26.03.2024 07:01
SergBag 8 2400 Источник

Я читаю курс статистического мышления магистрам, и одна тема вызывает у них явные затруднения — чем стандартное отклонение отличается от стандартной ошибки и в каких случаях применять ту или иную статистику. Думаю, будет интересно поговорить об этом в блоге ЛАНИТ.

*Для иллюстрации я использовал Excel-файл. В нем вы найдете формулы, динамические данные на основе волатильных функций и статические данные, положенные в основу рисунков и расчетов для заметки. Корректно файл отображается в версии Excel 2016 или более поздней.
*Для иллюстрации я использовал Excel-файл. В нем вы найдете формулы, динамические данные на основе волатильных функций и статические данные, положенные в основу рисунков и расчетов для заметки. Корректно файл отображается в версии Excel 2016 или более поздней.

Случайные величины

Пусть Х — случайная нормально распределенная величина. Ее математическое ожидание в теории вероятностей обозначается M[X] или E[X], а в статистике — μ. Сформируем две выборки по 100 значений. Для генерации выборок в Excel воспользуемся формулой =НОРМ.ОБР(СЛЧИС();μ;σ). Зададим одинаковые матожидания μ_1 = μ_2 = 0 и разные среднеквадратичные отклонения: σ_1 = 1и σ_2 = 2.

Рис. 1. Нормально распределенные случайные величины. По оси абсцисс – номер элемента в выборке, по оси ординат – значение нормально распределенной случайной величины. Видно, что увеличение среднеквадратичного отклонения приводит к большему разбросу точек.
Рис. 1. Нормально распределенные случайные величины. По оси абсцисс — номер элемента в выборке, по оси ординат — значение нормально распределенной случайной величины. Видно, что увеличение среднеквадратичного отклонения приводит к большему разбросу точек.

Среднее арифметическое выборки

Несмотря на то, что мы задали для генерирующего процесса матожидание μ = 0, среднее по выборке будет отличаться от этого значения. Среднее по выборке называют средним арифметическим \bar{x} (или просто средним), и рассчитывают по формуле:

(1)\bar x=\frac1n \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i

где x_i — отдельные значения случайной величины, n – число значений случайной величины в выборке.

Для выборок на рис. 1 оказалось, что \bar x_1 = 0,102, \bar x_2 = -0,445.

Дисперсия и среднеквадратичное отклонение генеральной совокупности

Для измерения рассеяния (изменчивости) случайной величины относительно ее матожидания наиболее часто используют дисперсию, обозначаемую D[X] , Var[Х]или σ^2

(2) σ^2=\frac1n\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i-μ)^2

… и среднеквадратичное отклонение σ

(3)σ=\sqrt {σ^2}=\sqrt{\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i-μ)^2}}{n}}

Стандартное отклонение выборки

Стандартное отклонение (Standard Deviation, SD) s вычисляется по формуле:

(4)s=\sqrt{\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2}}{n}}

Вообще термины используются разными авторами немного по-разному. Мне нравится следующий подход. Генеральную совокупность описывают параметрами, обозначаемыми греческими буквами: математическое ожидание μ и среднеквадратичное отклонение σ . Выборки описывают статистиками, обозначаемыми латинскими буквами: среднее арифметическое \bar{x} и стандартное отклонение s .

В реальной жизни ни матожидание μ, ни среднеквадратичное отклонение σ генеральной совокупности неизвестны. Но, извлекая выборку, мы кое-что узнаем о матожидании и среднеквадратичном отклонении. Говорят, что среднее \bar{x} является оценкой матожидания μ, а стандартное отклонениеs — оценкой среднеквадратичного отклонения σ.

При генерации случайной величины мы задали σ_1 = 1 и σ_2= 2. Для выборок на рис. 1 получили s_1 = 0,985, s_2 = 1,824.

Чем меньше s, тем кучнее значения располагаются вокруг среднего. Итак,

стандартное отклонение — мера разброса данных в выборке

Стандартное отклонение средних значений выборок

Сосредоточимся теперь на процессе генерации случайных чисел с μ = 0 и σ = 1. Извлечем не одну выборку, а несколько. Хотя аргументы μ и σ генератора случайных чисел постоянны, случайный процесс будет приводить к разным значениям \bar{x} для отдельных выборок:

Рис. 2. Средние значения для 15 выборок размером
Рис. 2. Средние значения для 15 выборок размером n = 100

Если возьмем не 15, а 1000 выборок, то сможем построить довольно гладкое распределение средних значений \bar{x}:

Рис. 3. Распределение средних значений для 1000 выборок размером . По оси абсцисс диапазоны средних значений выборок, по оси ординат доля таких выборок
Рис. 3. Распределение средних значений \bar{x} для 1000 выборок размером n=100 . По оси абсцисс диапазоны средних значений выборок, по оси ординат доля таких выборок

Совокупность средних \bar{x}_i можно рассматривать как случайную величину \bar{X}. Для ее распределения (рис. 3) также можно подсчитать стандартное отклонение по формуле (4): s_{\bar{X}} = 0,1. Нижний индекс \bar{X} указывает, что стандартное отклонение относится к средним значениям \bar{x}_i. Обратите внимание, что стандартное отклонение одной выборки (рис. 1а) равнялось s_1 = 0,985 . Стандартное отклонение каждой выборки задается генерирующим процессом, в котором среднеквадратичное отклонение генеральной совокупности σ_1 = 1. Для средних значений выборок размером n = 100 стандартное отклонение s_\bar{X}  приблизительно в 10 раз меньше, чем для отдельных значений в выборке s_1.

Подсчитаем стандартное отклонение для 100 выборок других размеров n = 3, 5, 10, 20. Оказывается, что стандартное отклонение средних значений зависит от размера выборки:

Рис. 4. Зависимость стандартного отклонения средних значений от размера выборок
Рис. 4. Зависимость стандартного отклонения средних значений от размера выборок

Выведем формулу этой зависимости.

Формула стандартной ошибки

Для начала покажем, что постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

По определению дисперсияVar случайной величины X равна

(5)Var(X)=E[(X-E[X])^2]

где E[X] – математическое ожидание случайной величины X, E[(X-E[X])^2] – математическое ожидание квадрата разности самой случайной величины и ее матожидания.

Рассмотрим теперь случайную величину Y = cX, где c — константа. Найдем дисперсию Y

(6)Var(Y)=E[(Y-E[Y])^2]=E[(cX-E[cX])^2]=E[c^2(X-E[X])^2]=c^2E[(X-E[X])^2]=c^2Var(X)

С другой стороны, среднее арифметическое по выборке:

(7)\bar{x}={\frac{x_1+x_2+…+x_n}{n}}

Дисперсия выборки:

(8)Var(\bar{x})=Var({\frac{x_1+x_2+…+x_n}{n}})=\frac{1}{n^2}Var(x_1+x_2+…+x_n)

Здесь мы воспользовались только что выведенным свойством (6), используя с = 1/n .

Теперь учтем, что дисперсия суммы независимых случайных величин равняется сумме их дисперсий:

(9)Var(\bar{x})=\frac{1}{n^2}Var(x_1+x_2+…+x_n)={\frac{Var(x_1)+Var(x_2)+…+Var(x_n)}{n^2}}

Примем во внимание, что все случайные величины x_i одинаково распределены:

(10)Var(\bar{x})={\frac{Var(x_1)+Var(x_2)+…+Var(x_n)}{n^2}}={\frac{nVar(x)}{n^2}}={\frac{Var(x)}{n}}

Извлекая корень и переходя от параметра генеральной совокупности к статистике выборки, можем записать стандартное отклонение случайной величины \bar{X}:

(11)s_{\bar{X}}={\frac{s_1}{\sqrt{n}}}

Мы получили зависимость стандартного отклонения средних значений выборок s_{\bar{X}} от стандартного отклонения единичных значений s_1 и размера выборки n. Если в (11) подставить (4), получим:

(12)s_{\bar{X}}=\sqrt{\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2}}{n^2}}

Величинуs_{\bar{X}}называют стандартной ошибкой или стандартной ошибкой среднего. s_{\bar{X}}  позволяет по одной выборке оценить в каком диапазоне от среднего по выборке \bar{x} находится матожидание генеральной совокупности μ. Например, в диапазон {\bar{x}} ± 2s_{\bar{X}}  матожидание генеральной совокупности попадет с вероятностью 95%.

Если стандартное отклонение — это показатель изменчивости элементов в выборке, то стандартная ошибка — аналогичный показатель (вычисляемый по той же формуле) изменчивости средних значений выборок.

Итак, 

стандартная ошибка — мера оценки математического ожидания генеральной совокупности μ на основании выборочного среднего \bar{x}.

Обратите внимание, что с увеличением размера выборки n стандартная ошибка будет уменьшаться. В пределе при n → ∞, x̅ → μ и s_\bar{X} → 0.

Смещенные и несмещенные оценки

Оценку параметра генеральной совокупности в общем случае можно представить уравнением:

(13) Оценка = Оцениваемый параметр генеральной совокупности + Смещение + Шум

Оказывается, что среднее арифметическое является несмещенной оценкой матожидания:

(14) \bar{x} = μ + Шум

Чтобы проиллюстрировать этот вывод, я случайным образом задал 10 000 чисел в диапазоне от 0 до 100. А затем создал 100 выборок по 100 последовательных значений: от 1 до 100, от 101 до 200 и т. д. На график в виде пунктирной линии нанес среднее значение для всех 10 000 случайных чисел, а также в виде точек — скользящее среднее для последовательности выборок. Например, первая точка — среднее арифметическое для первой выборки: 1…100, вторая точка — среднее статистик двух выборок: 1…100 и 101…200 и т. д.

Рис. 5. Среднее арифметическое, как несмещенная оценка матожидания. Видно, что среднее выборок стремится к среднему по всей совокупности.
Рис. 5. Среднее арифметическое, как несмещенная оценка матожидания. Видно, что среднее выборок стремится к среднему по всей совокупности.

Представляется парадоксальным, но стандартное отклонение оказалось смещенной оценкой среднеквадратичного отклонения:

(15) s = σ + Смещение + Шум
Рис. 6. Стандартное отклонение, как смещенная оценка среднеквадратичного отклонения
Рис. 6. Стандартное отклонение, как смещенная оценка среднеквадратичного отклонения

Выборочная оценка среднеквадратичного отклонения, названная нами стандартным отклонением, и введенная формулой (4) дает систематическую ошибку!

Поправка Бесселя

Чтобы разобраться с источником систематической ошибки, еще раз приведем формулы среднеквадратичного и стандартного отклонений.

(3)σ=\sqrt{\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i-μ)^2}}{n}}(4)s=\sqrt{\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2}}{n}}

… и вернемся к примеру на рис. 1а.

Мы знаем (сами задали в Excel), что матожидание генеральной совокупности μ = 0 . Но среднее арифметическое выборки \bar{x}=0,102 . И это наша лучшая оценка матожидания. Правильная (несмещенная) оценка среднеквадратичного отклонения генеральной совокупности σ должна была бы основываться на отклонениях от μ = 0 по формуле (3). Но если мы не знаем истинное значение μ , то вычисляем стандартное отклонение s от \bar{x} по формуле (4).

Заметим, что μ в формуле (3) можно представить, как \bar{x}– с, где c – константа (смещение), показывающая насколько выборочное среднее отличается от матожидания генеральной совокупности. Тогда x_i – μ можно заменить на x_i – \bar{x} + с. Обозначим разность x_i – \bar{x}одним символом a_i. В формуле (4) мы ищем сумму a_i^2, а в формуле (3) – сумму (a_i + с)^2. Но 

(16) (a_i + c)^2 = a_i^2 + 2a_ic + c^2

По определению сумма вторых слагаемых по выборке Σ2a_ic равна нулю – отклонения от среднего в разные стороны компенсируют друг друга. На то оно и среднее. Сумма a_i^2 представляет собой сумму квадратов расстояния от значений выборки до среднего выборочного значения. c^2— сумма квадратов расстояний между средним арифметическим по выборке и матожиданием генеральной совокупности.

Поскольку c^2положительна (за исключением случая, когда \bar{x} = μ) сумма квадратов расстояния от значений выборки до матожидания генеральной совокупности всегда будет больше, чем сумма квадратов расстояния до выборочного среднего.

Вот почему s дает систематическую ошибку (в сторону уменьшения) по сравнению с σ.

В смещенной оценке s, используя выборочное среднее вместо матожидания, мы недооцениваем каждое x_i-\bar{x} на \bar{x} – μ.

Чтобы найти расхождение между смещенной оценкой s и параметром генеральной совокупности σ, нужно найти матожидание E(\bar{x} – μ). В разделе Формула стандартной ошибки мы показали, что это матожидание равно дисперсии выборочного среднего σ/n. Таким образом, смещенная оценка занижает σ на σ/n:

(17) смещенная оценка =(1-\frac1n) * несмещенная оценка =\frac {n-1}{n}* несмещенная оценка

Поправкой Бесселя называют коэффициент (18)\sqrt{\frac{n}{n-1}} , на который следует умножить стандартное отклонение, чтобы смещенную оценку сделать несмещенной:

(19)s_{несмещ}=\sqrt{\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2}}{n}} ∙ \sqrt{\frac{n}{n-1}} =\sqrt{\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2}}{n-1}}

Проверим поведение s_{несмещ} на модели:

Рис. 7. Стандартное отклонение, как несмещенная оценка среднеквадратичного отклонения
Рис. 7. Стандартное отклонение, как несмещенная оценка среднеквадратичного отклонения

Поправку Бесселя следует ввести и в формулу (12) для расчета стандартной ошибки среднего. Получим:

(20)s_\bar{X}=\sqrt{\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2}}{n^2}} * \sqrt{\frac{n}{n-1}} =\sqrt{\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2}}{n(n-1)}}

Допущения

При выводе формул стандартного отклонения и стандартной ошибки явно или неявно мы использовали следующие допущения:

  • данные в выборке подчиняются нормальному распределению;

  • выборка является репрезентативной для генеральной совокупности;

  • наблюдения в выборке независимы друг от друга; для временных рядов допущение о независимости как правило нарушено;

  • измерения проводятся на интервальной или относительной шкале; использование категориальных данных может быть некорректным;

  • оценки чувствительны к выбросам.

Посмотрим, что происходит, когда одно или несколько допущений нарушены.

Распределения с жирными хвостами

Нормальное распределение обладает тонким хвостом. Это означает, что поведение нормально распределенной случайной величины определяется центральной частью распределения. Хвостовые значения встречаются очень редко. Центральная предельная теорема дает быструю сходимость, и мы наблюдаем характерное поведение, как на рис. 5.

На мой запрос ChatGPT указал три области, где данные хорошо описываются нормальным распределением: рост людей, ошибки измерения (длины или массы среди однородной группы объектов), интеллектуальные способности (тесты IQ разработаны с учетом нормального распределения, и средний уровень интеллекта обычно приходится на центральную часть распределения).

Нормальное распределение настолько растиражировано, что мы используем его даже тогда, когда этого делать не следует — при работе с финансовыми инструментами, экономическими и социальными явлениями. Типичный пример — средний доход посетителей бара, который взлетит до миллиарда, если туда случайной зайдет Билл Гейтс.

Посмотрим, как сходится к среднему случайная величина, заданная стандартным распределением Коши:

(21) f(x)=\frac{1}{π(1+x^2)}

Для моделирования в Excel я воспользовался тем фактом, что t-распределение Стьюдента с числом степеней свободы df = 1 эквивалентно стандартному распределению Коши. А для t-Стьюдента в Excel есть формулы прямого и обратного распределений.

Рис. 8. Сходимость распределения Коши вроде бы есть… но только до очередного выброса
Рис. 8. Сходимость распределения Коши вроде бы есть… но только до очередного выброса

Если мы посмотрим на допущения, сформулированные выше, то увидим, что данные, распределенные по Коши, нарушают почти все. (1) Никакая выборка не является репрезентативной. Хвостовые значения всё еще относительно редки (правда, не настолько, как при нормальном распределении), но именно они определяют среднее по выборке. (2) Наличие или отсутствие выброса в выборке сильнее влияет на среднее арифметическое, чем центральная тенденция.

Вслед за средним арифметическим, и стандартное отклонение, и стандартная ошибка, полученные на основе выборки, мало что говорят о генеральной совокупности. 

В качестве примера я привел экстремально жирнохвостое распределение Коши, но и многие иные распределения, например, степенные, ведут себя лишь немногим более предсказуемо. Эта тема подробно раскрыта в новой книге Нассима Талеба (см. ссылку ниже).

Области использования

Вот несколько областей использования стандартного отклонения:

  • Оценка разброса данных (изменчивости) относительно среднего значения. Чем больше стандартное отклонение, тем больше разброс.

  • Оценка качества как индикатор изменчивости процесса производства или управления. Меньшее стандартное отклонение говорит о более стабильном процессе. Стандартное отклонение может использоваться для построения границ контрольных карт Шухарта.

Области использования стандартной ошибки среднего (Standard Error of the Mean, SEM):

  • Доверительные интервалы для среднего значения. Например, если вы провели опрос с небольшой выборкой и вычислили среднее и SEM, то можете построить доверительный интервал, указывающий, где находится истинное среднее в генеральной совокупности.

  • При сравнении средних значений из разных выборок SEM используется для определения статистической значимости различий между выборками. Если разница средних значений превышает несколько SEM, это может свидетельствовать о статистически значимом различии.

  • SEM указывает, насколько точно среднее выборки оценивает истинное среднее в генеральной совокупности. Большая SEM указывает на большую неопределенность в оценке.

С осторожностью и оговорками стандартное отклонение и стандартную ошибку следует применять для оценки рисков в финансовой сфере. Формулы SD и SEM основаны на нескольких статистических предположениях. Важно понимать эти допущения при использовании и интерпретации результатов.

Литература

  1. Владимир Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика

  2. Поправка Бесселя, Bessel's correction

  3. Нассим Николас Талеб. Статистические последствия жирных хвостов. 

Комментарии (8)


  1. Arastas
    26.03.2024 08:42
    #26653899

    Вы хотите сказать, что для не нормального распределения с хвостом среднее значение не является несмещённой оценкой матожидания?


    1. SergBag Автор
      26.03.2024 08:42
      #26653977

      Если я правильно понял, вопрос относится к рис. 8. Для распределения Коши матожидание не существует. Но по набору выборок среднее значение чему-то будет равно.


      1. VPryadchenko
        26.03.2024 08:42
        #26654047

        У распределения Коши не определено матожидание


        1. SergBag Автор
          26.03.2024 08:42
          #26654085
          +1

          Спасибо! Поправил комментарий.


      1. Arastas
        26.03.2024 08:42
        #26654185

        Смотрите, вы пишете в требованиях

        данные в выборке подчиняются нормальному распределению

        Но я не вижу, где бы это использовалось. Как справедливо уточнили, нам достаточно, чтобы эти моменты вообще существовали, и тогда все выводы будут работать и для нормального распределения, и для равномерного, и так далее. Зачем требовать нормальность?


        1. SergBag Автор
          26.03.2024 08:42
          #26654609
          +1

          С одной стороны, вы правы. Если распределение не будет нормальным, формулы расчета стандартного отклонения и стандартной ошибки не изменятся. С другой стороны, статистические инструменты и статистический вывод могут потерять адекватность, к которой мы привыкли, работая с данными, распределенными нормально.


          1. adeshere
            26.03.2024 08:42
            #26658225
            +4

             С другой стороны, статистические инструменты и статистический вывод могут потерять адекватность, к которой мы привыкли, работая с данными, распределенными нормально.

            Все правильно, но слишком заумно ;-) Попробую сказать то же самое чуть попроще (пояснить на примерах). А заодно добавлю парочку не совсем очевидных, но вытекающих прямо отсюда "последствий".

            Итак, допустим, мы хотим проверить какое-то предположение (гипотезу), и у нас есть для этого нужные данные. Обычно мы для этого используем какие-то формулы, и потом сравниваем полученное значение с критическим (тест на значимость). Так вот, для данных с нормальным распределением это критическое значение будет одно, а с другим - оно может быть совершенно иное.

            Например, мы хотим узнать, связаны ли X с Y, и вычисляем для этого корреляцию между ними (=Rxy). Так вот, для нормального распределения теория может сказать, что они связаны, если Rxy > 0.1. А для какого-то экзотического - связаны, только если если Rxy > 0.4 (при том же уровне значимости). Теперь допустим, что у нас по нашим данным получилось Rxy = 0.3. И какой же ответ будет правильным в нашем случае? Чтобы это узнать, надо проанализировать распределения X и Y. Если они оба нормальные - то наличие связи бесспорно. А если нет, то все намного сложнее...

            Проблема в том, что даже в достаточно профессиональных руководствах, доступных в сети, на указанный факт часто

            не обращают внимания.

            То есть, где-то на первой странице там мелким шрифтом написано: "Рассмотрим нормально распределенные случайные величины....". Но мы-то обычно ищем в Сети не фундаментальные знания, а ответ на конкретный вопрос. Нам нужно здесь и сейчас проверить значимость корреляции. Именно ради этого мы внимательно читаем вышеописанное руководство, но не все целиком, а лишь фрагмент со страницы 100500.42 и по страницу 100500.45. Где речь конкретно про корреляцию, и где черным по русскому сказано: критическое значение = 0.1! И приведены неоспоримые формулы.

            Упомянутая выше мной ссылка тоже, кстати,

            этим грешит.

            Вместо четкой и внятной фразы про нормальность там есть всего лишь слабый намек на необходимость прочесть "первую страницу":

            "...Выборочный коэффициент корреляции при определенных предпосылках связан со случайной величиной t... " (выделение жирным шрифтом - мое).

            По мне, так это попросту издевательство над читателем! Так как в жизни у нас в 90% случаев будут НЕ нормальные распределения! И, следовательно, все сказанное в таких руководствах без этой оговорки - это не просто недомовлка, а почти что мошенничество. Во всяком случае, злоупотребление доверием (т.е. намеренное введение читателя в заблуждение) налицо. В результате чего мы, получив Rxy = 0.3, часто делаем совершенно необоснованный вывод, что две переменные связаны. А хуже всего то, что при Rxy = 0.3 они действительно иногда могут быть вроде как связаны (а могут и нет). Из-за этого ошибка далеко не всегда очевидна, а не обоснованный статистически вывод может выглядеть очень правдоподобно.

            Я боюсь представить, какая буря может подняться, если копнуть эту тему поглубже. И речь тут даже не о дата аналитиках, которые рано или поздно доходят до всего нужного своими мозгами (ну а джунам простительно заблуждаться). Речь - про прорву научных статей с подобными ошибками в обработке данных.

            И если быть честным, то это лишь верхушка айсберга. Так как все выше сказанное - это про случайные величины. А на практике у нас в половине кейсов необходимо обрабатывать не случайные величины, а фактически временные ряды. Для справки: временной ряд - это когда изучаемая величина зависит от времени

            любым способом

            В частности, абсолютно все без исключения данные из продаж-экономики-медицины-геофизики и т.д. и т.п., если это только не мгновенный срез на определенную дату, это именно временные ряды. Такие данные не являются случайными величинами ни в каком приближении просто в силу гарантированного отсутствия эргодичности.

            И вот тут уже начинается полная катастрофа со значимостью абсолютно любых оценок. Которая кратно хуже "катастрофы распределений" хотя бы потому, что про нее (т.е. про "катастрофу случайных процессов") вообще почти никто и нигде не пишет. Из-за чего совершенно тривиальный (для понимающих суть проблемы) вопрос о связи пиратства с глобальным потеплением становится темой для множества квазипрофессиональных дискуссий, иногда даже осмысленных, но где видно искреннее непонимание сути проблемы ложных корреляций полупрофессионалами.

            Ситуация уже настолько далеко вышла за грань здравого смысла, что я честно попытался внести нужные правки в википедию. Где их, разумеется, отклонили, так как в википедии, согласно Правилам, нельзя просто так взять и написать "2х2=4": там надо обязательно сослаться на "авторитетный источник" (и это в общем разумно). Но где же я могу найти авторитетный источник, в котором бы обсуждался совершенно тривиальный и очевидный для математиков факт, что случайный процесс и случайная величина - это разные вещи?! Это то же самое, как искать в современных научных журналах статью, где бы на полном серьезе доказывалось бы, что Земля - круглая, а не плоская.

            В общем, я собрал свои разъяснения в виде упомянутой выше научно-популярной хабростатьи, к которой и отсылаю ищущих истину.

            Ну а что касается Википедии... тем хуже, имхо, для Вики :-((


            1. SergBag Автор
              26.03.2024 08:42
              #26661613
              +2

              Алексей, спасибо за великолепный комментарий!

              Но где же я могу найти авторитетный источник, в котором бы обсуждался совершенно тривиальный и очевидный для математиков факт, что случайный процесс и случайная величина - это разные вещи?!

              Рекомендую книги и научные статьи Нассима Талеба. В частности, Статистические последствия жирных хвостов.