Данная статья является, если не попыткой строгого доказательства, то, как минимум, строгого объяснения почему гипотеза Коллатца верна. Делается это путем рассмотрения изменения последовательности Коллатца внутри кольца классов вычетов Z/6Z. Так как стремление к математической строгости может повлечь за собой определенную сухость языка, статья не является удобной для понимания, за что ее автор заранее просит прощения.

Вводная часть

Перечислим операции сложения и умножения [внутри кольца Z/6Z], которые будут нам необходимы для дальнейших рассуждений:
b ∈ [1]₆ + c ∈ [3]₆ = d ∈ [4]₆     (1.1),
b ∈ [0]₆ * c ∈ [2]₆ = d ∈ [0]₆      (1.2),
b ∈ [1]₆ * c ∈ [2]₆ = d ∈ [2]₆      (1.3),
b ∈ [1]₆ * c ∈ [3]₆ = d ∈ [3]₆      (1.4),
b ∈ [2]₆ * c ∈ [2]₆ = d ∈ [4]₆      (1.5),
b ∈ [2]₆ * c ∈ [3]₆ = d ∈ [0]₆      (1.6),
b ∈ [2]₆ * c ∈ [4]₆ = d ∈ [2]₆      (1.7),
b ∈ [2]₆ * c ∈ [5]₆ = d ∈ [4]₆      (1.8),
b ∈ [3]₆ * c ∈ [3]₆ = d ∈ [3]₆      (1.9),
b ∈ [3]₆ * c ∈ [5]₆ = d ∈ [3]₆      (1.10).
Также отметим, что A = [0]₆ ∪ [2]₆ ∪ [4]₆, где A – это множество всех четных чисел.

Часть I. Последовательность Коллатца внутри кольца Z/6Z

Число d ∈ [0]₆ путем умножения на 2 можно получить только из числа b ∈ [0]₆ (1.2), либо из числа c ∈ [3]₆ (1.6). Следовательно, в результате деления числа d ∈ [0]₆ на 2 получится число b ∈ A, где A = [0]₆ ∪[3]₆. Асимптотическая плотность d([0]₆) = d([3]₆) = 1/6, поэтому вероятности b∈ [0]₆ и b∈ [3]₆ равны по 1/2.
Если число b ∈ [1]₆ умножить на 3, получится число c ∈ [3]₆ (1.4). Если затем к числу c прибавить 1, получится число d ∈ [4]₆ (1.1).
Число d ∈ [2]₆ путем умножения на 2 можно получить только из числа b ∈ [1]₆ (1.3), либо из числа c ∈ [4]₆ (1.7). Следовательно, в результате деления числа d ∈ [2]₆ на 2 получится число b ∈ A, где A = [1]₆ ∪[4]₆. Асимптотическая плотность d([1]₆) = d([4]₆) = 1/6, поэтому вероятности b∈ [1]₆ и b∈ [4]₆ равны по 1/2.
Если число b ∈ [3]₆ умножить на 3, получится число c ∈ [3]₆ (1.9). Если затем к числу c прибавить 1, получится число d ∈ [4]₆ (1.1).
Число d ∈ [4]₆ путем умножения на 2 можно получить только из числа b ∈ [2]₆ (1.5), либо из числа c ∈ [5]₆ (1.8). Следовательно, в результате деления числа d ∈ [4]₆ на 2 получится число b ∈ A, где A = [2]₆ ∪[5]₆. Асимптотическая плотность d([2]₆) = d([5]₆) = 1/6, поэтому вероятности b∈ [2]₆ и b∈ [5]₆ равны по 1/2.
Если число b ∈ [5]₆ умножить на 3, получится число c ∈ [3]₆ (1.10). Если затем к числу c прибавить 1, получится число d ∈ [4]₆ (1.1).

Исходя из всего вышеизложенного, построим следующий ориентированный мультиграф:

Часть II. Циклы внутри последовательности Коллатца

С помощью ориентированного мультиграфа выделим следующие циклы внутри последовательности Коллатца:
1. [0]₆ -> [0]₆ (петля)
2. [4]₆ ->[5]₆ ->[4]₆
3. [4]₆ ->[2]₆ ->[4]₆
4. [4]₆ ->[2]₆ -> [1]₆ ->[4]₆.
Циклы 2, 3, 4 в совокупности представляют цикл [4]₆ -> … -> [4]₆.
Согласно закону больших чисел , где H – {переход цикла [0]₆ -> [0]₆, где n – число итераций цикла, в цикл [4]₆ -> … -> [4]₆ через маршрут [0]₆ ->[3]₆ ->[4]₆}.
Таким образом, , , где H₁ – {вход в цикл [4]₆ -> … -> [4]₆, где (x_n) – последовательность Коллатца}, H₂ – {выход из цикла [4]₆ -> … -> [4]₆}.

Часть III. Изменение последовательности Коллатца внутри цикла [4]₆ -> … -> [4]₆

Рассмотрим случай однократной итерации цикла [4]₆ -> … -> [4]₆: P(H₁) = 1/2, P(H₂) = 1/4, P(H₃) = 1/4, где H₁ – {итерация цикла [4]₆ ->[5]₆ ->[4]₆}, H₂ – {итерация цикла [4]₆ ->[2]₆ ->[4]₆}, H₃ – {итерация цикла [4]₆ ->[2]₆ -> [1]₆ ->[4]₆}.
Далее примем за x число в начале каждого цикла и рассмотрим его изменение в результате итерации данного цикла:
[4]₆ ->[5]₆ ->[4]₆:

[4]₆ ->[2]₆ ->[4]₆:

[4]₆ ->[2]₆ -> [1]₆ ->[4]₆: .

Исходя из вышеизложенного, число x изменяется за одну итерацию цикла [4]₆ -> … -> [4]₆ следующим образом: , где n – количество итераций цикла [4]₆ -> … -> [4]₆.

Следовательно, по закону больших чисел последовательность Коллатца при стремлении к бесконечности непременно убывает и, следовательно, достигает наименьшего значения, замыкаясь в цикле 1 -> 4 -> 2 -> 1.