Дроби, проценты, степени, логарифмы / forpes.ru

Главная
Дроби, проценты, степени, логарифмы

Дроби, проценты, степени, логарифмы +1

03.12.2025 13:16

SuperCoder_onlyme 2 2700 Источник

Дроби, проценты, степени и логарифмы на примерах в математике и в python. Что это такое, все свойства их и как же решать примеры с ними.

В этой статье про фундамент, который понадобится в дальнейшем: Самый старт для изучения python, математики в целом и машинного обучения, если математику совсем не знал. Все написано простым языком и не на 100 страниц.

Дроби

Дроби это доли - части от целого. У дробей есть свойства и список операций, которые можно совершать над дробями.

Обыкновенные дроби

$\frac{1}{2}$ - Обычная дробь, в данном случае половина от целого $\frac{2}{2}$ , $\frac{3}{6}$ , $\frac{23}{223}$ , $\frac{1}{1}$ , $\frac{15}{10}$ - это

все дроби но не все из них имеют свойство - сокращение/деление. Дробь можно сократить, если числитель(верх) и знаменатель(низ) имеют общий делитель (число на которое можно делить), отличный от единицы. Например: $\frac{10}{5}$ , общий делитель 5 -> $\frac{2}{1}$ -> 2

Сложение и вычитание

Эти операции можно проводить только с теми дробями, у

которых общий знаменатель: $\frac{1}{2} - \frac{7}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{-6}{2}$ = -3. При общем знаменателе, мы вычитаем только числители. Если у дробей знаменатели разные то мы приводим их

общему наименьшему знаменателю: $\frac{4}{5} + \frac{7}{10}$ Общий знаменатель 10, умножаем обе части на 2 $\frac{4*2}{5*2}$ = $\frac{8}{10} + \frac{7}{10} = \frac{3}{2}$
Умножение и деление

Произведение дробей производится перемножением числителя и знаменателя каждой

дроби: $\frac{5}{2} * \frac{8}{3} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3}$ С делением точно такое же перемножение но перед этим нужно перевернуть вторую дробь:

$\frac{5}{2} : \frac{8}{3} = \frac{5}{2} * \frac{3}{8} = \frac{15}{16}$

Десятичные дроби

Складывание и вычитание

Есть две дроби: 0,10 + 2,12 Для операции надо представить их как обыкновенные и

сложить ранее описанным способом: $\frac{10}{100} + 2\frac{12}{100} = 2\frac{22}{100} = 2\frac{11}{50}$ Если

знаменатели не общие, то приводим их к общему просто добавляя недостающие нули в

числитель и знаменатель: 0,2 - 0,22 $\frac{2}{10} - \frac{22}{100} = \frac{20}{100} - \frac{22}{100} = \frac{-2}{100} = \frac{-1}{50}$
Умножение

Умножение на число и на другую дробь производится столбиком:

1,81 * 3
1,81 * 0,03
Умножение на 10, 100, и т.д

Чтобы умножить дробь на такое число нужно перенести запятую на столько знаков вправо сколько нулей в множителе: 51,1 * 10 = 511,0
Деление

Деление на число и на другую дробь производится столбиком:

2,52 : 4
Деление на 10, 100, и т.д

Чтобы разделить дробь на такое число нужно перенести запятую на столько знаков влево сколько нулей в делителе: 51,1 : 10 = 5,11

Дроби в python

Для представления записи в виде дроби нужно импортировать библиотеку fractions В функции Fraction() 1 аргумент это числитель, 2 знаменатель. Отличие записи с библиотекой от обычной это то что в первом случае python не будет сокращать и делить до конца

from fractions import Fraction

f1 = Fraction(1, 2)
print(f1) # 1/2

print(1/2) # 0.5

Примеры:

from fractions import Fraction

# Сложение
print(Fraction(4, 5) + Fraction(7, 10)) # 3/2

# Вычитание
print(Fraction(1, 2) - Fraction(7, 2)) # -3

# Умножение
print(Fraction(5, 2) * Fraction(8, 3)) # 20/3

# Деление
print(Fraction(5, 2) / Fraction(8, 3)) # 15/16

Проценты

Процент - это какая-либо часть величины/числа.

Выражение процентов в дробях

Процент как обыкновенная дробь: 25% = $\frac{25}{100}$
Процент как десятичная дробь: 25% = $\frac{25}{100}$ = 0,25

Нахождение процента от числа

14% от 25 000. Нужно число поделить на 100 а далее умножить на процент: X = Y : 100 Z = 25 000 : 100 14 = 3 500

Нахождение числа от процента

230 это 45% от общей массы: Y = X : Z
100 = 230 : 45 100 = 511,1

Нахождение процентного отношения двух чисел

Чтобы узнать сколько процентов составляет часть от общего числа, являющееся 100%, нужно часть поделить на общее число и умножить на 100%. Есть 70 моделей нейронных сетей. 15 из них могут генерировать видео. Узнаем сколько процентов НС могут делать видео из общей массы: $\frac{15}{70} * 100 = 0,2 * 100 = 20$ % особенных НС.

Увеличение/уменьшение числа на процент

Например число было 2107, сейчас оно на 3% больше. Найти ответ можно двумя способами:
1. Находим 3% от прежнего числа, после складываем ответ с тем же числом: (2107 : 100 * 3) + 2107 = 63,21 + 2107 = 2170,21
2. Используем формулу: a = b (1 + c : 100) = 2107 (1 + 3 : 100) = 2170,21 Также формула для уменьшения числа на процент: a = b * (1 - c : 100)

Проценты в python

Знак процента % не находит процент от числа в python, он делит число на число и возвращает остаток.

print(15/5) # 3.0

print(15%5) # 0

А для того чтобы найти процент от числа нужно самостоятельно это делать как раньше.

# 14% от 25 000
print((25_000 / 100) * 14) # 3500.0

Степени

Свойства степеней

При произведении степеней с одинаковым основанием, основание остается без изменений а показатели степеней складываются: $a^n * a^m = a^{n+n}$
При произведении степеней с одинаковым показателем, основания перемножаются а результат возводится в степень:
При делении степеней с одинаковым основанием, основание остается без изменений а показатели степеней вычитаются: $a^n * a^m = a^{n-n}$
При делении степеней с одинаковым показателем, основания делятся а результат возводится в степень:
При возведении степени в степень, основание остается без изменений а показатели степеней умножаются: $(a^n)^m = a^{n*m}$
При возведении произведения в степень, каждый множитель возводиться в степень, после этого множители перемножаются:
При возведении частного в степень, каждое число возводиться в степень, после этого одно число делим на другое:

Операции

Сложение и вычитание степеней

Сначала возводим все в степень, после проводим операцию:
Умножение и деление степеней

Возводим сначала в степень а после проводим операцию:

Свойства и операции степеней с отрицательным показателем

Возведение в степень
1. Возведение степень с отрицательным показателем равняется дроби, в числителе которой единица а в знаменателе исходная степень с положительным показателем:
  
  $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
2. Возведение дроби в степень:
  
  Если показатель отрицательный, переворачиваем дробь и меняем показатель на положительный $(\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3 = 8$

Умножение и деление отрицательных степеней

С этими операциями легко. Степени с отрицательными показателями возводим в дробь и просто выполняем остальные действия.

$2^{-3} * 3^{-4} = \frac{1}{2^3} * \frac{1}{3^4} = \frac{1}{96}$
$2^{-3} : 3^{-4} = \frac{1}{2^3} : \frac{1}{3^4} = 10,125$

Степени в python

Для возведения в степень числа и для указания показателя степени в python нужно после числа поставить два символа звездочки *

# Сложение
print(7**2 + 2**4) # 65

# Вычитание
print(7**2 - 2**4) # 33

# Умножение
print(7**2 * 2**4) # 784

# Деление
print(7**2 / 2**4) # 3.0625

# Возведение в степень
print(2**-3) # 0.125

Логарифмы

Определение

Логарифм это обратное действие возведению в степень. При возведении в степень мы ищем результат имея основание и показатель степени а при логарифмировании мы ищем показатель степени имея ее основание и результат (в этом случае это называется аргумент).

Пример:
2. $log_{4}16 = 2$ Читается как логарифм 16 по основанию 4 равен 2

Виды логарифмов

Натуральный - в основании всегда иррациональное число Эйлера - 2,71828. $ln_{e}b = c$ e - 2,71828
Десятичный - в основании всегда 10. Такой логарифм по умолчанию установлен в калькуляторах. $lg_{10}b = c$
Двоичный - в основании всегда 2. $lb_{2}b = c$

Свойства

У логарифмов есть свои ограничения. Основание и аргумент должны быть больше чем 0 так как отрицательное основание с дробью в показателе решить невозможно, также основание не должно быть равно 1 потому что ответ всегда будет 1. Свойства:
1. Логарифм единицы всегда равен нулю , потому что если в показателе степени 0 ответ будет 1: $log_{2}1 = 0$
2. Логарифм с одинаковым основанием и аргументом будет равен 1: $log_{2}2 = 1$
3. Логарифмическое тождество: $log_{2}2^5 = 5$ Или $2^{log_{2}32 = 5}$
4. Логарифм произведения чисел равен сумме из логарифмов с тем же основанием: $log_{2}4*16 = log_{2}4 + log_{2}16 = log_{2}6 = 2,58$
5. Логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя с тем же основанием: $log_{3}\frac{63}{7} = log_{3}63 - log_{3}7 = log_{3}9 = 2$
6. Если у основание или аргумент возводятся в степень то их показатель можно вынести перед логарифмом: $log_{2^3}4^9 = \frac{9}{3} * log_{2}4 = 3 * 2 = 6$
7. Если основание не удобное для решения то можно его заменить любое число не подходящее под ограничения логарифма: $log_{25}125 = \frac{log_{5}125}{log_{5}25} = \frac{3}{2} = 1,5$
8. Еще для более удобного решения мы можем поменять местами основание и аргумент: $log_{16}4 = \frac{1}{log_{4}{16}} = \frac{1}{2} = 0,5$

Логарифмы в python

Для работы с логарифмами в python нужно импортировать библиотеку math или ее функции.
1. log(x, y) - обычный логарифм x - аргумент, y - основание
2. log(x) - если мы не указываем основание то оно будет равно числу Эйлера а логарифм будет натуральным.
3. log2(x) - двоичный логарифм
4. log10(x) - десятичный логарифм

from math import log, log2, log10

# Классический
print(log(36, 6)) # 2.0

# Натуральный
print(log(5)) # 1.6

# Двоичный
print(log2(16)) # 4.0

# Десятичный
print(log10(100)) # 2.0

# Произведение
print(log(2, 10) * log(10, 2)) # 0.9

Заключение

Эти базовые математические темы кажутся простыми, но именно на них держится большая часть дальнейшей подготовки. Далее последует статья про Уравнения, функции и графики, также с использованием python.

Комментарии (2)

Akina
03.12.2025 13:28
#29199526
Мда... наверное, всё же надо было начинать со счёта до десяти и сложения в этих пределах - вдруг кто даже этого не помнит...

SWATOPLUS
03.12.2025 13:28
#29199654
Статья-то в принципе хорошая, жалко что не для хабра.