вакууме), и волны на верёвках или струнах, как на рис. 2 в предыдущей статье. Поэтому волнам класса 0 обучают в начальных курсах физики. Не могу привести примера волн класса 1 в обычной жизни, но вскоре мы увидим, что эти волны так же важны для Вселенной.

У нас есть удобная формула E = 2 ?² ?² A² M для энергии шара массы М на пружине. Формулы для других осцилляторов зависят от их природы, но их форма примерно такая же. Но в случае волн мы не упоминали их энергию. В частности из-за того, что мы для упрощения математики изучали волны с бесконечным числом гребней. Интуитивно понятно, что какая-то энергия должна храниться в движении и форме каждого гребня и впадины, и с бесконечным количеством гребней и впадин количество энергии в волне будет бесконечным. Это можно обойти двумя путями. Точные формулы зависят от типа волны, но давайте рассмотрим волны класса 0 на верёвке.

• Количество энергии на одну длину волны (хранящееся в промежутке между точкой x и точкой x + ?), конечно, и равно 2 ?² ?² A² M_?, где M_? — масса отрезка верёвки длиной ?.
• В реальности волны не бывают бесконечными. Как импульс из нескольких гребней и впадин, показанный на рис. 2 в прошлой статье, любая волна будет конечной, у неё будет конечное количество гребней и впадин. Если она протянется на длину L, то есть, у неё будет L/? гребней, тогда переносимая ей энергия будет равнятся 2 ?² ?² A² M_L, где M_L — масса отрезка верёвки длиной L. Это просто L/?, умноженное на энергию на одну длину волны.

Для волн, распространяющихся не по верёвкам, детали уравнений будут отличаться, но энергия на одну длину волны простой колебательной системы всегда будет пропорциональной ?² A².

В классе 1 существует очень интересная волна, которой не бывает в классе 0. Это случай, когда ? = ?, минимальному значению, а ? = бесконечности. В этом случае волна принимает вид

$$

Эта волна не зависит от x в любое время, то есть Z(x,t) будет константой по всему пространству, а Z колеблется во времени точно так, как шар на пружине с частотой ?. Такая стационарная волна, показанная на рис. 2, окажется очень важной в дальнейших рассуждениях.


Рис. 2

Квантовые волны

Для шара на пружине разница между классической и квантовой системой была в том, что в первом случае амплитуда могла принимать произвольные значения, как и энергия, а в квантовом случае амплитуда и энергия квантовались. Для любой похожей колебательной системы это работает таким же образом. Возможно, мы можем догадаться, что это выполняется и для волн…