13.10.2021 22:14
Octember 17 12000 Источник

В сериале "Squid game" герои попадают в загадочную игру, где они проходят череду испытаний. В случае, если игрок проваливает испытание, он погибает, а призовой фонд игры пополняется на 100.000.000 вон.

Spoiler alert! Текст ниже содержит умеренные спойлеры к 7 и 2 сериям сериала. Раскрывается суть игры и число игроков, выживших на момент ее начала.

Игра

16 человек оказываются перед мостом, который состоит из 18 пар стеклянных плиток. В каждой паре одна плитка сделана из закаленного стекла, а другая - из обычного. Задача игроков - перейти мост по очереди, наступая только на плитки из закаленного стекла.

Однако, как было ранее показано в сериале, в случае, если более чем половина игроков отказывается принимать дальнейшее участие в игре, игра прекращается.

Очевидно, что для первых игроков мост является практически непроходимым. В то же время, игроки стоящие в конце очереди, имеют высокие шансы преодолеть его. В данном случае, решаюший голос, вероятно, останется за игроком номер 9. Именно его голоса будет достаточно для прекращения игры.

Попробуем посчитать вероятности успешного преодоления моста девятым игроком в различных ситуациях.

Допущения

  1. Игроки могут голосовать за прекращение игры в любой момент. Данное правило является своеобразной "конституцией" и позволяет участникам не участвовать в заранее несправедливой игре, поэтому, мне кажется правильным дать игрокам возможность прекратить игру в любой момент, если больше половины будут на это согласны.

  2. Допустимая вероятность выживания. Попробуем оценить вероятность прохождения моста, которая устроит игроков. Для этого взглянем еще раз на предыдущие игры:

    1. В первой игре участвовали 456 человек, из них выжило 201

    2. Во второй игре участвовали 187, из них выжило 108

    3. В третьей и четвертой игре выживала ровно половина участвовавших.

    Таким образом, раз игроки еще не прекратили игру, будем считать, что их устраивает вероятность выживания в каждом испытании около 0.5.

  3. Не будем учитывать временные рамки игры

Анализ

Пусть X_i- случайная величина, показывающая число новых плиток, информацию о которых принесет игрок i. Тогда, вероятность того, что игрок i принесет информацию о k плитках, при равноценном выборе из 2 равна

P(X_i=k) = 0.5^{k-1}0.5

Таким образом, X_i- подвержена геометрическому распределению.

Число всех плиток, которые открыли игроки до игрока i равно

S_i=\sum_{k=1}^iX_k

Соответстенно, игрок iвыживает в случае, когда S_i>n, где n- общее число пар плиток на мосту. Тогда, вероятность того, что S_i > nбудет равна

P(S_i>n)=1-\sum_{k=i}^nP(S_i=k)=1-\sum_{k=i}^n\binom{k-1}{i-1}p^k

Посчитаем начальную вероятность пройти игру для всех 16 игроков

Игрок

Вероятность пройти мост

1

0.0000038

2

0.000072

3

0.00066

4

0.0038

5

0.015

6

0.048

7

0.12

8

0.24

9

0.41

10

0.59

11

0.76

12

0.88

13

0.95

14

0.98

15

0.996

16

0.999

Игрок 9 имеет вероятность около 0.41, что ниже, чем средняя по предыдущим играм при том, что игрок 10 имеет шансы выше средних. Следовательно, для игроков 1-9 логично провести голосование и отказаться от игры.

Однако, в данной ситации, игрок 9 может отказаться от голосования и просмотреть на результат первого игрока, ступившего на мост. Даже при 15 игроках его голос все еще будет решающим. Таблица ниже показывает вероятности пройти игру для каждого игрока в зависимости от того, информацию о скольки плитках принес первый игрок.

Игрок

1

2

3

2

0.0000063

0.000015

0.00005

3

0.00014

0.00026

0.00049

4

0.0012

0.002

0.0037

5

0.0064

0.011

0.018

6

0.025

0.038

0.059

7

0.072

0.11

0.15

8

0.17

0.23

0.3

9

0.31

0.4

0.5

10

0.5

0.6

0.7

11

0.69

0.77

0.85

12

0.83

0.89

0.94

13

0.93

0.962

0.98

14

0.98

0.989

0.996

15

0.994

0.998

0.9995

16

0.999

0.999

0.99996

Как видно из таблицы, в случае, если игрок 1 принес информацию о трех и более плитках, то игрок 9 может оставаться в игре, ведь шанс успешного завершения игры для него вырастает до 0.5. Однако, в других случаях, игроку 9 правильнее инициировать голосование и выйти из игры.

Комментарии (17)


  1. VPryadchenko
    13.10.2021 22:47
    #23588784
    +1

    Круто. Один момент хотелось бы уточнить: из первой формулы следует, что вероятность игроку принести информацию об одной плитке рана 0.5, но ведь это не так - каждый игрок достоверно приносит информацию об одной плитке, не важно, какую он выбирает. (В допущении, конечно, что игроки не забывают информацию, полученную от предыдущих игроков, и не прыгает в сторону).


    1. Octember Автор
      14.10.2021 02:57
      #23589192
      +1

      Я не совсем хорошо расписал этот момент) 0.5 равна вероятность того, что игрок принесет информацию ровно об одной плитке.

      Вероятность того, что игрок принесет информацию о kи более плитках

      P(X_i\geq k)=P(X_i>k-1)=(1-(1-p^{k-2}q))=p^{k-2}q

      следовательно, для k=1

      0.5^{-1}0.5=1


  1. swelf
    13.10.2021 23:11
    #23588836
    +1

    есть неверное допущение, из

    что их устраивает вероятность выживания в каждом испытании около 0.5

    делается вывод что их не устраивает вероятность ниже, но это не так, то что их устраивает 0.5, значит только что их устраивает 0.5 в том числе.

    А еще немного бесполезная вероятность как мне кажется, когда участник номер 14 будет стоять перед выбором плитки, его не будет волновать вероятность цепочки в 14 человек, его будет волновать что его вероятность прямо сейчас = 0.5. вероятность 0.98 получается за счет сложения предыдущих вероятностей(люди дошли), но если игроку надо выбирать плитку, то вероятности не сработали. Когда ты в падающем самолете, мысль о том что самолет самый безопасный вид траспорта не сильно греет.
    p.s. а хотя да, для принятия решения о начале игры вполне сгодится.


  1. nktkz
    14.10.2021 00:09
    #23588966
    +2

    игрок 1 требует окончани игры и тянет время. через несколько минут согласится и 9 и 10 и все остальные


    1. wslc
      14.10.2021 01:51
      #23589152
      +2

      В Азиатском кино будет альтернативное решение


      1. impexp
        14.10.2021 08:03
        #23589366

        Видимо, не все азиаты хорошие математики


    1. Giperoglif
      14.10.2021 04:27
      #23589222

      там пара человек пыталась время потянуть, кстати. но почему-то никто не додумался пройти по ребрам, хотя результат бы не сильно другим был.


      1. ksbes
        14.10.2021 08:58
        #23589476
        +2

        Нарушение правил, с соответствующим результатом. Нам же детально все правила не расписывают - экранное время недёшево, да и фильм не для педантов.


        1. BiW
          14.10.2021 11:23
          #23589914

          Сомневаюсь. Ведь неоднократно подчеркивался факт того, что озвученные правила - это и есть ВСЕ правила игры. Что и было использовано в той же игре в шарики, где игрок, по факту, обманул пакистанца и украл у него шарики. Еще пример - не является нарушение правил столкнуть человека с плитки, на которой он стоит. Поэтому, раз прямо не указано, что идти нужно обязательно по стеклу, значит можно пройти по ребрам. Вообще, именно серия со стеклянным мостом имеет несколько сюжетных дыр, и возможность пройти по балкам, на которые стекло было уложено - одна из них.


          1. kabantejay
            14.10.2021 13:07
            #23590336

            им достаточно было просто сказать что к металлическим балкам подключено электричество, которое их убьет.


  1. Tarakanator
    14.10.2021 11:20
    #23589906
    +1

    Очевидно, что для первых игроков мост является практически непроходимым.

    Почему не рассматривается вариант, когда можно вернуться назад? т.е. каждый поочерёдно приносит информацию только об одной плитке. Тогда худшая вероятность пройти будет 0.25
    А так, при заданных условиях, ни один адекватный человек первым не пойдёт.


  1. izirayd
    14.10.2021 13:11
    #23590346
    +1

    Вообще, это самое худшее испытание, оно не сбалансировано. Я думаю им следовало бы до испытания сделать еще одно, по типу им требуется расставить 200 костяшек домино за 10 минут, где должны появиться рисунки квадрата, в нём окружности и в ней треугольника, кто первым собирает правильно рисунок, тот получает номер 16, второй номер 15 и дальше их шлют на мост, тогда то что они получили номера имеет смысл.


    1. VPryadchenko
      14.10.2021 16:39
      #23591248

      Задание, где они из карамельки вырезали фигурки ничем не лучше - они так же случайно выбирали для себя фигуры, не зная, что им предстоит делать, как в задании со стеклянными плитками они выбирали номер.


      1. izirayd
        15.10.2021 02:16
        #23592492
        +1

        Но с фигурками всё зависит от тебя самого, да сложнее, а с мостом только от твоего номера, который тебе достался случайно


        1. VPryadchenko
          15.10.2021 08:55
          #23592868

          Резонно


        1. Tsimur_S
          15.10.2021 19:23
          #23595110

          Но с фигурками всё зависит от тебя самого, да сложнее, а с мостом только от твоего номера, который тебе достался случайно

          Зависит точно так же от тебя самого. Номер же они выбирали сами, точно как и с фигуркой.


          1. VPryadchenko
            15.10.2021 20:26
            #23595270

            С фигуркой успех зависит, в том числе, от того, насколько ловко игрок сможет ее вырезать. С плитками же чистый рандом.