Перевод статьи Стивена Вольфрама (Stephen Wolfram) "Dropping In on Gottfried Leibniz".

На протяжении многих лет меня интересовала личность Готфрида Лейбница, в частности из-за того, что он хотел создать что то на подобие Mathematica, Wolfram|Alpha и возможно даже A New Kind of Science но на три столетия раньше. Поэтому когда в недавнем прошлом я посетил Германию, то мне страстно захотелось побывать в его архивах в Ганновере.

Листая пожелтевшие от времени, но все еще прочные листы с его записями я чувствовал некоторую взаимосвязь — я пытался представить, о чем он думал когда писал их. Также я старался сопоставить содержимое записей с тем, что мы знаем сейчас — три столетия спустя.



Некоторые вещи в математике не меняются с течением времени — к примеру здесь Лейбниц записал разложение в ряд квадратного корня из двух (сам текст написан на латыни):



Или здесь Лейбниц попытался вычислить цепную дробь — и хотя здесь присутствует арифметическая ошибка, он тем не менее довел результат до конца (П — в его ранней нотации обозначало знак равенства).



А здесь вы можете видеть некоторые пункты из математического анализа, которые практически в таком виде можно встретить в современных учебниках.



Но в чем заключалась суть его основных работ? Над чем Лейбниц размышлял большую часть своего времени?

Я всегда считал Лейбница неоднозначной личностью. Он сделал множество на первый взгляд не связанных между собой вещей — в философии, математике, теологии, в законодательном деле, физике, истории и прочих областях. Все свои достижения он описал в кажущейся нам сегодня странной манере 17-го века.

Но со временем, я начал лучше понимать Лейбница как человека и мне открылось, что почти все что он делал было направлено на достижение единой цели которая, как это ни странно, очень похожа на ту к которой я стремлюсь сегодня.

Готфрид Лейбниц родился в Лейпциге в 1646 (сейчас это немецкий город). Он родился через четыре года после смерти Галилея и рождения Ньютона. Его отец был профессором философии а его мать была из семьи книготорговцев. Отец Лейбница умер когда ему было 6, но лишь через два года после ему было разрешено пользоваться библиотекой отца. Лейбниц начал читать все залпом. В 15 он поступил в местный университет, изучал философию и право. В 20 лет он получил дипломы по обоим направлениям.

Уже будучи подростком Лейбниц проявлял интерес к систематизации и формализации знаний. На то время существовали лишь смутные идеи о систематизации знаний, к примеру, в полумистическом труде Ars Magana (лат. великое искусство) написанном Раймундом Луллием (Ramon Llull) в 1300-х можно постараться найти описание универсальной системы в которой все знания могут быть выведены из комбинаций знаков принадлежащих (как Декарт (Descartes) назвал это) «алфавиту человеческой мысли». В своей дипломной работе по философии Лейбниц придерживался этой идеи. Он использовал простые принципы комбинаторной математики для расчета числа возможностей, рассуждал о декомпозиции идей на простые компоненты с которыми можно работать при помощи «логики изобретательства». И для оценки своего метода он включил в работу задачу решение которой должно было доказать существование Бога.

Как сам Лейбниц говорил позднее — эти тезисы написанные в 20 лет были в большинстве своем наивны. Но мне кажется что они уже характеризовали образ мыслей Лейбница с которым он не расставался на протяжении всей жизни. К примеру, его дипломная работа по праву о «ставящих в тупик судебных делах» была посвящена тому как эти дела могут быть разрешены с использованием логики и комбинаторики.

Лейбниц должен был стать профессором, но вместо этого он решил начать работать в качестве советника различных судебных и политических деятелей. Достаточно часто он проводил исследования, разбирая темные места их родословной и истории. Также он проводил систематизацию их библиотек, различных правовых кодексов и т. д. Бывало, ему приходилось решать различные инженерные задачи, например, как наилучшим образом оградить серебряные копи от воды. Однако в начале чаще всего это были просто консультации по политическому маневрированию.

Из-за одного такого дела в 1672 году Лейбницу пришлось уехать в Париж на 4 года — за это время он общался со многими ведущими просветителями того времени. До этого знания Лейбница в математике были лишь поверхностными. Но в Париже он изучил все самые современные идеи и методы. В частности он разыскал Христиана Гюйгенса (Christiaan Huygens), который согласился обучить его математике после того как ему удалось пройти тест по отысканию суммы обратных треугольных чисел.

На протяжении нескольких лет Лейбниц оттачивал свои идеи о систематизации и формализации знаний, разрабатывая архитектуру того что сделало бы знания, говоря современным языком вычисляемыми. Первый шаг он видел в разработке ars characterisitca — методологии которая позволила бы поставить в соответствие некоторым вещам символьные представления тем самым создать однородный «алфавит мыслей». Затем — как он считал — данный алфавит позволит отыскать «истины во всех сферах, используя математику, будь то арифметика или алгебра».

Он придумал множество амбициозных названий для своих идей scientia generalis («общий метод знаний»), lingua philosophica («язык философии»), mathematique universelle («универсальная математика»), characteristica universalis («универсальная система») и calculus ratiocinator («математика мысли»). Он видел множество применений своим идеям практически во всех сферах жизни — право, медицина, инженерное дело, теология и т. д. Но наибольшего успеха он добился в математике, и случилось это довольно быстро.

На мой взгляд наиболее примечательным является тот факт что в истории математики крайне редко поднимался вопрос нотации. Это происходило в начале развития современной математики в конце первой декады 19 века благодаря работам таких людей как Готлоб Фреге (Gottlob Frege) и Джузеппе Пеано (Giuseppe Peano). А в современном мире это случилось благодаря моим работам по созданию системы Mathematica и языка Wolfram. Однако похожее событие случилось также и более трех веков назад благодаря Лейбницу. И мне кажется, что успехи Лейбница в математике во многом обязаны тому насколько упорно он работал с проблемой нотации, с какой ясностью он рассуждал о математических структурах и связанных с ними понятиях.

Если вы посмотрите на его заметки то увидите в явном виде процесс развития нотации. Многие вещи выглядят современными, но не лишены шарма 17 века, например использование символов алхимии или астрономии для обозначения алгебраических переменных.



Здесь символ П используется вместо знака равенства. У Лейбница была интересная идея о том что когда ножки П равны — это равенство, когда, к примеру левая ножка длиннее это эквивалентно знаку “>” и наоборот.



Черточки над частями выражений служат для группировки — идея мне нравится больше чем скобки хотя их было бы сложнее вводить с клавиатуры.



Мы используем такие черточки для квадратных корней, но Лейбниц хотел использовать их также в интегралах вместе с символом «d с хвостиком» которая напоминает мне об одном из символов в Mathematica, который мы создали для представления интегралов системе.



В частности при решении уравнений довольно распространенным является символ “±” и поэтому часто возникает путаница как группировать переменные в выражении, скажем, a±b±c. Кажется Лейбниц тоже считал это весьма неудобным препятствием и он представил нотацию которую было бы полезно использовать сегодня.



На счет некоторых обозначений у меня нет однозначных мыслей хотя многие из них, например «тильды сверху» выглядят довольно мило.



Также как и эти элементы с точками:



Или здесь что-то похожее на диаграммы…



Конечно самыми знаменитыми элементами нотации Лейбница являются знак интеграла (длинное s) и d (на полях справа). Они представлены вместе впервые 11 ноября 1675 года, затем 5 в записи 1675 было заменено на 3, вероятно самим Лейбницем.



Мне показалось интересным, что все его обозначения для различных операторов сильно отличаются от логических операторов. Оператор «или» это просто латинский перевод vel, «и» — et и так далее. А когда он придумал кванторы (всеобщности и существования) он обозначил их аббревиатурами на латыни U. A. и P. A.



Меня всегда поражало, что идея создания универсального языка для оперирования любыми данными появилась лишь в тридцатых годах двадцатого века. Поэтому мне было интересно могли ли первые наброски такой системы скрываться в трудах Лейбница — взять хотя бы только что рассмотренную диаграмму которую сейчас мы можем назвать некоторым подобием машины Тьюринга. Но со временем, изучив больше информации про самого Лейбница я понял что все таки это не тот случай.

Одним из основных доказательств моего предположения является то, что Лейбниц всерьез не рассматривал дискретные системы. Он называл результаты комбинаторных расчетов «очевидными и не требующими доказательств» предположительно потому что, он считал, их можно подтвердить с использованием простой арифметики. А сам математический аппарат он разрабатывал лишь для «геометрической» или непрерывной математики. При описании свойств кривых Лейбниц уже тогда предложил аналог непрерывных функций, однако ему никогда не приходило в голову применить тот же принцип к дискретной математике что могло, к примеру, привести его к мысли об универсальных элементах для построения функций.

Лейбниц понимал всю значимость разработанного им аппарата бесконечно малых значений и хотел разработать похожие «исчисления» для прочих областей знаний. Еще одна идея, близкая к единой системе знаний заключалась в кодировании логических свойств. Он хотел каждому возможному свойству поставить в соответствие простое число, и затем каждый предмет можно было бы охарактеризовать произведением этих простых чисел. Такой подход позволил бы показать логическую разницу между предметами с помощью арифметических операций. Но он рассматривал лишь статические свойства и ему никогда не приходила в голову идея аналогичная нумерации Гёделя (Godel) где числами кодируются также и операции.

Но даже не смотря на то, что Лейбниц не пришел к идее универсальной системы управления знаниями он все равно понимал что вычисления это прежде всего механический процесс. И достаточно рано в своей жизни он решил построить настоящий механический калькулятор для арифметических операций. Отчасти это обусловлено, тем что Лейбниц сам нуждался в подобном устройстве (самая лучшая мотивация для такого рода вещей). Несмотря на его мастерство в алгебре и тому подобное, его труды полны умилительных расчетов в столбик на полях (подчас с ошибками) которые сохранены для потомков.



Существовали отдельные примеры механических калькуляторов, созданных во времена Лейбница, и когда он был в Париже, он без сомнения видел складывающий калькулятор созданный Блезом Паскалем (Blaise Pascal) в 1642 году. Но Лейбниц хотел сделать универсальный калькулятор, который мог выполнять четыре основных арифметических операции. Также ему хотелось, чтобы калькулятор был простым в использовании, к примеру, поворот ручки в одну сторону означал бы умножение, а в другую — деление.

В работах Лейбница существует множество чертежей и схем этой машины:



Он представлял себе, что его калькулятор принесет огромную практическую пользу и немалую долю его фантазий составляли идеи успешного развития бизнеса связанного с калькулятором. Но к сожалению Лейбницу не удалось сделать калькулятор надежным — далеко не всегда он выдавал правильный результат. Как и большинство подобных механизмов того времени калькулятор представлял собой лишь приукрашенный путемер (одометр). Лейбниц столкнулся с той же проблемой что и Чарльз Бэббидж (Charles Babbage) двести лет спустя — крайне сложно заставить все диски двигаться одновременно, когда это необходимо.

В начале Лейбниц создал деревянный прототип который как он надеялся сможет работать с трехзначными или четырехзначными числами. Но на предварительных показах в частности перед Робертом Хуком (Robert Hooke) в Лондоне в 1673 механизм подвел его. Однако он продолжил размышлять над его усовершенствованием — в 1679 году была опубликована работа «Последние доработки к арифметической машине»:



Заметки от 1682 года говорят о том что Лейбниц столкнулся с новыми проблемами:



Но у него были чертежи и он заказал у инженеров производство медной версии механизма для работы с большим числом цифр:



В частности Лейбниц подготовил даже «маркетинговый материал» для своей машины:



… и инструкцию пользователя …



Здесь изображена полная модель машины с инструкциями по использованию:



Но несмотря на все его усилия, калькулятор все еще не работал. Лейбниц работал над калькулятором на протяжении сорока лет и потратил на него в общей сложности при пересчете на сегодняшний курс более миллиона долларов

Когда я посетил его архив — я не мог не спросить кураторов о том что же случилось с этим калькулятором. «Хм, мы можем Вам показать его» — был ответ. Калькулятор стоял на одной из многочисленных полок в подвале и выглядел совершенно новым в своем стеклянном ящике — мое собственное фото в котором странным образом переплетаются прошлое и современность:



Калькулятор не потерял ни одной детали. Он был в удобном переносном деревянном чехле с ручкой для проведения арифметических операций. Если бы он работал правильно то всего за несколько минут вращения этой ручки мы могли бы получить ответ на любой вопрос из раздела простой арифметики.



Лейбниц считал свой калькулятор практическим проектом, но тем не менее он также хотел использовать его для того чтобы создать «логику» описывающую механические связи. Также он размышлял о природе чисел и арифметики. Еще он был поражен двоичными числами.

Основания отличные от 10 на протяжении столетий использовались в различных занимательных математических примерах, но Лейбниц сосредоточился на основании 2 так как считал что оно имеет особенное значение и возможно является мостом между философией, теологией и математикой. А когда он узнал о I Chang от миссионеров из Китая это лишь укрепило его веру. Он рассматривал эту работу как родственную своей characteristica universalis.

Лейбниц пришел к выводу что возможно построить калькулятор для двоичных чисел но в тоже время он считал что практическое значение имеют лишь числа с основанием 10.

Сегодня записи Лейбница о двоичных числах вызывают смешанные чувства. Одна часть работ выглядит вполне современно в то время как другая явно относится к 17 столетию. К примеру, он рассуждал о том что двоичная система служит доказательством того что все может быть получено из ничего, что 1 это Бог, а 0 это ничто.

После Лейбница на протяжении еще пары столетий двоичная система счисления не развивалась вплоть до недавнего роста связанного с появлением компьютеров. Поэтому расчеты Лейбница касающиеся двоичной системы смело можно назвать опережающими время:



Работая с двоичными числами Лейбниц искал самый простой способ описания структуры вещей. И когда он ввел понятие «монады» он без сомнения стремился к тому же самому. Должен сказать я так никогда и не смогу понять монады. Когда мне казалось что я все понимаю находился какой-нибудь нюанс который разрушал всю целостность картины.

Мне всегда казалось дразнящим то что Лейбниц пришел к выводу что лучший из всех возможных миров это мир, в котором огромное разнообразие явлений следует из минимально возможного числа предпосылок. И действительно в то время когда я только начинал работать над NKS когда я сформулировал и затем изучал одномерные клеточные автоматы в 1981 году, я хотел назвать их «полимоны» но в последнюю секунду струсил так как снова запутался в монадах.

Вокруг Лейбница и его трудов всегда существовала некая тайна. Курт Гёдель (Kurt Godel) (возможно в приступе паранойи) был убежден, что Лейбниц открыл великую истину которую затем скрыли от общества на века. Но несмотря на тот факт, что работы Лейбница были изъяты после его смерти это произошло из-за того, что в трудах по истории и генеалогии содержались сведения не подлежащие огласке будь то государственные или личные тайны властьимущих.

Труды Лейбница были опубликованы давным-давно, но до сих пор до конца не изучены. И проблема не в том, что их слишком много. Всего это около 200 000 страниц, которые заполняют не более дюжины книжных полок. Это лишь немногим больше чем мой личный архив, который я веду с 1980-х. Затруднение вызывает разнородность материала — не только различные области знаний, но и рисунки, созданные один поверх другого, записки и письма взаимосвязь между которыми не до конца понятна.

Архив документов Лейбница содержит как очень большие документы:



так и очень маленькие (с возрастом почерк Лейбница стал более мелким и плотным):



Большинство документов в архиве выглядят весьма серьезно и по-научному. Однако, не смотря на то что бумага во времена Лейбница стоила довольно дорого — он не стеснялся расходовать ее на забавные рисунки (возможно это Спиноза?).



Лейбниц поддерживал почтовую переписку с сотнями людей — как известных так и не очень по всей Европе. И поэтому 300 лет спустя в его архивах можно найти случайные письма от известных людей, например, от Якоба Бернулли (Jacob Bernoulli):



Как выглядел Лейбниц? Вы можете видеть официальный портрет и неофициальный бюст, на котором нет большого парика, служившего причиной насмешек даже в то время. Предположительно Лейбниц носил парик, чтоб скрыть кисту на голове.



Как личность Лейбниц был вежливым и сдержанным. В некотором смысле его можно было бы назвать чудаком, который пытался докопаться до сути вещей. Считается, что ему было очень тяжело настроиться на разговор с собеседником. Лишь немногие интеллектуалы того времени в том числе и Лейбниц никогда не женились, однако наш герой тем не менее пользовался успехом у дам.

В качестве человека при дворе, Лейбниц всегда стремился подняться как можно выше, но не питая страсти к охоте или выпивке он не вписывался в высшие круги на которые работал. Под конец жизни, когда Геогр Первый (George I) из Ганновера стал королем Англии, Лейбниц должен был отправиться с ним в Англию. Но ему было сказано что до того как отправиться туда он должен был написать исторический труд над которым он якобы работал уже 30 лет. Если б он успел дописать его до своей смерти и ему бы разрешили отплыть в Англию, то тогда у него мог быть весьма интересный диалог с Ньютоном.

В архиве Лейбница помимо его бумаг и калькулятора есть еще одна вещь — складной стул который он брал с собой путешествуя и которым он пользовался также в качестве стола в экипажах чтобы продолжать писать в дороге:



Лейбниц всегда беспокоился о своем статусе — часто подписывался как Gottfried von Leibniz хотя никто не знал откуда взялась эта частичка von. В качестве еще одного знака отличия за свои открытия он хотел иметь медаль, которая бы была посвящена двоичным числам. Он разработал подробный внешний вид на котором присутствовала надпись omnibus ex nihilo ducendis; sufficit unum («все может быть выведено из ничего; все что нужно это 1»). Но эту медаль ему так никто и не сделал.

В 2007 году мне захотелось придумать необычный подарок на 60-летие моего друга Грега Чатина (Greg Chaitin) который на протяжении многих лет изучал жизнь и труды Лейбница. И я сделал для него медаль Лейбница. На обратную сторону медали вместо предлагаемого Лейбницем изображения герцога мы поместили надпись на латыни о работах Грега.

Во время посещения архива я, конечно же, взял медаль с собой:



Интересно было бы узнать какая надпись могла бы быть на могиле Лейбница. Но когда Лейбниц умер в возрасте 70 лет, его политическая карьера была в упадке и никаких мемориальных досок создано не было. Но когда я был в Ганновере мне очень хотелось увидеть его могилу — на которой по латыни было написано «Кости Лейбница».



Впрочем по всему городу, к примеру, продается печенье «Лейбниц»:



Что же мы можем сказать о Лейбнице? Если бы история сложилась по другому то сегодня была бы прямая связь между Лейбницем и современными вычислениями. Но все сложилось как сложилось и большинство трудов Лейбница остались в стороне — мы можем смотреть на них лишь с точки зрения наших сегодняшних знаний.

Теперь мы знаем точно, в чем Лейбниц отдавал себе отчет, а чего не понимал. Он ухватился за концепцию формального описания и символьного представления широкого диапазона различных вещей. Он предполагал, что существуют универсальные элементы (например, 1 и 0) из которых любое описание может быть создано. Он понимал, что если бы можно было представить знания в символьной форме, то все следствия были бы лишь вопросом механики. Это позволило бы создать новые знания перечисляя различные варианты.

Некоторые из работ Лейбница были раздражающе абстрактными и философскими. Но в других он демонстрировал примеры чисто практического подхода. Он обладал достаточным мастерством, чтобы в действительности осуществить прогресс. Его типичным подходом к проблеме было, прежде всего, постараться создать формальное описание используя формальную нотацию по возможности. Затем он пытался создать некий математический аппарат используя который можно было бы вывести решение данной проблемы.

По правде говоря, он добился успеха лишь однажды, работая в сфере непрерывной «геометрической» математики. Жалко что он никогда не пытался серьезно заняться дискретной математикой, так как, мне кажется, он смог бы достичь в ней существенных результатов и возможно дошел бы до идеи универсальных вычислений. Также он мог бы дойти до попытки перенумеровать возможные системы по аналогии с тем как это сделал я в вычислительной вселенной.

Он попробовал применить данный подход в праве, но на тот момент это было слишком рано. Только сейчас — 300 лет спустя — данная идея начинает казаться реалистичной.

Лейбниц также работал в области физики. Он достиг некоторых значительных результатов в частности касательно кинетической энергии, но он никогда не пытался предложить полную картину мира по аналогии с Ньютоном и его Principia.

В некотором смысле я думаю Лейбниц не смог сделать большего так как он слишком сильно пытался найти практическое применение своим исследованиям и — как и Ньютон — старался описать реальные физические процессы, а не оперировать с абстрактными структурами. Если бы Лейбниц попытался провести хотя бы небольшое исследование по аналогии с тем, что я провел в NKS то у него, на мой взгляд, не возникло бы с этим трудностей, а история науки могла пойти совершенно в другом направлению.

В свое время я понял, что Ньютону удалось выиграть у Лейбница информационную войну за то, кто первый изобрел аппарат математического анализа, но основным призом в данной войне была возможность заложить собственный взгляд на науку и на мир, как основополагающий на поколения вперед. Ньютон был более практичным — он изобретал инструменты для расчетов касающихся реального мира. В то время как Лейбниц имел более широкие и философские взгляды — он видел математический аппарат не как инструмент для достижения поставленных целей, а как пример, который должен вдохновлять на разработку иных способов формализации знаний в других сферах.

Я часто думаю, что мой способ мышления, мои убеждения касательно того как необходимо работать со знаниями в современном мире это нечто очевидное и то что неизбежно придет если вы начнете думать о мире с формальной точки зрения. Но тем не менее я никогда не понимал является ли такой способ мышления результатом современного уровня развития вычислительных технологий. Но труды Лейбница доказывают, что даже без достижений современных технологий такое отношение к вещам возможно. Конечно, нельзя отрицать, что окружающие технологии и опыт прошлых лет накладывают ограничения на то как далеко может уйти мысль в своем развитии.

Такие размышления подводят нас к серьезному вопросу — насколько сильно нам не хватает технологий ближайшего будущего, чтоб продвинуться в данном образе мышления? Для меня это очень серьезный вопрос, но одно я могу сказать наверняка. На протяжении всей жизни Лейбниц видел всего лишь несколько компьютеров и все что они могли делать — это простейшие арифметические операции. Сегодня миллиарды компьютеров по всему миру выполняют множество различных операций. И в будущем число компьютеров лишь возрастет (Principle of Computational Equivalence). И без сомнения мы дойдем до такого уровня, когда компьютеры будут окружать нас всюду. В результате мы сможем программировать все что угодно вплоть до атомов. Конечно, в биологии уже были достигнуты подобные успехи, но лишь в ограниченном объеме. В будущем никаких ограничений не будет.

В какой-то степени это повлечет за собой объединение вычислений и физических процессов. Но представить это сейчас так же сложно, как Лейбницу представить Wolfram Mathematica или Wolfram|Alpha.

Лейбниц умер 14 Ноября 1716 года. В 2016 году будет 300 лет с этого дня. И это будет хороший повод для того чтобы наконец изучить все его наследие и отпраздновать то что многие из его основных идей спустя 300 лет были воплощены в жизнь таким способом, который он и не мог себе представить.