Знаете, что такое мендосинский двигатель? Это демонстрационный солнечный моторчик, левитирующий благодаря магнитам — красивый, простой и по‑настоящему познавательный. Такой мотор можно сделать с помощью самых простых инструментов, поэтому это замечательный проект для любого любителя.

Ротор установлен на подшипниках малого трения: в оригинале это было стеклянный цилиндр, подвешенный на двух иголках, а в современных версиях используется магнитная подвеска.
Двигатель бесколлекторный: солнечные панели на роторе подают напряжение на катушки, намотанные на якорь. Электромагнитное взаимодействие между полем, создаваемым катушкой, и полем магнитов на статоре создаёт крутящий момент. Когда свет попадает на повёрнутый к источнику солнечный элемент, тот запитывает одну катушку. Ротор проворачивается, солнечная панель уходит из-под направленного света, и на её место приходит следующая. Так якорь вращается непрерывно, пока есть свет. Это крайне элегантное решение, которое любой может реализовать дома. Но давайте сосредоточимся на магнитной подвеске.

Если вам кажется, что вы уже читали эту статью лет десять назад - вам не кажется. Это вторая версия, причёсанная и с более строгими выкладками.

Мендосинский двигатель и теорема Ирншоу

Мы располагаем пару фиксированных магнитов на статоре так, чтобы магнит, установленный на оси ротора, находился в локальном минимуме магнитного потенциала в радиальном направлении — то есть удерживался от боковых (радиальных) смещений.

Если повторить эту конфигурацию на обоих концах ротора, то мы получим радиальную удерживающую силу для оси, но при этом система окажется аксиально (вдоль оси) неустойчивой: ротор свободно скользит вдоль направления оси. Лёгкое касание вертикальной опоры добавляет недостающую аксиальную поддержку, сохраняя при этом почти нулевое трение, так что система ведёт себя как подшипник малого трения.

Но почему же во всех мендосинских двигателях есть эта небольшая боковая опора для оси?

Эта боковая пластинка выглядит не слишком… элегантно, что ли? Логично захотеть ротор, который полностью висит в воздухе, без какой-либо опоры. Оказывается, это невозможно — но я, конечно, не единственный, кто мечтает о полностью магнитной подвеске. Вот, например, цитата с одного форума:

On a Mendocino Motor why does one side float free while the other has a tip to a wall? I know the question might sound trivial but I have worked up the idea why not use the same magnets used to levitate as a counter force on both sides of the shaft? I attached a very rough jpg of what I mean. the green magnets at the end of the shafts is what im referring to. is there some theory or law preventing this?

И ещё одна цитата:

What would happen if the base magnets were spaced and oriented like in this drawing? Would it give it stability in the axial plane, and do away with the mirror requirement?

Иными словами, люди по всему миру пытаются избавиться от боковой опоры. Сам я учился так себе, и невозможность создать полностью магнитную подвеску тоже была для меня неочевидной. За чашкой чая я спросил коллег: «Почему это вообще невозможно?» — и знаете что? Для них это тоже не было очевидным!

Никто на вышеприведённых форумах не дал по-настоящему ясного объяснения. Максимум — ссылались на какую-то теорему Ирншоу, не самую простую для восприятия. Она гласит:

Всякая равновесная конфигурация точечных зарядов неустойчива, если на них кроме кулоновских сил притяжения и отталкивания ничто не действует.

Понятно? Мне — не очень. Допустим, я соглашусь, что речь идёт о зарядах, а не магнитах.
Но что дальше? Давайте проведём несколько мысленных экспериментов!

Первый мысленный эксперимент

Когда что-то непонятно, я начинаю рисовать. Давайте представим себе двумерную электростатическую систему. Вообразим четыре фиксированных единичных заряда, расположенных по вершинам квадрата, и свободный заряд в центре квадрата. Что-то вроде этого:

Может ли быть так, чтобы свободный заряд не находился в устойчивом равновесии? Ведь интуитивно, куда бы он ни сместился, он приближается к одному из фиксированных зарядов, и сила отталкивания должна расти! Давайте нарисуем карту потенциальной энергии свободного заряда. Вооружимся википедией:

Электрический потенциал , создаваемый точечным зарядом на расстоянии от заряда, равен , где — диэлектрическая проницаемость вакуума.

Если ваши знания физики примерно на моём уровне (довольно скромные), давайте сфокусируемся сначала на понятии потенциал. Потенциал — это способность точки в пространстве сообщить энергию заряду. Чем выше потенциал, тем больше энергии будет иметь помещённый туда заряд.

Хорошая аналогия — гравитация. Представьте холм: его высота — гравитационный потенциал. Мяч на склоне холма имеет потенциальную энергию, и сила, действующаяя на мяч, определяется направлением уклона. Потенциал — скаляр: он показывает сколько энергии хранится в точке, а сила получается из градиента потенциала — это наклон энергетического «ландшафта».

Во всех моих мысленных экспериментах все коэффициенты либо 0, либо 1. Поэтому заряд и коэффициент равны единице. То есть, потенциал от одного заряда вычисляется формулой .

Чтобы построить карту потенциала системы четырёх зарядов, я напишу несколько строчек питона:

def f(a, b, x, y): # electric potential due to a point charge located at a,b
    return 1 / np.hypot(x - a, y - b)

Потенциал всей системы — сумма потенциалов точечных зарядов

def F(x, y):       # electric potential due to 4 point charges
    return f( 1,  1, x, y) + \
           f(-1,  1, x, y) + \
           f( 1, -1, x, y) + \
           f(-1, -1, x, y)

Ну а теперь просто нарисуем график скалярного поля :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

X, Y = np.meshgrid(np.linspace(-2, 2, 300),
                   np.linspace(-2, 2, 300))
plt.contourf(X, Y, np.clip(F(X, Y), None, 5))
plt.show()

Вот график (я вырезал небольшие области вокруг зарядов, где потенциал уходит в бесконечность):

Поле можно рассматривать как карту высот. Пунктир — изолинии высоты, жёлтые стрелки — направления наискорейшего спуска.

Легко видеть, что в центре графика находится область притяжения, зона, из которой ни одной жёлтой стрелки не выходит. Если мы слегка сдвинем наш свободный заряд из центра, его энергия увеличится, поэтому он вернется обратно в центр. Следовательно, начало координат - это точка стабильного равновесия.

И что же? Теорема Ирншоу опровергнута? Нет - просто у меня кривые руки, это я допустил ошибку. И многие люди сделали бы ту же ошибку, что и я (я проверил). Задумайтесь на пару секунд: где именно я ошибся?

Исправляем ошибку

Ошибка в том, что в двумерном мире потенциал точечного заряда равен не , а . Формула относится к трёхмерной электростатике. Поверьте мне пока на слово — чуть позже мы выведем это строго. Тогда код должен выглядеть так:

def f(a, b, x, y): # electric potential due to a point charge located at a,b
    return -np.log(np.hypot(x - a, y - b))

def F(x, y):       # electric potential due to 4 point charges
    return f( 1,  1, x, y) + \
           f(-1,  1, x, y) + \
           f( 1, -1, x, y) + \
           f(-1, -1, x, y)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
X, Y = np.meshgrid(np.linspace(-2, 2, 300),
                   np.linspace(-2, 2, 300))
plt.contourf(X, Y, np.clip(F(X, Y), None, 5))
plt.show()

И график получается совершенно другим:

Теперь видно: никаких локальных минимумов нет. В центре седловая точка, то есть неустойчивое равновесие. Стоит заряду сместиться хоть на микрон — и он убежит. Теорема Ирншоу торжествует.

Что же случилось с формулой потенциала?

Когда я увидел противоречие с теоремой Ирншоу, я понял, что допустил ошибку, и начал дебажить мой мысленный эксперимент. В какой-то момент я понял, что у меня нет другого выбора, кроме как обратиться к уравнениям Максвелла.

Школьные уроки физики были давно забыты, и мне больше не приходилось сталкиваться с ними ни в университете, ни в дальнейшей жизни. Оказалось, что эта тема не такая уж и сложная, особенно если нас интересует только электростатика!

Лично я не электрик, я сантехник. Я представляю себе электрическое поле как текущую жидкость:

• Линии поля (показанные желтыми стрелками) — это потоки воды.

• Заряд — это источник/сток, который создает или поглощает поток.

• Потенциал - ландшафт, вода течет вниз по склону.

В нашем случае нам нужны два (из четырех) уравнения Максвелла.

Фарадей: нет вихрей, только градиентный поток

Фарадей говорит, что изменяющиеся магнитные поля создают вихри в электрическом поле.
Но в электростатике ничего не меняется во времени, поэтому вихрей нет.
Это означает, что «вода» никогда не закручивается в воронки — она только течет, потому что гравитация тянет ее вниз по рельефу (см. желтые стрелки).

Математически, для любого безвихревого векторного поля в любой односвязной области существует скалярный потенциал , такой что .
Подводя итог, Фарадей сказал, что в статическом случае электрическое поле (желтые стрелки потока) можно найти как направление вниз по потенциальному ландшафту.

Гаусс: закон сохранения потока

Закон Гаусса - это локальный закон сохранения. Он гласит, что если внутри области нет заряда, то общий электрический поток через границу области равен нулю.

Если представить поле в виде потока воды, то положительный заряд — это кран, отрицательный заряд — это сток. Нулевой заряд в области означает, что всё, что в неё втекает, должно вытекать (нет накопления).

Математически мы говорим, что в любой точке дивергенция электрического поля равна заряду в этой точке:

Соединим оба закона

Давайте подставим в закон Гаусса:

Тогда , это уравнение Пуассона. Если в области нет зарядов, то . Тогда Пуассон превращается в Лапласа .

Оказывается, что в 2D функция имеет ненулевой лапласиан.Чтобы вывести правильную функцию потенциала, нам нужно решить уравнение Лапласа.

Если вам интересно, то вот тут я даю подробный вывод решения:

Электрический потенциал точечного заряда в двумерном пространстве

В 2D, , так что можно переписать как

Чтобы решить это уравнение, давайте перепишем левую часть в форме производной произведения:

Таким образом, наш диффур преобразовывается следующим образом:

Чтобы получить , достаточно дважды проинтегрировать уравнение:

где и константы.

В качестве проверки правильности наших выкладок мы также можем проверить, получим ли мы потенциал Кулона для трехмерного случая (да, получим):

Вывод кулоновского потенциала в 3D

В 3D уравнение Лапласа для радиальной функции это

Обратите внимание, что тут вылезла двойка, которой не было в двумерном случае. Если вам интересно, откуда она взялась, добро пожаловать под спойлер:

Лапласиан радиальных функций в n-мерном пространстве

Пусть . Определим . Тогда градиент можно записать как

где единичный радиальный вектор.

Лапласиан - это дивергенция градиента:

Продифференцируем произведение:

Но ведь , то есть, первый член равен . Для второго члена мы можем обратить внимание на то, что дивергенция единичного радиального вектора в это . Подставляем одно в другое, получим

Как и раньше, запишем левую часть как производную произведения:

где и константы.

Подводя итог, кулоновский потенциал точечного заряда действительно следует из уравнения Лапласа.

Возвращаемся к моей ошибке

Если использовать кулоновскую формулу в двумерном пространстве, это фактически приводит к ситуации, когда пространство на самом деле трёхмерное, но движение зарядов каким-то внешним образом ограничено в одной плоскости. В таком случае очевидно, что можно создать устойчивую конфигурацию. Например: возьмите картонную трубку, поставьте её вертикально и положите магнит на дно. Затем поместите другой магнит внутри трубки, чуть выше первого. Верхний магнит будет находиться в равновесии: трубка препятствует горизонтальному движению и переворачиванию, а вдоль вертикальной оси сила тяжести уравновешивается магнитным отталкиванием.

Теорему Ирншоу следует применять лишь совместно с кулоновским законом в трёхмерном пространстве или в пространстве любой размерности, но с правильным потенциалом для этой размерности. Под «правильным» я понимаю тот потенциал, который действительно следует из уравнений Максвелла в заданном пространстве.

Теорема Ирншоу

Подытожим, что мы узнали из уравнений Максвелла: в области, свободной от зарядов, электрический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа .

Такие функции называются гармоническими, и у них есть важное свойство: они не могут иметь локальных максимумов или минимумов внутри области — только на её границе.
Физически это означает, что потенциал выглядит как идеально натянутая резиновая плёнка: без внешнего воздействия внутри неё не могут появиться ни ямки, ни выступы.

Свободный заряд, помещённый в электростатическое поле, мог бы находиться в равновесии только в точке, где электрическая сила равна нулю, то есть в точке локального минимума потенциальной энергии. Но поскольку потенциал электростатического поля не имеет локальных минимумов, то и потенциальная энергия отдельного заряда не может иметь локальных минимумов. Следовательно, статические электрические поля не могут удерживать заряженную частицу в устойчивом равновесии.

Поздравляю — мы только что доказали теорему Эрншоу для одного точечного заряда.
Но что насчёт более сложных систем? Коллеги предложили мне ещё один мысленный эксперимент.

Зафиксируем два заряда и создадим движущееся тело — невесомый, нерастяжимый стержень с зарядами на концах:

Интуитивно кажется: если слегка сдвинуть палочку влево или вправо, один её конец приблизится к фиксированным зарядам, и они оттолкнут его, возвращая систему в исходное положение. Похоже на устойчивость. Где же подвох? Давайте нарисуем электростатический потенциал двух фиксированных зарядов:

def F(x, y):       # electric potential due to 2 point charges
    return f(0,  2, x, y) + \
           f(0, -2, x, y)

Вот график электрического потенциала нашей системы:

Как отрисовать потенциальную энергию нашего стержня, заряженного на обоих концах?
Электрический потенциал — это характеристика поля, он задаёт для каждой точки пространства потенциальную энергию на единицу заряда. То есть, если поместить в это поле заряд , то его реальная потенциальная энергия будет равна .

Напомню, что во всех моих мысленных экспериментах коэффициенты равны либо 1, либо 0, поэтому для одного заряда графики электрического потенциала и его потенциальной энергии совпадают.

Для системы из двух зарядов ситуация немного меняется. Если два точечных заряда находятся в точках , и есть внешний электростатический потенциал , то полная потенциальная энергия системы равна

То есть потенциальная энергия стержня — это сумма потенциальных энергий его зарядов
(при этом я игнорирую взаимную кулоновскую энергию между самими зарядами, поскольку они соединены жёстким стержнем).

Стержень имеет три степени свободы (две на параллельный перенос и одну вращательную), поэтому в полном пространстве координат график был бы слишком сложен.
Для простоты я игнорирую вращения и разрешаю только параллельный перенос.
Построим потенциальную энергию стержня, который не может вращаться (я выбрал его центр в качестве опорной точки):

def P(x, y):
    return F(x + 2, y) + \
           F(x - 2, y)

И вот его график:

Мы видим, что энергия стержня имеет четыре пика (каждый конец стержня «натыкается» на каждый из двух фиксированных зарядов). Как и ожидалось, при движении по горизонтали потенциальная энергия растёт, поэтому стержень убежит по вертикали :)

Так и должно быть, ведь полная энергия системы — это сумма потенциальных энергий каждого заряда. Мы знаем, что потенциальная энергия каждого заряда — гармоническая функция. А сумма двух гармонических функций тоже гармоническая… А это значит, что потенциальная энергия любого заряженного тела (не только нашего стержня!) не может иметь локальных минимумов в статическом электрическом поле.

Заключение

Когда речь заходит об электромагнитных полях, то людей, не работавших с физикой плотно, интуиция часто подводит. Мозг нас обманывает, рисуя картины минимумов энергии. К сожалению, это не так, и создать мендосинский двигатель без боковой опоры представляется затруднительным.

Однако ещё не всё потеряно. Теорема Ирншоу (если мы сделаем усилие и вообще применим её к магнитам) применима только системам неподвижных постоянных магнитов. Поэтому:

1. Мы можем попытаться создать динамическое магнитное поле

2. Диамагнетизм и всякие сверхпроводники также не входят в рамки теоремы Ирншоу

3. Подвижные вообще и вращающиеся в частности тела также не рассмотрены, наиболее известный пример левитрон.

Мечта всё ещё реальна — но уже без той чистой простоты конструкции.

Историческая справка: аргументы, связанные с теоремой Ирншоу, сыграли важную роль в доказательстве того, что чисто электростатическая модель материи не может объяснить стабильность атомов, опровергнув раннюю идею о материи, состоящей из статических зарядов, удерживаемых на месте. Это способствовало переходу к планетарной (Резерфорда-Бора) модели и, в конечном итоге, к квантовой механике.