Привет, меня зовут Диана. Я математик и автор хабраблога МТС. В прошлый раз рассказывала о поверхностях второго порядка, а сегодня хочу обсудить изящную топологическую теорему, у которой есть внезапные приложения в жизни — географии, экономике и политике. Ее следы можно найти в алгоритмах дележки, когда нужно распределять по долям какой-то неоднородный ресурс — данные, вычислительные мощности, бюджет. Например, с ее помощью можно разделить участки земли между фермерами, учитывая разные параметры: площадь, тип почвы, удаленность от дороги и прочее. Она такая немножко Сейлор Мун — за добро и справедливость.

Этот пост мог бы иметь кликбейтное название в духе «На противоположной стороне Земли сейчас такая же погода, как у вас!», но это не совсем верно. Почему — объясню ниже. А пока предлагаю разобраться с официальными формулировками и переложить их на понятный язык. Еще в тексте будут ссылки на связанные проблемы, которые научат нас грамотно резать бутерброды и причесывать ежей — в общем, надеюсь, получилось познавательно!

Формулировка и интерпретации на Земле

Итак, интересующая нас теорема названа именами двух ученых — Кáроля Бо́рсука и Стани́слова У́лама.

Пусть есть непрерывная функция, которая отображает точки n-сферы в точки n-мерного числового пространства: Тогда на сфере обязательно существует точка для которой верно, что

Небольшое уточнение: n-сферой называют фигуру, расположенную в (n+1)-мерном пространстве. Потому что она — лишь оболочка шара, кожура апельсина, у нее ниже размерность. Именно поэтому для однозначного определения точки на поверхности Земли достаточно всего двух координат. Тремя тоже можно, конечно, об этом еще поговорим позже.

Но вернемся к формулировке теоремы: по сути, она говорит, что на сфере есть противоположные точки, в которых совпадает значение какой-то непрерывной функции. Посмотрим на примере нашей планеты — для простоты ее поверхность будем считать сферой.

Для случая n=1 нам нужна 1-сфера в двумерном пространстве (то есть окружность) и какая-то непрерывная функция, которая возвращает одно значение. С окружностью все просто — берем экватор. В качестве функции в нашем случае нужно взять отображение в какую-то характеристику, которая плавно меняется при переходе от одной точки к другой. Обычно рассматривают температуру, давление, влажность, но можно и концентрацию CO₂, например. И правда: ведь не может быть так, что в какой-то точке у нас +30, а в соседней уже +20. Если вам кажется, что может, то математика вас перехитрит — задумывались ли вы, а что вообще такое «соседняя точка»? Потому что даже если для исходной точки вы нашли «соседнюю», на действительной прямой всегда есть такая, которая, скажем, в два раза ближе, и температура там явно будет между +30 и +20. Конечно, это всего лишь модель, но непрерывная функция и правда хорошо описывает температурную ситуацию.

Получается, что, согласно теореме, на экваторе всегда найдется пара противоположных точек, в которых совпадает температура. Но это верно и для любой другой окружности, не обязательно экваториальной.

Для случая n=2 можно взять уже всю поверхность Земли и функцию, которая будет возвращать уже два непрерывно изменяющихся параметра. Тогда можно утверждать, что в любой момент времени обязательно найдется пара противоположных точек на поверхности, в которых совпадают, скажем, температура и давление.

Чем это отличается от потенциального кликбейтного заголовка «На противоположной стороне Земли сейчас такая же погода, как у вас»? Во-первых, такая пара точек совершенно точно есть, но совсем не факт, что вы находитесь в одной из них. А во-вторых — совпадение температур и давлений еще не говорит об одинаковой погоде, на нее же влияют и другие факторы.

В одномерном случае доказательство опирается на теорему Больцано-Коши (Intermediate value theorem в англоязычной терминологии) — просто лучшую теорему матана, по моему скромному мнению. В общем случае все несколько сложнее — углубляться, с вашего позволения, не будем.

Олды могут помнить великолепный и хаотичный ютуб-канал Vsauce, на котором выходили странные видео про все вперемешку. В одном из них как раз упоминается наша теорема, там же можно посмотреть интуитивное доказательство на пальцах. Оттуда я узнала, что Тихий океан настолько большой, что в нем есть диаметрально противоположные точки планеты!

При чем тут ожерелье

Математические проблемы (в том числе разные серьезные теоремы) часто имеют формулировки на базе жизненных ситуаций. Весьма специфичных, но все же! Так понятнее, да и просто веселее. Вот некоторые, о которых вы могли слышать: задача о разборчивой невесте, задача о рюкзаке, задача коммивояжера.

По каждой из них написана куча текстов и снято множество видео. Даже комиксы есть!

Есть менее известная — задача о разрезании ожерелья. Сеттинг такой: грабители хотят справедливо разделить между собой ожерелье с бусинами разных цветов или из разных драгоценных камней. То есть каждый должен получить равное количество бусин каждого из цветов. При этом число разрезов должно быть как можно меньше — например, чтобы потерять как можно меньше металла в цепочке.

Вот тут можно посмотреть, как про это рассказывает Но́га Ало́н, один из авторов этой проблемы. Доказаны общие формулы для вычисления достаточного количества разрезов в каждом случае, даже если ожерелье состоит не из отдельных «дискретных» камней, а является непрерывным. Есть формула даже для многомерных ожерелий! Забавно, что при этом у нас нет алгоритма, а где конкретно резать-то. Так что не крадите ожерелье, потом с дележкой намучаетесь.

Задача о разрезании ожерелья имеет непосредственное отношение к теореме Борсука-Улама. Именно через нее доказывается, что если воров двое, а типов бусин — n, то всегда можно уложиться в n разрезов, каким бы ни был порядок бусин.

На первый взгляд, связи вообще нет, но с математической точки зрения — вполне себе. Если коротко: простейшая сфера в 3d-пространстве имеет уравнение а значит, ее точки можно задать упорядоченным набором из трех координат. Можно обойтись и двумя координатами, мы это уже упоминали выше, но сейчас путь будет через три. То есть чтобы получить точку, принадлежащую сфере, надо подобрать три числа так, чтобы они в сумме давали 1. И раздел ожерелья между двумя грабителями — тоже требует поиска трех чисел, которые в сумме дают 1.

Если хочется подробнее погрузиться в связь этих двух проблем и увидеть красивые сплющивания сферы в плоскость — приглашаю посмотреть великолепную анимацию и объяснение в видео от 3Blue1Brown.

А если хочется чего-то еще на топологическом — на том же канале есть прекрасное видео о гипотезе вписанного квадрата.

Родственные теоремы и немного геополитики

А вот еще интересные теоремы, которые связаны с нашей:

• Теорема о бутерброде — гарантирует справедливое разделение пополам бутера с разным количеством слоев. Видео о ней: в общих чертах и поподробнее.
  

• Теорема о справедливом разрезании торта. Здесь участников может быть сколько угодно. Вот тут описан алгоритм, если делят на троих. Для общего случая процедура долгая и неприятная, публикации на Хабре на эту тему: раз и два.
  

• Теорема Брауэра о неподвижной точке — самое известное ее приложение утверждает, что если вы положите на пол карту данной страны, то всегда будет точка карты, которая лежит четко над той точкой планеты, которую она репрезентирует. Вот тут классное видео про другую интерпретацию.
  

• Чуть более дальняя родственница, которую тоже упомяну, ибо это лучшее название теоремы в истории математики — теорема о причесывании ежа. Утверждает, что невозможно причесать свернувшегося клубком ежа так, чтобы у него не торчала ни одна иголка. На английском нейминг тоже великолепный — hairy ball theorem. Гусары, молчать!

Пока я готовила этот текст, наткнулась на еще одно интересное приложение теоремы Борсука-Улама — в геополитике. Из нее следует, что при определенных условиях всегда есть способ разделения территории, при котором каждая группа населения будет иметь пропорциональное представительство. Поэтому в США (и не только) изменение границ избирательных округов может дать той или иной партии преимущество на выборах. У махинации с изменением границ для достижения разных целей даже есть свое название — джерримендеринг. Вот любопытная публикация на эту тему, на Хабре про это тоже есть.

На этом у меня все, спасибо за внимание!