Перевод поста Giorgia Fortuna "2 Pi or Not 2 Pi?".
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко за помощь в переводе.

---

Три месяца назад мир (или по крайней мере мир гиков) праздновал день Пи (03.14.15...). Сегодня (6/28 — 28 июня 2015 г.) другой математический день — день 2?, или день Тау (2? = 6.28319...).

Некоторые говорят, что день тау действительно является днём для празднования, и что ? (= 2?), а не ?, должен быть самой важной константой. Все началось в 2001 году со вступительного слова знаменитого эссе Боба Пале, математика из университета Юты:

“Я знаю, что некоторые сочтут это богохульством, но я считаю, что ? — это ошибка”.

Это вызвало в некоторых кругах празднование дня тау — или, как многие говорят, единственного дня, в который можно съесть два пи(рога) (2pies?2? — игра слов в англ. языке).

Однако правда ли то, что ? — константа получше? В современном мире это довольно просто проверить, а Wolfram Language делает эту задачу ещё проще (действительно, недавний пост в блоге Майкла Тротта о датах в числе пи, вдохновлённый постом Стивена Вольфрама о праздновании векового дня числа пи, весьма активно задействовал Wolfram Language). Я начала с рассмотрения 320000 препринтов на arXiv.org чтобы посмотреть, сколько в действительности формул содержат 2? по сравнению с теми, что содержат просто ? или ? с другими сомножителями.

Вот облако из некоторых формул, построенное с помощью функции WordCloud, содержащих 2?:



Я обнаружила, что лишь 18% рассматриваемых формул содержат 2?, из чего следует, что перейти на использование ? — не лучший выбор.

Но почему тогда сторонники использования ? считают, что мы должны перейти к использованию этого нового символа? Одна из причин заключается в том, что использование ? должно сделать тригонометрию проще для изучения и понимания. В конце концов, в тригонометрии мы используем не углы, а радианы, а в окружности содержится 2? радиан. Это означает, что четверти круга соответствует 1/2? радиан, или ?/2, а не четверть чего-то! От этой несправедливости можно избавиться введением символа ?, и тогда каждой части окружности будет соответствовать такая же часть от ?. Например, четверти окружности соответствовал бы угол ?/4.



Лично у меня использование числа ? не вызывает каких-то сильных негативных чувств, и честно говоря, я не думаю, что использование ? позволило бы студентам быстрее изучать тригонометрию. Давайте вспомним о двух самых важных тригонометрических функциях — синусе и косинусе. Пожалуй, самые важные в изучении тригонометрии формулы — sin= cos(2?) = 1, и sin() = cos(?) = –1. Я не только всегда предпочитала использовать косинус потому, что его значения легче запомнить (нет никаких дробных значений в ? и 2?), но я и также всегда помнила, что синус и косинус отличаются тем, что одна функция принимает ненулевые значения в точках, кратных ?, а другая принимает ненулевые значения в дробных частях ?. Если использовать ?, то мы потеряем эту симметрию, и у нас будут уравнения sin = cos(?) = 1 и sin = cos = –1.

Учитывая вышесказанное, получается, что использование ? или ? есть вопрос личного предпочтения. Это справедливое заключение, однако нам нужен более строгий подход для определения того, какая из констант более полезна.

Даже тот подход, которым я руководствовалась вначале, может привести к неправильным выводам. В Тау манифесте Майкл Хартл приводит некоторые примеры тех мест, где часто можно встретить 2?:



И в самом деле, все эти формулы выглядели бы проще, если бы мы использовали ?. Однако это всего лишь шесть формул из того огромного количества, которые ученые регулярно используют, и как я упоминала ранее, не так уж много математических выражений содержат 2?. Тем не менее, вполне возможно, что формулы, не содержащие 2?, будут более простыми, если будут записаны через ?. Например, выражение 4?? запишется просто как ??.

Поэтому я вернулась к научным статьям, чтобы выяснить, сделает ли использование ? вместо 2? (и ?/2 вместо ?) формулы более простыми. Например, вот те, которые станут более простыми с использованием ?:



А вот некоторые из тех, которые не станут:



Позвольте объяснить, что я подразумеваю под более простой формой записи на примере: если я возьму часть, содержащую ? в нижней левой формуле таблицы с формулами Тау манифеста (см. выше):



Я могу заменить ? на ?/2 с помощью функции ReplaceAll и получить:



Посмотрев на эти два выражения, можно увидеть, что второе проще. И дело здесь не в интуиции — во втором просто меньше символов. Для большей ясности можно рассмотреть соответствующие им древовидные графы посредством функции TreeForm:



Для получения численного представления их различия мы можем использовать количества ветвей дерева, которые соответствуют числу символов в исходных формулах:



Чтобы определить, упрощается ли формула в результате использования ?, я вычислила сложность каждой формулы (которая определяется количеством ветвей дерева), содержащей ?, для формул из статей, в зависимости от того, какая из констант используется — ? или ?. Для большей точности я сначала удалила все выражения, которые были равны или эквивалентны ? или 2?. Я чувствовала, что будет несправедливо их учитывать, потому что они часто встречаются сами по себе, вне формул. Затем я сравнила случаи, когда использование ? упрощало формулу с теми, когда усложняло, и лишь 43% формул стали проще с использованием ?, то есть в более чем половине случаев использование ? усложняет формулу. Иными словами, из этого сравнения следует, что мы должны продолжать использовать ?. Тем не менее, это не конец истории.

Я заметила вот что: если выражение становится более или менее сложным, то это значит, что количество ветвей у него менее 40. В самом деле, если посмотреть на процент формул, которые становятся проще при использовании ? или ? и имеют количество ветвей меньше определённого значения, то вы увидите следующую картину:



Ось х представляет верхнюю границу количества ветвей. Из этого следует, что почти для всех формул их сложность зависит от выбора символа только в случае, если число ветвей меньше 50.

Более важное наблюдение заключается в том, что по мере роста сложности формулы ситуация резко меняется. Даже если выбрать формулы со сложностью большей, чем 3, как рассмотренная ранее формула , то тогда лишь 48% формул станут проще с использованием ? против 52% для ?. Приведенные ниже графики показывают, как процентные отношения формул, которые проще с использованием ? или ?, изменяются в зависимости от сложности:



Как можно заметить, при числе ветвей более 48 графики начинают вести себя хаотично. Это следствие того, что лишь 0,4% формул выборки имеют сложность более 50. Мы ничего особо конкретного не можем сказать о них, и прошлый опыт говорит нам о том, что это нам очень-то и не нужно.

И из этого графика также следует то, что в повседневной жизни и для каких-то выражений, которые сложнее чего-то наподобие , в целях упрощения выражений нам однозначно следует использовать ?. Но есть еще один момент, которого я не коснулась. Что насчёт различных областей приложений?

Возможно, в физике формулы будут проще выглядеть с ?, а в других областях — нет. Изначально я включила в поиск статьи из различных областей; однако, я не проверяла принадлежность формул, содержащих ?, тем или иным областям знаний, а также то, принадлежат ли формулы, которые становятся проще с использованием ?, какому-то ограниченному подмножеству областей. В самом деле, если рассмотреть лишь математические статьи, то результат окажется следующим:



Получается, что лишь 23% всех формул становятся проще с использованием ?, да и то лишь для довольно сложных выражений. Вот что-то наподобие этого:



можно проще записать через ?, однако большинство подобных выражений встречается весьма редко. Получается, что либо учёные из различных областей должны использовать различные соглашения в зависимости от специфичных для своих областей формул, либо все должны перейти на использование ?, хотя на самом деле для некоторых областей это не имеет особого смысла. В конце концов, демократия предполагает удовлетворённость большинства, и невозможно угодить всем без исключения.

Тем не менее, вышеуказанная формула содержит ещё кое-что, на чём я бы хотела заострить внимание. Так она выглядит с ?:



Пускай выражение действительно проще записывается через ?, однако подобное улучшение столь незначительно, что становится пренебрежимо малым. Рассмотрим, например, эти два выражения вместе с количествами их ветвей:



И соответствующие им выражения в ?:



Первая формула проще в ?, но количество ветвей становится лишь на 1/13 меньше по сравнению с первоначальным количеством, в то время как второе выражение проще записывается в ?, а после замены его сложность возрастает на 1/6. Другими словами, улучшение в первом случае составило 1/13, а во втором -1/6 (знак минус означает ухудшение). Среднее значение вектора составляет -0.044 — отрицательное число, что означает, что использование ? в этих двух выражениях делает общий вектор на 0,044 хуже.

Подобный векторный подход отличается от ранее использованного подхода, при котором не учитывался размер уравнения. В нём считается количество улучшений, а не количество упрощенных выражений, и это переворачивает с ног на голову предыдущие выводы. Я получила эти векторы для формул, в которых сложность ограничена снизу — всё так же, как и в предыдущем примере. Получается, что общее улучшение при замене ? на ? уменьшается с увеличением сложности:



а наименьшее ухудшение -0,04 достигается при сложности 5. Как можно заметить, общее улучшение всегда отрицательно; это означает, что пусть и большее количество формул имеют более короткую запись через ? (в зависимости от области), но в целом сумма всех «упрощений» формул перевешивается всеми «усложнениями».

В итоге всего этого исследования у меня сформировалась такая позиция: думаю, нам стоит быть довольными нашим старым другом ? и не переходить на использование ?.

У меня есть два заключительных замечания. Первое заключается в том, что если бы мы жили в мире, где активнее используется ?, то вывод был бы полностью противоположным. Если бы наши выражения уже записывались бы через ?, и мы исследовали бы вопрос о переходе на использование ? и вопросы упрощения, то наш график сумм векторов выглядел бы следующим образом:



Подобное различие объясняется тем, что векторы, которые используются для построения графиков, зависят от исходных сложностей, и потому меняются при изменении оных.

Из этого следует, что для большинства формул, которые имеют сложность больше двух и меньше 18, улучшение от замены ? на ? будет отрицательным. К сожалению для сторонников ?, мы живем всё таки в мире ?.

Второе замечание, на которое навёл меня Майкл Тротт, заключается в том, что 2/3 из формул, указанных в Тау манифесте (зеленая таблица в начале поста), содержат не просто 2?, а комплексное выражение 2?i. Это говорит о том, что, возможно, сама постановка вопроса, на который я пыталась ответить, является некорректной. Быть может, лучшей будет следующая формулировка: будет ли смысл ввести новый символ ? для комплексного числа 2?i?

Это новое обозначение потребует также замены ?i на ?/2, но это не повлияет на сложность ?i. В общем, формулы, содержащие ?i, либо уменьшат, либо сохранят свою сложность. Вот облако формул, которые станут проще:



Так они станут выглядеть после подстановки 2?i на ?:



Можно было бы возразить, что процент улучшения формул не будет достаточно высоким, и переход от 2?i к ? неоправданным. Однако факты говорят обратное: из всех формул, содержащих ?i, 75% станут проще, а остальные 25% сохранят свой уровень сложности — то есть ни одна формула не станет сложнее. Это весомый аргумент, но я не в том положении, чтобы претворить эту идею; однако, полагаю, что равенство ? = 2?i перспективнее (и менее исторически сложно), чем ? = 2?.

Независимо от вашего мнения касательно ?, надеюсь, что вы прекрасно провели день Тау. Наслаждайтесь сегодняшним днём двух пи(рогов) — мнимых или каких бы то ни было.