Дисклеймер: основная мысль приведённого ниже текста вынесена в заголовок. Формул и графиков будет самый минимум, меньше уже некуда. Я прочитал множество (не очень большое) статей о Гипотезе, посмотрел популярные объяснения на ютюбе от разных авторов. Потом собрал волю в кулак и прочитал книгу «Простая одержимость» Дербишира. Понял ли я что‑то? Ну, что‑то понял. Но до сути всё‑таки пришлось продираться самому. Здесь не будет ничего о Гипотезе в части её истории или выведения формул. Все формулы и графики я честно спостулировал из интернета. Но я могу объяснить о чём эта Гипотеза и почему это интересно мне. То есть я собираюсь ответить на вопрос: зачем она?

Сначала хочу немного развернуть мысль, почему существующие популярные объяснения Гипотезы меня не устроили. Основная претензия такая: мне объясняли, подробно разжёвывая, то, что и так ясно, при полном умолчании о том, чего я не понимаю. В каком‑то ролике два чувака с умным видом рассказали мне, что сумма всех натуральных чисел равна -1/12, переглянулись и заявили, что мне придётся этот факт принять без объяснений. Ну, если, уж, вы заявили что‑то настолько абсурдное, то хотя бы попытайтесь объяснить. Если не можете — вы так себе популяризаторы. И единственная причина, зачем вы мне об этом рассказали, — подчеркнуть свою элитарность. Кстати, я честно попытался разобраться; понял, что речь про суровый матан функции комплексной переменной (в институте, увы, у меня такого не было). Даже начал смотреть лекцию про аналитическое дополнение функции; и понял, что я туда не хочу. К счастью, дальше выяснилось, что сей факт (что значение дзета‑функции Римана при s=-1 равно -1/12) никак на понимание Гипотезы не влияет.

Итак, у меня есть куча формул, графиков и рассуждений. Сначала я попытался собрать на одном листе А4 всю информацию, необходимую мне, чтобы уложить всё в голове. На одну страницу влезло почти всё. Но кое‑что (пара графиков) не влезло. И дальше пришло понимание, что без сопровождающих объяснений всё равно не обойтись. Поэтому родилась эта статья (как бы я хотел, чтобы мне объяснили Гипотезу; пишу в основном для себя, чтобы перепроверить картинку, сложившуюся в голове).

Прежде чем погрузиться в математику, несколько общих рассуждений. Почему я это пишу, а вы это читаете? У меня есть ответ (про себя): так устроен мой ум, он идёт туда, где интересно. А что мне интересно и почему это так работает? На это у меня тоже есть общий ответ. Интересно мне что‑то новое, неизвестное. А ещё больше мой ум тянет туда, где тайна. Почему? Это работа механизма выживания: если ты встречаешь что‑то тебе неизвестное, оно может тебя убить, поэтому тебе важно это изучить и понять. То есть построить упрощённую работающую модель и включить это новое в свою картину мира.

Давайте на примере. В детстве мне была интересна математика. У меня был справочник элементарной математики, я прочитал его от корки до корки (сам, честно, меня никто не заставлял). Если вдуматься, забавно, как механизм выживания срабатывает в области математики, которая непосредственно к выживанию относится примерно никак. Но так это работало.

В этом справочнике было про числа. Есть натуральные числа. Если к N прибавить 1, получается следующее натуральное число. (N+1) — это упрощённая модель. Про натуральные числа можно много чего сказать: бывают чётные и нечётные, есть прикольная основная теорема арифметики, но (N+1) мне достаточно, чтобы включить натуральные числа в картину мира и успокоиться.

Простота — главное достоинство модели, тогда её легко применять. Поэтому, кстати, ум ленив; сложность быстро утомляет.

А мой интерес к математике пошёл дальше: есть расходы и долги, нужны отрицательные числа — вместе с натуральными получаем целые числа. Нужно неделимое целое поделить на части — нужны рациональные числа. Корень из 2 нельзя представить в виде дроби из натуральных чисел, хорошо — добавляем иррациональные.

В школе мы проходили квадратные уравнения, а уравнения третьей степени не проходили. Потому что формула корней уравнения 3-й степени записывается в комплексных числах (да, да, в справочнике элементарной математики этого не было, это я потом узнал). Но комплексные числа нужны — добавляем! Потом есть ещё алгебраические и трансцендентные числа. И эта матрёшка на этом не заканчивается. Но простая модель сформирована, модель чисел в картину мира встроена, ум успокоился.

Механизм понятен. Но почему именно Гипотеза Римана? Понятно, что хайп поднял Гильберт, включив её в 1900 году в список математических проблем тысячелетия (не буду перепроверять под каким номером, не суть; восьмым?). Саспенсу добавило то, что три проблемы, относящиеся к теории чисел, кто‑то из великих, возможно сам Гильберт, проранжировал по сложности так: самая простая — Гипотеза Римана, потом вторая (не помню, о чём она), и третья, самая сложная — Великая теорема Ферма. Как вы знаете, теорему Ферма уже доказали, как и вторую безымянную здесь проблему. А Гипотеза Римана не решена по сей день.

Но мне кажется, дело не только в хайпе. Речь про упомянутую выше вскользь тайну, которая притягивает ум. Вернёмся к матрёшке из различных чисел. В самом начале — самое простое, натуральные числа. Но подождите, есть ещё простые числа — некое подмножество натуральных. Казалось бы, это должно быть что‑то, ну, совсем элементарное. У простых чисел даже собственных делителей нет. Это базовые кирпичики для построения остальных чисел. Берем простое число P. Какое следующее простое число? Где общая формула, по типу (N+1)? Её нет.

Берём чётное число N, прибавляем к нему 1, и — хлоп — полученное число простое. Или нет. Снова прибавляем 2, полученное число тоже может быть простым, а может не быть. Откуда берётся простота числа? На сколько бы мир был проще и понятнее, если бы у нас было, например, 7 простых чисел, а остальные составлялись из них.

Или у нас могла бы быть навороченная формула P_N+1 = f(P_N), в которую входила бы новая математическая константа, конечно, трансцендентная. Это тоже было бы понятно — ну, ещё одна «квадратура круга».

Но всё устроено по‑другому: размер неделимых «кирпичей» для чисел растёт неограниченно. И мы не понимаем, как — откуда берётся эта простота?

Я знаю, что в математике есть операторы, тензоры, пространства функций — сложных объектов хватает. Но когда вы наворачиваете многоэтажную конструкцию в бесконечномерном пространстве, сложность возникает сама собой. А откуда берётся сложность в самом простом объекте математики — натуральном числе? Тайна сия велика есть.

Великие математики, видимо, рассуждали примерно в ту же сторону. Поэтому Риман решил, если у нас нет формулы для следующего простого числа, давайте придумаем другую, которая как‑то прояснит ситуацию. И в 1859 году представил свою формулу и мимоходом до кучи выдвинул гипотезу. Вот к этой формуле мы и движемся.

Формуле Римана немного не повезло, ей пришлось пылиться на полке до 1900 года, когда Гильберт стряхнул с неё пыль. А до этого умы математиков занимала другая задачка, попроще — ТРПЧ (теорема распределения простых чисел). Та, которая π(x) ~ Li(x).

ТРПЧ доказали уже после Римана. Математики взобрались на холм и увидели гору.

Ну, что ж, сколько не оттягивай, а без формул не обойтись — вот они.

Здесь есть всё, что нам нужно. Давайте сначала просто перечислим, что изображено на нашей доске с изображениями, а потом подробнее рассмотрим каждый элемент.

У нас есть 3 графика:

— большой по центру — визуализация ТРПЧ;

— слева — нули дзета‑функции Римана;

— справа — сравнение графиков функций π(x) и J(x).

Теперь формулы:

— сверху — произведение Эйлера;

— под ним — функция π, выраженная через функцию J; и функция J, выраженная через функцию π;

— ещё ниже: слева — определение функции Li(x), справа — формула Римана (нам сюда!);

— и текст в самом низу — определение функции Мёбиуса μ(n).

Подозрительно нигде не видно дзета‑функции Римана, вот этой: ζ(s). Она фигурирует неявно слева от знака равно в формуле произведения Эйлера. Правда у Эйлера s натуральное, а у Римана комплексное, ну, да, это нюансы. Формула нам особо и не нужна; добавил её, потому что она компактная. И красивая: когда сумма по всем натуральным числам равна произведению по всем простым числам — это завораживает («это жжжж неспроста»!).

Формула Li(x) приведена, чтобы показать, что в контексте Гипотезы она довольно элементарна. И раз уж мы её используем в формулировке и визуализации ТРПЧ, вот вам определение.

Так же и функция Мёбиуса тут появилась только потому, что через неё выражена π(x). Текст определения кажется навороченным, на самом деле μ(n) — это всего лишь аналог решета Эратосфена, она прореживает числовой ряд, оставляя какие‑то элементы без изменения, меняя знак другим, и умножая на 0 третьи. Эти манипуляции только повышают шансы на сходимость ряда.

Мы приближаемся к цели нашего путешествия. Но сначала — небольшое, но важное, отступление. Все эти формулы‑графики, конечно, приводятся в популярных статьях и роликах о Гипотезе. Что же помешало мне её понять в момент чтения / просмотра? Я готов сформулировать ответ: господа популяризаторы в погоне за полнотой излагаемой информации в сжатых рамках формата обзорной статьи забыли расставить акценты — что же важно? Вся эта математика, чтобы что? Давайте же эти акценты расставим, упростив по максимум всё, что можно (и даже, если с точки зрения математика так упрощать нельзя, позволим себе это, чтобы за деревьями увидеть лес).

Напоминаю, что, не имея общей формулы для простого числа P_N+1=f(P_N), мы решили хотя бы посчитать π(x) — сколько всего простых чисел от 2 до x включительно. Арифметика (теория чисел) с этой задачей не справилась, пришлось подтянуть тяжёлую артиллерию — математический анализ. Поэтому в формулах x у нас вещественное число, а s и ρ, уж, извините, комплексные.

А тут будет самое слабое звено моего спича. Дело в том, что мы хотим посчитать π(x), именно π(x) может нам что‑то рассказать о природе простых чисел, ТРПЧ сформулирована для π(x), а Риман свою формулу вывел для J(x). И мне сейчас нужно вам объяснить, что ничего страшного! Посмотрите на график: J(x) — это просто сглаженный аналог π(x). Что качественно всё, что мы выясним для J(x), будет также справедливо и для π(x). Я понимаю, что график в математике ничего не доказывает (сильно правее функции могут разбежаться), что подобные утверждения нужно доказывать. Если вы не готовы принять такой уровень вольности в изложении, то получается, я вас обманул — у меня нет для вас математически корректного объяснения Гипотезы (с чистой совестью можете написать КГ/АМ). Если же вы, как я, готовы сделать этот «прыжок веры», то он приведёт нас прямиком к формуле Римана. В своё оправдание могу добавить только два аргумента:

1) Дербишир в своей «Простой одержимости» тоже делает этот переход от π(x) к J(x), совершенно по этому поводу не рефлексируя. π(x) можно выразить через J(x), поэтому отлично — забыли про π(x), говорим про J(x).

2) Несмотря на то, что в определении J(x) через π(x) присутствует сумма бесконечного числа элементов, на самом деле для любого x число слагаемых всегда конечно, потому что повышающаяся степень корня из x за конечное число шагов N сделает аргумент x^1/N меньше 2, и все слагаемые с N‑го и далее до бесконечности на самом деле равны 0 (потому что 2 — первое простое число, перед ним нет ни одного). То есть никакой сингулярности нет, и мы всегда, зная, как ведёт себя J(x), сможем сказать что‑то определённое и про π(x).

Мы добрались до формулы Римана! Но я хочу ещё упростить её запись: J(x) равна сумме четырех членов; второй обозначим второй буквой греческого алфавита, а третий и четвёртый пренебрежимо малы, поэтому обозначим их сумму через символ бесконечно малого элемента (доказывать сей тезис тоже не будем).

J(x) = Li(x) — β(x) + ε.

И сравним с ТРПЧ: π(x) ~ Li(x).

Что нам даёт дополнительно формула Римана, чего нет в утверждении ТРПЧ? Конечно, прежде всего это знак равенства. Если ТРПЧ утверждает что‑то только в пределе, то есть на бесконечности — там, куда мы в силу ограниченности наших ресурсов, включая время, никогда не доберёмся, формула Римана работает везде, то есть даже в серой зоне между интервалом простых чисел, который мы можем обсчитать на современных компьютерах, и той самой бесконечностью, где π(x) и Li(x) сливаются в одну линию до полной неотличимости.

И есть второе отличие — то, что и обеспечивает переход от «асимптотически стремится» к «равно» — это второй (он же остаточный — то, что остаётся, если из J вычесть Li) член формулы Римана (мы обозначили его β). Принимая на веру утверждение, что ε пренебрежимо мало, получаем, что именно остаточный член формулы Римана определяет, как J(x) себя ведёт там, где мы не можем проверить расчёты на компьютере.

Перед тем, как внимательно вглядеться в формулу остаточного члена, посмотрим ещё раз на график, визуализирующий ТРПЧ. Немного позанимаемся аппроксимированием — мысленно продолжим все три графика вправо. Мы знаем, что все три графика неограниченно возрастают, при этом Li(x) и x/ln x растут монотонно, то есть мы не ждём от них никаких сюрпризов — резких скачков вверх или вниз не будет. А что с π(x)? Мы знаем финал этого процесса (ТРПЧ доказана), поэтому на самом деле вариантов не очень много:

1) Самый скучный прогноз: π(x) монотонно растёт под Li(x) и над x/ln x.

2) Но тревожный звоночек уже прозвенел: доказано, что очень сильно вправо, при очень большом x графики Li(x) и π(x) пересекаются, то есть π(x) поднимается над Li(x). Из формулировки я понял, что точное значение места пересечения неизвестно, доказали только, что оно не меньше некоторого конкретного очень большого x.

3) Дальше π(x) может монотонно приближаться к Li(x) уже сверху, а может пересечь Li(x) ещё один раз или конечное число раз.

4) И кажется последний возможный вариант: π(x) бесконечное число раз пересекает Li(x), то есть колеблется относительно Li(x), как синусоида относительно оси X; только колебания эти в пределе затухающие.

Каждый из вариантов рождает свои уточняющие вопросы: если количество пересечений конечно, почему именно столько раз? если бесконечно — каков закон колебаний (каковы периоды, амплитуды)? Каково максимальное относительное отклонение π(x) от Li(x)? Что является причиной эволюций π(x) относительно Li(x)? Не скрыта ли в ответах на эти вопросы природа простоты простых чисел?

Ответить на эти вопросы нам должен остаточный член формулы Римана:

β(x) = Σ _ρ Li(x ^ρ).

Итак, мы знаем, чего мы хотим, и знаем, с кого спросить. Но тут нужно пристегнуться, потому что «элементарная» математика закончилась, дальше — только хардкор.

В формуле остаточного члена нам понятно почти всё: мы суммируем по некоторому набору чисел ρ интегральные логарифмы от x в степени ρ. Всё понятно, кроме этого самого ρ. Что это?

Тут нам поможет простая аналогия. Все мы решали в школе квадратные уравнения, например, x²‑x-6=0. В ответе получаем корни -2 и 3. И можно переписать так: (x+2)(x-3)=0. Корни -2 и 3 — это нули функции f(x) = x²‑x-6. Это lvl 1 математического скила.

А Риман на своём lvl 80 через ρ обозначил корни уравнения ζ(s)=0, причём не все. Давайте на них посмотрим — остался один элемент на доске, который мы ещё не разглядывали. Сейчас объясню, что тут изображено.

Начать нужно с того, что s — комплексное число. А дзета‑функция Римана отправляет все точки комплексной плоскости в другие точки другой комплексной плоскости. Представить это как‑то визуально в целом я категорически не могу. Думаю, что у других примерно такая же ситуация (про Римана есть сомнения). Поэтому будем есть слона по частям.

Берём прямоугольный кусок комплексной плоскости от -5 до +2 по вещественной оси и от 0 до 60 по мнимой. Сразу обращаем внимание, что это плоскость аргументов; значений дзета‑функции здесь нет и не будет. Нас интересует только одно значение — 0, поэтому плоскость значений нам ничего интересного не покажет — будет куча кривых, проходящих через начало координат. Разбиваем этот прямоугольник на точки с каким‑нибудь мелким шагом. Берём Phyton, подключаем математический пакет, в котором есть дзета‑функция. Для каждого s из полученного набора точек считаем значение ζ(s). Если получили чисто вещественное значение (мнимая часть равна 0 с учётом точности вычислений) — ставим синюю точку; если значение чисто мнимое — ставим красную; в остальных случаях ничего не делаем.

Долго ждём, получаем жалкое подобие графика на картинке. Зато теперь ясно, что мы видим: синие точки дзета‑функция отправляет на вещественную ось на плоскости значений; красные — на мнимую ось. Соответственно, точки пересечения красных и синих линий попадут и на вещественную ось, и на мнимую — то есть точно в начало координат. Это и есть нули дзета‑функции.

Что математикам известно про эти нули? Их бесконечно много. Часть из них лежит на вещественной оси. На самом деле все целые чётные отрицательные числа {-2, -4, -6, -8, …} — это нули дзета‑функции Римана. Но так получилось, что, когда Риман выводил свою формулу, все эти нули всем своим бесконечным числом сократились. Поэтому Риман назвал их тривиальными. То есть в ρ эти нули не входят. На графике в нижней части затесались два таких нуля. Они нам не интересны.

Остальные нули лежат на критической полосе: красная вертикальная полоса между 0 и 1. И их тоже бесконечно много. На картинке приведено 13 таких нулей. Также выписаны их значения, точнее значения их мнимой части — все они иррациональны. А вещественная часть всех 13 нулей равна ½, то есть они лежат на критической прямой x=½.

Я тут, кстати, вспомнил, что пока нигде не привёл формулировку Гипотезы, так что уместно её наконец сформулировать: Риман предположил, что все нетривиальные нули лежат на критической прямой (их вещественная часть равна ½). То, что они лежат на критической полосе, уже известно, а вот про критическую прямую — это Гипотеза. На сегодня проверено (естественно на компьютере) порядка 10¹³ нулей — все они соответствуют Гипотезе. Тенденция, однако…

А нам пора вернуться к β от вещественного x. Напоминаю: мы хотим его посчитать. И для этого нам нужно посчитать сумму бесконечного числа элементов на множестве комплексных чисел ρ. В ρ входят 13 точек, отмеченных на графике, и ещё бесконечное множество других чисел вида a+bi, где 0<a<1. А считать и складывать мы будем Li(x^ρ).

Согласен, сложно! Поэтому двигаться будем небольшими шагами.

Прежде всего отметим, что, когда мы считаем β(x) для конкретного x, x становится константой. Чтобы подчеркнуть этот момент, предлагаю взять x=20:

β(20) = Σ _ρ Li(20^ρ), где ρ — дискретный (бесконечный) набор комплексных чисел.

А что мы можем сказать о функции 20^a+bi? Как работают степени с комплексным показателем? На самом деле ничего сверхсложного тут нет. Нужно взять отрезок вещественной оси [0; 20^a] и повернуть его вокруг начала координат на угол, заданный мнимой частью b.

Обращаем внимание, что, если гипотеза Римана верна, все точки 20^ρ лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом √20.

Двигаемся дальше, в формуле для β есть ещё Li — интегральный логарифм. Поверим на слово популярным источникам, функция 20^1/2+bi накручивает прямую x=½ на окружность с радиусом √20, а Li разматывает её в сжимающуюся спираль. Примечательно, что спираль эта закручивается вокруг точки πi. И опять же, если Гипотеза верна, все точки Li(20^ρ) лежат на этой спирали. Точнее, с учётом оговорки, которая будет ниже, на этой спирали лежат только нули, расположенные выше вещественной оси.

То есть нам надо найти бесконечное количество точек на какой‑то непонятной спирали (причём не факт, что они все лежат на этой спирали, — Гипотеза не доказана) и сложить их. Задача кажется неподъёмной. Но тут есть две хорошие новости.

1) Дзета‑функция Римана устроена так, что если (a+bi) — это нетривиальный нуль, то (a‑bi) — тоже нетривиальный нуль, его называют сопряжённым.

2) Интегральный логарифм Li(s) устроен так, что если Li(20^a+bi)=c+di, то Li(20^a‑bi)=c‑di.

И тогда мы можем складывать наше бесконечное число слагаемых парами:

(c+di) + (c‑di) = 2c. Мнимая часть сокращается, вещественная часть удваивается для каждой такой пары сопряжённых нетривиальных нулей. А спираль на графике на самом деле имеет под вещественной осью своё зеркальное отражение, наматывающееся на точку ‑πi.

Тут, видимо, пора привести график, который не поместился на нашу основную доску.

А вот так на графике выглядят эти парные суммы 2c:

Мы должны сложить значение по оси Y для всех этих точек. Ряд должен сходиться, потому что в сумме мы должны получить остаточный член формулы Римана β(20).

Давайте зафиксируем, что мы сделали. У нас было вещественное число 20, мы вышли на комплексную плоскость, через нетривиальные нули дзета‑функции посчитали сумму (сделаем вид, что нам это удалось) и вернулись в область вещественных чисел. Ничего не напоминает?

Я уже упоминал подобный финт: математики долго не могли найти решения кубического уравнения в вещественных числах; но оказалось, что если ввести более сложный объект — комплексное число — и разработать арифметику комплексных чисел, то можно найти вещественные корни кубического уравнения. Для этого нужно записать выражение в комплексных числах и посчитать его по правилам арифметики для комплексных чисел. Мнимые части при этом сокращаются, корни уравнения получаются вещественные. То есть математикам не впервой выходить в астрал, выполнять там непонятные простому человеку манипуляции и возвращаться в реальность с готовым ответом.

В русском языке есть идиома «выйти из плоскости». Когда проблема кажется нерешаемой, полезно взглянуть на неё под неожиданным углом. Самый наглядный пример, который я знаю — это задачка про построение четырёх равносторонних треугольников из 6 спичек. Попробуйте сделать это на плоскости, а когда не получится, просто выйдите в 3 измерения. Формула Римана — это то же самое, только на другом уровне математического скила.

Итак, я резюмирую. Мы не можем понять природу простых чисел. Риман попытался как‑то её прояснить и установил связь между распределением простых чисел и нулями дзета‑функции. При этом привычные простые числа были заменены на суммы бесконечного количества комплексных чисел с иррациональной мнимой частью. Выглядит, как обмен шила даже не на мыло, а на непонятную субстанцию, с которой не ясно, что делать.

Но точную формулу для J(x) Риман нам подарил. Кто сказал, что где‑то там, в астрале нет общей формулы для простых чисел P_N+1 = f(P_N)? Как её найти? Ну, например, глубже анализировать эти самые нули. И для начала доказать, что все они лежат на критической прямой. В процессе доказательства могут проясниться интересные вещи, которые мы сейчас не понимаем.

Ну, или вдруг может найтись нетривиальный нуль с вещественной частью, отличной от ½. И тогда сразу возникнет вопрос: а что случилось? Что сломало тенденцию, построенную на 10¹³ точках? И ответ тоже может много чего прояснить.

В математике, в отличие от теоретической физики, всё честно — никаких «квантовых эффектов» и «принципов неопределённости». И доказательство Гипотезы мне интереснее, чем вся современная теоретическая физика, в которой очень много сложной математики и очень мало физического смысла.

Есть ещё интересная теория, что простые числа — это описание идеального хаоса. Хаос — это то, что не подчиняется никакому формальному закону. Поэтому и общей формулы для них нет. Но в эту сторону подумаем как‑нибудь в другой раз.

Ну, а что ответить на вопрос о практическом применении Гипотезы?.. Наверно, то, что интерес не обязан быть практичным. Есть ещё красота.