Царский путь к пониманию комплексных чисел. Часть I / forpes.ru

Главная
Царский путь к пониманию комплексных чисел. Часть I

Царский путь к пониманию комплексных чисел. Часть I +68

28.12.2025 19:05

master_program 213 27000 Источник

Представьте, что вам сказали: «Этого не существует, просто запомни».

Многие из вас слышали это в школе или в вузе, когда речь зашла о корне из минус единицы. О комплексных числах вам говорили как о воображаемых и предлагали с ними работать абстрактно, как с математической фикцией, которой нет в природе.

У многих это вызвало определенную травму, ошибочное отношение к комплексным числам как к какой-то изобретенной людьми вещи, которой нет в природе. Но они были обмануты.

Сама история комплексных чисел — это не скучная глава учебника, а детектив с несколькими столетиями поиска истины, заблуждений и гениальных озарений.

С помощью комплексных чисел работает Wi-Fi, обрабатывается аудио и видео, описываются законы квантовой механики и даже обычные механические колебания.

Это история о том, как великие умы, столкнувшись с парадоксом, не отступили, и смогли открыть новый язык — язык, на котором говорит сама Вселенная. Они переосмыслили понятие числа, поняв, что числа — это не просто «количество объектов», а природная математическая основа самого движения в пространстве.

Вы готовы пересмотреть всё, что знали о числах и о Вселенной? О том, что наш мир на самом деле состоит не из вещей, а из движений?

В этом цикле из 7 статей мы пройдем полное путешествие от парадоксов Кардано до квантовой физики и современной инженерии — с философией, историей и практикой.

Мы узнаем, почему комплексные числа являются языком вращений и колебаний, который повсеместно используется в современной инженерии, а также зачем математикам нужна структура минимальной сложности, в которой любое квадратное уравнение имеет корень.

Примечание:

Написание этого цикла статей вдохновлено гениальной книгой Пола Дж. Нахина «Сказки мнимого мира». Здесь больше математического содержания и философских рассуждений, но меньше интересных исторических экскурсов.

План серии статей

ЧАСТЬ I: Рождение ереси

Скрытый текст

Глава 1. Приглашение к бунту.

Глава 2. Кардано и софизм в формуле.

Глава 3. Бомбелли и алгебра «сомнительных» вещей.

Глава 4. Целый век путаницы и непонимания: Эйлер против Безу.

Глава 5. Кризис понимания: что такое число?

Глава 6. Крах упорядоченного мира.

ЧАСТЬ II: Спасение пришло из геометрии

Скрытый текст

Глава 7. Искать не на прямой, а на плоскости.

Глава 8. Комплексные числа и векторы: триумф наглядности.

Глава 9. Мания умножения чисел: это не формула, а геометрия подобия.

Глава 10. Тригонометрия как сущность умножения комплексных чисел.

Глава 11. Комплексные числа доказывают теоремы планиметрии.

Глава 12. Удивительный трактат об инверсиях и сфере Римана.

ЧАСТЬ III: Формула, объединившая математику

Скрытый текст

Глава 13. Приключения логарифмов и степеней отрицательных чисел.

Глава 14. Величайшая формула Эйлера:

Глава 15. Единство всех элементарных функций.

ЧАСТЬ IV: Универсальный закон алгебры, геометрии и анализа

Скрытый текст

Глава 16. Формула Эйлера в любой ассоциативной алгебре.

Глава 17. Классификация однопараметрических подгрупп Ли.

Глава 18. Три сестры: все двумерные вещественные алгебры.

Глава 19. Операторный формализм: ряд Тейлора как экспонента сдвига.

ЧАСТЬ V: Алгебраическая суперсила

Скрытый текст

Глава 20. Основная теорема алгебры.

Глава 21. Комплексные числа как матрицы.

Глава 22. Теорема Фробениуса и иные числовые системы.

ЧАСТЬ VI: Мнимое царство объективной реальности

Скрытый текст

Глава 23. Язык колебаний и волн.

Глава 24. Квантовая механика комплексной реальности.

Глава 25. От фракталов до шифров.

ЧАСТЬ VII: Философия понимания

Скрытый текст

Глава 26. Что мы поняли о числах?

Глава 27. Практика — критерий истины.

Глава 28. Генетический подход против онтодидактического.

Глава 29. Манифест.

Глава 30. Эпилог: восхождение по лестнице познания.

ЧАСТЬ I: Рождение ереси

Глава 1. Приглашение к бунту

«Квадратного корня из минус единицы не существует» — эта фраза, сказанная на уроке, становится ментальным барьером. Она возводит преграду «дальше не думай», за которой остаётся самое важное — вопросы «почему», «как» и «а что если».

Нас лишают самого ценного — любопытства. Комплексные числа превращаются в символы, лишённые тайны, смысла и красоты. «Понять» математику — не значит запомнить алгоритмы. Это значит:

Видеть смысл за символами — понимать, почему операция определена именно так
Восстанавливать исторический контекст — откуда и зачем теория взялась
Связывать абстрактное с конкретным — находить интерпретации

Понимание ≠ умение решать. Можно натренироваться решать уравнения с комплексными числами, не имея ни малейшего представления о том, что i — это оператор поворота на 90°, а умножение комплексных чисел — это композиция растяжений и поворотов.

Мы откажемся от традиционного «сверху вниз» подхода, где сначала даются определения, а потом — примеры. Вместо этого мы пойдём генетическим путём — тем же самым путём, которым шла математическая мысль на протяжении веков:

Через исторические кризисы — когда существующие концепции давали сбой
Через ошибочные гипотезы — тупиковые пути, которые учили чему-то важному
Через гениальные озарения — моменты, в которых противоречия разрешались переходом на новый уровень понимания

Именно этот путь приводит к настоящему пониманию.

Глава 2. Кардано и софизм в формуле

В 1545 году из-под пера Джероламо Кардано вышла книга «Великое искусство» (Ars magna), собравшая все новейшие достижения в математике к середине XVI века. И сразу разразился скандал. В основном она была посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней, однако ее значение для истории математики выходило далеко за пределы этой конкретной задачи. Уже в XX веке Феликс Клейн, оценивая книгу, писал:

«Это в высшей степени ценное произведение содержит зародыш современной алгебры, выходящей за пределы античной математики».

XVI век был веком возрождения европейской математики после средневековой спячки. На тысячу лет были забыты, а частично безвозвратно утрачены, труды великих греческих геометров. Из арабских текстов европейцы узнавали не только о математике Востока, но и об античной математике. Лишь в XVI веке в Европе появились математические результаты принципиального значения, которых не знали ни античные, ни восточные математики. И первым математиком, получившим такие результаты, был Джероламо Кардано.

В своей научной деятельности Кардано был энциклопедистом, однако энциклопедистом-одиночкой, что характерно для эпохи Возрождения. Лишь через полтора века появились первые академии, в которых ученые специализировались в более или менее узких областях. В случае Кардано большую роль играли особенности его личности, его психического склада. Он верил в чудеса, предчувствия, демонов, в свои собственные сверхъестественные возможности. Он подробно описывает события, убедившие его в этом.

Кардано верил, что он обладал особым даром (гарпократическим чувством, как он его называл), который позволяет ему диагностировать больных (он был врачом по образованию и имел обширную медицинскую практику), предвидеть будущее, узнавать о событиях, находящихся от него далеко, видеть вещие сны. В его книгах содержится и много собственных сверхъестественных наблюдений, и пересказов сообщений других людей.

Готовность всерьез обсуждать самые фантастические теории, своеобразная доверчивость к рассказам другим людей, и тому подобные странные черты личности Кардано как раз и помогли ему изобрести комплексные числа. Благодаря им он с легкостью обсуждает вещи, о которых его коллеги не стали бы даже начинать говорить, посчитав это бредом. Например, его «Книга об игре в кости», была написана в 1526 году, но напечатана лишь в 1663 году, потому что его современники математики посчитали собранием бессмысленной чуши первую в мире работу, в которой были написаны основы теории вероятностей и статистики, а также прикладные математические методы для повышения шансов в азартных играх.

Иная судьба была у книги «Великое искусство», потому что она сразу давала приложения, которые можно было легко проверить: возможность решать любые кубические уравнения.

В предисловии Кардано излагает историю вопроса:

«...в наше время Сципион дель Ферро открыл формулу, согласно которой куб неизвестного плюс неизвестное равен числу. Это была очень красивая и замечательная работа. Так как это искусство превосходит всю человеческую ловкость и всю ясность ума смертного, то его нужно рассматривать как подарок небесного происхождения, а также как способность силы ума, и это настолько славное открытие, что от того, кто мог его достигнуть, можно ждать, что он достигнет всего. Соревнуясь с ним, Никколо Тарталья из Брешии, наш друг, будучи вызван на состязание с учеником дель Ферро по имени Антонио Марио Фиоре, решил, дабы не быть побежденным, ту же самую проблему и после долгих просьб передал ее мне. Я был введен в заблуждение словами Луки Пачоли, который говорит, что нет общего решения такого рода уравнений, и, хотя я обладал уже многими мною самим сделанными открытиями, я все же не отчаивался найти то, чего я не смел искать. Однако когда я получил эту главу и добрался до ее решения, то я увидел, что с ее помощью можно многое сделать еще; и уже с повышенной уверенностью в своих делах я, при исследовании, открыл дальнейшее, частью сам, частью с Луиджи Феррари, моим бывшим учеником».

Вот тут и проявилась доверчивость Кардано к рассказам о сверхъестественным. Его современники просто не верили историям о том, что кто-то научился решать кубические уравнения, считая это все не более чем мистификацией и фокусами.

В современной форме способ, которым Кардано находит решение кубического уравнения, можно изложить следующим образом. Будем искать положительный корень такого уравнения без квадратичного слагаемого .

Сделаем замену $x=\beta-\alpha$ . Тогда $x+\alpha=\beta$ и по раскрываем по формуле «куб суммы»:

$x^3+3 x^2 \alpha+3 x \alpha^2+\alpha^3=\beta^3 .$

Поскольку $3 x^2 \alpha+3 x \alpha^2=3 x \alpha(x+\alpha)=3 x \alpha \beta$ , а значит

$x^3+3 x \alpha \beta=\beta^3-\alpha^3 .$

Далее потребуем, чтобы пара ( $\alpha, \beta$ ) была решением системы

$3 \alpha \beta=a, \quad \beta^3-\alpha^3=b,$

или равносильной ей системы

$\beta^3 \cdot\left(-\alpha^3\right)=-\frac{a^3}{27}, \quad \beta^3+\left(-\alpha^3\right)=b .$

Отсюда, учитывая положительность искомого корня:

$\beta^3=\frac{b}{2}+\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}}, \quad-\alpha^3=\frac{b}{2}-\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}}$ .

А сам корень можно выразить следующей формулой:

$x=\sqrt[3]{\frac{b}{2}+\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}}}-\sqrt[3]{\frac{b}{2}-\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}}}$

Приведенная выкладка лишь в идейном отношении следует ходу рассуждений Кардано.

Сам он рассуждает на геометрическом языке: если куб со стороной $\beta=\alpha+x$ разрезать плоскостями, параллельными граням, на куб со стороной $\alpha$ и куб со стороной , получатся, кроме двух кубов, три прямоугольных параллелепипеда со сторонами $\alpha, \alpha, x$ и три — со сторонами $\alpha, x, x$ ; далее он использует соотношение между объемами и переходит к попарному объединению параллелепипедов разных типов. Кардано писал:

«Так как я сознавал, что тот отдел, который передал мне Тарталья, был открыт им при помощи геометрического доказательства, то я думал, что это и есть царский путь, ведущий ко всем другим отделам».

К сожалению, к этому указанию мало кто прислушался. Истинная геометрическая дорога к пониманию корней из отрицательных чисел была забыта надолго, и восстановить ее удалось лишь к началу 19-го века (а в современных учебниках она предается забвению до сих пор).

Самого Кардано ставил в тупик парадокс, который заключается в том, что для получения положительных корней уравнения нужно оперировать корнями из минус единицы.

Рассмотрим один из таких примеров (которые сам Кардано называл неприводимыми):

Решим его сначала численно с помощью Python:

Формула Кардано для уравнения вида :

$x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}$

Для нашего уравнения :

import cmath  # Для работы с комплексными числами
import numpy as np

# Параметры уравнения
p = -21
q = 20

# Вычисляем по формуле Кардано
# Первое слагаемое под корнем
D = (q/2)**2 + (p/3)**3
print("Вычисляем дискриминант формулы Кардано:")
print(f"D = (q/2)² + (p/3)³ = ({q}/2)² + ({p}/3)³")
print(f"  = ({q/2})² + ({p/3})³")
print(f"  = { (q/2)**2 } + { (p/3)**3 }")
print(f"  = {D}\n")

# Так как D < 0, у нас появляется корень из отрицательного числа!
print("ВНИМАНИЕ: D < 0! Под квадратным корнем отрицательное число!")
print(f"√D = √({D}) = √({D})")
print("По правилам вещественной арифметики это НЕВОЗМОЖНО!\n")

# Но продолжим вычисления в комплексных числах
sqrt_D = cmath.sqrt(D)
print(f"√D (в комплексных числах) = {sqrt_D}")

# Вычисляем два кубических корня
term1 = -q/2 + sqrt_D
term2 = -q/2 - sqrt_D

print(f"\nПервое слагаемое под кубическим корнем: -q/2 + √D = {term1}")
print(f"Второе слагаемое под кубическим корнем: -q/2 - √D = {term2}\n")

# Кубические корни (в комплексных числах)
cube_root1 = term1 ** (1/3)
cube_root2 = term2 ** (1/3)

print(f"∛(первое слагаемое) = {cube_root1}")
print(f"∛(второе слагаемое) = {cube_root2}\n")

# Сумма (один из корней)
x = cube_root1 + cube_root2
print(f"x = ∛(...) + ∛(...) = {x}")

# Проверим, что это действительно корень
print(f"\nПроверка: x³ - 21x + 20 = {x**3 - 21*x + 20}")
print("(Мнимая часть практически нулевая из-за погрешностей вычислений)")

Вывод программы

Вычисляем дискриминант формулы Кардано:
D = (q/2)² + (p/3)³ = (20/2)² + (-21/3)³
  = (10.0)² + (-7.0)³
  = 100.0 + -343.0
  = -243.0

ВНИМАНИЕ: D < 0! Под квадратным корнем отрицательное число!
√D = √(-243.0) = √(-243.0)
По правилам вещественной арифметики это НЕВОЗМОЖНО!

√D (в комплексных числах) = 15.588457268119896j

Первое слагаемое под кубическим корнем: -q/2 + √D = (-10+15.588457268119896j)
Второе слагаемое под кубическим корнем: -q/2 - √D = (-10-15.588457268119896j)

∛(первое слагаемое) = (2.0000000000000004+1.7320508075688772j)
∛(второе слагаемое) = (2.0000000000000004-1.7320508075688772j)

x = ∛(...) + ∛(...) = (4.000000000000001+0j)

Проверка: x³ - 21x + 20 = (2.842170943040401e-14+0j)
(Мнимая часть практически нулевая из-за погрешностей вычислений)

Сделаем интерактивную визуализацию:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from matplotlib.widgets import Slider

# Создадим фигуру для интерактивной визуализации
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(15, 12))
plt.subplots_adjust(bottom=0.25)  # Место для слайдеров

# Исходные данные
p_initial = -21
q_initial = 20

# Функция для вычисления корней по формуле Кардано
def cardano_roots(p, q):
    # Дискриминант
    D = (q/2)**2 + (p/3)**3
    
    if D >= 0:
        # Вещественный случай
        A = (-q/2 + np.sqrt(D))**(1/3)
        B = (-q/2 - np.sqrt(D))**(1/3)
        return [A + B]
    else:
        # Комплексный случай (три вещественных корня)
        roots = []
        # Преобразуем в тригонометрическую форму
        r = np.sqrt(abs(p/3)**3)
        phi = np.arccos(-q/(2*r))
        
        for k in range(3):
            x = 2 * np.sqrt(-p/3) * np.cos((phi + 2*np.pi*k)/3)
            roots.append(x)
        
        return roots

# Первый график: уравнение и его корни
ax1 = axes[0, 0]
x_vals = np.linspace(-6, 6, 400)
line, = ax1.plot(x_vals, x_vals**3 + p_initial*x_vals + q_initial, 'b-', linewidth=2)
roots_scatter = ax1.scatter([], [], color='red', s=100, zorder=5)
ax1.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
ax1.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
ax1.set_xlabel('x')
ax1.set_ylabel('y')
ax1.set_title('Уравнение: x³ + p·x + q = 0')
ax1.grid(True, alpha=0.3)

# Второй график: комплексная плоскость
ax2 = axes[0, 1]
ax2.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
ax2.axvline(x=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
ax2.set_xlabel('Вещественная часть')
ax2.set_ylabel('Мнимая часть')
ax2.set_title('Комплексные промежуточные значения')
ax2.set_xlim(-20, 20)
ax2.set_ylim(-20, 20)
A_point, = ax2.plot([], [], 'ro', markersize=10, label='A')
B_point, = ax2.plot([], [], 'bo', markersize=10, label='B')
ax2.legend()

# Третий график: дискриминант
ax3 = axes[1, 0]
disc_line, = ax3.plot([], [], 'g-', linewidth=2)
disc_point, = ax3.plot([], [], 'ro', markersize=10)
ax3.axhline(y=0, color='k', linestyle='-', alpha=0.3)
ax3.set_xlabel('Параметр p (при q=20)')
ax3.set_ylabel('Дискриминант D')
ax3.set_title('Дискриминант D = (q/2)² + (p/3)³')
ax3.grid(True, alpha=0.3)

# Четвертый график: результат
ax4 = axes[1, 1]
ax4.axis('off')
result_text = ax4.text(0.5, 0.5, '', ha='center', va='center', fontsize=14, 
                      transform=ax4.transAxes,
                      bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.5", facecolor="lightyellow"))

# Функция обновления графиков
def update(val):
    p = slider_p.val
    q = slider_q.val
    
    # Обновляем график уравнения
    y_vals = x_vals**3 + p*x_vals + q
    line.set_ydata(y_vals)
    ax1.set_ylim(min(y_vals)-10, max(y_vals)+10)
    
    # Вычисляем корни
    roots = cardano_roots(p, q)
    roots_scatter.set_offsets([[root, 0] for root in roots])
    
    # Обновляем комплексную плоскость
    D = (q/2)**2 + (p/3)**3
    if D < 0:
        A = -q/2 + 1j*np.sqrt(-D)
        B = -q/2 - 1j*np.sqrt(-D)
    else:
        A = -q/2 + np.sqrt(D)
        B = -q/2 - np.sqrt(D)
    
    A_point.set_data([A.real], [A.imag])
    B_point.set_data([B.real], [B.imag])
    
    # Обновляем график дискриминанта
    p_range = np.linspace(-30, 30, 100)
    D_range = (q/2)**2 + (p_range/3)**3
    disc_line.set_data(p_range, D_range)
    disc_point.set_data([p], [D])
    ax3.set_xlim(min(p_range), max(p_range))
    ax3.set_ylim(min(D_range)-100, max(D_range)+100)
    
    # Обновляем текст результата
    if D > 0:
        result = f"Один вещественный корень:\n"
        result += f"x ≈ {roots[0]:.4f}\n\n"
        result += f"D = {D:.2f} > 0"
        box_color = "lightblue"
    elif D == 0:
        result = f"Кратные корни\n\n"
        result += f"D = 0"
        box_color = "lightyellow"
    else:
        result = f"Три вещественных корня:\n"
        for i, root in enumerate(roots, 1):
            result += f"x{i} ≈ {root:.4f}\n"
        result += f"\nD = {D:.2f} < 0\n"
        result += f"В формуле Кардано: √({D:.2f})"
        box_color = "lightcoral"
    
    result_text.set_text(result)
    result_text.set_bbox(dict(boxstyle="round,pad=0.5", facecolor=box_color))
    
    fig.canvas.draw_idle()

# Создаем слайдеры
ax_slider_p = plt.axes([0.2, 0.1, 0.65, 0.03])
ax_slider_q = plt.axes([0.2, 0.05, 0.65, 0.03])

slider_p = Slider(ax_slider_p, 'Параметр p', -30, 30, valinit=p_initial)
slider_q = Slider(ax_slider_q, 'Параметр q', -30, 30, valinit=q_initial)

slider_p.on_changed(update)
slider_q.on_changed(update)

# Инициализация
update(None)

plt.suptitle('Интерактивная визуализация формулы Кардано\nПарадокс: отрицательный дискриминант → три вещественных корня', 
             fontsize=16, fontweight='bold', y=0.98)
plt.show()

Сам Кардано, однако, пользовался корнями из отрицательных чисел лишь как удобным практическим инструментом, не анализируя их как отдельную числовую реальность.

Глава 3. Бомбелли и алгебра «сомнительных» вещей.

Через 27 лет после публикации «Ars Magna» Кардано, итальянский математик Рафаэль Бомбелли делает следующий шаг. В своей книге «L'Algebra» (1572) он берёт те самые «бессмысленные величины» Кардано и начинает работать с ними систематически.

Бомбелли не пытается понять, что такое √(-1) — он просто устанавливает формальные правила для работы с выражениями вида $a+b \sqrt{-1}$

Italiano: L'algebra parte maggiore dell'aritmetica divisa in tre libri di Rafael Bombelli da Bologna. - Bologna : nella stamparia di Giouanni Rossi, 1572. - [55], 650, [4] p. : ill. ; 4º Источник: https://www.beic.it — **Italiano:** L'algebra parte maggiore dell'aritmetica divisa in tre libri di Rafael Bombelli da Bologna. - Bologna : nella stamparia di Giouanni Rossi, 1572. - [55], 650, [4] p. : ill. ; 4º Источник: https://www.beic.it

Бомбелли оказался первым математиком, который выяснил истинный смысл, который лежит за формулами Кардано и выражением вещественных чисел через суммы корней из отрицательных чисел. Вот что писал Бомбелли в своей Алгебре:

«По мнению многих, это была нелепая мысль, я и сам долгое время так считал. Казалось, что в основе рассуждения лежит какой-то софизм, а не истина. Я долго бился над этим, но все же доказал свою правоту»

Он рассмотрел уравнение, которое анализировал еще Кардано:

Хотя корни здесь вещественные, формула Кардано дает:

$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}-\sqrt[3]{-2+\sqrt{-121}}$

Ему удалось показать, что

$\begin{aligned} & \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=a+b \sqrt{-1} \ & \sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=a-b \sqrt{-1} \end{aligned}$

А это значит, что

Глава 4. Целый век путаницы и непонимания: Эйлер против Безу

Прошло почти 200 лет после Бомбелли, но статус $\sqrt{-1}$ оставался неопределённым. Величайшие математики эпохи — Леонард Эйлер, Жан-ле-Рон Д'Аламбер, Этьенн Безу — не могли договориться о правилах работы с комплексными числами.

Ключевой спор разгорелся вокруг, казалось бы, простого вопроса:

Чему равно произведение корней из отрицательных чисел?

$\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}=?$

Конкретные примеры из переписки математиков XVIII века

Скрытый текст

Конкретные примеры из переписки математиков XVIII века

1) Проблема логарифма отрицательного числа (спор Д’Аламбера и Эйлера)

Д’Аламбер утверждал:

$\ln(-1)=0$

Аргумент:

$\ln(1)=0,\quad$ и по аналогии $\ln(a)=0$ при , $\ln(-1)$ тоже должно быть 0.

Эйлер возражал (в современной записи):

$\ln(-1)=i\pi$

Аргумент:

$e^{i\pi}=-1 \quad \Rightarrow \quad \ln(-1)=i\pi.$

Современное понимание (многозначность логарифма):

$\ln(-1)=i\pi + 2\pi i k,\quad k\in\mathbb{Z}.$

2) Проблема степеней мнимых чисел

Вопрос: чему равно

$i^i\ ?$

Современный ответ:

$i^i = e^{i\ln i} = e^{i\left(i\frac{\pi}{2}+2\pi i k\right)} = e^{-\frac{\pi}{2}-2\pi k}.$

Если брать главное значение k=0, получаем:

$i^i = e^{-\pi/2} \approx 0.2079.$

В XVIII веке это выглядело как чистая магия.

3) Парадокс со степенями:

Если механически следовать правилам степеней:

$(-1)^{-1}=\frac{1}{-1}=-1.$

4) А что со ?

Это

$\sqrt{-1}=i \quad \text{или} \quad -i?$

Оба варианта подходят, потому что:

То есть у квадратного корня две ветви.

5) Главный парадокс, который смущал всех: «корень из произведения»

С вещественными числами всё привычно:

$\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}=\sqrt{36}=6.$

Но что делать с отрицательными?

$\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}\ \ ?$

Возможные (исторические) интерпретации:

a)

$\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}=\sqrt{36}=6 \quad \text{(Безу)}$
b)

$\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}=-\sqrt{36}=-6 \quad \text{(Эйлер)}$
c) Если принять

$\sqrt{-4}=2i,\quad \sqrt{-9}=3i,$

то

$\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}=2i\cdot 3i = 6i^2 = -6.$

Здесь и вскрывается проблема: перенос «обычных» тождеств вроде
$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ на комплексные числа без оговорок приводит к противоречиям (ветви корня, выбор главного значения и т. п.).

Глава 5. Кризис понимания: что такое число?

Прежде чем решать, являются ли выражения вида $a+b \sqrt{-1}$ числами, нужно понять: а что такое число вообще?

На протяжении истории математики понятие числа радикально менялось и расширялось.

Что делает число числом? В XIX веке математики осознали, что числа следует определять в первую очередь как отношения и структуры, за которыми можно найти тот или иной смысл.

Поле — это алгебраическая структура, в которой определены операции сложения и умножения, удовлетворяющие определённым аксиомам.

Давайте проверим, удовлетворяют ли комплексные числа всем аксиомам поля.

Несмотря на то, что комплексные числа удовлетворяют всем аксиомам поля, остается одна проблема: их нельзя упорядочить так, чтобы сохранить привычные свойства порядка.

Проблема с упорядочиванием комплексных чисел.

Кризис понимания был разрешен в результата перехода математиков к изучению структур.

Изменение подхода к алгебраическим объектам.

Глава 6. Крах упорядоченного мира

Почему же несохранение порядка у комплексных чисел приводит к катастрофе?

Здесь уместно обратиться к марксистскому анализу. Карл Маркс прослеживает развитие понятий натурального числа, дифференциала, денег и товара, отмечая общие закономерности. Согласно теории философа каждое понятие проходит 7 стадий развития:

относительная форма понятия;
эквивалентная форма понятия;
случайная форма понятия:
развернутая относительная форма понятия;
особенная эквивалентная форма понятия;
полная форма понятия;
всеобщая форма понятия.

Раскрытие понятия мнимой единицы по этим стадиям будет описано в самой последней статье цикла, потому что для этого сначала требуется пройти весь путь познания целиком.

В «Капитале» Маркс описывает товар как «чувственно-сверхчувственную вещь» — объект, имеющий материальную форму, но приобретающий сверхчувственные свойства в системе обмена. Мнимая единица также идеально подходит под это описание.

Его чувственной стороной является конкретный оперативный символ (термин Маркса), к которому применяются формальные правила.

Его сверхчувственной стороной является сущность, которая за ним скрыта. Эта сущность представляет собой соотношение между математическими понятиями и операциями, структуру, которую математики должны раскрыть, чтобы понять смысл символа.

Среди описанных Марксом понятий больше всего на мнимые единицы похоже понятие денег. Бумажная банкнота сама по себе ничего не стоит, но деньги опосредуют обмен реальными товарами, становясь сверхчувственным средством накопления капитала.

Это создаёт математическое отчуждение: математики создали инструмент (i), который производит реальные результаты, но сам инструмент остаётся чуждым, непонятным, «ненастоящим» с точки зрения их собственной концепции числа. Чтобы снять это отчуждение, математики должны произвести научную революцию.

В самому деле, к концу XVIII века возникает революционная ситуация. Математическое сообщество оказывается расколотым на враждующие фракции:

Прагматики (продолжатели линии Кардано-Бомбелли) используют комплексные числа как эффективный инструмент, откладывая вопрос о его «реальности».
Фундаменталисты (линия Безу) настаивают на том, что если объект не вписывается в базовые свойства чисел (включая упорядоченность), то он не может считаться числом.
Революционеры (линия Эйлера) начинают понимать, что проблема заключается не в мнимой единице как таковой, а в самой концепции числа, требующей пересмотра.

Происходит настоящая революция: математики осознают, что требование линейного порядка — не обязательный атрибут «настоящих чисел», а лишь особенность определённых числовых систем. Числа позволяют «сосчитать мир», только вот мир этот состоит не из вещей, а из движений. За каждым числом, будь натуральное, целое, рациональное, вещественное или комплексное — на самом деле стоит не абстрактный неподвижный и неизменный предмет, а конкретный материальный процесс.

Крах попыток упорядочить комплексные числа выполнил важнейшую функцию: он подготовил почву для необходимого перехода от арифметического мышления к геометрическому, от поиска мнимой единицы на старой числовой прямой к построению для нее новой плоскости и изучению геометрических преобразований этой плоскости.

В следующей части статьи мы раскроем истинную сущность комплексных чисел, которая находится в планиметрии (геометрии на плоскости).

Заключительные иллюстрации

Марксистский анализ истории комплексных чисел

Диалектика исторического развития комплексных чисел.

Комментарии (213)

nin-jin
28.12.2025 20:06
#29316032
Сколько токенов на это всё потратили?
1. master_program Автор
  28.12.2025 20:06
  #29316038
  Ну тут скорее дело не в токенах, а в книгах по истории математики.
  
  Там, правда, больше перекос в историю, чем в математику, у меня наоборот.
  1. nin-jin
    28.12.2025 20:06
    #29316052
    Лучше уж перекос в историю, чем в нейрослоп.
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29316056
    Так тут нет нейрослопа совсем. Нейронка только картинки рисует.
    
    Здесь реализован новый подход к объяснению темы комплексных чисел.
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29317550
    Мне кажется, тут слишком много текста для объяснения простой идеи, что i само по себе это не число, а умножение на i это операция поворота на 90 градусов.
    
    OlegZH
    28.12.2025 20:06
    #29317576
    Одно другого не отменяет. А всё потому, что . И, да, конечно, умножение комплексных чисел эквивалентно повороту на соответствующий угол.
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29317632
    Ну просто если цель объяснить комплексные числа, то для понимания этого достаточно. Нам этого не говорили ни в школе, ни в университете, а так было бы гораздо понятнее для многих.
    
    i = (0, 1) это некорректная запись, она показывает только точку на плоскости и не показывает связь с поворотом. Точка (0, 1) это уже результат поворота, иначе мы рассматриваем просто двумерную плоскость с независимыми осями.
    
    Tsimur_S
    28.12.2025 20:06
    #29318078
    Не было бы понятнее. "Число это поворот" - с такой формулировкой согласиться либо тот кто уже относительно в теме либо просто примет на веру без понимания. Ну с таким же успехом он примет любое другое объяснение.
    
    Какой поворот, где поворот, мы вроде тут вчера яблоки складывали, потом вычитали и получали долги а тут какие-то повороты и числа которые нельзя сравнивать между собой. Что вообще происходит?
    
    Тут два выхода либо "заткнись и считай" либо переехать катком алгебры абсолютно все наивные представления о числах.
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29318366
    Число это не поворот. Число это число, поворот это поворот. Поворот это операция, такая же как сложение и умножение. i само по себе это не число, а операция. Соответствующую точку на плоскости можно обозначать (0, 1) или 1i. Сложение, умножение и применение i соответствуют аффинным преобразованиям плоскости сдвиг, масштабирование и поворот.
    
    Tsimur_S
    28.12.2025 20:06
    #29318506
    Очевидно что не такая же. Ни одна из этих операций(+,*) не позволяет выйти за рамки алгебраической структуры.
    
    А вот "поворот" внезапно превращает число 3 в вектор 3i. Более того возникают вопросы - это мы "поворачиваем" число 3 или это мы масштабируем вектор i?
    
    VladD-exrabbit
    28.12.2025 20:06
    #29318796
    А мы и не выходим за рамки. Умножение в поле действительных чисел корректно определено и не выводит за их рамки. А умножение на i есть умножение в поле комплексных чисел, и тоже не выводит за их рамки. Ничего необычного.
    
    Tsimur_S
    28.12.2025 20:06
    #29318930
    Именно так, умножение есть умножение.
    
    Но обратите внимание на всю ветку выше. Там утверждается что i это не число и вводится операция поворта числа.
    
    VladD-exrabbit
    28.12.2025 20:06
    #29318970
    Многие части обсуждения, как мне кажется, страдают от отсутствия точных определений, отсюда и возникает «чудо» и «магия» (более типичные для философии, нежели для точных наук).
    
    Нету понятия «число», есть «действительное число» и «комплексное число». В рамках действительных чисел, i просто нет, т. к. квадрат действительного числа не может быть отрицательным. В рамках комплексных чисел i — это обычное число.
    
    «Поворот чисел» возникает в рамках геометрической интерпретации комплексных чисел, ну окей, прикольный факт, полезен для привлечения геометрической интуиции.
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29318806
    Так надо рассматривать не алгебраическую структуру, а геометрическую плоскость. 2 измерения это плоскость. Рассматривать только алгебру можно, но тогда это и будет "заткнись и считай, просто правила такие", не будет понятно, почему они такие.
    
    "поворот" внезапно превращает число 3 в вектор 3i
    
    Если вы рассматривали поворот точки относительно начала координат, то и после поворота будет точка. Если вектор из нуля, то и после поворота будет вектор из нуля.
    
    Более того возникают вопросы - это мы масштабируем вектор i?
    
    Вот как раз если считать, что i это операция, а не число, то таких вопросов не возникает. Нельзя сказать "мы масштабируем вектор умножения", так и тут. i применяется к обычным действительным числам.
    
    Tsimur_S
    28.12.2025 20:06
    #29319192
    Так надо рассматривать не алгебраическую структуру, а геометрическую плоскость. 2 измерения это плоскость.
    
    Так если вы оперируете 2 измерениями то у вас уже вектора а не числа, в смысле как точки на числовой прямой. Ну или хотя бы называйте их тогда комплексными числами. На них определены свои операции умножения и сложения и i выступает абсолютно рядовым участником а не операцией.
    
    Вот как раз если считать, что i это операция, а не число, то таких вопросов не возникает. Нельзя сказать "мы масштабируем вектор умножения", так и тут. i применяется к обычным действительным числам.
    
    Как вы будете возводить операцию в квадрат? Что такое e в степени операции? И еще миллион вопросов.
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29319468
    если вы оперируете 2 измерениями то у вас уже вектора а не числа
    
    Нет, если вы рассматривали точки на числовой прямой, то в двух измерениях вы будете рассматривать точки на числовой плоскости. Точки сами по себе не превращаются в вектора, вектор это направленный отрезок из одной точки в другую. На одномерной числовой прямой вектора тоже есть.
    
    Вообще лучше рассматривать комплексную плоскость как полярные координаты, а не как декартовы. Тут нет отдельной "мнимой" оси и отрицательных чисел. Отрицательные числа это лишь частный случай поворота на произвольный угол i^x, где x = 2, и направление тут идет от нуля в сторону -∞.
    
    и i выступает абсолютно рядовым участником а не операцией
    
    Вот именно об этом я и говорю. Если так считать, то будет непонятно, почему i^2 = -1. i это не число, рядовым участником можно считать точку 1i.
    
    Как вы будете возводить операцию в квадрат?
    
    Вот именно что никак. В квадрат возводится исходная единица, которую вы решили упростить. И даже так говорить некорректно, она не возводится в квадрат (вернее, не только возводится), а поворачивается. i^2 это 1ii. Даже умножение тут ставить неправильно. Это и есть то, что вызывает непонимание у многих, что и показывает этот диалог. i это не число, и умножать на него нельзя, так же как нельзя умножать на сложение. Причем это бинарная операция, i^1/3 это поворот на 30 градусов.
    
    Замените i на вот такой знак "⟲", тогда будет понятнее.
    1i^2 = 1ii = 1⟲2 = -1
    
    Что такое e в степени операции?
    
    Ничего, это бессмысленное высказывание. Поэтому я и говорю, что надо учитывать, что перед i есть коэффициент 1.
    e^i = e^1i = e^(1⟲1). Берем число 1 (точку на комплексной плоскости), поворачиваем на 90 градусов относительно 0, получаем другое число, берем число e, с ними проводим операцию "возведение в степень". Не упрощайте единицу, тогда будет понятнее.
    
    VladD-exrabbit
    28.12.2025 20:06
    #29319902
    Кстати, у экспоненты операции в «большой» математике есть смысл: это сумма ряда $e^{\mathrm{op}} = I + \mathrm{op} + \frac{\mathrm{op}^2}{2!} + \frac{\mathrm{op}^3}{3!} + \ldots$ ( — тождественная операция).
    
    Tsimur_S
    28.12.2025 20:06
    #29322376
    Замените i на вот такой знак "⟲", тогда будет понятнее.1i^2 = 1ii = 1⟲2 = -1
    
    Вообще стало непонятно. Было возведение в квадрат стало почему то двойным поворотом. Было кубом стало тройным. А было 1/3 то стало поворотом на 30 градусов. Что-то сложение и умножение так с возведением в степень не композируются ни разу. А знаете что так композируется? Другое возведение в степень, она же экспонента. А мы тут усиленно делаем вид что это не она.
    
    Ну серьезно, ведь вы же уже "посчитали" 1⟲1 перед тем как возводить в степень. Почему после возведения в степень оно(результат поворота) продолжает поворачиваться? Может потому что это все же не оператор а само свойство числа?
    
    Вообще суть спора ускользает уже очень далеко. Вот есть число единица. Вы говорите что применяя к ней операцию поворота вы получаете некое, совсем другое число. При этом само число вы никак не называете, не определяете, вообще ничего с ним не делаете, разве что усердно избегаете называть это числом i. По сути вы тут даже никак не решили проблему понимания почему i^2 = -1. Просто зажмурились и решили что если число не называть то проблемы как бы и нет.
    
    Ну логично что нет, ведь теперь перед тем как придти к i^2 = -1 нужно сначала понять чему равно 1⟲1, который другие люди и обозначали как i. А вы выкинули i как число и теперь сам вопрос почему i^2 = -1 бессмыслен. Ну потому что оператор такой, что непонятного то?
    
    А если открыть глаза то внезапно оказывается что 1⟲1 совпадает с числом которое другие называют как i, чем вы и пользуетесь при вычислении экспоненты.
    
    Можно точно так же интерпретировать -1. Мы не умножаем на -1, а делаем операцию поворота на 180 на числовой оси. И никакой -1 не существует.
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29322940
    А знаете что так композируется? Другое возведение в степень
    
    Естественно. Можно сказать "сложение углов можно выразить через степень", а можно "степень можно выразить через сложение углов".
    
    А мы тут усиленно делаем вид что это не она.
    
    Мы пытаемся понять, почему ваша обычная положительная вторая степень дает отрицательное число. Что собственно и было причиной появления комплексных чисел. По вашим определениям степени квадрат не может давать отрицательное число.
    
    Вообще суть спора ускользает уже очень далеко
    
    Это вас надо спросить. Я не знаю, с чем и почему вы начали спорить, я просто отвечаю на ваши высказывания. Вы там приписали мне формулировку "Число это поворот" и начали с ней спорить.
    
    Вот есть число единица. Вы говорите что применяя к ней операцию поворота вы получаете совсем другое число.
    При этом само число вы никак не называете
    
    Нет. Вы не поняли о чем речь. Я говорю, что применяя к единице операцию поворота 2 раза получается "-1". Получившееся число я называю - это "-1" (минус один).
    
    разве что усердно избегаете называть это числом i
    
    А для точки (0, 2) вы еще одну специальную букву будете использовать? А для точки (0, -1)? Почему вы усердно избегаете называть их буквами?)
    
    Просто зажмурились и решили что если число не называть
    
    Нет. Это не является моим аргументом ни в каком смысле, я про это ничего не говорил.
    
    И никакой -1 не существует.
    
    Я не говорил, что -1 не существует. Я не говорил, что i не существует.
    Я сказал, что умножение на i в степени это операция поворота, на угол, соответствующий степени. Поэтому неправильно считать его обычным числом, у других обычных чисел таких свойств нет.
    
    Можно точно так же интерпретировать -1. Мы не умножаем на -1, а делаем операцию поворота на 180 на числовой оси.
    
    Всё верно, унарный минус это частный случай i^n, где n = 2.
    Теперь подумайте, как интерпретировать умножение на "(-1)^(4/3)".
    
    А если открыть глаза то внезапно оказывается что 1⟲1 совпадает с числом которое другие называют как i
    
    В 20 раз объясняю, я в курсе, что эту точку общепринято называют i. Зачем вы мне это доказываете?
    А 1⟲(1/3) почему-то не совпадает. Дальше что, еще одну букву будете вводить? Как вы вашими возведениями в квадрат объясните, почему это точка (√3/2, 1/2)?
    
    Я объясняю, что это создает непонимание, так же как если "-1" обозначать знаком "-", и писать "-^2" вместо "(-1)^2".
    
    Вообще стало непонятно.
    
    Да, есть люди, которым непонятно даже объяснение "Поворачиваем отсюда сюда 2 раза, вот так и получается -1". Тут ничего не поделаешь.
    
    По сути вы тут даже никак не решили проблему понимания почему i^2 = -1.
    
    Решил, смотрите рисунок выше.
    
    Tsimur_S
    28.12.2025 20:06
    #29323068
    Да, есть люди, которым непонятно даже объяснение "Поворачиваем отсюда сюда 2 раза, вот так и получается -1". Тут ничего не поделаешь.
    
    Нет. Вы не поняли о чем речь. Я говорю, что применяя к единице операцию поворота 2 раза получается "-1". Получившееся число я называю - это "-1" (минус один).
    
    Хорошо я вижу дело не двигается, давайте по порядку, где тут ошибка?
    
    1) у нас есть число 1.
    
    2) Мы к нему применяем ваш поворот, и получаем число которое назовем Z. Специально не будем называть его i. Это число обладает очень интересными свойствами, например мы не можем сказать больше оно нуля или меньше но мы этому удивляться пока не будем. Главное что мы сейчас согласимся что это уже число, никакая ни операция, ни оператор, ни что либо еще.
    
    3) Теперь мы не делаем никаких больше поворотов. Мы умножаем это число само на себя, обычная рутинная операция. Получаем -1. Заметьте, мы возведением в квадрат без каких-либо поворотов получили отрицательное число. Как это можно объяснить?
    
    А если умножаем 3 раза(Z^4) то получаем изначальную единицу. То есть без всяких поворотов, на одном умножении мы получаем "анти-поворот".
    
    4) Делаем из этого вывод что операции поворот либо не существует либо это то же самое что и умножение. В принципе эквивалентные понятия.
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29323714
    Мы к нему применяем ваш поворот
    Это число обладает очень интересными свойствами
    
    В концепции с моим поворотом оно не обладает никакими интересными свойствами. Это просто число, точка на плоскости, ничем не отличающаяся от других. Интересными свойствами обладает поворот.
    Вот здесь и ошибка.
    
    Мы умножаем это число само на себя, обычная рутинная операция. Получаем -1.
    
    С чего мы вдруг получили -1? Без поворота вы останетесь на той же оси.
    
    "Обычная рутинная операция" умножения для положительных чисел на действительной оси дает числа на той же оси с тем же знаком. "1*1 = 1"
    Поэтому для положительной единицы на другой оси "обычное умножение" должно давать "i*i = i".
    Иначе вам надо вводить необычное умножение, которое меняет ось, и именно на 90 градусов против часовой стрелки.
    Вот здесь и ошибка.
    
    Заметьте, мы возведением в квадрат без каких-либо поворотов
    
    Ага, без поворотов переместились на другую ось. Магия, не иначе.
    Вот здесь и ошибка.
    
    Делаем из этого вывод что операции поворот либо не существует либо это то же самое что и умножение
    
    Это неправильный вывод. Умножая 1 на 1 вы не получите никакой минус. Поэтому это не то же самое, что умножение.
    Без поворотов вы не узнаете, где находится точка i^(1/2) и почему возведение ее в квадрат дает i, а не -i. Вы же выше ввели операцию, при которой возведение в квадрат внезапно без причин дает минус.
    
    Tsimur_S
    28.12.2025 20:06
    #29323832
    С чего мы вдруг получили -1?
    
    По правилам умножения комплексных чисел.
    
    "Обычная рутинная операция" умножения для положительных чисел на действительной оси дает числа на той же оси с тем же знаком. "1*1 = 1"Поэтому для положительной единицы на другой оси "обычное умножение" должно давать "i*i = i".Иначе вам надо вводить необычное умножение, которое меняет ось, и именно на 90 градусов против часовой стрелки.Вот здесь и ошибка.
    
    1) 1⟲1 = Z, по вашему же определению.
    
    2) Z * Z = -1 по правилам умножения комплексных чисел.
    
    Вы утверждаете что правила не верны или что у вас другое какое-то умножение с другими свойствами? Или у вас Z не комплексное число? В чем тут именно ошибка?
    
    Умножая 1 на 1 вы не получите никакой минус. Поэтому это не то же самое, что умножение.
    
    Так я 1 на 1 и не умножаю, зачем вы мне это приписываете? Умножается Z на Z.
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29324150
    По правилам умножения комплексных чисел.
    
    Каким таким правилам, у нас их еще нет, мы их только вводим. Вы сказали "давайте по порядку", а сами перескакиваете. Я предлагаю вводить умножение комплексных чисел через концепцию поворота.
    
    Как это можно объяснить?
    
    Возвращаю вам ваш вопрос. Как можно объяснить ваше правило умножения комплексных чисел, что "i*i = -1"? А никак, вы его постулируете.
    Как можно объяснить, что "i^(1/3) = √3/2 + 1/2i"? А никак, в вашем умножении степеней даже постулата такого нет, вам надо еще один постулат вводить.
    А в моем подходе это объясняется поворотом. Он просто объясняет ваши аксиомы.
    
    Вы утверждаете что правила не верны или что у вас другое какое-то умножение с другими свойствами?
    
    Я утверждаю, что у вас без поворота будет обычно умножение, аналогичное умножению вещественных чисел.
    
    В чем тут именно ошибка?
    
    Я написал, в чем именно ошибка, 3 раза в предыдущем комментарии. Если вам непонятно объяснение, задавайте более конкретный вопрос по тому, что там написано, а не по новому тексту, который вы написали сами.
    
    Так я 1 на 1 и не умножаю, зачем вы мне это приписываете?
    Умножается Z на Z.
    
    Затем, что вы сказали "умножаем, обычная рутинная операция". "Обычная", значит такая же, какая была для 1*1.
    
    Andy_U
    28.12.2025 20:06
    #29319656
    i применяется к обычным действительным числам.
    
    Т.е., надо писать не 3i, а i(3)? Что возварщает эта функция? А так i(i) тоже можно?
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29319748
    Там смысл в том, что переосмысляем сначала обычные числа геометрически. Умножение на положительное число тогда дает растяжение-сжатие, на минус единицу центральное отражение. Тогда мнимая единица дает поворот.
    
    Тут как геометрическая алгебра в , только не на векторной плоскости, а на числовой. Если же рассматривать двумерную геометрическую алгебру, то комплексная числовая плоскость изображает четную подалгебру в Cl(2,0,0).
    
    Ваналогичная четная подалгебра — дает кватернионы.
    
    Прикол еще в том, Cl(2,0,0) изоморфна алгебре всех вещественных матриц 2 на 2, а Cl(3,0,0) — всех комплексных матриц 2 на 2. Я вообще за то, чтобы популяризировать теорию всех комплексных матриц 2 на 2, как минимум. Там очень много геометрического смысла, и эффективных методов вычислений (например, от любых таких матриц легко считать любые аналитические функции, если знать как, а вот в более сложных случаях уже нет, грубо можно сказать комплексные матрицы 2 на 2 являются объектом максимальной сложности, на котором аналитические функции определены максимально просто — для всех объектов проще есть простые явные формулы для них, а для всех объектов сложнее их уже нет).
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29319958
    А для умножения вы пишете *(3)? Это бинарная операция, что и на сколько поворачиваем. Можно писать 3i = 3i^1 = 3i1, если использовать i аналогично другим знакам операций - 3+1, 3*1. Или можно сделать специальный знак 3i = 3⟲1.
    
    Andy_U
    28.12.2025 20:06
    #29320690
    Это бинарная операция,
    
    Возвращаемся к вашему предыдущему сообщению, где вы написали:
    
    i применяется к обычным действительным числам.
    
    Это утверждение интерпретируется единственным способом, как унарная операция или функция с одним аргументом, являющимся вещественным числом. Ладно, не важно, пусть бинарная, первый аргумент - вещественное число. А тип второго? И тип результата? Явно не вещественное число. Что тогда?
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29320920
    Если у i задана степень 1, то унарная. А в общем случае это ai^b. Я говорю степень, потому что это общепринятое название, чтобы было понятно, а так это величина поворота.
    a+b - сдвигаем a на величину b.
    a⟲b = ai^b - поворачиваем a на величину b.
    
    Типы всех величин это вещественные числа. В том и смысл, с операцией поворота любую точку на плоскости можно задать с помощью вещественных положительных чисел.
    
    Andy_U
    28.12.2025 20:06
    #29321002
    Типы всех величин это вещественные числа.
    
    Это у аргументов, а у результата?
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29321092
    Ну да, результат это комплексное число. Поворот добавляет второй компонент.
    
    Andy_U
    28.12.2025 20:06
    #29321312
    комплексное число.
    
    А что это такое с вашей точки зрения? Какой математический объект?
    
    Andy_U
    28.12.2025 20:06
    #29321476
    Поворот добавляет второй компонент.
    
    И еще одно, какой нафиг поворот для "пространства", где сами оси крутить нельзя, ибо у объектов на оси X их квадрат положителен, а для объектов на оси Y - отрицателен.
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29322186
    Какой поворот и относительно чего я описал выше. Если вы не следите за дискуссией, непонятно зачем вы спорите.
    
    А что это такое с вашей точки зрения?
    
    Если хотите что-то сказать, формулируйте это явно. В загадки играть мне неинтересно.
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29318548
    i - элемент множества комплексных чисел. То есть вполне себе число. А вот умножение на число i - уже можно интерпретировать как поворот. Как и умножение на любое другое число, вещественное или комплексное.
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29318754
    Нет, элемент множества комплексных чисел можно записать как 1i. А само по себе i правильнее считать операцией. Так сразу понятно, почему применение i два раза дает -1 - потому что мы применяем поворот к обычной единице.
    
    В этом как раз и возникает путаница. Потому что обычно считается, что i это число, и мы на него умножаем.
    
    VladD-exrabbit
    28.12.2025 20:06
    #29320012
    То, что вы рассказываете — это геометрическая интерпретация комплексных чисел. А нормальное определение этих самых комплексных чисел — простое расширение поля действительных чисел элементом i с правилом i × i = −1. При этом i получается таким же числом, как и все остальные.
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29320034
    Так у нас разговор о том, как понять, откуда появляется это правило. У остальных чисел таких правил нет.
    
    VladD-exrabbit
    28.12.2025 20:06
    #29320094
    На самом деле, вместо присоединения i, можно строить комплексные числа при помощи присоединения j = $\frac 12 + \frac{\sqrt3}{2}i$ . Это будет поворот на 60 градусов. (Вообще, достаточно присоединить любое комплексное недействительное число.)
    
    misha_erementchouk
    28.12.2025 20:06
    #29320342
    При этом вся геометрическая интерпретация вытекает из простого факта, что степень расширения равна двум. То, что степень есть размерность соответствующего векторного пространства - обстоятельство, алгебраически совершенно элементарное - меня до сих пор потрясает своей красотой и глубиной.
    
    misha_erementchouk
    28.12.2025 20:06
    #29320286
    Есть, только для такой детализации редко нужда возникает и, в итоге, про нее нематематикам редко рассказывают. Нужда, конечно, ненулевая. Пример. Пусть есть библиотека для "точной" арифметики рациональных чисел. Держим целочисленную пару (числитель, знаменатель). А потом, раз, и нужен квадратный корень из двух. Достаточно вместо одной пары держать две. В этой системе рациональных чисел, расширенной квадратным корнем из двух, полезут все те же геометрические интерпретации и повороты.
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29320406
    Конкретно для комплексных чисел нужно только i, остальные комплексные числа сводятся к нему, для них нет специальных правил умножения.
    
    Andy_U
    28.12.2025 20:06
    #29320772
    Так у нас разговор о том, как понять, откуда появляется это правило
    
    Случайным образом. Именно этот вариант оказался полезным на практике, в теории колебаний, электротехнике, етс. Остальные - умерли за ненадобностью.
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29320924
    Вот дело как раз в том, что можно именно объяснить и показать, как появляется -1, а не просто считать это аксиомой, которую кто-то придумал.
    
    Andy_U
    28.12.2025 20:06
    #29321024
    можно именно объяснить и показать
    
    Ну, давайте, используя ваши объяснения, покажите, почему комплексные числа удобны в теории колебаний, электротехнике и пр.
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29321094
    - можно объяснить и показать, как появляется -1
    - давайте, покажите, почему комплексные числа удобны в теории колебаний
    
    Не вижу связи. Я сказал, что можно показать, как появляется -1, а не почему они удобны в теории колебаний.
    
    Andy_U
    28.12.2025 20:06
    #29321426
    можно показать, как появляется -1
    
    -1, это вообще-то обычное целое число... Но тут еще спрятался более интересный вопрос: и где же конкретно это комплексное число, обычно обозначаемое буквой "i", появляется?
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29322308
    Объясняю еще раз. Я отвечал на комментарий "новый подход к объяснению темы комплексных чисел". В объяснении темы комплексных чисел, для людей которые с ней не знакомы, основная сложность это понять, почему i*i дает -1. Не наоборот, потому что корни из -1 при изучении этой темы никто не считает, большинство примеров связаны с умножением выражений "a+ib". Вы предлагаете подход "заткнись и считай, я так сказал". Я предлагаю простое и наглядное объяснение. Для неспециалистов.
    
    Вы предлагаете ввести аксиому "i*i = -1". Ваш подход не объясняет, как считать "(-i)*(-i)" - нужна ли тут другая аксиома "(-i)*(-i) = +i", чтобы расчеты были аналогичны "(-1)*(-1) = +1", или считать в рамках той же "(-i)*(-i) = -1". Также ваш подход не объясняет, как посчитать "i^(1/3)". Видимо вам нужна какая-то третья аксиома. Концепция поворота против часовой стрелки относительно начала координат это наглядно объясняет - поворачиваем исходную точку на прямой действительных чисел на 90*2 или 90*1/3 градусов.
    
    и где же конкретно это комплексное число, обычно обозначаемое буквой "i"
    
    Я с самого начала объясняю, что такое обозначение создает путаницу и непонимание. Да, несмотря на то, что оно общепринятое. Да, несмотря на то, что вы лично для себя считаете его понятным.
    
    Andy_U
    28.12.2025 20:06
    #29322896
    Ваш подход не объясняет, как считать "(-i)*(-i)"
    
    Мы постулирует, также, что умножение ассоциативно и симметрично.
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29320440
    Нет, элемент множества комплексных чисел можно записать как 1i
    
    Может и можно, но обычно записывается просто как i.
    
    А само по себе i правильнее считать операцией.
    
    Что значит "правильнее"? Есть определение множества комплексных чисел (несколько эквивалентных определений). Это просто множество каких-то элементов. А не операций. А уже операции на этом множестве можно геометрически интерпретировать как повороты. Именно операции, а не элементы.
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29320644
    но обычно записывается просто как i
    
    Я про это и говорю. Это и вызывает непонимание. Эта ветка началась с комментария "новый подход к объяснению темы комплексных чисел".
    
    Что значит "правильнее"?
    
    Ну то и значит. Более соответствует назначению, геометрическому смыслу, проще для понимания, требует меньше аксиом "ну вот так мы договорились".
    
    Именно операции, а не элементы.
    
    Я так и сказал. i сама по себе это операция, а не элемент. Элемент это 1i^1 или (0, 1). "i в степени 1" это аналог унарного минуса. Вы же не считаете унарный минус в "-1" элементом.
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29322350
    элемент множества комплексных чисел можно записать как 1i
    
    Элемент это 1i^1
    
    Налицо эволюция записи элементов. Давайте пойдем еще дальше, и запишем элемент как 1*1*(2-1)*1*(3-2)*i^1^1^1^1. Явно еще проще будет:)
    
    Совершенно непонятно, что такого сложного в абсолютно ясной и прозрачной идее добавления нового элемента к существующему множеству (вещественных чисел). Более того, в математике эта тема всплывает раз за разом, буквально на каждом шагу. Если даже на этом этапе возникают трудности, для которых нужно придумывать такие костыли - то пожалуй такому человеку заниматься математикой и не стоит вовсе.
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29322382
    Основная сложность в изучении комплексных чисел - понять, почему "i*i = -1". Всё остальное это стандартные правила выражений.
    
    Явно еще проще будет
    
    Вы предлагаете то же самое, что упростить выражение "-1" до "-". То есть "6 - 7 = -". Проще? Да. Понятнее? Нет. Правильнее? Тоже нет.
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29322672
    почему "i*i = -1
    
    По определению мнимой единицы, больше ни по чему. Символом i обозначается корень уравнения x^2 + 1 = 0.
    
    Вы предлагаете
    
    Я ничего не предлагаю. Я просто говорю, как определяется понятие "множество комплексных чисел". Определения не могут быть "правильными" или "неправильными".
    
    nin-jin
    28.12.2025 20:06
    #29322776
    Разумеется может. Первородное число - это такое чётное натуральное число, которое заканчивается на 1.
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29322826
    И что в этом определении "неправильного"?
    
    nin-jin
    28.12.2025 20:06
    #29322948
    Даже не знаю.. возможно то, что оно противоречит само себе?
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29322960
    Каким образом противоречит?
    
    Определение: Первородное число - это такое чётное натуральное число, которое заканчивается на 1.
    
    Теорема: Множество первородных чисел - пустое.
    
    Доказательство: Тривиальное.
    
    В чем проблема? В любом случае, все это совершенно не касается предыдущего разговора про определение мнимой единицы.
    
    nin-jin
    28.12.2025 20:06
    #29322980
    Ну тогда и множество чисел, которые в квадрате дают -1 - пустое. Доказательство не менее тривиально.
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29323004
    Да, множество действительных чисел, которые в квадрате дают -1 - пустое.
    
    nin-jin
    28.12.2025 20:06
    #29323074
    Хорош уже дурачком прикидываться. Либо комплексных чисел исходя из такого определения не существует, либо множество первородных не пусто. Ибо определения структурно эквивалентны.
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29323110
    Еще тупые замечания не по теме будут?
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29323054
    По определению мнимой единицы, больше ни по чему.
    
    Вот я и объясняю, что можно объяснить это более понятно для изучающих эту тему, чем "заткнись и считай, я так сказал". У вас это аксиома, у меня нет. Я предложил подход, где это является логичным следствием.
    
    Давайте пойдем еще дальше
    Я ничего не предлагаю.
    
    Именно предлагаете, "давайте пойдем" это предложение. И судя по контексту, предлагаете вы противоположное написанному.
    
    Определения не могут быть "правильными" или "неправильными".
    
    Тогда непонятно, с чем вы спорите. Я предложил свои определения, которые считаю более понятными для изучающих тему, они дают картину, эквивалентную исходной.
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29323136
    "заткнись и считай, я так сказал"
    
    Да, вместо этого: "заткнись и поворачивай, я так сказал":)
    
    Тогда непонятно, с чем вы спорите. Я предложил свои определения, которые считаю более понятными для изучающих тему, они дают картину, эквивалентную исходной.
    
    С геометрической интерпретацией операции умножения комплексных чисел никто не спорит. Но вы заявили, что
    
    i само по себе это не число
    
    что напрямую противоречит общепринятому определению понятия "множество комплексных чисел".
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29323720
    Да, вместо этого: "заткнись и поворачивай, я так сказал"
    
    Да, только во-первых, концепция поворота и используется не только в математике и понятна всем, во-вторых, она объясняет сразу многие вещи - откуда берется -1, где находится i^(1/3), и почему (-i)*(-i) тоже равно -1. А с вашим подходом даже Эйлер с Безу определиться не могли.
    
    Но вы заявили, что i само по себе это не число
    что напрямую противоречит общепринятому определению
    
    Я знаю, что это противоречит общепринятому определению. Это и есть причина, почему я так заявил. Я считаю, что такое определение вносит путаницу. Можно сколько угодно определять, что "-" это число, и писать "- * - = 1", только понятнее будет обозначать эту точку "-1".
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29323892
    Я считаю, что такое определение вносит путаницу.
    
    А, ну ваше право, считайте. Только люди когда интересуются комплексными числами, наверное все же хотят узнать именно про комплексные числа в общепринятом смысле. А не про "комплексные числа в определении michael_v89". Ну это так, вам для размышлений:)
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29324116
    Большинство людей не "интересуется комплексными числами", а изучает их в школе потому что учитель так сказал. У них обычно вызывает непонимание, почему i*i равно -1, что в общепринятом смысле задается аксиомой без объяснения. Мой первый комментарий в этой ветке содержит фразу "для объяснения простой идеи, что умножение на i это операция поворота на 90 градусов". Это так, вам для размышлений. О том, с чем конкретно вы спорили.
    
    Мое определение комплексных чисел, как ни странно, не отличается от общепринятого. В общепринятой математике математике выражения "i" и "1i" эквивалентны. Отличается только то, что я называю i, при этом даже это необязательно, как я показал выше со знаком ⟲. Я только объясняю то, что в общепринятом смысле задается аксиомой.
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29324236
    Я знаю, что это противоречит общепринятому определению. Это и есть причина, почему я так заявил.
    
    Мое определение комплексных чисел, как ни странно, не отличается от общепринятого.
    
    Определитесь уже.
    
    почему i*i равно -1, что в общепринятом смысле задается аксиомой без объяснения
    
    Ну поворот на 90 градусов - это такая же аксиома без объяснений. Почему и зачем вообще поворот? Почему на 90, а не на 89 или 125?
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29324464
    Определитесь уже.
    
    Не вырывайте фразы из контекста. Я отвечал на комментарий
    "вы заявили, что i само по себе это не число, что напрямую противоречит общепринятому определению".
    Вы говорили про определение i, а не про определение комплексных чисел, которое определяется через i.
    В предыдущем комментарии я так и написал "Отличается только то, что я называю i".
    
    Ну поворот на 90 градусов - это такая же аксиома без объяснений.
    
    И? Напоминаю, что разговор был про объяснение темы. А основную сложность в ней вызывает вопрос, как получается -1. Если мы это наглядно объяснили, значит достигли цели.
    
    Тем не менее, это факт даже без явного введения такого правила, умножение на i поворачивает исходную точку на 90 градусов относительно нуля. Можете проверить в любом математическом пакете с любым комплексным числом. А вот потом попробуйте ответить на вопрос, почему математические пакеты поворачивают не на 89.
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29324494
    Отличается только то, что я называю i
    
    Ну вот, а изучать обычно полезно то, что весь остальной мир называет i. А не один какой-то рандомный интернет пользователь.
    
    почему математические пакеты поворачивают не на 89
    
    Потому что, по определению, i*i = -1. То есть, это первичное определение. А уже повороты из него следуют.
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29324578
    Я разве где-то сказал, что не надо изучать то, что весь остальной мир называет i?
    Я вообще вам советую подумать, почему люди пишут разные учебники на одну тему, разные статьи на известные темы, и вообще строят разные теории и разные подходы.
    
    То есть, это первичное определение.
    
    Я так и сказал, у вас это аксиома, у меня следствие поворота. Зачем вы мне то же самое повторяете? У вас нельзя понять, почему так, надо только запомнить. В моем подходе понять можно. Для того он и нужен.
    
    А уже повороты из него следуют.
    
    Нет, поворот для i^(1/3) для него не следует. Из него даже не следует, что i*i это поворот чего-то куда-то. У вас это аксиома без всякой связи с поворотами.
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29325212
    Ваш собеседник предлагает вводить через алгебраическую аксиому (как расширение поля), а вы предлагаете сразу вводить поворот. Проблема первого способа в том, что так ничего непонятно, проблема второго в том, что поворот как будто ниоткуда взялся. Я сам третий подход собираюсь показать: комплексные числа появляются в геометрической алгебре.
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29325334
    почему люди пишут разные учебники на одну тему, разные статьи на известные темы, и вообще строят разные теории и разные подходы.
    
    Комплексных чисел это не касается. Их весь мир (кроме вас) понимает одинаково.
    
    В моем подходе понять можно.
    
    В вашем подходе нельзя понять, откуда взялся поворот на 90 градусов. Кроме того, что важнее, ваше разделение элементов множества комплексных чисел на "числа" и "операторы" приводит к ненужной путанице и несамосогласованности. В общем, хороший тупиковый путь в никуда, обрезающий возможность дальнейшего знакомства с общепринятой математической теорией. Впрочем, если человек не может понять і*і=-1 безо всяких геометрических выкрутасов - то ему это дальнейшее знакомство наверное и не сильно нужно.
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29325926
    Вообще в поворотах есть прямой смысл, связанный как раз с исходной задачей, из которой мнимые числа и появились. Как извлечь кубический корень из комплексного числа? Это ведь нужно в формуле Кардано.
    
    Использовали метод неопределенных коэффициентов, а тут есть прямой способ - нужно осуществить трисекцию угла.
    
    black_warlock_iv
    28.12.2025 20:06
    #29326120
    На самом деле есть два разных , одно является комплексным числом, а второе является символом, используемым для записи комплексных чисел в алгебраической форме.
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29326132
    Ага, примерно как два разных 2: одно является натуральным числом, а второе - символом, используемым для записи натурального числа в десятичной системе:)
    
    Какой только чуши не придумают для "облегчения" обучения...
    
    Vlagor
    28.12.2025 20:06
    #29325738
    Ты это школьникам или первокурсникам объясни, умник. Для использования просто i удобней, но вот в целях обучения лучше писать 1i^1, вот когда концепция комплексных чисел в голове уляжется, далее можно сказать что проще просто i
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29326102
    1i^1
    
    Так чего останавливаться, давайте сразу 1*1*(2-1)*1*(3-2)*i^1^1^1^1. Исключительно в целях обучения:) *facepalm*
    
    Дайте угадаю, ни школьникам, ни студентам вы ни разу не преподавали, так?
    
    Vlagor
    28.12.2025 20:06
    #29326190
    Нет, не преподавал. А сколько из них реально понимают ваши объяснения? Если есть записи ваших лекций - киньте ссылку, если это хоть чем то отличается в лучшую сторону от того как эту тему преподавали нам я извинюсь и признаю что тот кому преподавали ничего не может говорит о преподавании тому кто преподавал.
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29326316
    Записей лекций у меня нет. Все, кто хотят понять - понимают. Конечно, есть такие которым пофиг. Ну, им уже ничем не поможешь.
    
    Andy_U
    28.12.2025 20:06
    #29320720
    i = (0, 1) это некорректная запись
    
    Именно что корректная. Потому что комплексные числа это как раз пары вещественных чисел с поэлементным сложением, ассоциативным и коммутативным умножением, таким что (1,0) x (1,0) = (1,0), а (0,1) x (0,1)=(0,-1). Точка. А запись вида 3+4i это просто математический сленг. тройка, это сокращенная запись 3x(1, 0)=(3,0), i это (0, 1), т.е. 4i это 4x(0,1)=(0,4), а исходное комплексное число именно что (3,4).
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29320926
    Вы не поняли, о чем речь. Запись некорректная, потому что i это операция.
    Так же как "* = (0, 1)" или "+ = (1, 0)". Эти записи некорректные.
    Можно записать "+1 = (1, 0)", но не "+ = (1, 0)".
    
    Да, точку на плоскости тоже часто обозначают буквой i. Это и добавляет путаницы и непонимания, откуда берется -1.
    
    Andy_U
    28.12.2025 20:06
    #29321048
    i это операция.
    
    Любая операция - это отображение. Одного множества в это же или другое. Я уже устал спрашивать, в какое?
    
    Так же как "* = (0, 1)" или "+ = (1, 0)". Эти записи некорректные. Можно записать "+1 = (1, 0)", но не "+ = (1, 0)".
    
    Прошу прощения, а вот этих формул я напрочь не понял. Что слева, что справа? Что означает знак равенства?
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29321104
    Я же написал, что они некорректные. Что вы хотите понять в некорректных записях?
    Именно это же я подразумевал в комменте выше. i сам по себе можно считать аналогом унарного плюса и минуса, только он показывает другую ось. Если обозначить поворот на -90 градусов символом j, то единицы на всех 4 осях будут "+1, i1, -1, j1".
    
    в какое?
    
    А мы про какое говорим, по-вашему? Множество точек комплексной плоскости.
    
    Andy_U
    28.12.2025 20:06
    #29321494
    Что вы хотите понять в некорректных записях?
    
    Вы в предыдущем сообщении написали, что:
    
    Можно записать "+1 = (1, 0)"
    
    Повторяю вопрос:
    
    Что слева, что справа? Что означает знак равенства?
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29322320
    Слева "+1", положительное число на оси действительных чисел. Справа (1, 0), то же самое положительное число на оси действительных чисел, при рассмотрении ее в составе комплексной плоскости. Знак равенства означает, что можно считать, это то же самое положительное число.
    
    Если вам непонятно, нарисуйте комплексную плоскость и обозначьте единицы на осях, покажите рисунок тут, я вам объясню в ваших терминах. Ведь для себя вы будете знать, почему вы обозначили их так, а не иначе.
    
    Andy_U
    28.12.2025 20:06
    #29322878
    Вот, теперь понятно.
    
    Если вам непонятно, нарисуйте комплексную плоскость и обозначьте единицы на осях, покажите рисунок тут, я вам объясню в ваших терминах. Ведь для себя вы будете знать, почему вы обозначили их так, а не иначе.
    
    Спасибо, мне геометрический костыль не требуется. ОТО в свое время отучила. И я тут, кажется, ничего не обозначал, кроме общеизвестных/общеупотребимых "истин".
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29317694
    Во второй части будет про геометрию. И там гораздо больше геометрического смысла, на самом деле, чем поворот.
    
    Wesha
    28.12.2025 20:06
    #29317948
    умножение на i это операция поворота на 90 градусов.
    
    Я просто оставлю это здесь
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29318028
    Тут не раскрыт вопрос, а почему производная экспоненты такая.
    
    На самом деле можно вывести эту формулу без дифференцирования, используя определение e = lim(1+1/n)^n .
    
    Там получается многоугольник, который стремится к дуге окружности при $n-> \infty$
    
    michael_v89
    28.12.2025 20:06
    #29318044
    
    malkovsky
    28.12.2025 20:06
    #29317968
    Текст и код усеяны юникодом, который для меня в большинстве случаев признак нейрообработки (и мне кажется не только для меня). Готов поверить, что вы это делаете сами -- в этом случае снимаю шляпу! Если же это всё-таки обработка LLM, то ... просто напишите что и где используете, люди поймут. Мне вот тоже иногда нейрослоп приписывают, думаю перестать тратить время на ручную замену "--" -> "—"
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29318074
    В данном случае нейронка была нужна для создания единой структуры и множества иллюстраций. К форматированию кавычек и тире я привык давно.
    
    Скормил нейронке кучу книжек, вписал много чего, что нужно сделать, получил от нее версию плана, потом редактировал и добавлял тем еще, так через несколько итераций получил и продумал весь план целиком, ушло несколько часов на него (но тут важно то, что идеи такого цикла были уже давным давно. а весь материал мне известен, иначе бы так быстро не получилось). У меня есть детальный разбор каждого пункта плана, там можно все остальные 6 статей хоть сейчас мгновенно сгенерировать, но качество будет не то. Буду писать как эту первую часть все остальные. К тому же нейронка некоторые темы всё же пропускает, и не совсем то что нужно пишет.
    
    К билдам — научился от нейронки сам недавно, выделения помогают чтению.
    
    В тексте есть куски исторические, они просто выборочно переписаны с исторических книг, цитаты и формулы скопированы из них же.
    
    А остальное — по сути есть в иллюстрациях этих, так что тут текст от нейронки не нужен был совсем. Вот даже это хваленого бота запускал, ничего не находит.
    
    В статье по теории групп я сначала сделал текст от нейронки, потом переписал сам, бот что-то находил всё равно в небольших количествах, хотя это я просто вручную переписал с сохранением смысла своими словами. А тут писал текст сам полностью, признаков ИИ нет совсем.
    
    Видимо, генерировать текст множеством промптов, а потом переписывать, идея не очень. Куда лучше генерировать структуру множеством промптов, чтобы нейронка сложила все нужные идеи в промптах, а также материал из пособий и статей в единую структуру, а потом заполнять самому эту структуру.
    
    Johnsim
    28.12.2025 20:06
    #29321468
    Эхх, а хотел поделиться статьёй. А тут опять ии. Стыдно должно быть за такое
    
    nin-jin
    28.12.2025 20:06
    #29322430
    https://habr.com/ru/posts/960056/
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29323272
    У меня противоположный подход. Использование ИИ — признак качества сделанных материалов. Могу показать пример моего сайта
    
    Вычислительная математика — Вычислительная математика
    
    Весь сайт написан с помощью LLM. В результате этого работать с ним очень удобно — кладешь документ блокнот юпитер-ноутбук в папку, в нужном месте появляется новая страница. Всё настроено как нужно конкретному пользователю.
    
    Все учебные материалы доведены до текущего очень презентабельного состояния именно с помощью ИИ.
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29318084
    Для иллюстраций, кстати. Обнаружил, что вместо того, чтобы мучать Gemini, лучше работает связка Дипсик + чатГПТ. Т.е. черновую версию иллюстрации кодом на Питоне делает Дипсик, он это быстро генерирует (Gemini ждать дольше), а потом закидываем в чатГПТ и тот за 2-3 итерации (иногда даже сразу за одну) иллюстрацию доделывает, у него это получается лучше, чем у Gemini.
    
    Wesha
    28.12.2025 20:06
    #29318234
    думаю перестать тратить время на ручную замену "--" -> "—"
    
    Вы её ещё и заменяете? А я вот не выйоживаюсь, а просто печатаю Alt+0151.
    
    (Кстати, ™ — Alt+0153)
    
    malkovsky
    28.12.2025 20:06
    #29318294
    Да, а еще можно греческий алфавит, значок кубического корня и прочие прелести, но нет, спасибо, я пожалуй всё-таки лучше в $\TeX$
    
    misha_erementchouk
    28.12.2025 20:06
    #29320368
    Так латех можно и в комментариях использовать??
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29320388
    Можно, он тут работает.
    
    misha_erementchouk
    28.12.2025 20:06
    #29320446
    Прошу прощения, я тут в комментариях помусорю. $\sqrt[3]{f(\theta_s)}$ Хм, действительно работает, а у меня четкое воспоминание, что с долларами не сработало. Для случайно заглянувших, работает со знаками доллара, без отделения долларов пробелами от формулы.
    
    VladD-exrabbit
    28.12.2025 20:06
    #29318810
    Я для таких вещей использую msklc, работает прекрасно.
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29316076
    Некоторые элементы такого подхода можно найти в исторических книгах, но там, к сожалению, не ставят цели объяснить именно математику, там про ученых.
    
    JoshMil
    28.12.2025 20:06
    #29317358
    Для таких материалов абсолютно неважно откуда их получил автор. Это очень редкий и очень нужный тип работы. И выполнить его неимея в распоряжении нейросеть очень сложно. Я пробовал.
    Современное описание комплексных чисел напоминает художественную летопись где реальная история порождает целый букет причудливо пересекающихся абстракций, отчасти принятых традиционно, но уже не достаточных. Это существенно мешает пониманию. Названия и пояснениядолжны образовывать целостный смысл.
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29317732
    Да и с нейронками сложно. Тут скорее речь о том, что довольно много разных знаний про комплексные числа накопилось уже, порылся ещё дополнительно в книгах и статьях, а нейронка позволяет это структурировать в единое повествование. А текст тут они не писали.
    
    Кстати говоря, про связь комплексных чисел с группами и алгебрами Ли, про формулу Эйлера в любой ассоциативной алгебре нейронки вообще не вспоминают, если только напрямую им об этом не написать. Видимо, этого относительно мало в их обучающей выборке.
    
    JoshMil
    28.12.2025 20:06
    #29318878
    Я недавно буквально тем же но для для себя занимался. Закрывал детские гештальты). Пришел к интереснейшему выводу, для себя. О том что человечество переходит к осознанным описательным конструкциям в терминах состояний и переходов между ними.
    
    Точнее - наш язык изначально оперирует состояниями, операторами и переходами из одного в другое. Он по сути таков. А разные подъязыки упрощают все это до формы, грубо говоря - современного учебника. Чисто из каких-то прикладных целей.
    Начиная с комплексных чисел началась история затягивания этой сложной конструкции с состояниями - в науку, и замена ею чистых абстракций. Окончившаяся, на сегодня по крайней мере, судя по всему, гилбертовым пространством и тд. Интереснейшая и красивейшая тема, при этом многослойная.
    Суток двое переписывался с ИИ и копался в других источниках. При том что сам ни разу не математик. Прост ради более целостной картины мира. Просто чудо что про это еще и пишут. Уверен что у 90 процентов выпускников стиль подачи материала в ВУЗах не оставляет и тени вопросов, котоыре могли бы привести к такому тексту.
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29320604
    Кстати говоря, нашел книгу Кардано автобиографическую. https://disk.yandex.ru/i/45pQzUAdh3s99g
    
    Hycklare
    28.12.2025 20:06
    #29318694
    Робофобская гидра пожирает сама себя, луддиты уже нападают на людей в тщетных попытках сдетектить ИИ. Продолжайте дискредитировать биошовинистов, ИИшникам это только на руку.

master_program Автор
28.12.2025 20:06
#29316134
Тут еще фактически ввожу новую концепцию «отчужденного знания». По аналогии с Марксом.

Во второй части будет разобрано как раз подробно.

Сейчас пошло обсуждений этой статьи в соцсетях. Оказалось, многие не знают о том, что при возведении в мнимую степень происходит «обмен ролями»: модуль исходного числа влияет на угол поворота результата, аргумент исходного числа влияет на модуль результата. И много других геометрических вещей не знают, важных для понимания. Как раз вторая часть про это.
1. funca
  28.12.2025 20:06
  #29316194
  Тут еще фактически ввожу новую концепцию «отчужденного знания». По аналогии с Марксом.
  
  В математике каждый термин несёт в себе какую-то собственную пользу. Отсылки к марксизму в виде утверждений, которые ниоткуда не следуют, и ни чего не объясняют, выглядят в этой статье как инородное тело. Да и сам он появился явно позже, описываемых здесь событий. Видно, что вам близка эта тема, но было бы лучше вынести в отдельную статью, чтобы можно было проследить всю логику.
  1. master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29316202
    Здесь весь план статей на цикл построен на основе определенной философии. Историческое развитие понимания комплексных чисел, совпадающее с описанными 7 стадиями. У Яновской похожее было сделано в объяснении понятия множества.
    
    А в конце - на основе продемонстрированного подхода общая философия понимания.
    
    funca
    28.12.2025 20:06
    #29316340
    Ну конечно, 7 стадий это что-то само собой разумеющееся. Поэтому не нужно ни чего объяснять, достаточно просто их перечислить. В 2025 же все изучают Маркса со школьной скамьи, в отличие от комплексных чисел.
    
    Если серьёзно, аналогия с миром финансов заинтриговала. Однако в реальности для денежных расчётов не используют комплексные числа. Ну то есть будь у такой философии хоть какой-то практический смысл, мы бы видели эту математику на практике. Уж кто, а бизнес вряд-ли упустил конкурентное преимущество в оценке ценностей, будь оно здесь. Но это просто догадки, вероятно я не понял эту часть статьи.
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29316346
    Для моделирования финансовых рынков используют комплексные числа.
  1. master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29316296
    Видимо, стоит вообще в начале второй статьи раскрыть, а не в конце цикла, там логичнее, да и смыкается такой переход с концом этой статьи логично. Суть в том, что мнимая единица прошла такой исторический путь:
    
    Артефакт вычислений.
    
    Формальный символ одной операции.
    
    Случайный, но полезный инструмент.
    
    Систематический используемый с оформленными правилами работы, но непонятный
    
    Геометрически осмысленный объект, полностью понятный.
    
    Ядро собственной теории.
    
    Часть всеобщего языка науки.
    
    Это и соответствует этим 7 этапам.
    
    В этой статье я раскрыл первые 4:
    
    Кардано.
    
    Бомбелли (и еще Декарт, кстати, можно было его тоже упомянуть).
    
    Эйлер, Безу, Муавр и т.п.
    
    Даламбер и прочие ученые в конце 18-го века. Там как раз та самая "революционная ситуация" - правила уже сложились, а понимания нет.
    
    Пятый и шестой этап - это 19-й век, а седьмой этап - уже 20-й скорее (теория групп и алгебр Ли, применения в квантовой механике и тому подобное).
    
    Считается, что вообще эту семичленку придумала Яновская, а не сам Маркс, но она на конкретных примерах есть у Маркса (деньги, товар, натуральное число, дифференциал). Просто Маркс не писал ее в виде явного списка нигде, кроме оглавления "Капитала".
    
    У Яновской в статьях по философии математики есть анализ, почему это именно так устроено. Она была ученицей Колмогорова и тем самым человеком, который математические рукописи Маркса первым разобрал, перевел, оцифровал.
    
    Tsimur_S
    28.12.2025 20:06
    #29318154
    А где можно больше почитать как именно люди воспринимали этот слом устоев во времена Бомбелли и ранее, как его переосмысливали, как поливали друг друга "аргументами"?
    
    malkovsky
    28.12.2025 20:06
    #29318636
    https://yandex.ru/video/preview/3518178718487329809
    https://habr.com/ru/articles/950774/

010011011000101110101
28.12.2025 20:06
#29316468
можете дополнить своё повествование о числах кватернионами. Тем более, что они как бы продолжение идеи мнимых чисел
1. master_program Автор
  28.12.2025 20:06
  #29317682
  Там по плану цикла есть.

VladD-exrabbit
28.12.2025 20:06
#29316518
Читаю первую же фразу:

«Квадратного корня из минус единицы не существует» — эта фраза, сказанная на уроке, становится ментальным барьером. Она возводит преграду «дальше не думай», за которой остаётся самое важное — вопросы «почему», «как» и «а что если».

Извините, а что у вас за школа была? У нас в школе объяснили очень просто: квадрат положительного числа положительный, квадрат отрицательного числа положительный (минус на минус), квадрат нуля равен нулю. То есть квадрат любого числа не может быть отрицательным. Объяснение занимает 1 минуту и всем понятно.

Как видите, никакой опереточной «преграды».
1. Wesha
  28.12.2025 20:06
  #29317978
  квадрат положительного числа положительный, квадрат отрицательного числа положительный (минус на минус), квадрат нуля равен нулю. То есть квадрат любого числа не может быть отрицательным.
  
  ...более того, На Самом Деле™ $\sqrt{X^2} = \pm X$ (то есть корня вообще-то два).
  1. tenzink
    28.12.2025 20:06
    #29318166
    По определению, корень - неотрицательное число. Не нужно путать с корнями уравнения `x*x - a*a = 0`
    
    Wesha
    28.12.2025 20:06
    #29318256
    Это зависит от определения. В школе определяли как «число, которое надо возвести в указанную степень, чтобы получилось подкоренное выражение».
    
    tenzink
    28.12.2025 20:06
    #29318298
    Это вы про какую-то "неправильную школу" говорите. Если принять ваше определение, то нельзя сказать верно или неверно такое неравенство
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29318534
    То, о чем вы говорите, называется "арифметический корень". Он может быть только положительным. А просто "корень" - любым. И да, это стандартные школьные определения.
    
    tenzink
    28.12.2025 20:06
    #29319474
    В школе знак радикала используется, как "арифметический корень". И в контексте этих обозначений \sqrt{X*X}=|X|, и никак не может принять два разных значения
  1. VladD-exrabbit
    28.12.2025 20:06
    #29318774
    Да, но это ничего не меняет. Отрицательное число можно возводить в квадрат и получать положительное (про это как раз ваш пример). Но какое число не возводи в квадрат, отрицательное не получится, даже с многозначной функцией корня.
    
    Wesha
    28.12.2025 20:06
    #29319340
    Да, но это ничего не меняет
    
    А разве я говорил, что буду что-то менять?
1. gres_84
  28.12.2025 20:06
  #29323868
  Ну раз все квадраты положительные, то корень из отрицательного числа не имеет смысла, то есть его не существует. В чем ваше объяснение противоречит статье?
  
  Ну и отдельный вопрос: i положительно или отрицательно? В статье, кстати, рассмотрен.

sale201210
28.12.2025 20:06
#29316642
Нам в школе объясняли, что вводить i через квадратный корень - не корректно. Комплексные числа вводились как пары чисел с определенными свойствами, из которых следовало i^2 = -1 Это корректная записать без использования квадратного корня.
1. nin-jin
  28.12.2025 20:06
  #29317326
  Квадратный корень - это буквально решение такого уравнения. Так что от формы записи ничего не меняется.
  1. sale201210
    28.12.2025 20:06
    #29317346
    ...как раз это и является очень важным, т.к. квадратный корень для отрицательных чисел просто не определен (и определять нет смысла).
  1. VladD-exrabbit
    28.12.2025 20:06
    #29318790
    Решение уравнения — да, но не в исходном поле (где это уравнение не имеет решений), а в расширенном. Как только мы это понимаем, магия тут же исчезает.
1. OlegZH
  28.12.2025 20:06
  #29317602
  Нам в школе объясняли, что вводить i через квадратный корень - не корректно.
  
  Да. И совершенно правильно говорили. Строго говоря, надо спросить: который из? Потому как в области комплексных чисел корни из единицы распределены на окружности, то есть — их некоторое множество. А ещё есть аргумент комплексного числа. Опять же: который из?
  
  А дальше возникает идея и понятие римановой поверхности и римановой (многолистной) функции. Жалко, что такие красивые вещи не изучаются прямо в школе, когда мозги ещё быстры и податливы. Можно было бы потом заняться наукой и получать глубокие результаты.
1. hitman47oj
  28.12.2025 20:06
  #29317678
  Не корректно, потому что √-1 = i и √-1 = -i, так как √ это многозначная операция.
  1. master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29317850
    На самом деле тут несколько сложнее, потому что в комплексных числах, как и в вещественных, можно разделять два вида квадратных корня (однозначную и двузначную операцию). В случае однозначной операции надо аргумент числа делить пополам, и тогда корень из -1 это только +i.

Oeaoo
28.12.2025 20:06
#29316700
То есть значение i для математики похоже на значение бога для верующих? Типа, какая разница существует ли он где-то или нет, все равно через него можно описывать и разрешать что-то новое?
1. Nansch
  28.12.2025 20:06
  #29316796
  Комплексные числа это как переход на новый инструментальный уровень. Теперь у вас есть число на плоскости, пространство, вектора, и даже матрицы можно приплести. Ничего сверхъестественного, просто эволюция математического аппарата.
1. Gentoos00
  28.12.2025 20:06
  #29316970
  какая разница существует ли он где-то или нет, все равно через него можно описывать и разрешать что-то новое?
  
  Так с любыми математическими понятиями. Комплексные числа тут абсолютно никак не выделяются.
  1. taujavarob
    28.12.2025 20:06
    #29317048
    Так с любыми математическими понятиями
    
    Это только сейчас так. Раньше было иначе.
    
    Комплексные числа тут абсолютно никак не выделяются
    
    Выделяются. В самом названии "мнимые числа" уже указано их отличие от натуральных и действительных.
    
    В те времена философия была такая, что числа "отражают" Природу. То есть числа не "придумывают", а "открывают".
    
    Это касалось не только чисел, но и геометрии. Геометрия должна "отражать" Природу, поэтому Лобачевского и травили, а сам он мерил углы в актовом зале своего Универа в надежде, что его геометрия верна(!) на больших растояниях.
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29317398
    Да, но какая разница, что там было или не было раньше? Если копаться во всей этой заплесневелой истории - времени на современные вещи не останется. Лучше сразу прививать себе взгляд на вещи, который позволит изучать математику наиболее продуктивно. И попытки вытащить глубокий "философский" смысл из названий типа "мнимые", "действительные" и т.д. - только отдаляет от понимания сути вещей.
    
    taujavarob
    28.12.2025 20:06
    #29325020
    И попытки вытащить глубокий "философский" смысл из названий типа "мнимые", "действительные" и т.д. - только отдаляет от понимания сути вещей.
    
    Так оно конечно, - зубрим, решаем задачки и сдаём экзамен - это практично. Чего ещё делать то? - но разве это понимание?
    
    Наверняка для понимания нужно знать историю появления этого понятия. Иначе наука превращается в набор "табуреток".
    
    Так что для понимания нужно наверняка знать- с какого бодуна появилось название "мнимые".
    
    Это касается не только математики, но и остальных наук. Например, почему физикам удалось переиначить "волновую механику" в "квантовую механику", но не удалось такое же провернуть с "волновой функцией".
    
    Иначе, да - зубрёжка и только зубрёжка.
    
    Вспоминаю как на 2- курсе началась Теоретическая Механика и препод сходу написал Лагранжиан на доске. И всё! - вся Общая физика (школьная и на 1 курсе вуза), такая понятная, внезапно рассыпалась в прах.
    
    А препод не стал пояснять, откуда и зачем взялся этот Лангражиан и что это вообще за штука такая. - вызубрили и сдали, но поняли ли?
    
    P. S.
    
    "Табурет от французского «tabouret»,что буквально означает «барабанчик».
    
    Слово «табуретка» происходит от французского «tabouret», что изначально означало круглую подушечку для иголок или пуфик, а позже стало обозначать низкий стул без спинки, заимствованное через немецкий язык в русский, имея ассоциации с мягким сиденьем или барабанчиком. Изначально это была привилегия при французском дворе, символ статуса, а затем стала обыденным предметом мебели."
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29325308
    Вот, кстати, с табуреткой хороший пример. Для понимания того, что такое табуретка, совершенно не нужно знать всю эту этимологию, или историю табуретки вплоть до французского средневековья. С математикой точно так же.
    
    А препод не стал пояснять, откуда и зачем взялся этот Лангражиан
    
    Откуда и зачем взялся - прекрасно объяснено буквально на первых же страницах первого тома ЛЛ. Кто ж вам виноват, что вы их не читали. И совершенно непонятно, что может добавить к этому пониманию знание того, кто и в каком году его вывел.
    
    Общая физика (школьная и на 1 курсе вуза), такая понятная, внезапно рассыпалась в прах.
    
    У меня, кстати, наоборот: после теормеха (и других теор. курсов) по ЛЛ разрозненная мешанина общей физики наконец сложилась в единую стройную систему:)
    
    black_warlock_iv
    28.12.2025 20:06
    #29326144
    но разве это понимание?
    
    Это порождает понимание.
    
    here-we-go-again
    28.12.2025 20:06
    #29321176
    Ну не знаю, а что есть в природе в виде однозначной пускай даже единицы? Что б вот не было сомнений где граница одиночного объекта или величины?
1. arteys
  28.12.2025 20:06
  #29316996
  Людей часто травмируют комплексные числа, но почему-то никогда не травмирует число 2.
  Хотя оно такое же абстрактное.
  1. 500rur
    28.12.2025 20:06
    #29317298
    корень из двух в свое время довольно сильно травмировал древних греков.
    
    Wizard_of_light
    28.12.2025 20:06
    #29318088
    По легендам, некоторых даже убил.
  1. CorwinH
    28.12.2025 20:06
    #29317654
    но почему-то никогда не травмирует число 2
    
    Его можно на пальцах показать. Маленький ребёнок, который ещё считать не умеет, вполне может представлять себе, что такое "два".
    
    tenzink
    28.12.2025 20:06
    #29318206
    А число 42 такому малышу уже не объяснить. Кому-то даже после школы не объяснишь 10^10^10^10
  1. hitman47oj
    28.12.2025 20:06
    #29325316
    Число i более абстрактное чем 2, оно более отрешённое от реальной жизни.
1. Vlagor
  28.12.2025 20:06
  #29325818
  .

Refridgerator
28.12.2025 20:06
#29317018
На плоскости комплексные числа вполне себе упорядочиваются. В действительных числах корня из отрицательных чисел действительно не существует. Комплексное число называется "комплексное", потому что мы оперируем парой чисел как единым целым. Мнимая единица - это просто символ, позволяющий оперировать парой чисел как единым целым алгебраически. Оперировать комплексными числами можно и в матричном виде, но это не так удобно. Элементарные функции комплексного переменного определены везде и выводятся через их разложение в степенной ряд.

Факты just for fun:

(простое число)

$\cos \left(2 \arccos(2)\right)=7$ (значение косинуса больше единицы)
1. master_program Автор
  28.12.2025 20:06
  #29317772
  Отношение «больше или равно по модулю» на множестве комплексных чисел не является отношением порядка. Из равенства модулей не следует равенство самих чисел, тем самым нарушается антисимметричность.
  
  https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0

ALT0105
28.12.2025 20:06
#29317114
Хорошо написано, но нет времени все читать. Маленькие добавки:
1. Вопрос о физическом смысле мнимой единицы у тех, кто ею пользуется, никогда не возникает. А вот для отрицательных числе хорошо бы придумать объяснение, в физике же (время, расстояние, масса, температура) их нет.
2. Для широкого практического применения (цифровой обработки сигналов) студентами и инженерами хорошо бы придумать физическое (не математическое) объяснение периодичности цифрового спектра и того факта, что можно взять любую инверсную копию спектра (в том числе, из минус бесконечности) и восстановить по ней реальный физический сигнал.
1. Gentoos00
  28.12.2025 20:06
  #29317410
  в физике же (время, расстояние, масса, температура) их нет.
  
  Координаты векторов. Знаки электрических зарядов.
  1. ALT0105
    28.12.2025 20:06
    #29317428
    Всё зависит от точки зрения - векторы всегда положительные, только расположены в разных местах и смотрят в разные стороны. А ярлык "отрицательный" - проявление субъективизма человека. Можно же было назвать разные заряды красными и синими... Мужчины и женщины тоже притягиваются, кто из них отрицательный?
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29317492
    Можно было. Поэтому названия ни на что не влияют. Можно называть "красный" и "синий", можно называть как угодно, хоть табуреткой. Главное, корректно ввести операции на этих объектах. В этом и суть математики: в соответствующих структурах, а не в названиях.
    
    векторы всегда положительные
    
    Что значит "положительный вектор"? Это что-то новенькое.
    
    ALT0105
    28.12.2025 20:06
    #29318384
    "Отрицательный" плохо воспринимается, а вектора - они хорошие :))
    
    Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29318536
    Ну, в этом смысле разве что:)
1. OlegZH
  28.12.2025 20:06
  #29317626
  ... не забыв сообщить заинтересованному читателю о необходимости иметь достаточную частоту дискретизации (теорема Котельникова!). Ну и, конечно, восстановить можно не всякий сигнал, а только сигнал с ограниченным спектром (опять же: теорема Котельникова и частота Найквиста!)
  1. ALT0105
    28.12.2025 20:06
    #29318438
    У теоремы Котельникова с физическим смыслом всё хорошо. А вот сигналов с ограниченным спектром не существует. С физическим смыслом здесь проблем нет, но его нужно проговаривать и объяснять следствия
    
    Refridgerator
    28.12.2025 20:06
    #29318640
    Согласно теории относительности, взаимодействия выше скорости света быть не может. Соответственно в реальной жизни абсолютно все сигналы - с ограниченным спектром.
    
    ALT0105
    28.12.2025 20:06
    #29318702
    Сигналы с ограниченным спектром имеют бесконечную длительность. А в нашей вселенной это невозможно
    
    Refridgerator
    28.12.2025 20:06
    #29322066
    Ну это опять же только если принимать бесконечную делимость пространства. Что значит наличие некоторой амплитудной полки, ниже которой опуститься невозможно.
    
    ALT0105
    28.12.2025 20:06
    #29322110
    На практике это приводит к тому, что когда преобразование Фурье вычисляется не от периодического (бесконечного) сигнала, а от конечного отрезка синусоиды, в спектре получается не одна гармоника (палка), а расплывающаяся сосулька
1. 010011011000101110101
  28.12.2025 20:06
  #29317646
  Вопрос о физическом смысле мнимой единицы у тех, кто ею пользуется, никогда не возникает. А вот для отрицательных числе хорошо бы придумать объяснение, в физике же (время, расстояние, масса, температура) их нет.
  
  Я пользуюсь мнимыми числами (цепи переменного тока, ТАУ), но физический смысл их так и не уложил в голове. Объяснил себе, что это просто удобная математическая абстракция для отражения некоторых явлений и вычислений. Также как и матрицы в линейной алгебре. А в чём проблема с отрицательными числами не понятно. Координаты, скорости, ускорения. Угловые и линейные. Если поворот вправо на 5 градусов это +5, то поворот влево на 5 градусов это -5, что тут объяснять?
  1. ALT0105
    28.12.2025 20:06
    #29318540
    у тех, кто пользуется, проблем нет. Статья же о том, как объяснить другим. А отрицательных числе в природе (в физике) просто не существует. деление чисел на положительные и отрицательные - как выбор правостороннего и левостороннего движения
    
    010011011000101110101
    28.12.2025 20:06
    #29322512
    в физике вообще нет никаких чисел, они все в математике :-) Все числа это математическая абстракция, даже натуральные. Они помогают сосчитать яблоки у Пети и Маши :-)
    
    ALT0105
    28.12.2025 20:06
    #29322562
    Они помогают сосчитать яблоки у Пети и Маши
    
    И нужно это только человеку при дефиците яблок. Вселенная звезды не считает...
1. ermouth
  28.12.2025 20:06
  #29318204
  в физике же (время, расстояние, масса, температура) их нет
  
  Отрицательная температура (в каком-то смысле ниже абс нуля) – вполне себе устоявшаяся концепция для термодинамики неравновесных систем. https://en.wikipedia.org/wiki/Negative_temperature
  
  Рабочее тело лазера в момент накачки вполне можно как пример такой системы рассматривать.
  
  Тут главный вопрос «что считать временем, массой и температурой», а не «бывает или нет».
  1. ALT0105
    28.12.2025 20:06
    #29319004
    Можно считать всё, что угодно, главное - договориться считать одинаково. А если объяснять что-либо постороннему, полезнее исходить из его понимания.
    
    ermouth
    28.12.2025 20:06
    #29319218
    договориться считать одинаково
    
    Так не получится же. Масса – как синоним веса – работает при невысоких скоростях на макрообъектах, но чуть в микромир или в быстрое перемещение, начинается чёрте что. Температура может быть мерой «тёплости», статистикой скорости, статистикой спектрального распределения, статистикой распределения по уровням энергии частиц и тд.
    
    Про расстояние и время даже начинать не хочется.
    
    Если исходить из понимания… Легко сказать. «Понимание» – уже не про реальный мир, шире чем просто ощущения. Понимание – про интерпретацию ощущений, а поди угадай какое оно у конкретного человека. Людям и отрицательные числа, и комплексные заходят – но заодно и астрология, и тонкие тела, и вообще всё что хотите. Безотносительно оно бывает или нет.
1. Konst1987
  28.12.2025 20:06
  #29322406
  в чем проблема сопоставить отрицательным числам дырки?
  
  Маслов, например, вообще вводит отрицательные размерности в работе "Общее понятие топологических пространств отрицательной размерности и квантование их плотностей"
  https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mzm&paperid=3530&option_lang=rus
  1. ALT0105
    28.12.2025 20:06
    #29322492
    А зачем? Можно ввести всё, что угодно, например, дважды мнимое 5-мерное квантованное пространство, если это даст полезный практический эффект. Но эффекта не вижу, поэтому не ввожу :).
    
    Из круга подобных вопросов у меня вызывает некоторое неудобство только принятое положение, что ток течет от плюса к минусу. Я предпочитаю объяснять работу транзистора на примере n-p-n транзистора и мне было бы удобнее, если бы принятое направление тока совпадало с направлением движения электронов. Но соблюдаю принятые правила поведения.
    
    nin-jin
    28.12.2025 20:06
    #29322800
    Но соблюдаю принятые правила поведения.
    
    И никто из нынешних конформистов совершенно не думает о будущих поколениях..
    
    ALT0105
    28.12.2025 20:06
    #29322856
    Никто же не знает, что будет удобнее будущим поколениям - может быть они будут считать постоянный ток в цепи стоячей волной, а не потоком электронов
    
    nin-jin
    28.12.2025 20:06
    #29322966
    Да-да, а сейчас ток - это поток дырок, которые электронная пушка затягвает в себя как пылесос.
    
    ALT0105
    28.12.2025 20:06
    #29322976
    В медном проводе, в эмиттере и коллекторе n-p-n транзистора дырок нет

quarus
28.12.2025 20:06
#29317498
Поскольку $3 x^2 \alpha+3 x \alpha^2=3 x \alpha(+\alpha)=3 x \alpha \beta$ , а значит
$x^3+3 \alpha \beta=\beta^3-\alpha^3 .$
...куда исчез X?.. и в первом выражении и во втором (уравнении).
1. master_program Автор
  28.12.2025 20:06
  #29317860
  Там поправил уже. Верно так
  
  $3 x^2 \alpha+3 x \alpha^2=3 x \alpha(x+\alpha)=3 x \alpha \beta$
  
  Мы же определили уже, что
  
  $x+\alpha= \beta$

OlegZH
28.12.2025 20:06
#29317644
Автор ещё не дошёл до формулы Муавра. (Либо я что-то пропустил...) Операции над комплексными числами позволяют получить явные формулы для тригонометрических функций составных углов. Тут ещё имеется прямая связь с задачами на построения при помощи циркуля и линейки.

Akatsa
28.12.2025 20:06
#29317660
x^3+xa=b. Вы говорите про замену х=b-a а потом откуда взялось это здоровенный уравнение, если мы сделали замену, то иксы вообще уйти должны были. Ниче непонятно, вас не только кандидаты математических наук читают, ну почему всегда так!
1. master_program Автор
  28.12.2025 20:06
  #29317756
  Там пропущен x в одном месте, вставлю сейчас.
  
  Уравнение взялось из формулы "куб суммы"

LinkToOS
28.12.2025 20:06
#29317662
Статья из серии "Сложно о простом". Это точно не туториал. Если это науч-поп или исторический экскурс, то слишком перегружено.

С помощью комплексных чисел работает Wi-Fi, обрабатывается аудио и видео, функционируют законы квантовой механики

Законы квантовой механики все-таки описываются с помощью комплексных чисел, а не функционируют. Понятно что это урок по математике, а не по русскому языку, но все же.

Приглашение к бунту. «Квадратного корня из минус единицы не существует»

Корень из отрицательного числа "невозможен" только в рамках арифметики. Получается что это бунт против арифметики.
1. VladD-exrabbit
  28.12.2025 20:06
  #29318946
  Не «в рамках арифметики», а «в поле действительных чисел».

niktor_mpt
28.12.2025 20:06
#29317994
На мой взгляд, говорить, что комплексное число — это поворот, некорректно.

Нужна отдельная глава, поясняющая чуть математических объектов (конструкций), как устанавливается и какая связь между ними (например, комплексное число и повороты, повороты и теория групп, теория групп и симметрия), что значит конструкт применяется к реальному миру (кастрюля, конечно, цилиндрическая, но в цилиндре суп сварить нельзя).

Планка взята очень высоко, поэтому аккуратность и скрупулёзность на понятийном уровне критично важна.

Поэтому желаю успеха и не потерять задора и энтузиазма в этом деле.

Ещё одно замечание. Материал полиаспектный и каждому читателю нужно (заходит) что-то своё. А текст, увы, линейный, пусть и имеет иерархическое разбиение.

Я бы предложил подумать над типологией читателя и для каждого типа предложить свой маршрут по книге. Я такое встречал в некоторых монографиях, там в основном, по уровню подготовки и глубине интереса к вопросам, раскрываемых в книге. Грубо говоря, если вы это знаете, эти главы можно не читать. Если вы этим интересуетесь, прочитайте вот эти главы.

Иначе часть критики (совершенно справедливой) будет про "кому вы это пишите" и "зачем вы это написали".

Wesha
28.12.2025 20:06
#29318034
А в СССР нас, шестиклассников, пытали вот такими вот занимательными книжками

(Лёвшин В. А., Александрова Э. Б. Путешествие по Карликании и Аль-Джебре. — М. : Детская литература, 1991. — 255 с. : ил. ISBN 5-08-001458-х.)
1. master_program Автор
  28.12.2025 20:06
  #29318106
  Надо посмотреть.
  
  Со своей стороны порекомендую Гиндикина "Рассказы о физиках и математиках".
  
  Там про комплексные числа тоже прилично написано.
  1. qwe101
    28.12.2025 20:06
    #29319432
    да
1. CorwinH
  28.12.2025 20:06
  #29318678
  У меня в детстве была занимательная книжка по математике, но название и автора, я, к сожалению, забыл. Помню, как самообучающийся компьютер из спичечных коробков клеил.
  1. qwe101
    28.12.2025 20:06
    #29319440
    Мартин Гарднер - математические новеллы, математические досуги, математические головоломки и развлечения. 3 книги.

AlexTmp8
28.12.2025 20:06
#29319166
а иррациональные и трансцендентные числа никого не смущают? )))
1. domix32
  28.12.2025 20:06
  #29319220
  греки в основном не любили вещественные числа. отсюда и музыка сфер и задачи на построение циркулем и линейкой без засечек и лютая нелюбовь к тем кто говорил о невозможности удвоить куб

domix32
28.12.2025 20:06
#29319230
каждый раз диву даюсь как вроде начинают с красивых формул а к концу статьи скобки начинают плыть, а корни торчат как символ. как у людей разметка-то ломается
1. master_program Автор
  28.12.2025 20:06
  #29319614
  Это где переписка математиков поплыли?
  
  Их из исторической книги mathpix-м выдирал, могу переписать их нейронкой.
  1. Mingun
    28.12.2025 20:06
    #29320156
    Их из исторической книги mathpix-м выдирал,
    
    Как будто это что-то оправдывает
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29320184
    Тут дело в том, что это кажется нормальным (такие значки корня), потому что в старых книгах часто такое встречается.
    
    Mingun
    28.12.2025 20:06
    #29320220
    В смысле кажется? Вы же пишите статью для обучения, и надеюсь, прочитали то, что (вам) понаписали?
    
    Что-то у меня после этих ваших заявлений очень сильный скепсис по поводу выполнения вами поставленной цели объяснить математику просто. Для этого в первую очередь ляпов не должно быть.
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29320422
    Ляпов тут никаких нет. Использование знака корня перед скобками (например, √(ab+c) ) является общепринятым и стандартным в современной математической записи. Другое дело, что массовому читателю это может не понравиться, особенно тому, который не часто это встречал.
    
    Как я и написал, взято это было из популярной книги по истории математики.
    
    Mingun
    28.12.2025 20:06
    #29323846
    Так я писал про то, что у вас в тексте явно скобки поплыли (буквально -- открывающая висит в показателе степени, закрывающая на уровне основного текста), к чему относятся значки радикалов, непонятно, где была степень -- непонятно, в одном месте 6 в 36 кажется превратилось. Сейчас уже поправлено, но вы правда думаете, что с замахом "объясню сейчас все четко и популярно" смазанный текст сослужит хорошую службу? А оправдываетесь тем, что мол, OCR подвел. Ну так у вас для этого глаза же есть, чтобы за ним проверить?
    
    Ведь первую статью так хорошо начинали, и вот, не успели двух шагов пройти, а уже скатываетесь.
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29323968
    OCR не подводил, в книге так и написано. Поэтому и я не обратил внимания своими глазами, я проверил только правильный перенос из книги в LaTeX и его отображение. Так как такое форматирование, присутствующее в некоторых книгах, менее удобно для читателей, теперь буду исправлять.

Konst1987
28.12.2025 20:06
#29321818
Благодарю за статью!

Получилась прекрасная ода комплексным числам!

Хотел бы обратить внимание, что несмотря на все прелести комплексных чисел, невозможно сформировать пространство (алгебраическое тело) на этих числах. Возможны только комплексные алгебраические поля.

Эту проблему смог преодолеть Елисеев в работе "Теория функций пространственного комплексного переменного" http://www.vixri.ru/d/a_mat/Eliseev%20V.I._VVEDENIE%20V%20METODY%20TEORII%20FUNKCIJ%20prostranstv.kompleksnogo%20peremennogo.pdf

с помощью другой конструкции прямой. Он нулю сопоставил пустое множество и получил в нуле на прямой окрестность с выколотой точкой. В работе он это называет "дужкой". Получил нехаусдорфову прямую (если я правильно понимаю) и новые пространственные комплексные числа, которые образуют алгебраическое тело.

aademchenko
28.12.2025 20:06
#29323048
Спасибо, было очень интересно.
А когда выйдут остальные части статьи?
1. master_program Автор
  28.12.2025 20:06
  #29323056
  В январе все выйдут.
  1. Gentoos00
    28.12.2025 20:06
    #29323144
    Ну да, нейрослоп публиковать - не мешки ворочать. Можно и за неделю управиться:)
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29325214
    Вторую часть сложнее всего написать. Остальное проще.

papa_inura
28.12.2025 20:06
#29323382
Ни одного элемента в матиматике в природе нет. В этом отношении комплексные числа ничем не отличаются отобычных. ВСЯ математика - это абсолютная абстракция. Конечно исторически так сложилось, что первые изученные человечеством разделы математики способны наиболее непосредственно ОПИСЫВАТЬ объекты реального мира, но это не оправдывает грубейшую ошибку автора, противопостовляющего две абсолютные матиматические абстракции с точки зрения реальности.

servino
28.12.2025 20:06
#29325302
>> Сам Кардано, однако, пользовался корнями из отрицательных чисел лишь как удобным практическим инструментом,

Для уточнения: действительно пользовался? Вот есть действительные корни, но детерминант отрицательный. Кардано мог получить эти корни, пользуясь своей формулой? Он же работать с комплексными числами не умел. Видимо, здесь описка.
1. master_program Автор
  28.12.2025 20:06
  #29325314
  В частных случаях получал. В общем случае нет.
  
  Бомбелли работал уже более системно, он кубические корни из комплексных чисел вычислял. Например, тут описано https://www.ms.uky.edu/~sohum/ma330/files/eqns_4.pdf .
  1. servino
    28.12.2025 20:06
    #29325720
    Большое спасибо. В общем, понятно. Кардано действовал, надо думать, либо подбором при простых коэффициентах, либо разложением на произведение многочленов меньших степеней, т.е. фактически тем же подбором. Про Бомбелли особенно интересно.
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29326010
    Вы своими комментариями подсказали хорошую идею, как начать вторую статью. Можно начать с разбора, а как люди вообще решали эту проблему. Собственно, Муавр первым придумал явную формулу.
    
    А в геометрической интерпретации решение очевидно.
    
    master_program Автор
    28.12.2025 20:06
    #29326034
    Как действовал Муавр.
    
    Уже из обычных формул сложения:
    $\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta, \quad \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta$
    следует тождество умножения:
    $(\cos \alpha+i \sin \alpha)(\cos \beta+i \sin \beta)=\cos (\alpha+\beta)+i \sin (\alpha+\beta)$
    Дальше методом математической индукции можно получить:
    $(\cos \theta+i \sin \theta)^n=\cos (n \theta)+i \sin (n \theta) .$
    Именно это мы сейчас называем формулой Муавра (для целых ).

GBR-613
28.12.2025 20:06
#29326250
Интересно, мне почему-то ещё со школы идея о том, что i**2 =-1, казалось простой и понятной, а то, что комплексные числа связаны с вращением - надуманной абстракцией. Наверное, я в душе карданист-бомбеллист. А про вращение я никогда не мог понять, зачем связываться с комплексными числами, если у нас есть полярные координаты?

А Даламберу с Эйлером по поводу парадокса "корень из произведения" я бы сказал, что это зависит от определения. Любое число - это абстракция, тем более мнимое, и мы имеем право определить его как хотим, и можно создать две алгебры комплексных чисел: одну по Эйлеру, вторую по Даламберу. А можно провозгласить, что у нас будет два числа i (и получилось бы что-то типа кватернионов).

За статью спасибо в любом случае. Я покажу её своим детям, может быть у них это пробудит интерес к математике.

Царский путь к пониманию комплексных чисел. Часть I +68

План серии статей

ЧАСТЬ I: Рождение ереси

Глава 1. Приглашение к бунту.

Глава 2. Кардано и софизм в формуле.

Глава 3. Бомбелли и алгебра «сомнительных» вещей.

Глава 4. Целый век путаницы и непонимания: Эйлер против Безу.

Глава 5. Кризис понимания: что такое число?

Глава 6. Крах упорядоченного мира.

ЧАСТЬ II: Спасение пришло из геометрии

Глава 7. Искать не на прямой, а на плоскости.

Глава 8. Комплексные числа и векторы: триумф наглядности.

Глава 9. Мания умножения чисел: это не формула, а геометрия подобия.

Глава 10. Тригонометрия как сущность умножения комплексных чисел.

Глава 11. Комплексные числа доказывают теоремы планиметрии.

Глава 12. Удивительный трактат об инверсиях и сфере Римана.

ЧАСТЬ III: Формула, объединившая математику

Глава 13. Приключения логарифмов и степеней отрицательных чисел.

Глава 14. Величайшая формула Эйлера:

Глава 15. Единство всех элементарных функций.

ЧАСТЬ IV: Универсальный закон алгебры, геометрии и анализа

Глава 16. Формула Эйлера в любой ассоциативной алгебре.

Глава 17. Классификация однопараметрических подгрупп Ли.

Глава 18. Три сестры: все двумерные вещественные алгебры.

Глава 19. Операторный формализм: ряд Тейлора как экспонента сдвига.

ЧАСТЬ V: Алгебраическая суперсила

Глава 20. Основная теорема алгебры.

Глава 21. Комплексные числа как матрицы.

Глава 22. Теорема Фробениуса и иные числовые системы.

ЧАСТЬ VI: Мнимое царство объективной реальности

Глава 23. Язык колебаний и волн.

Глава 24. Квантовая механика комплексной реальности.

Глава 25. От фракталов до шифров.

ЧАСТЬ VII: Философия понимания

Глава 26. Что мы поняли о числах?

Глава 27. Практика — критерий истины.

Глава 28. Генетический подход против онтодидактического.

Глава 29. Манифест.

Глава 30. Эпилог: восхождение по лестнице познания.

ЧАСТЬ I: Рождение ереси

Глава 1. Приглашение к бунту

Глава 2. Кардано и софизм в формуле

Глава 3. Бомбелли и алгебра «сомнительных» вещей.

Глава 4. Целый век путаницы и непонимания: Эйлер против Безу

Конкретные примеры из переписки математиков XVIII века

Конкретные примеры из переписки математиков XVIII века

1) Проблема логарифма отрицательного числа (спор Д’Аламбера и Эйлера)

2) Проблема степеней мнимых чисел

3) Парадокс со степенями:

4) А что со ?

5) Главный парадокс, который смущал всех: «корень из произведения»

Глава 5. Кризис понимания: что такое число?

Глава 6. Крах упорядоченного мира

Заключительные иллюстрации

Комментарии (213)

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор

master_program Автор