Слышали ли вы когда-нибудь о теореме Эрроу? А может, о теореме о невозможности демократии?.. Теореме о неизбежности диктатуры! Как только её не обзывали за 70 лет с момента публикации! А вот, один из первых заголовков, выданных мне гуглом: “Как теорема Эрроу доказывает, что Лукашенко настоящий победитель”. Ну не сказка ли? И на добивку, в свое время в одном известном университете, славящимся высоким статусом универсантов, нам рассказывали следующее: “эта теорема долгое время была запрещена в СССР, так как подрывала ключевые идеи коммунистического режима”. Пруфов от солидного возраста тётеньки конечно же не последовало.
Но вот, что странно: уже 70 лет как доказано, что власть народа невозможна, а число демократий за это время лишь увеличилось. Ну тут либо всемирный заговор, либо наглая ложь в заголовке. И чего уж греха таить, журналюги опять всё напутали и изнасиловали первоначальную идею автора в угоду красивому названию (да мы и не против).
Но ведь чего-то эта теорема да стоит?! Как-никак, одна из центральных в докторской диссертации нобелевского лауреата по экономике! (Предвкушая вопрос, Нобелевку он получил либо не за неё, либо не только за неё). А я отвечу, что несмотря на то, что теорема довольно абстрактная, выводы из неё следуют преимущественно практические. Это как раз таки я и постараюсь до вас, дорогие мои котятки, донести.
Немного актуальности
Математики давно корпели над вопросом, как сделать самую честную избирательную систему. К середине прошлого века специалистам уже было понятно, что с существующими методами голосования что-то не так. Например, самая популярная система — голосование простым большинством — имеет множество изъянов. Одна из её проблем — кандидаты-спойлеры. Это такие кандидаты, которые не имеют шансов на победу, но продолжают участвовать в выборах. Например, есть небезосновательное мнение, что в президентских выборах в Германии в 1925 году Пауль фон Гинденбург победил другого кандидата — Вильгельма Маркса — с отрывом на 3 процента лишь благодаря тому, что непопулярный Эрнст Тельман пожелал продолжить участвовать в выборах. Он попросту перетянул на себя шесть процентов голосов, которые, вероятно, были бы отданы за Маркса, если бы Тельман выбыл. Кто знает, пришёл бы к власти в Германии один австрийский художник, если бы победил Маркс?
Способ голосования
Итак, в 1950 году один молодой ученый из самой свободной страны в мире решил рассмотреть модели голосования с формальной точки зрения. Для этого он соорудил следующую мыслительную конструкцию.
У нас будут некоторые избиратели рассматривать множество альтернатив с целью определить, какая — самая крутая, какая — похуже, но тоже нормальная, а какую можно сразу в мусор выкидывать.
Пусть каждый избиратель упорядочил для себя всех кандидатов от лучшего к худшему и записал их в этом порядке в список. К примеру, проранжировать можно следующим образом: каждый избиратель должен раскидать определенное число баллов по кандидатам. Одному он должен дать один балл, второму два и так далее до числа баллов равного числу альтернатив. Предполагается, что чем больше избиратель дал кандидату баллов, тем круче он в глазах избирателя.
Для примера рассмотрим такую достаточно простую ситуацию. Трое друзей выбирают, куда полететь в отпуск: в Сочи, в Минск, в Питер или в Ереван. Пусть все написали свои голоса (или упорядоченные списки) на бумажки. Получилось так:
1) Витя: Питер, Минск, Сочи, Ереван.
2) Петя: Минск, Сочи, Ереван, Питер.
3) Лиза: Ереван, Минск, Сочи, Питер.
Если раздавать баллы, то первый кандидат получает четыре балла, второй — три, третий — два, четвёртый — один. Такое описание предложил маркиз Кондорсе ещё в конце 18 века
Избирательная система
Эрроу задумался, а что если бы было какое-нибудь устройство, например коробочка, в которую все избиратели по очереди бросают листочки со своими предпочтениями. И после того, как в эту коробочку положил свой листок последний избиратель, она выдала бы новую бумажку, на которой по порядку выписаны все альтернативы, от лучшей к худшей.
Такая коробочка нужна, чтобы как-то разом представить все возможные и невозможные способы подсчитать голоса. Математики любят обобщения.
Например, коробочка может считать то, сколько баллов получил каждый кандидат. Вернёмся к нашим друзьям. Вот, как они могли бы распределить баллы:
1) Витя: Питер - 4, Минск - 3, Сочи - 2, Ереван - 1.
2) Петя: Питер - 1, Минск - 4, Сочи - 3, Ереван - 2.
3) Лиза: Питер - 1, Минск - 3, Сочи - 2, Ереван - 4.
Результаты голосования будут следующими:
- Питер: 6.
- Минск: 10.
- Сочи: 7.
- Ереван: 7.
Победил Минск. У Сочи и Еревана равное число голосов. Это неприятно, но, в принципе, допустимо. Полагаем, что для избирателей эти варианты равносильны. А вот Петербург проигрывает. Коробочка Эрроу выдаст одну из двух бумажек:
1) Минск, Сочи, Ереван, Питер.
2) Минск, Ереван, Сочи, Питер.
Вообще, таких систем подсчёта превеликое множество. Можно представить такую коробочку. Она "проводит турнир" и, к примеру, сначала определяет, кто круче, первая или вторая альтернатива, затем сравнивает третью и четвёртую, и так далее. Далее будут четвертьфиналы, полуфиналы и финалы. Таким образом определяется ранжирование.
Победитель среди пары определяется тем, кого больше, тех кто думает, что один вариант лучше другого или наоборот.
На примере с друзьями она может сделать следующее. Сначала сравнить пары Питер - Минск (Минск победит), затем Ереван - Сочи (победа за Сочи). Далее финал (Минск доминирует) и борьба за третье место (Ереван победил).
Получим такое ранжирование:
1) Минск, Сочи, Ереван, Питер
Ещё один интересный пример подсчёта голосов. Пусть, коробочка просто выдаст последнюю бумажку. Тогда результат голосования будет таким:
1) Ереван, Минск, Сочи, Питер.
Выглядит не очень честно, да? Такой результат голосования называют диктаторским. Если наша коробочка допускает и такие результаты, то, кажется, с ней что-то не так. Получается, нам нужны не все коробочки, а только справедливые, которые не допустят такого беспредела. Но как отличить справедливый способ подсчёта голосов от несправедливого?
Отсутствие диктатора
Для этого наложим на нашу выбирательную машину несколько вполне естественных ограничений.
Во-первых, не должно быть такой ситуации, когда машина всегда обратно выдаёт листок одного из кандидатов. Такие выборы и не выборы вовсе, а диктатура какая-то. Это будет первое условие, которое назовём правилом отсутствия диктатора. Как пример, голосование подсчётом баллов ему удовлетворяет.
Парето эффективность (Очевидное правило справедливости)
Однако это не единственное условие. Во-вторых, наша коробочка должна выводить, как-никак, общественное мнение. Так было предложено второе правило, которое математики назвали Парето эффективностью. Если все считают, что поездка в Ереван предпочтительнее поездки в Питер, то по результатам голосования так и должно остаться. То есть в финальном списке Ереван обязан стоять выше Питера.
Тут наша коробочка, считающая баллы тоже подходит. Если единогласно все поставят Еревану больше баллов, чем Питеру, то и сумма баллов у Еревана будет больше, нежели чем у Питера.
Независимость от сторонних альтернатив
Последнее свойство, называющееся независимостью от сторонних альтернатив — самое сложное. Оно как раз и позволяет избавиться от кандидатов-спойлеров в нашей идеальной системе выборов, ничего не поломав. На нашем примере оно будет звучать так. На итоговое мнение о том, что круче Сочи или Ереван не должно влиять мнение о других альтернативах. Так, если все избиратели внезапно в своих списках переставят местами Питер и Минск, то итоговое мнение о том, что первее, Сочи или Ереван, не изменится.
Однако введённое выше правило голосования большинством голосов не удовлетворяет этому требованию. Пусть друзья распределили баллы так:
1) Витя: Питер - 4, Минск - 3, Сочи - 2, Ереван - 1.
2) Петя: Питер - 1, Минск - 2, Сочи - 3, Ереван - 4.
3) Лиза: Питер - 4, Минск - 3, Сочи - 2, Ереван - 1.
По итогам голосования баллы распределяются так, что Питер круче Минска:
Питер — 9, Минск — 8, Сочи — 7, Ереван — 6
Заменим Ереван и Сочи на Ялту и Стамбул. Теперь товарищи проголосуют иначе, а именно:
1) Витя: Питер - 4, Минск - 3, Ялта - 2, Стамбул - 1.
2) Петя: Питер - 1, Минск - 4, Ялта - 2, Стамбул - 3.
3) Лиза: Питер - 4, Минск - 3, Ялта - 2, Стамбул - 1.
Теперь, несмотря на то, что те же люди Питер предпочитают Минску, по результатам голосования Минск лучше Питера:
Питер — 9, Минск — 10, Ялта — 6, Стамбул — 5.
Получается, такая система уязвима к тому, что люди думают о других кандидатах. То есть, мы, манипулируя выбором городов кроме Минска и Питера, можем склонить чашу весов в нужную нам сторону. Звучит не очень справедливо, да?
Немного про порядок
Обращу также внимание на то, что порядок, в котором кандидаты опускают свои бюллетени важен. То, есть вполне может произойти ситуация, когда наша абстрактная голосовальная машина выдаст разный результат, если, к примеру, поменять голоса Пети и Васи. По началу, это может показаться каким-то странным дополнительным ограничением, допускающим несправедливость. Однако заметим, что всё как раз наоборот. Ситуация, когда порядок неважен будет налагать на нашу волшебную выбирательную коробочку дополнительные ограничения, требующие одинакового ответа для всевозможных перестановок принимаемых голосов. А результат, который получил Эрроу ставит крест на системе и без этого дополнительного условия.
Теорема Эрроу
Теперь сформулируем теорему Эрроу:
Если альтернатив больше двух, то не существует избирательной системы, удовлетворяющей всем трём правилам справедливого голосования одновременно.
Несмотря на короткую формулировку, доказательство теоремы достаточно муторное. Оно скорее представляет собой некое упражнение в жонглировании формулами и идеями, нежели что-то конструктивное. Поэтому я его тут пожалуй опущу. Если дадите знать в комментариях, что вам это интересно, могу позже написать лонг с его разбором. А тем, кому совсем невмоготу, предложу пройти к прикреплённому документу и прочитать неплохую статью Саватеева и ко с разбором самого короткого доказательства (их ещё и несколько).
Жертвы
Самое интересное, что систем, удовлетворяющим каким-либо двум из трёх правил пруд пруди. Как пример, то же голосование большинством баллов. Получается, чтобы построить демократию надо чем-то жертвовать, но чем?
Отсутствие диктатора нужно позарез. Как-никак демократией занимаемся! Если убрать эффективность по Парето, то сломается интуитивное представление о справедливости. Поэтому чаще всего режут независимость от сторонних альтернатив. Для этого не нужно перелопачивать существующие системы, а можно просто продолжать законными методами манипулировать результатами голосования с помощью подставных альтернатив. И самое паршивое, что попробуй понять, перед тобой подставное лицо или инициативный комсомолец Вася Пупкин!
Как бы стрёмно не звучало, но всех всё устраивает. Ну а кто я такая, чтобы осуждать? С другой стороны, благодаря сему позорному недугу демократического процесса, как минимум, имеем фильм “День Выборов”. Не говоря уж о куче ситуаций с убер-майнд-геймами на выборах, за которыми так интересно наблюдать!
Можно сократить число альтернатив до двух: “За” и “Против”. Но эта процедура будет долгой и муторной. Да и если устраивать турниры между альтернативами, то всё равно, мы не уйдём от проблем исходного подхода.
Есть и другие способы голосования. Можно кубы катать, но о каком общественном мнении тогда может идти речь? Можно, например, попросить не проранжировать альтернативы, а оценить по 10-бальной шкале, и взять те, которые доставляют наивысший результат. Для такой системы, однако, найдётся манипуляций не меньше, чем для других подходов. Но об этом тоже как-нибудь в другой раз.
Заключительное слово
А может, вы, дорогие читатели, знаете какую-то систему выборов, которая не подвержена порокам описанного подхода и точно отразит мнение каждого избирателя? Делитесь в комментариях — это семя для хорошей дискуссии!
Автор: Лиза Иванова