Из квантовой механики в гидродинамику / forpes.ru

Главная
Из квантовой механики в гидродинамику

Из квантовой механики в гидродинамику +6

22.09.2025 16:50

LeonidBad 0 874 Источник

Здравствуйте, дорогие друзья! Иногда в голову приходят интересные идеи. Например, можно ли свести уравнение Шрёдингера к чему-то другому, уже известному нам? Оказалось - да!

И вариантов таких преобразований безумно много, но сегодня мы остановимся на одном конкретном. Звучит безумно, но оказывается, уравнение Шрёдингера эквивалентно уравнению Навье-Стокса. И сейчас вы увидите, как перейти от одного к другому.

Переход от Шредингера к Навье-Стоксу

Ну, во-первых, запишем наше любимое уравнение Шрёдингера:

$i \hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{m}\Delta \Psi + U\Psi$

Думаю, что наши читатели и так знают, что в нём к чему, но для новичков поясню: первое слагаемое - это эволюция состояния во времени, второе отвечает за импульс, а третье - за потенциальную энергию.

Ну и никто нам не запретит переписать комплексную функцию $\Psi$ в виде амплитуды и фазы. Тут любители калибровок уже понимают, к чему я веду.

$\Psi = A(\vec{r})e^{i\Phi (\vec{r})}$

$A(\vec{r})$ - это уже вещественная функция амплитуды, а $\Phi (\vec{r})$ - отвечает за фазу функции.
Подставим этот вид в уравнение Шрёдингера, для этого вычислим производные:

$\frac{\partial\Psi}{\partial t} = \left(\frac{\partial A}{\partial t} + i A\frac{\partial\Phi}{\partial t}\right)e^{i\Phi}$

Градиент и лапласиан:

$\nabla\Psi = \big(\nabla A + i A\nabla\Phi\big)e^{i\Phi}$ $\Delta\Psi = e^{i\Phi}\Big(\Delta A + 2i\nabla A\cdot\nabla\Phi + i A\Delta\Phi - A(\nabla\Phi)^2\Big)$

Подставляем в уравнение и сокращаем общий множитель $e^{i\Phi}$ .
Подстановка даёт:

$i\hbar\Big(\frac{\partial A}{\partial t} + i A\frac{\partial\Phi}{\partial t}\Big) = -\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\Delta A + 2i\nabla A\!\cdot\!\nabla\Phi + i A\Delta\Phi - A(\nabla\Phi)^2\Big) + U A$

Мнимая часть - уравнение непрерывности

Равенство мнимых частей даёт:

$\hbar\frac{\partial A}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Big(2\nabla A\cdot\nabla\Phi + A\Delta\Phi\Big)$

Умножаем на и используем $\rho = |A|^2$ :

$\frac{\partial\rho}{\partial t} = -\frac{\hbar}{m}\left(\nabla\rho\cdot\nabla\Phi + \rho\Delta\Phi\right) = -\frac{\hbar}{m}\nabla\cdot(\rho\nabla\Phi)$

Определим скорость как:

$\mathbf v = \frac{\hbar}{m}\nabla\Phi$

Получаем уравнение непрерывности:

$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf v)=0$

Действительная часть квантовое уравнение Гамильтона–Якоби

Сравниваем действительные части:

$-\hbar\frac{\partial\Phi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\Delta A}{A} + \frac{\hbar^2}{2m}(\nabla\Phi)^2 + U$

Введём $S = \hbar\Phi$ , тогда $\nabla S = m\mathbf v$ :

$-\frac{\partial S}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\Delta A}{A} + \frac{1}{2m}(\nabla S)^2 + U$

Выделим квантовый потенциал, он называется потенциалом Бома:

$Q = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\Delta A}{A} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\Delta\sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}}$

Итоговое уравнение:

$\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{(\nabla S)^2}{2m} + U + Q = 0$

Уравнение Эйлера для скорости

Берём градиент:

$m\left(\frac{\partial\mathbf v}{\partial t} + (\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v\right) + \nabla U + \nabla Q = 0$

Разделим на :

$\frac{\partial\mathbf v}{\partial t} + (\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v = -\frac{1}{m}\nabla U - \frac{1}{m}\nabla Q$

Подставим :

$\frac{\partial\mathbf v}{\partial t} + (\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v= -\frac{1}{m}\nabla U + \frac{\hbar^2}{2m^2}\nabla\left(\frac{\Delta\sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}}\right)$

Система Маделунга

Мы получили Систему Маделунга — это эквивалентная форма уравнения Шрёдингера, записанная через:

$\rho = |\Psi|^2$ - плотность вероятности (как плотность жидкости).
$\mathbf v = \frac{\hbar}{m}\nabla\Phi$ - поле скорости «квантовой жидкости».
- квантовый потенциал, порождающий интерференцию, туннелирование и другие квантовые эффекты.

Уравнение Шрёдингера превращается в систему уравнений гидродинамического типа:

$\begin{aligned} &\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf v)=0,\\[6pt] &\frac{\partial\mathbf v}{\partial t} + (\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v = -\frac{1}{m}\nabla U + \frac{\hbar^2}{2m^2}\nabla\left(\frac{\Delta\sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}}\right). \end{aligned}$

Левая часть второго уравнения — так называемая конвективная производная:

$\frac{D\mathbf v}{Dt} = \frac{\partial\mathbf v}{\partial t} + (\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v$

Она описывает перенос не только за счёт конвекции, но и за счёт переноса массы жидкости, а градиент в правой части нужно сначала скалярно умножить на вектор перед применением - и получится новый оператор с разным весом в разные направления.

Сравнение с уравнением Навье–Стокса

Уравнение Навье–Стокса для сжимаемой жидкости:

$\frac{\partial\mathbf v}{\partial t} + (\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v= -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\Delta\mathbf v + \mathbf f$

, где: - давление, $\nu$ - коэффициент вязкости, $\mathbf f$ - внешние силы.

Сходство:

В системе Маделунга роль давления играет градиент квантового потенциала .
В отличие от классической жидкости здесь нет вязкости ( $\nu = 0$ ), поток идеален.
Появляется чисто квантовая нелинейная «добавка» , связанная с кривизной плотности вероятности.

Дискретная форма

Переходим от полей к дискретным частицам с индексами и траекториями $\vec{r}_n(t)$ :

$\vec{v}_n(t) = \vec{v}(\vec{r}_n, t)$

Уравнения для частиц:

$\frac{d\vec{v}_n}{dt} = -\frac{1}{m}\nabla U + \frac{\hbar^2}{2m^2}\nabla\left(\frac{\Delta\sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}}\right)\Bigg|_{\vec{r}=\vec{r}_n}$

Плотность вдоль траектории изменяется как:

$\frac{d\rho_n}{dt} = -\rho_n\nabla\cdot\vec{v}\Big|_{\vec{r}=\vec{r}_n}$

Мы получили лагранжевую систему, где частицы движутся по полю скоростей.

Это не просто красивая аналогия, она позволяет:

Моделирования токов электронов в транзисторах, где поток электронов можно рассматривать как квантовую жидкость. В нанотранзисторах волновая природа тока критична. Система Маделунга позволяет описывать транспорт электронов на уровне плотности и скорости без решения всей квантовой задачи напрямую.
Дает возможность комбинировать с методами молекулярной динамики.

Пример симуляции течения электронов в транзисторе с помощью этой системы

Применение в компьютерной графике

В статье Гидродинамика Шрёдингера на пальцах показано, что систему Маделунга можно использовать для симуляции потоков жидкости в графике игр и фильмов:

Волновая функция дискретизируется на сетке.
Решение уравнения Шрёдингера на шаг времени даёт эволюцию плотности.
Интерференция и вихри появляются автоматически, без ручной настройки.

Визуализация данного метода

Заключение

Мы начали с простого вопроса: можно ли переписать квантовую механику так, чтобы она выглядела как классическая гидродинамика? И шаг за шагом увидели, что уравнение Шрёдингера в полярной форме действительно приводит нас к системе, формально эквивалентной уравнениям Навье–Стокса для идеальной жидкости. При этом привычная волновая функция распадается на плотность и фазу, а квантовые эффекты аккуратно прячутся в виде «квантового потенциала».

Эта формулировка не просто красива математически — она открывает дорогу к практическому применению. И всё это — результат одного аккуратного преобразования.

Так что, возможно, квантовая механика и не так уж далека от классической физики, просто смотреть на неё нужно под другим углом.

P.S. Перед публикацией статьи, увидел на Хабре шикарную статью с похожей темой, всем, кто захотел больше практических примеров, советую ознакомиться.

Кстати если хотите увидеть как перейти от уравнения Шредингера к уравнению Ньютона, пишите в комментариях, может напишу и про это.

Подготовлено сообществом

Комментарии (0)

DrPetrovich
22.09.2025 18:43
#28869278
Класс. Интересно, а известные частные решения уравнений Навье-Стокса чем-то соответствуют в квантовой механике?
1. LeonidBad Автор
  22.09.2025 18:43
  #28869318
  Согласен, интересно на это посмотреть. Надо будет когда-нибудь попробовать проделать это. С другой стороны, интересно будет известную систему, например осциллятор, попробовать решить данной системой уравнений, именно руками проделать

PatakinVVV
22.09.2025 18:43
#28869474
Гидродинамика тут без вязкости и с дисперсией это не классическая вода из ванны